PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

P ^RÓBNY E ^GZAMIN M ^ATURALNY

Z M ^ATEMATYKI

Z ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

.

POZIOM ROZSZERZONY

16KWIETNIA2016

C

: 180

1

Z

1

Ci ˛ag (a_n) jest okre´slony wzorem a_n+1 = 3−^an dla ka ˙zdej liczby naturalnej n > 1. Suma pi˛e´cdziesi˛eciu pocz ˛atkowych wyrazów tego ci ˛agu jest równa

A) 150 B) 75 C) 50 D) 100

Z

2

Dana jest funkcja f okre´slona wzorem f(x) = ^(log| −^x+2| ^{dla x 6 1} px−⁶√

x+9 dla x >₁ Równanie f(x) =2 ma dokładnie

A) jedno rozwi ˛azanie. B) dwa rozwi ˛azania. C) trzy rozwi ˛azania. D) cztery rozwi ˛azania.

Z

3

Suma

2016+20, 16+0, 2016+0, 002016+ · · ·

wszystkich wyrazów niesko ´nczonego ci ˛agu liczb rzeczywistych jest równa

A) 201600 B) 2240 C) ²²⁴⁰⁰₁₁ D) ²⁰¹⁶⁰₉₉

Z

4

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pochodnej y= f^′(x)funkcji y = f(x).

-5 -1 +1 +5 x

-1 +1 y y=f'(x)

Wynika st ˛ad, ˙ze

A) f(−⁶) < f(−⁵) B) f(−⁵) < f(0) C) f(7) > f(0) D) f(6) > f(5)

Z

5

Dziedzin ˛a funkcji f(x) =^q_x2+^x5x³−6 −^√_x2^x+^√5x^x−6 jest

A)(1,+∞) B)(−^{6, 0}i ∪ (^1,+∞) C)h^0,+∞) D)(−∞,−⁶) ∪ (^1,+∞)

2

Oblicz granic˛e jednostronn ˛a lim

x→−³⁺

log_0,5(3+x) 3+x .

3

Z wierzchołków czworok ˛ata ABCD poprowadzono półproste, które przecinaj ˛a si˛e w wierz- chołkach czworok ˛ata PQRS wpisanego w okr ˛ag (zobacz rysunek).

A

D S

R Q P

B

C

Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli półproste AP, BP i CR s ˛a dwusiecznymi odpowiednio k ˛atów DAB, ABC i BCD, to półprosta DR jest dwusieczn ˛a k ˛ata CDA.

4

Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli wielomian W(x) jest podzielny przez (x+3)³, to wielomian W^′(x) jest podzielny przez(x+3)².

5

Rozwi ˛a˙z równanie 16 sin⁴x+8 cos 2x=5 w przedzialeh−^2π,−^πi^.

6

Funkcja f okre´slona jest wzorem f(x) = x³+2x²−1 dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej x. Wy- znacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które s ˛a równoległe do prostej o rów- naniu y=4x.

7

Pole trapezu równoramiennego opisanego na okr˛egu jest równe 80, a cosinus k ˛ata rozwar- tego tego trapezu jest równy−³₅. Oblicz długo´s´c ramienia tego trapezu.

8

W pierwszej urnie umieszczono 5 kul białych i 4 kule czarne, a w drugiej urnie 6 kul białych i 7 kul czarnych. Losujemy jedn ˛a kul˛e z pierwszej urny, przekładamy j ˛a do urny drugiej i dodatkowo wyjmujemy z drugiej urny jeszcze dwie kule koloru innego, ni ˙z kolor wylo- sowanej kuli. Nast˛epnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobie ´nstwo zdarzenia polegaj ˛acego na tym, ˙ze obie kule wylosowane z drugiej urny b˛ed ˛a czarne.

9

Dla jakich warto´sci parametru m jeden z pierwiastków równania(1−^3m)x²+ (3m−¹)x+ 4m² =0 jest połow ˛a drugiego pierwiastka?

10

Wyznacz równanie okr˛egu wpisanego w deltoid, którego boki s ˛a zawarte w prostych o rów- naniach x+3=0, y+2=0, x+2y=3 i y+2x =2.

11

12

Podstaw ˛a ostrosłupa ABCDS jest czworok ˛at ABCD. Przek ˛atna AC tego czworok ˛ata ma dłu- go´s´c 10√

3, a k ˛at ADC ma miar˛e 120^◦. Ka ˙zda kraw˛ed´z boczna tego ostrosłupa ma t˛e sam ˛a długo´s´c 26. Oblicz odległo´s´c ´srodka wysoko´sci tego ostrosłupa od kraw˛edzi AS.

13

Podstaw ˛a prostopadło´scianu jest prostok ˛at, w którym jeden bok jest dwa razy dłu ˙zszy od drugiego. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadło´scianu jest równe 1. Jakie powinny by´c wymiary tego prostopadło´scianu, aby jego obj˛eto´s´c była najwi˛eksza? Oblicz t˛e najwi˛ek- sz ˛a obj˛eto´s´c.

14