M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

(1)

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

ZADANIA

.

INFO

POZIOM ROZSZERZONY

6MARCA2021

C

ZAS PRACY

: 180

MINUT

(2)

Z

ADANIE

1

(1PKT)

Niesko ´nczony malej ˛acy ci ˛ag geometryczny(a_n), okre´slony dla n > 1, spełnia warunki:

a₁ = 3

2 i an+1 =

1

2an₋1dla n > 2.

Suma wszystkich wyrazów tego ci ˛agu jest równa

A) 2₃ B) 2+√2 C) 1− √ 2 2 D) 3+32 √ 2

Z

ADANIE

2

(1PKT) Liczba tg 75◦₊ 1 tg 75◦ jest równa A) 1₂ B) 16₃√3 C) 4 D) 3√₄3

Z

ADANIE

3

(1PKT)

Mamy dwie urny. W pierwszej jest 5 kul białych i 5 kul czarnych, w drugiej s ˛a 3 kule białe i 7 kul czarnych. Rzucamy symetryczn ˛a sze´scienn ˛a kostk ˛a do gry, która na ka ˙zdej ´sciance ma inn ˛a liczb˛e oczek, od jednego oczka do sze´sciu oczek. Je´sli w wyniku rzutu otrzyma-my ´sciank˛e z liczb ˛a oczek podzieln ˛a przez 3, to losujeotrzyma-my jedn ˛a kul˛e z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – losujemy jedn ˛a kul˛e z drugiej urny. Wtedy prawdopodobie ´nstwo wylosowania kuli białej jest równe

A) 13₃₀ B) 1₅ C) 11₃₀ D) 13₁₅

Z

ADANIE

4

(1PKT) Granica lim n_→+_∞ (3−2n4)3 (2−3n3)4 jest równa A) 16₂₇ B)₋243₁₂₈ C) 243₁₆ D)₋₈₁8 2

(3)

Z

ADANIE

5

(2PKT)

Suma dwóch liczb jest równa√

7, a ich ró ˙znica jest równa√

3. Wyka ˙z, ˙ze iloczyn tych liczb jest liczb ˛a całkowit ˛a.

(4)

Wyznacz dziedzin˛e funkcji f(x) = log2 x

15x−2x2−x3

x3+3

(5)

Z

ADANIE

7

(3PKT)

Reszta z dzielenia wielomianu W(x_{) =}x9₊4a2x7₊12ax2₊6x przez dwumian₍x₊1₎jest równa 2. Oblicz reszt˛e z dzielenia wielomianu W(x₎przez dwumian₍x₋1₎.

(6)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczno´sci funkcji f(x) = x_x2₋+₃1okre´slonej dla x 6=3.

(7)

Z

ADANIE

9

(3PKT)

Miara k ˛ata wewn˛etrznego n–k ˛ata foremnego jest o 3◦mniejsza od miary k ˛ata wewn˛etrznego

(n+6)– k ˛ata foremnego. Oblicz n.

(8)

Dane jest równanie kwadratowe x2

− (3m−1)x+2m2+3m−20=0 z niewiadom ˛a x.

Wy-znacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których ró ˙zne rozwi ˛azania x1i x2tego równania

istniej ˛a i spełniaj ˛a warunek

3x2₁−4x1x2+3x22 =338.

(9)

Z

ADANIE

11

(4PKT)

Rozwi ˛a˙z równanie 3 tg x sin x=3 cos x−2 √

3 sin x w przedzialeh0, 2πi.

(10)

Punkt styczno´sci okr˛egu o promieniu r wpisanego w trapez równoramienny dzieli rami˛e trapezu w stosunku 2:5. Oblicz promie ´n okr˛egu opisanego na tym trapezie.

(11)

(12)

W ostrosłupie prawidłowym trójk ˛atnym kraw˛ed´z boczna jest 3 razy dłu ˙zsza od kraw˛edzi podstawy. Oblicz cosinus k ˛ata utworzonego przez dwie s ˛asiednie ´sciany boczne.

(13)

(14)

Wierzchołki trójk ˛ata ABC maj ˛a współrz˛edne: A = (−6, 3), B = (−2,−5), C = (3, 0). Okr ˛ag o jest styczny do prostej AC, a jego ´srodek jest punktem przeci˛ecia si˛e wysoko´sci trójk ˛ata ABC. Okr ˛ag o przecina prost ˛a BC w punkcie D ₆₌B. Oblicz iloraz_|BD_|: _|DC_|.

(15)

(16)

Dany jest okr ˛ag o ´srodku S i promieniu 12. Rozpatrujemy pary okr˛egów: jeden o ´srodku S₁ i promieniu x oraz drugi o ´srodku S₂ i promieniu 3x, o których wiadomo, ˙ze spełniaj ˛a jednocze´snie nast˛epuj ˛ace warunki:

– rozwa ˙zane dwa okr˛egi s ˛a styczne zewn˛etrznie;

– obydwa rozwa ˙zane okr˛egi s ˛a styczne wewn˛etrznie do okr˛egu o ´srodku S i promieniu 12; – punkty: S, S1, S2nie le ˙z ˛a na jednej prostej.

Zapisz pole trójk ˛ata SS1S2 jako funkcj˛e zmiennej x. Wyznacz dziedzin˛e tej funkcji i

ob-licz długo´sci boków tego z rozwa ˙zanych trójk ˛atów, którego pole jest najwi˛eksze. Obob-licz to najwi˛eksze pole.

(17)