Zasada wierzchołkowa w modelowaniu metodą hipergrafów wieloodcinkowych układów prętowych o parametrach rozłożonych w sposób ciągły

Seria: M E C H A N IK A z. 115 N r kol. 1230

A ndrzej B U C H A C Z , M aciej PA SEK

K ated ra M echaniki R obotów i Maszyn R oboczych Ciężkich Politechnika Śląska

Z A S A D A W IE R Z C H O Ł K O W A W M O D E L O W A N IU M E T O D Ą H IP E R G R A F Ó W W IE L O O D C IN K O W Y C H U K Ł A D Ó W P R Ę T O W Y C H

O P A R A M E T R A C H R O Z Ł O Ż O N Y C H W S PO SÓ B C IĄ G Ł Y Streszczenie. Praca dotyczy m odelow ania hipergrafam i drgających w p rzestrzen i, w ieloodcinkowych układów prętowych o p a ra m e tra c h rozłożonych w sp o só b ciągły. O pisano sposób przyporządkow ania kraw ędziom grafu zupełnego h ip erg rafu przem ieszczeń uogólnionych i sił uogólnionych. P o k azan o zastosow anie zasady w ierzchołkow ej do grafu zupełnego trzynastow ierzchołkow ego hipergrafu m odelu p rę ta drgającego w zdłużno-giętno-skrętnie.

A P P L Y IN G T H E V E R T E X R U L E IN M O D E L L IN G O F M U L T I-L IN K B A R SY STEM S C H A R A C T E R IS E D BY C O N T IN U O U S L Y D IS P E R S E D

P A R A M E T E R S W IT H T H E A ID O F H Y P E R G R A P H M E T H O D Sum m ary. T his w ork concerns th e h yperhraph m eth o d of m odelling th e 3-dim ensional, vibrating m ulti-link m echanical system s ch aracterised by continously dispersed p aram eters. T he connection b etw een th e edges of co m p leted g rap h and the hypergraph o f generalised forces and dislocations is d escribed here. A n exam ple o f applying th e vertex rule is show n for a com pleted g ra p h o f th e hypergraph o f 13 vertexes th at m odels a lenghtwisely, flexurally and torsionally vibrating bar.

nPHHU,HII B M 0 2 E JIH P 0 B A H M H METOZIOM FHIIEPTPATOB MHOFOOTPE3KOBHX CHCTEM

C PACIIPEZIEJIEHHHMH I1AP A M ETPA M H

P e a P M e . PaS o T a KacaeTcn MOitetiHpoBatiHfi rnrteprpafaMH HpOCTpaHCTBGHHO KOJie6jIJOiąHXU,fI, MHOrOOTpe3KOBIib CTeptKHHeBHX cHCTeM c nacnpeiterieHHHMH napaMenpaMH. OnH c a n Me-roa nocraBtieHHn b cooTBTCTBe r p a H H H M notinoro rpaą>a rnneprpa^a o6o6om,eHHHX KoopztHHaT h o6o6om,eHHHX chji. IIoKa3aHo npHMenHetiHe BepuiHHitoro npHHii,Hna ztJin nomtoro rpaą>a TpHHaaij,a'i'MBepiiiHHHoro rnneprpa^a tcaic MozteJIn npozto]ibxo-H3r'H6HO-KpuTHtibiio KOMeótnoiąerocn cTep*nn.

50 A. B uchacz, M. Pasek

1. M O D E L P R Ę T A D R G A JĄ C E G O W Z D Ł U Ż N O -G IĘ T N O -S K R Ę T N IE W P O STA C I G R A F U Z U P E Ł N E G O H IP E R G R A F U

R o zp atru jąc i - ty elem en t (rys. 1), w k - odcinkowym układzie prętow ym o odcinkow o stałym przekroju, przyjm uje się jeg o m odel w postaci h ipergrafu kX ® (rys.2a) [1,2], którego g raf zupełny pok azan o na rys.2b, przyjm ując oznaczenia:

ay - dla kraw ędzi łączących w ierzchołki jX j i jXj, ajj - dla kraw ędzi łączących w ierzchołki jXj i

Rys.l. Ciągły model pręta drgający wzdłużno - giętno - skrętnie

Fig.l. A continuous model o f a lenghtwisely, flexurally and torsionally vibrating bar

W szystkie elem enty hipergrafu, przem ieszczania uogólnione, stałe m ateriało w e oraz geom etryczne p rę ta uzupełniono w skaźnikiem (i) z praw ej strony u góry sym bolu rdzeniow ego.

Rys.2. Hipergraf modelu pręta (a), i jego graf zupełny (b)

Fig-2. Hypergraph o f the bar model (a) and its completed graph (b)

52 A. B uchacz, M. Pasek Z ależność pom iędzy przem ieszczeniam i uogólnionym i a siłam i uogólnionym i dla i-tego p rę ta zapisano w postaci [3]:

V i 1,S

2

1,^6

Y Y • Y

•*11 -*12 -*16 1 1 ,1 2

Y Y • Y Y

•*21 -*22

2

2,12

Y Y ••• Y Y

•*61 -*62 -*66 -*6,12

Y Y • Y Y

■*

12,1

12,2

12,6

12,12

V i

^

l 2 S6

l

2

12

(1)

lub (2)

a przy założeniu nieosobliwości macierzy podatności Y przekształcono do postaci:

125, ' 1252

-

y B .

Y Y

-*11 -*12

Y Y Y Y

■*21 -*22 2i 2,12

*61 ^62

^66

6,12

Y Y - Y Y

•*

12,1 12,2 12,6

12,12

i i^i U 5!

(3)

lub 12s = , ₍₄₎

gdzie:

detZ.,

< ł - 1- - 12' J m l - ’12)’

d etZ - wyznacznik m acierzy sztywności,

detZjj - w yznacznik m acierzy sztywności z opuszczonym w ierszem i, o raz kolum ną j.

P o z ap isan iu sił uogólnionych działających na układ jak o sum y sił wywołanych poszczególnym i przem ieszczeniam i uogólnionymi:

12^1

2^1

2^1

2^1 12^2

2^2

2^2

1

2

2^2

12

= 2 * M ) + 2S|(lS2> + - + A W

V l 2 = 2*12 W + 2S12(li2) + - + 2S12(lS<) + - +

(

)

gdzie 2si ( i sj) o znacza i-tą siłę uogólnioną w yw ołaną j-tym przem ieszczeniem uogólnionym, poszczególne sztywności Zy w yrażają zależność pom iędzy i-tą siłą uogólnioną wywołaną j-tym p rzem ieszczeniem 2si( isj) a ty™ przem ieszczeniem :

1

6

D o k o n u jąc przyporządkow ania fs kraw ędziom grafu zupełnego par:

przem ieszczenie uogólnione, siła uogólniona, jako:

f s( a i,) = (lil> 2Sr(lSl^ >

f M P dUl 'l*J

(jSj , p /p ,.) ) dla zw rotu kraw ędzi ay od w ierzchołka pc; do 1Xj, (iJ‘ ’

2

dla zw rotu kraw ędzi ay od w ierzchołka pn do ptj,

(7)

czyli:

- kraw ędziom ajj n ad an o o rien tację od w ierzchołka ptj do w ierzchołka p 0 i p rzyporząd­

kow ano p a rę zm iennych [ p i( 2si( isi)]> gdzie 2si( isi) oznacza siłę uogólnioną 2Sj, w ywołaną przem ieszczeniem p , (rys.3a),

- kraw ędziom ay dla i*j, przyporządkow ano p arę zwrotów przeciw nych i dwie pary zm iennych w następujący sposób:

- jeśli k raw ęd ź zo rientow ana je s t od w ierzchołka pq do w ierzchołka ptj,to p rzyporząd­

kow ano jej p a rę zm iennych [jSj, 2Si( 1Sj)], gdzie 2si( isj) oznacza siłę uogólnioną 2Sj, w ywołaną przem ieszczeniem uogólnionym p j (rys.3b),

- jeśli kraw ędź zo rientow ana je s t od w ierzchołka ptj do w ierzchołka pq, to p rzyporząd­

kow ano jej p a rę zm iennych [ p ^ 2sj ( isi)]> gdzie 2sj ( i si) o znacza siłę uogólnioną 2Sy wywołaną przem ieszczeniem uogólnionym p f (rys.3b),

54 A. Buchacz, M. Pasek

Rys.3. Krawędzie a a (rys.3a) oraz a,y (rys.3b) grafu zupełnego z przyporządkowanymi param i zm iennych

Fig.3. Edges a - (Fig.3a) and a - (Fig.3b) o f completed graph with pairs o f variables

o trzym ano zorientow any i obciążony g raf zupełny hipergrafu 2X, oznaczony 2X Z i p okazany na rysunku 4. Z astosow anie zasady w ierzchołkow ej’•* [2] dla dw unastu w ierzchołków ¡Xj (i*0) tego grafu prow adzi do otrzym ania układu rów nań (5).

*)

Sum a sił uogólnionych przyporządkow anych kraw ędziom w ychądzącym z w ierzchołka ,X|

grafu 2XZ wynosi zero 5 3 2s j(isp = ® i-i

Rys.4. Zorientowany i obciążony g ra f zupełny hipergrafu 2X Fig.4. Oriented a nd loaded completed graph o f liypergraph 2X

L IT E R A T U R A

[1] B uchacz A., P asek M., W ojnarow ski J.: M odelow anie m eto d ą hipergrafów drgających, przestrzennych, wieloodcinkowych mechanicznych układów prętow ych o p aram etrach rozłożonych w sposób ciągły. ZN Pol.Śl., s.M echanika, Gliwice 1993.

[2] W ojnarowski J.: Zastosow anie grafów w analizie drgań układów m echanicznych. PWN, W arszaw a - W rocław 1981.

[3] B uchacz A.: Synteza drgających układów prętowych w ujęciu grafów i liczb stru k tu ­ ralnych. Z N Pol.Sl., s.M echanika, Gliwice 1991.

R ecenzent: Prof, dr hab. inż. Jerzy M aryniak W płynęło do R edakcji w grudniu 1993 r.

A. B uchacz, M. Pasek

A b stra c t

C onsidering i-th elem en t (F ig .l) in b ar system o f k-links, ch aracterised by a continuously constant section, we assum e th at th e m odel o f a b ar is p re se n te d in the form o f the hypergraph kX ® (Fig.2a). T h e com pleted graph o f this h ypergraph is shown on the Fig.2b.

D e p en d en ce betw een generalised dislocations and generalised forces for i-th b ar is expressed as (1). A ssum ing th a t the matrix o f flexibilities Y is a nonpeculiar one, the eq u atio n (1) may be transform ed to (3). T he generalised forces w orking at the system are w ritten dow n in the form o f sum o f forces caused by particu lar generalised dislocations (Si-

C onnecting th e edges o f th e com pleted g rap h with pairs; generalised dislocation - generalised force (7), we can obtain an o rien ted and loaded co m p leted graph of hypergraph 2X, signed as 2XZ and shown on Fig.4.

A pplying the vertex rule (2) to twelve vertexes jXj (i= 0 ) of this g rap h we obtain the eq uations (5).