Seria: B U D O W N IC T W O z. 86 N r kol. 1440
Z bigniew JU R A
M E T O D A G E N E R O W A N IA SIA TEK N IE R Ó W N O M IE R N Y C H
S tre sz c z e n ie . N a podstaw ie publikow anego algorytm u w zrostu ziaren opracow ano metodę i program kom puterow y, pozw alający na generow anie siatek w układzie płaskim . Opracowa
ny program um ożliw ia generow anie siatek i przeprow adzenie podstaw ow ych analiz topologii w ygenerow anej siatki. O pracow ana m etoda m oże znaleźć zastosow anie w autom atycznym g enerow aniu siatek M ES oraz w zagadnieniach pokrew nych.
NONREGULAR NETS GENERATING METHOD
S u m m a ry . T he presented algorithm o f seed expansion has becom e the basis o f the m ethod as w ell as the softw are w hich allow s to generate the 2D nets. T he softw are made en
ables to generate nets and m aking the basic analysis o f topology. This m ethod can be used in autom atic generation o f FE M nets and others.
1. W stęp
Z agadnienie generow ania siatek je s t często spotykane przy w ykorzystyw aniu m etody ele
m entów skończonych. R ów nież często m ożna spotkać się z problem em generow ania siatek o zróżnicow anej topologii w przypadku m odelow ania różnego rodzaju zjaw isk fizycznych.
In sp iracją do opracow ania m etody generow ania nieregularnych siatek b y ł prezentow any na konferencji "Solidification and C rystallization o f M etals" w 1992r. w S zczyrku przez W łady
sław a Stefaniaka referat opisujący algorytm m odelow ania w zrostu ziaren zakrzepłego metalu.
A lgorytm ten, przedstaw iony dla układu płaskiego, opiera się na założeniu, że w zrost ziaren rozpoczyna się rów nocześnie na całej pow ierzchni badanego obszaru w punktach zwanych zarodkam i. N astępnie następuje przyrost obszaru zakrzepłego w e w szystkich kierunkach rów nom iernie, poczynając od zarodków . M iejsca spotkania w zrastających ziaren tw orzą gra
nicę. Po całkow itym zakrzepnięciu w idoczne p o zo stają tylko granice i zarodki. O pisany algo
96 Z. Jura
rytm m o żn a w p ro sty sposób zastosow ać rów nież w zagadnieniach przestrzennych. W takim p rzypadku granice p o m ięd zy ziarnam i tw orzone są p rzez w ycinki p łaszczy zn [1],
2. O p is algorytm u
W celu w y generow ania siatki odpow iadającej granicom ziaren należy dla każdego ziarna znaleźć w szystkie sym etralne odcinków łączących zarodek ziarna z p ozostałym i zarodkam i (rys. 1).
Rys. 1. Powstaw anie granicy ziam Fig. 1. Celi boundary generating
O czyw iście, tylko sym etralne zarodków położonych najbliżej stan o w ią k raw ędzie siatki.
W celu o k reślen ia w łaściw y ch kraw ędzi w ykonyw any je s t następ u jący algorytm . D la i-tego zarodka p rzy jm o w an a je s t postać pierw otna ziarna ja k o m aksym alny o b szar (tu przyjm ow any je s t o b szar prosto k ątn y o zadanych w ym iarach). N astępnie d la w szy stk ich p o zostałych ziaren w yko n y w an a je s t operacja określania rów nania prostej sym etralnej do o dcinka łączącego an alizow ane ziarna. W następnym kro k u obcinany je s t obszar ziarna w y zn aczo n ą prostą. W y
korzystano w tym celu algorytm obcinania prezentow any w pracach [2,3]. O bszar ziarna z a p am ięty w an y je s t w postaci listy w spółrzędnych w ierzchołków . Po w yko n an iu opisanej se
kw encji dla w szy stk ich zarodków otrzym yw ana je s t lista złożona ze w spółrzędnych w ierz
chołków dla k ażd eg o z ziaren. L iczba w ierzchołków dla po szczeg ó ln y ch ziaren m oże być różna. P o n iew aż liczba operacji przycinania je s t zn aczna i rośnie w kw ad racie w sto sunku do liczby ziaren, w prow adzono w stępne określanie, czy dana p ara zarodków p o siad a w sp ó ln ą granicę. W tym celu obliczany je s t w spółczynnik określający p rzy b liżo n ą śre d n ią odległość p om iędzy ziarnam i w g zależności:
ziarno
O)
gdzie:
dśr - średnia odległość pom iędzy ziarnam i,
F t0, - p o w ierzchnia analizow anego obszaru,
n - liczba zarodków ziaren.
W przypadku gdy para zarodków je s t w odległości m niejszej niż trzykrotna średnia odle
głość, to analizow any o bszar ziarna je s t przycinany p ro stą określającą kraw ędź ziaren.
N a postaw ie opisanego algorytm u napisano program kom puterow y w ję z y k u D elphi. P ro
gram pozw ala na określanie liczby ziaren nie w iększej od 2000 oraz sposobu um ieszczania zarodków na badanej płaszczyźnie ograniczonej prostokątem . D odatkow o program podaje śred n ią oraz m ak sy m aln ą liczbę w ierzchołków ziaren. Istnieje m ożliw ość prezentow ania otrzym anych siatek w kilku w ariantach, standardow ej w postaci czarnej siatki na białym tle oraz w kilku w ariantach kolorow ania w nętrza poszczególnych ziaren.
3. P rzykładow e siatki
Poniżej zaprezentow ano otrzym ane siatki dla kilku w ariantów rozm ieszczenia zarodków . Pierw szy w arian t pokazuje siatkę reg u larn ą o układzie sześciokątnym . Pow stała ona przy uło
żeniu ziaren w rzędach, z których każde następne je s t przesunięte w poziom ie o stałą w artość.
Ś rednia liczba w ierzchołków dla takiego w ariantu w ynosi oczyw iście 6 (z pom inięciem ziaren ułożonych na brzeg u badanego obszaru). P rzykładow y obraz siatki pokazano na rys. 2.
Rys. 2. Siatka regularna sześciokątna Fig. 2. Regular hexagonal net
98 Z. Jura
Interesujące w yniki uzyskuje się dla siatek generow anych dla losow ego rozkładu zarod
ków. W takim przypadku uzyskuje się obraz zbliżony do zgładu m etalograficznego, ogląda
nego p od m ikroskopem . Interesujący je s t fakt, że przy losow ym rozkładzie otrzym uje się śre d n ią liczb ę w ierzchołków ziaren ró w n ą w przybliżeniu 6. Z w iększanie ogólnej liczby nie p ow oduje zm ian y tej w artości. N atom iast m aksym alna liczba w ierzchołków m oże dochodzić naw et do 12. M a to m iejsce, gdy w okół jed n eg o z zarodków zgrom adzi się odpow iednia licz
b a innych zarodków w m niej w ięcej tej sam ej odległości. N a rys. 3 i 4 p okazano siatkę uzy
sk an ą odpow iednio dla 10 i 1000 zarodków .
Rys. 3. Siatka nieregularna dla 10 zarodków Fig. 3. N onregular net for 10 seed
Rys. 4. Siatka nieregularna dla 1000 zarodków Fig. 4. N onregular net for 1000 seed
W prow adzono rów nież m ożliw ość generow ania rozkładu zarodków w postaci spirali z m ożliw ością ułożenia kolejnych zarodków w sposób regularny i nieregularny. Szczególnie interesujące okazały się siatki, które otrzym ano dla układu spiralnego z ro sn ą c ą odległością pom iędzy kolejnym i zarodkam i. N a rys. 5, 6 i 7 pokazano przykładow e siatki.
Rys. 5. Spiralna siatka nieregularna dla 200 zarodków Fig. 5. Nonregular spiral net for 200 seed
100 Z. Jura
Rys. 6. Spiralna siatka nieregularna dla 200 zarodków Fig. 6. N onregular spiral net for 200 seed
Rys. 7. Spiralna siatka regularna dla 150 zarodków Fig. 7. Regular spiral net for 150 seed
Rys. 8. Spiralna siatka regularna z sym etrią dla 150 zarodków Fig. 8. Regular and symmetric spiral net for 150 seed
4. Podsum ow anie
O trzym ane siatki o b razu ją m ożliw ości zastosow anej m etody. W prow adzając inne sposoby generow ania rozkładu zarodków m ożliw e je s t otrzym anie siatek o niezw ykle rozbudowanej topologii. M ożliw e je s t w ykorzystanie opisanej m etody w architekturze, szczególnie do fo r
m ow ania elem entów pow ierzchniow ych oraz w e w zornictw ie. Przy zastosow aniu odpow ied
niego algorytm u generow ania rozkładu zarodków istnieje m ożliw ość generow ania siatek opi
sujących zadany kształt.
Program generujący siatki, p racujący w system ie W indow s 95/98, m ożna uzyskać b ezp ła t
nie po skontaktow aniu się z autorem .
102 Z. Jura
L IT E R A T U R A
1. B ojarski Z ., G igla M ., Stróż K .,.Surow iec M: K rystalografia. W ydaw nictw o N aukow e PW N , W arszaw a 1996
2. A ngell I.O.: W prow adzenie do grafiki kom puterow ej, W N T , W arszaw a 1988 3. Z abrodzki J. (praca zbiorow a): G rafika kom puterow a. W N T, W a rs z a w a l9 9 4
A b s tr a c t
T he nets give us the look o f the m ethod possibilities. Including o th er m ethods o f gen erat
ing seeds it is possible to obtain the nets w ith very extended topology. T his m ethod can be successfully u sed in architecture, particularly in form ing o f surface elem ents as w ell as in design.. W hile using the p roper algorithm o f seed generation there is the possibility to g en er
ate nets o f determ ining shapes.
T he nets generation softw are w orks in W indow s 95/98 can be available w ithout no costs from the author.
