14 październik 2005

14 pa¹dziernika 2005

1. Którez poni»szy hfunk ji

f

: R

2

_{→ R}

s¡ metrykamiw

R

: (a)

f

(x, y) = (x − y)

2

; (b)

f

(x, y) =

p|x − y|

; ( )

f

(x, y) = |x

2

_{− y}

2

_|

; (d)

f

(x, y) = |x − 2y|

; (e)

f

(x, y) =

|x−y|

1+|x−y|

.

2. Przyjmijmy, »e

d

(x, y)

jest metryk¡w zbiorze

X

. Czy nastpuj¡ e wzory okre±laj¡ równie» metrykiw zbiorze

X

: (a)

d

1

(x, y) =

pd(x, y)

; (b)

d

2

(x, y) = d(x, y) + 1

; ( )

d

3

(x, y) =

1

1+d(x,y)

; (d)

d

4

(x, y) =

d(x,y)

1+d(x,y)

;

(e)

d

5

(x, y) = min{1, d(x, y)}

.

3. Nie h

f

: R → R

bdzie funk j¡ró»nowarto± iow¡. Pokaza¢, »e wzór

d(x, y) = |f (x) − f (y)|

deniujemetryk w zbiorze

R

.

4. Wyzna zy¢ odlegªo±¢pomidzy punktami

(0, 1)

i

(1, 0)

w metry e: (a) euklidesowej;

(b) taksówkowej;

( ) rze e.

5. Wyzna zy¢ ±redni  zbioru

[0, 1] × [0, 1] ⊂ R

2

wmetry e: (a) euklidesowej; (b) taksówkowej; ( ) rze e. 6. W przestrzeni

R

2

z metryk¡euklidesow¡wyzna zy¢ wntrze zbiorów:

(a)

S

n∈N

A

n

,gdzie

A

n

=

hx, yi | n

2

_{≤ x}

2

_{+ y}

2

_{≤ n}

2

₊

1

n

2

+ 2

; (b)

f

−1

_(A)

,gdzie

f

: R

2

_{→ R}

2

jestdanawzorem

f

(x, y) = hx−y, x+yi

i

A

= [0, 1] × [−1, 1]

; ( )

f

(A)

,gdzie

f

: R

2

_{→ R}

2

7. Na pªasz zy¹nie

R

2

dany jest i¡g wspóª±rodkowy h okrgów, który h promienie speªniaj¡

warunek

r

₁

< r

₂

<

· · · < r

n

<

· · · .

Dla jaki h i¡gów

(r

n

)

suma mnogo± iowaty h okrgówjest zbioremdomknitymw

R

2

?

8. Znale¹¢ domkni ie (w przestrzeni

R

) zbioru wszystki h li zb posta i

ln(r

2

_{+ 1)}

, gdzie

r

przebiega wszystkie li zby wymierne.

9. Znale¹¢domkni ie(wprzestrzeni

R

)zbioruwszystki hli zbposta i

sin(r)

,gdzie

r

przebiega wszystkie li zby wymierne.

10. Sprawdzi¢, »e zbiór

A

=



x >

0 | sin

 1

x



= 0



jestzbioremdomknitymi ograni zonym wzbiorzedodatni hli zb rze zywisty h. Czyjest

domknity w zbiorzenieujemny hli zb rze zywisty h?

11. Udowodni¢, »e kula

K

(x, r)

w przestrzeni metry znej

X

jest zbiorem otwartym w tej prze-strzeni.

12. Sprawdzi¢, »e w dowolnej przestrzeni metry znejsuma sko« zonej ilo± izbiorów

ograni zo-ny h jest ograni zona.

13. Udowodni¢,»e wdowolnejprzestrzenimetry znejsumadowolnejrodzinyzbiorówotwarty h

jestzbiorem otwartym.

14. Udowodni¢,»ewdowolnejprzestrzenimetry znejprzekrójdowolnejsko« zonejrodziny

zbio-rówotwarty hjestzbioremotwartym. Poda¢przykªadwskazuj¡ y,»ezaªo»enieosko« zonej

li zno± irodziny zbiorów jestistotne.

15. Udowodni¢, »e w dowolnej przestrzeni metry znej przekrój dowolnej rodziny zbiorów

do-mknity h jestzbiorem domknitym.

16. Nie h

f

: X → R

bdzie funk j¡ i¡gª¡,

Z(f ) = {x | f (x) = 0}

. Pokaza¢, »e

Z

(f )

jest domknity.

17. W przestrzeni

R

2

z metryk¡euklidesow¡wyzna zy¢ punkty skupienia zbiorów:

(a)

h

1

n

, n

i | n ∈ N

; (b)

n

hx, yi | x = cos



1

_y

o

; ( )

h

1

n

,

(−1)

n

i | n ∈ N

; (d)

h1 +

1

n

,

2 · (−1)

n

−

1

_n

i | n ∈ N

; (e)

S

n∈N

C

n

, gdzie

C

n

= {hx, yi | y = nx & x

2

_{+ y}

2

_{= 1}}

. (f)

S

n∈N

C

n

, gdzie

C

n

=

hx, yi | y =

1

n

sin (x)

.

18. Udowodni¢, »e zbiór

K

= {hx

1

, x

2

, . . . , x

n

i ∈ R

n

_|

P

n

i=1

|x

i

| ≤ 1}

jest zbiorem zwartym w

R

n

.

19. Nie h

f

: R

2

_{→ R}

2

bdziefunk j¡okre±lon¡wzorem

f

(x, y) = hx + 2y, x − y + 1i

. Wyzna zy¢ punkty skupieniazbioru

f

(A)

, gdzie

A

= {1} ×



₁

n

| n ∈ N

20. Nie h

f

: R

2

_{→ R}

2

bdziefunk j¡okre±lon¡wzorem

f

(x, y) = hx − 2y, x + y − 1i

. Wyzna zy¢ punkty skupieniazbioru

f

−1

_(A)

, gdzie

A

= {1} ×



₁

n

| n ∈ N

(w metry e euklidesowej).

21. Udowodni¢, »e w dowolnej przestrzeni metry znej suma dowolnej sko« zonej rodziny

zbio-rów domknity h jest zbiorem domknitym. Poda¢ przykªad wskazuj¡ y, »e zaªo»enie o

sko« zonej li zno± irodziny zbiorówjest istotne.

22. Wyzna zy¢ punkty skupienia zbioru:

(a)

n +

1

k

| n, k ∈ N

; (b)

(−1)

n

+

1

_k

| n, k ∈ N

.

23. Udowodni¢, »e zbiór rozwi¡za« nierówno± i

sin

2

_{(xy) + x − 2y < 0}

jest zbioremotwartym w

R

2

.

24. Pokaza¢, »e w przestrzeni metry znej z metryk¡ dyskretn¡ »aden zbiór nie ma punktów

skupienia.

25. Skonstruowa¢ograni zonyzbiórli zbrze zywisty h posiadaj¡ ydokªadnietrzypunkty

sku-pienia.

26. Czyka»dy punkt zbioru otwartego

A

⊂ R

2

jestjego punktem skupienia?

27. Czyka»dy punkt zbioru domknitego

A

⊂ R

2

jestjego punktem skupienia?

28. Dla jaki h par

a, b

∈ R

zbiór

{hx, yi | ax

2

_{+ by}

2

_{= 1}}

jestzwartym podzbiorem

R

2

?

29. Pokaza¢, »e punkt

x

jestpunktemskupieniazbioru

A

wtedyi tylkowtedy, gdywdowolnym oto zeniupunktu

x

znajduje si niesko« zenie wiele punktów ze zbioru

A

.

30. Pokaza¢, »e je±li zbiór

A

⊂ R

jest ograni zony z góry oraz je±li w

A

nie ma elementu maksymalnego, to

sup A

jestpunktem skupienia

A

.

31. Skonstruowa¢ zwarty podzbiór li zb rze zywisty h, którego zbiór punktów skupienia jest

mo y

ℵ

0

.

32. (*) Nie h

l

2

ozna za zbiór wszystki h i¡gów li zb rze zywisty h

(x

n

)

taki h, »e szereg

P

∞

n=1

x

2

n

jestzbie»ny. Pokaza¢,»eodwzorowanie

d

: l

2

×l

2

→ R

+

danewzorem

d((x

n

), (y

n

)) =

pP

∞

i=1

(x

i

− y

i

)

2

okre±la metryk w

l

2

. Czy w tej przestrzeni obowi¡zuje zbie»no±¢ po wspóªrzdny h?

33. (*)Pokaza¢, »e metryka okre±lona na zbiorze

X

jest funk j¡ i¡gª¡(jako funk ja z

X

× X

w

R

).

Wskazówka: sprawdzi¢,»e metryka speªnia warunek Lips hitza.

34. (*)Nie h

X

bdzieprzestrzeni¡metry zn¡. Zbiór

A

⊂ X

nazywamy zbioremtypu

G

δ

,je»eli istnieje i¡gzbiorówotwarty h (w

X

)

U

1

, U

2

, . . .

taki,»e

A

= U

1

∩ U

2

∩ · · · .

Pokaza¢, »e

(a) Przekrój przeli zalnej ilo± izbiorów typu

G

δ

jest zbioremtypu

G

δ

.

35. (*)Nie h

X

bdzieprzestrzeni¡metry zn¡. Zbiór

B

⊂ X

nazywamyzbioremtypu

F

σ

,je»eli istnieje i¡gzbiorówdomknity h (w

X

)

F

1

, F

2

, . . .

taki,»e

B

= F

1

∪ F

2

∪ · · · .

Pokaza¢, »e

(a) Suma mnogo± iowaprzeli zalnej ilo± izbiorówtypu

F

σ

jest zbioremtypu

F

σ

. (b) Przekrój sko« zonej ilo± izbiorówtypu

F

σ

jestzbiorem typu

F

σ

.

36. (*) Pokaza¢, »e funk ja

f

: [0, 1] → [0, 1]

jest i¡gªawtedy i tylko wtedy, gdy wykres funk- ji

f

jest zbiorem domknitym w przestrzeni produktowej

[0, 1] × [0, 1]

. Czy analogi zne twierdzenie jest prawdziwedla funk ji

f

: R → R

?

37. (*) Nie h

E

bdzie podzbiorem domknitym od inka

[0, 1]

i nie h

f

: E → [0, 1]

bdzie funk j¡ i¡gª¡. Pokaza¢, »e istnieje funk ja i¡gªa

g

: [0, 1] → [0, 1]

taka,»e

g ↾ E

= f

.