Physikalische Formelsammlung : mit 65 Figuren

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Sammlung Göschen

Physikalische

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ßö j Formelsammlung

von

Prof. G. Mahler

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Sammlung Göschen

80 M

6 .

y.

üe^eicfynis öcr erfcf)tenenen Bänöe.

A d i t r b n u - u . p f l a n i c u b a u l c h r r non Dr. p a u l Rippert in B erlin u. (Ernft

£angenbed in Bochum.- R r. 232.

A b u ltib . ühcorct. pbiiiif I.tTeil: tRe*

d)anit u. Htuftif. Don D r. ffiuft. Säger, profeffor an ber U ntnerfität IDien.

IRit 19 flbbilbungen. tlr. 76.

— Itlu ltk a ltfriic , n. Dr. K art £.Sci)ä{er, Dojent an ber U nioerfität Berlin, m it 35 Abbiib. ttr . 21.

A lg e b r a . Arithm etit u. Algebra o. Dr.

fl. Schubert, p ro f.a . b. ffielehrienfd)ule b. 3olianneums in iiam burg. tt r . 47.

A lp e it, D ie, non D r. Rob. Sieger, pro*

feffor an ber ttn in er(ität unb an ber ifpo rtatab em ie bes t .1. ifanbelsmu*

feums in tüten, m it 19 Hbbilb. u.

1 Karte, ttr . 129.

A l t e r t ü m e r . D ie b e ttifd ie it, n. Dr.

S ran s 5ui)je, D ireftor b. Ttäbt. iTlufe*

um s in Braunfditoeig. tllit 70 Abb.

ttr . 124.

A ltc v ta m o ln m b c , (D ritd iifd ie , non P ro f. Dr. Rid). Rtaifch, neubearbeitet non Reftor D r. S ran3 Poljlhammet.

m it 9 Dolibilbern. ttr . 16.

— K ö tn ifd ic , non D r. £eo Blöd) in IDien. m it 8 DoIIb. Hr. 45.

A tta lq fe , ftrri|i» .-C b e w ., non D r. ffi.

£unge, Prof. a. b. (tibgen. poipted)n.

Schule i.3ürid|. R itt 16 Abb. ttr . 195.

A n a li|lt» , £ )o l|c rc , I: Differential.

red|nung. Don D r. S rb r. 3unter, Prof. am K arisgpm nafium in Stutt.

g art, m it 68 Sig. ttr . 87.

— — —‘ R epetitorium unb Aufgaben*

fammlung 3. Differentialrechnung n.

D r. S'ricbr. Runter, Pro f. am Karls»

gnmtiajium in S tu ttg a rt m it 46 Sig.

R r. 146.

I I : 3ntegratred)nung. Don Dr.

Sricbr. 3unter, p ro f. am Karisgpm»

naiium in S tu ttg art, m it 89 Sig.

R r. 88.

--- Repetitorium unb Aufgaben»

fammlung 3u r 3ntegralred)nung nou D r. Sriebr. S a n ie r Prof. am Karls*

gpmnafium in S tuttgart, m it 50 Sig.

R r. 147.

J U taltiltn . l i i e b c r e , non Prof. Dr.

Benebitt Sporer in • (Ehingen. m it 5 S ig . R r. 53.

A r b e i t e r f r a g e . D ie g c tn c rb lid je , non IDerner Som bart, profeffor au ber Unioerfität B reslau. R r. 209.

A rb e ite ru c rrid je r w ttg . D ie, non Dr.

Alfreb m a n e s . in Berlin Rr. 267.

A r i t h m e t i k u t t b A lg e b r a , nou Dr.

ernt. Schubert, profeffor an ber eiebrtenfdiule bes 3 ohanneums in Ifam burg. R r. 47.

Beifpieifammlung 3u r Arithmeti!

u. Algebra n. D r. tferm ann Schubert, Prof. an ber ffieiehrtenfdiule bes 30.

ijanneums in ifam burg. R r. 48.

A g r o n o m ie . ®röfj«, Betnegung unb (Entfernung ber ijim m elsiörper Bon A .5- m öbius.neubearb. n. Dr. ID. 5.

tDislicenus, Prof. a. b. Uninerf. Straff*

bürg. R tit3 6 A b b .u .lS tern f. R r .l l . A ß r o p lm l th . Die Befd|affenheit ber

ifimmelsförper non D r. IDalter 5- tDislicenus, p ro f. an ber Unineriität S trasb u rg . IRit 11 Abbiib. R r. 91.

A u f g a b e n r a m n tlg . j. A n a lp t. 65 co- m e t r i e b . O b r m n. (D. üb. Biirflen, Prof. am Realgpmnafium in Schm.»

ffimiinb. m i t 32 Siguren. R r. 256.

— P h u b b a lir d ie , n. ffi. IRahler, prof.

ber titathem . u. Phbfit am ffipmnaf.

in Ulm. m it b. Refuitaten. R r.243.

A u f r a b e n tm iir f e non fflberftubienrat Dr. £. tD. S traub, Rettor bes (Eber*

harb*£ubtnigs*ffit)mnafiums in Stutt»

gart. R r. 17.

g a u h u u g , D ie, b e * A b c n b la u b c o non D r. K. Schäfer, Affiftent am ffietnerbemufeum in Bremen, m it . 22 Abbiib. R r. 74.

ö e t v i e b o l u a f t , O ie iniedm tiiR igfte, non Sriebrid) Barth, fflberingenieur in R ürnberg. 1. ü e i l : Die mit Dampf betriebenen Rtotoren nebft 22 Tabellen über ihre Anfchaffungs»

unb Betriebstoften. m it 14 Abbii»

bungen. H r. 224.

Sammlung Göschen

80}£>f.

6 . J. 63rcb en’rcbe Verlag!, H andlung, R eip zig .

D c t r i e b e k r a f t , D ie iiu ed im ä ffig lle , non Sriebrid) Bartl), (Dberhtgenieur in Rürnberg. 2. Heil: B etrie b en e Iliotorett nebft 22 ¡Eabellen über ihre flnfd)affungs. unb Betriebstoften.

tltit 29 flbbtibungen. Ilr. 225.

Ö e ro c g u itg o rp ic le oon Dr. £ . Kohl»

raufd), profeffor am Kgl. Kaifer»

tDiIheims»ffii)mnafium 3U ifannooer.

m it 14 Hbbilb. ti r . 96.

D i o 'J g i r b e r p f l a w c i t oon D r. ID.

m igüia, P rof. an ber Sorftatabemie

«fenad). m it 50 Hbbilb. H r. 127.

D io lo g ie b e r ® ie re 1: (Entftehung u.

IDeiterbilb. b. tEienoelt, Bejiehungen 3ur organifchen H atur D. Dr. fjeinr.

Sim roth, profeffor a. b. Unioerfität

£eip3ig. m it 33 Hbbilb. Ur. 131.

U : Be3iehungen ber ttiere 3ur organ. H atu r d. D r. Ijeinr. Simroth.

P rof. an ber Unioerfität £eip3ig.

m it 35 flbbitb. Ur. 132.

g le ic h e re i. Reptil »3nbuftrie III:

IDäfdierel, Bleicherei, Sürberei unb ihre tjilfsjtoffc Don RHIhelm Rtafjot,

£ehrer an berpreuf). hö h .5 ad)fchule f. tteptiiinbuftrie in Krefelb. m it 28 Sig- R t. 186.

f t u d t f ü h r u n g . £ehrgang bereinfad)en u. bopp. Buchhaltung oon Kob. Stern,

®berlei)rer ber fflff. Ifanbelslehranft.

u.Do3.b.ljanbeIshochfd)ule3. £eip3ig.

m it Dielen Sorm uiaren. Ur. 115.

g u b b h n oon profeffor D r. (Ebmunb ifarbt). Ur. 17-1.

D u r g r t ih u n b e , A ü riff b e r . oon I)of=

r a t D r.ffltto P ip er inRIünchen. m it 30 Hbbilb. Ur. 110.

C h e m ie , A llg e m e in e u n b p lp iü lm - tü d ic . D on Dr. m a p Huboiphi, D03.

a. b. £ed)n. ifochfdiule in Darmftabt.

m it 22 jigurett. Ur. 71.

— A n a io tifd je . oon Dr. 3ohamtes F;oppe. I : ©heorie unb ffiang ber flnaipfe. U r. 247.

I I : Reaftion ber m etaüoibe unb m etaiie. R r.248.

— A n o rg o n ilriie , oon D r. 3of. Klein in m annheim . U r. 87.

fiehe aud): m etaiie. — metaiioibe.

C h e m ie , (>5eDljid ite b e r, oon Dr.

Ifugo Bauer, flffiftent am d)em.

£aboratorium ber Kgi. ¡Eechnifchen hod)fd)uie Stuttgart. I: Bon ben üiteften 3eiten bis 3ur Derbrennungs»

theorie oon £aüoifier. Rr.264.

— bei- g o h te n f to f f o e r b in b u n g e n oon Dr. Ifugo Bauer, flffiftent am ehem. £aboratorium ber Kgl. üedjn.

ijodijchuie S tu ttg a r t I. I I : flii»

phatifcbe Derbinbungen. 2 Reile.

R r. 101. 102.

I I I : Karbocnfiifd)eDerbinbungen.

R r. 198.

IV : BeterocnfIifd)e Derbinbungen.

R r. 194.

— (jlrganifidje, oon Dr. 3of. Klein in Riannheim. R r. 38.

— D h o b o lo g irriic , oon D r. med. fl.

teg ah n in Berlin. I : flffimiiation.

m it 2 Rafein. R r. 240.

I I : Diffimilation. m it 2 Rafeln.

R r. 211.

C h e m ifd j - jSechnifdie A n a to le oon Dr. ffi. £unge, profeffor an ber <£ib»

genöff. poIi)ted)n. Sd)ute in 3ürid).

m it 16 Hbbilb. Rr. 195.

D am pflicIT el, D ie. KurjgefagtesSehr«

bud) m it Betfpieien fü r bas Seibft»

ftubium u. b. praftifd)en ffiebraud) oon Sriebrid) Barth, fflberingenieur in R ürnberg. m it 67 Siguren. R r. 9.

D n m p fm a rd )in e , D ie. Kur3gefaf|tes

£ehrbud) m. Beifpielen für bas Seibft»

ftubium unb ben praft. ffiebraud) oon Sriebrid) B arth, ffiberingenieur in Rürnberg. m it 48 Siguren. R r. 8.

D a m p f t u r b i n e n , D ie. ihre IDir»

fungsroeife unb K onftruttton oon 3n»

genieur Ijerm ann QHlba in Bremen.

Rlit 89 flbbiibungen. R r. 274.

D id )tu itg e n a . m ittc th o d ib e u tid ic r f r u l j l r i t . 3 n flustoahl m. «Einltg. u.

IDörterb. herausgegeb. 0. Dr. {ferm.

Sanken, D ireltor ber Königin £uife.

Schule in Königsberg i. p r. Rr. 137.

D ie tr id te p e tt. K ubrunu. Dietrichepen, m it (Einleitung unb IDörterbud) oon Dr. ®. £. 3 iric3et, profeffor an ber U nioerfität m ünfter. Rr.10.

Sammlung Göschen

80

6 . y. 6örchcnTche V erla g sh a n d lu n g , t e i p z i g . D if F c r e n ti n lr rd jn n n g oon D r. Srbr.

3unler, Prof. o. K arisggm nafium in S tuttgart. Ittit 68 Sig. R r. 87.

— Repetitorium u. flufgabenfammlung 3. Differentialrechnung oon Dr. Srbr.

3unfer, profeffor am Karlsgpm»

nafium in S tu ttg art. R itt 46 Sig.

R r. 146.

C b b a l ic b r o m it (Brammatif, Über»

fetjung unb (Erläuterungen oon Dr.

Eüilheim Ranifd), ffigmnafial»®ber»

lehrer in fflsnabrüd. R r. 171.

C ir e u h iittc n ltu n b e oon fl. Kraujf, bipL Ejütteningen. I. Reil: D as Roh»

eifen. IRit 17 Sig. u. 4Rafeln. R r. 152.

- - I I .R e i l : Das Schmiebcifen. IRit 25 Siguren unb 5 Rafein. R r. 153.

C -Ie h tv iiitä t. Rheoret-Phtlfif III.R eil:

(EIeftri3itä t u.Rtagnetismus. Don Dr.

ffiuft. 3äg er, profeffor a. b. Unioerf.

IDien. IRit 33 flbbilbgn. R r. 78.

(C lelitro riicm ic oon Dr.ifetnr.Danneel, PriDatbo3ent in B reslau. 1. Reti:

iEi)eoretifd)e (Eleftrodiemie unb ihre phpfifalifd)»d)emifd)en ffirunbiagen.

IRit 18 Siguren. Rr. 252.

(ß le h tr o te r iin ilt. (Einführung in bie mobeme ©leid)» unb H)ed)feI[trom»

t,ed)ni( oon 3 - iferrmann, profeffor ber <EIettroted)mf an ber Kgt. Red)n.

ifod)fd)uIe S tu ttg art. I : Die phgfi»

falifchen ffirunbiagen. IRit 47 Sig.

R r. 196.

— I I : Die ffileidiftromtedjnif. IRit 74 Siguren. R r. 197.

— I I I : Die H)ed)feIftromte(hntf. Rtit 109 Siguren. R r. 198.

© p tg o ite n , Dir» bei» liöftT diciiC po».

flusroahl au s beutfd)en Dichtungen bes 13. 3ahri)unberts »on D r.D iflor 3 u n t, flltu ariu s ber Kaiferiidjen fltabemie öer IDtffetifd)aflen in IDien.

R r. 289.

(C rb m u g n c tio n u ta , C v b r tro m , J lo - l a r l i d i t non D r. fl. Rippolbt fr„

Rtitgiicb bes König!, preuffifdjen IReteoroIogifd|en 3nftituts 3U Pots»

bam. IRit 14 flbbilb. unb 3 Rafein.

R r. 175.

C t h i h non profeffor D r. Rt)omas Hd)elis in Bremen. R r.9 0 . ( f f r k m iio m s tlo r a » o n D e ttiid ila n b

3um Beftimmen ber häufigeren in Deutfd)Ianb n>ilbn)ad)fenbenpfian3en uon Dr. ID. Rtigula, profeffor an ber Sorftafabemie (Eifenad). l.R eii.

IRit 50 flbbiibungen. R r. 268.

2. Reil. IRit 50 flbbiibungen.

R r. 269.

J f ü r b c r r i . Reptil=3nbuftrie III:

IDäfdierei, BIeid)erei, S ärberei u. ihre Ifilfsftoffev. Dr. tDilh- IRaffot, Cehrer a. b. preuR. höh- Sadjf d)uief. Reptilin»

buftriei. Krefelb. R t.285ig. Rr.186.

ie » n r p « d i n > e r e n , D o » , »on Dr.

Cubroig Reliftab in Berlin. IRit 47 S iguren unb 1 Rafei. R r. 155.

$ e r tig ltc it» lc h » o »on ü>. Bauber, DipIom»3ngenieur. IRit 3ahireid)en Siguren. R r. 288.

j f i i i f a b r l k a t i o i t . Reptil»3nbuftrie II : IDeberei, IDirlerei, pofamentiererei, Spieen» unb ffiarbinenfabrifation unb S il3fabrifation pon p rof. IRap ffiürtler, Direitor ber Königl. Red)n.

3cntraifleIIe fü r Reptil»3nbuftrie 3U Berlin. IRit 27 Sig- U r - 185.

fim tttin n lT e iir d ta ft ». präfibent Dr.

R. oan ber Borgljt in Berlin. R r. 148.

ä-ifriicrci u n b f i r d ) i « d |t 0. D r. K arl (Edftein, p ro f. an ber Sorftatabemie (Ebersroalbe, flbteilungsbirigent bei ber Bauptftation bes iorftlidK-ii Der»

fudjstoefens. R r. 159.

f o i- m c ir a m m lu iitt, H la ilrc m a t., u.

Repetitorium b.IRathematif, enih-bie roid)tigften Sotm eln unb CehrfäRe b.

flrithm etif, Algebra, algebraifdien flnalpfis, ebenen ffieometrie, Stereo»

metrie, ebenen u. fpt)ürifd)en Rrigo»

nometrie, mail), ffieographte, analpt, ffieometrie b. (Ebene u. b. Raumes, b.

Different.» u.3ntegralred)n. n. ffl. Ri).

Bürllen, Prof. am Kgl. Kealggmn. in Sd)io.=ffimüub. IRit 18 Sig- Itr. 51.

— pi)n r> l:alil d|C, non ffi. IRahier, prof.

am ffipmnafium in Ulm. Rr. 136.

jfortfphuna auf brr 4. yorrahfeit*.

Sam m lung Göschen

von

G. Mahler

P ro fesso r d e r M athem atik u n d d e r P h y sik am G ym nasium in Ulm

M it 65 F ig u re n

D ritte, verbesserte Auflage

L e i p z i g

G. J. G ö s c h e n ’s c h e V e r l a g s h a n d l u n g 1906

A l l e R e c h t e , i n s b e s o n d e r e d a s Ü b e r s e t z u n g s r e c h t , v o n d e r V e r l a g s h a n d l u n g V o r b e h a l t e n .

S pam ersche B uchdruckerei, L eipzig-R .

Inhaltsverzeichnis.

I. Abschnitt. M e c h a n ik .

S eite

§ 1. A llgem eine S ä tz e ; G r u n d g e s e t z e ... 6

§ 2. Die gleichförm ige, g erad lin ig e Bew egung . . . . 7

§ 3. D as P ara lle lo g ra m m d e r B e w e g u n g e n ...8

§ 4. Die b esch leu n ig te B e w e g u n g ... 10

§ 5. D er F a l l . . . . 12

§ 6. D er W u r f ... 14

§ 7. Die Z e n t r a l b e w e g u n g ...18

§ 8. Die h arm o n isch e B e w e g u n g ... 20

§ 9. D as m a th e m a tisc h e P e n d e l ... 22

§ 10. M asse; K r a f t ...23

§ 11. D as M a ß s y s t e m ...26

§ 12. Die D i m e n s i o n ... 28

§ 13. Die G rundgesetze des G leichgew ichtes s ta rr e r K örper . 29 § 14. D as P a ra lle lo g ra m m d e r K räfte . . . . . 29

§ 15. Die Z usam m ensetzung zw eier K räfte in d e r E bene m it versch ied e n en A ngriffspunkten . . . . 32

§ 16. D reh k rä fte; d as M o m e n t...34

§ 17. S c h w e rp u n k t. 38 § 18. B estim m ung d es S c h w e r p u n k t e s ...39

§ 19. Die einfachen M aschinen . . . . . . . 41

§ 20. D as T r ä g h e i t s m o m e n t ... 47

§ 21. Gesetze d e r dreh en d en B e w e g u n g ... 51

§ 22. A n w e n d u n g e n ...52

§ 23. H indernisse d e r B e w e g u n g ... 55

§ 24. Die allg em ein e G r a v i t a t i o n ...57

§ 25. E la stiz itä t und F e s t i g k e i t ... 58

§ 26. D er S t o ß ...60

§ 27. Z u s a m m e n d r ü c k b a r k e i t ... 63

§ 28. Die F o rtp flan zu n g d e s D rucks. H y d ra u lisc h e P re sse 64 § 29. D er Boden- u n d S e i t e n d r u c k ...65

§ 30. D as A rch im ed isch e P r i n z i p ...65

§ 31. D as spezifische G ew icht. Die D i c h t e ...67

§ 32. B e stim m u n g d e r re la tiv e n D i c h t e ...68

§ 33. A u sströ m e n ein er F lü ss ig k e it u n te r dem Einfluß d er S c h w e r e ... 71

§ 34. G esetz von B o y l e ...73

§ 35. R e la tiv e D i c h t e ... 74

§ 36. P rin z ip d es A rch im ed es. W ä g u n g ... 75

§ 37. L u f t d r u c k ...76

§ 38. Y erdünnungs- u n d V erd ich tu n g sp u m p en . . . . 77

§ 39. A u s f l u ß ...79

§ 40. D alto n s G e s e t z ...81

I I . A b s c h n itt. A k u s t i k . § 41. S chw ingungszahl, T onleiter, S tim m u n g . . . . 82

§ 42. T o n q u e l l e n ... 87

§ 43. A u sb reitu n g u n d S tä rk e d es S ch alles; Z urückw erfung . 88 § 44. G eschw indigkeit d es S c h a l l e s ... 89

§ 45. D as P rin z ip von D o p p le r ...92

I I I . A b s c h n itt. O p t i k . § 46. S tä rk e d e r B e l e u c h t u n g ...94

§ 47. D ie G eschw indigkeit des L i c h t e s ...95

§ 48. R eflexion des L ic h te s a n ebenen F lä c h e n . . . . 97

§ 49. Kugel- o d er sp h ä risc h e S p i e g e l ... 100

§ 50. B rech u n g des L i c h t e s ... 106

§ 51. D as P r i s m a ...110

§ 52. B rech u n g a n sp h ä risc h e n B egrenzungsflächen . . 112

§ 53. B rech u n g d u rc h L i n s e n ...114

§ 54. Die L u p e ...123

§ 55. D as zu sam m en g esetzte M i k r o s k o p ... 124

§ 56. D as F e r n r o h r ... 125

§ 57. D er R e g e n b o g e n ...• 128

§ 57a. A c h r o m a s i e ... 128

4: Inhaltsverzeichnis.

IV. Abschnitt. K a lo r ik .

Seite

§ 58. D as T h e r m o m e t e r ... 130

§ 59. A usdehnung d e r K ö r p e r ...130

§ 60. Ä n d eru n g des A g g re g a tz u s ta n d e s... 135

§ 6 1 . K alo rim etrie; spezifische W ä r m e ... 137

§ 62. M echanische W ä r m e t h e o r i e ... 110

V. Abschnitt. M a g n e tik . § 63. D as G esetz von Coulom b; die m ag n etisc h e Menge . . 142

§ 64. P o te n tia l; K r a f t l i n i e n ...144

§ 65. F e ld stä rk e eines M a g n e t s t a b e s ... 147

§ 66. L am ella rm ag n ete (m agnetische B lätter) . . . . 148

§ 67. E rd m a g n e tis m u s ... 149

V I. Abschnitt. E l e k t r i k . § 68. G esetz von C o u lo m b ...151

§ 69. P o te n tia l; K r a f t l i n i e n ... 152

§ 70. L eiter. K apazität. E le k trisc h e E n erg ie . . . . 154

§ 7 1 K o n d e n s a to r ... 156

§ 72. D er g alv an isch e S tro m ; d as G esetz von Ohm . . . 157

§ 73. S tro m stä rk e ; B u s s o l e ...161

§ 74. S tro m stä rk e e in e r B a t t e r i e ...165

§ 75. S tro m verzw eigung; Sätze von K irchhoff . . . . 167

§ 76. W i d e r s t a n d ...170

§ 77. E le k tro m o to risch e K r a f t ... 172

§ 78. S tro m en e rg ie; G esetz von J o u l e ... 174

§ 79. E le k tro ly tisch e Gesetze von F a r a d a y ...176

§ 80. D as m ag n etisc h e F e ld eines S t r o m e s ... 176

§ 81. E le k tro m ag n etisch es M aßsystem . . . . . . 179

P ra k tisc h e E in h e iten . 181

I. Abschnitt.

Mechanik.

Einleitung.

§ 1. Allgem eine Sätze; Grundgesetze.

1. A lle U r s a c h e n s in d B e w e g u n g s u r s a c h e n . K eine U rsache (K raft) b rin g t eine andere W irkung als eine Bewegung hervor. D ie U rsache selbst be­

ru h t in einer Bewegung.

2. J e d e B e w e g u n g s u r s a c h e l i e g t a u ß e r ­ h a l b d e s B e w e g te n . E ine F ernw irkung durch den leeren R aum g ibt es nicht. D ie F ernw irkung wird entweder durch unm ittelbare B erührung der K örper oder durch einen Zwischenstoff, ein Medium (Äther), verm ittelt.

3. J e d e W i r k u n g i s t ä q u i v a l e n t i h r e r U r ­ s a c h e . A l l e K r ä f t e w ir k e n in d e r G e r a d e n , w e lc h e d e n A u s g a n g s p u n k t m it d e m A n g r i f f s ­ p u n k t v e r b i n d e t . (Newtons zweites Bewegungs­

gesetz.)

4. D as Gesetz des Beharrungsverm ögens oder der T räg h eit: J e d e r K ö r p e r v e r h a r r t in d e m Z u ­ s t a n d e d e r R u h e o d e r d e r g l e i c h f ö r m i g e n , g e r a d l i n i g e n B e w e g u n g , w e n n e r n i c h t d u r c h ä u ß e r e U r s a c h e n a n g e r e g t w ir d , s e i n e n Z u ­ s t a n d zu ä n d e r n . (Newtons erstes Bewegungsgesetz.)

5. D as Gesetz der R eaktion: D ie W i r k u n g e n z w e ie r K ö r p e r a u f e i n a n d e r s in d s t e t s e i n a n d e r g le ic h u n d v o n e n t g e g e n g e s e t z t e r R i c h tu n g . (Newtons drittes Bewegungsgesetz.)

1. K a p i t e l .

Mechanik des m ateriellen Punktes und der starren Körper.

§ 2. Die gleichförmige, geradlinige Bewegung.

D ie Größe einer Bewegung wird durch die G e ­ s c h w i n d i g k e i t gemessen, m it der sich der K örper bewegt, d. h. durch den in der Zeiteinheit, in der Sekunde zurückgelegten W eg. D a bei der gleich­

förmigen Bewegung die Geschwindigkeit sich nicht ändert, so findet man den W eg, welchen der K örper innerhalb einer gewissen Zeit zurücklegt, wenn man seine Geschwindigkeit m it der Zeit multipliziert. Be­

deutet c (celeritas) die Maßzahl der Geschwindigkeit, t (tempus) die Maßzahl der verflossenen Zeit und s (spatium) die des zurückgelegten W eges, so ist

3 = C • t .

In vielen F ällen ist es zweckmäßig, den W eg durch den In h a lt eines Rechteckes zu versinnlichen, dessen Grundlinie und H öhe durch die Maßzahlen der Zeit bzw. der Geschwindigkeit gegeben sind. Die m ittlere Geschwindigkeit v0 aus m ehreren (n) Ge­

schwindigkeiten V j, v2 , vs . . . vn ist das arithmetische Mittel derselben:

V l + V2 + Vg + . . . + V n

8 I. Abschnitt. Mechanik.

§ 3. Das Parallelogramm der Bewegungen. . U nterliegt ein K ö rp er der E inw irkung m ehrerer K räfte, so ist das Endergebnis dasselbe, wie wenn die K räfte nacheinander während derselben Zeit auf den

C j) K örper eingew irkt hätten.

W i r d a ls o e in m a t e r i e l l e r P u n k t A (Fig. 1) zu zw ei B e w e g u n g e n a n g e r e g t , d ie e i n e n W i n k e l cp m i t - Fig. l. e i n a n d e r b i l d e n , so g e ­ l a n g t e r i n d ie v i e r t e E c k e D d e s j e n i g e n P a r a l l e l o g r a m m s , d a s m a n a u s d e n b e id e n E i n z e l w e g e n st u n d s2 u n d d e m v o n d ie s e n e i n ­ g e s c h l o s s e n e n W i n k e l cp k o n s t r u i e r t . Sind die beiden Bew egungen geradlinig und gleichförmig, so ist auch die resultierende Bewegung geradlinig und gleich­

förmig, und der P u n k t A durchläuft die Diagonale A D . B ezeichnet m an den W eg A D m it r , so ist nach dem allgemeinen Pythagoreischen Lehrsatz

r2 = sj -j- s | + 2 • sx • s2 • cos cp .

W ird cp = 0 bzw. 180°, so ergeben sich die be­

sonderen W erte

r = Sj + s2 .

Is t cp = 90°, so kom m t r2 = sf + s| .

D ie Einzelwege heißen die S e i t e n w e g e , die K o m p o n e n t e n ; der resultierende W e g d e r M i t t e l ­ w e g , die R e s u l t a n t e .

Bemerkung. Um den Mittelweg zu erhalten, ist es in der Regel nicht notwendig, das Bewegungsparallelogramm vollständig zu zeichnen; es genügt, wenn man (Fig. 1) durch den Endpunkt B der einen Komponente die Strecke B D gleich und parallel der anderen Komponente AC zieht.

Soll der M ittelw eg A D (Fig. 2) in zwei Seiten­

wege längs L j und L2 zerlegt werden, so ziehe m an D B II L2 und D C II L j; nun sind A B und A C die ge­

suchten K om ponenten. — H a t man über die beiden Einzelwege keine weiteren Bestimmungen getroffen, so ist die vorliegende Aufgabe vieldeutig.

U nterliegt ein m aterieller P u n k t gleichzeitig m ehreren Bewegungen, so bestim m t man die R e­

sultate folgendermaßen.

Zunächst werden zwei W ege zusammengesetzt, hierauf der M ittelweg m it dem dritten, der sich nun ergebende W eg m it dem vierten usw. M an konstruiert daher (Fig. 3) aus den Einzelwegen einen polygonalen Zug A B F G H ; alsdann ist

die Schlußlinie A H die ge­

suchte Resultante. Schließt sich der Zug, so bleibt der P u n k t in Ruhe.

Zerlegt m an die Bewegung O B eines m ateriellen Punktes 0 (Fig. 4) in die Kom ponenten 0 E und OD von beliebigen R ichtun­

10 I. Abschnitt. Mechanik.

gen L u n d L ,, die durch 0 gehen, und projiziert die so erhal­

tenen Seitenbewegungen auf zwei zueinander senkrechte Achsen O X und O Y , so ist die algebraische Summe der Projektionen auf jede Achse gleich den K om ponenten O C und O J , die unm ittelbar aus der Zerlegung der O B längs O X und O Y hervorgehen.

Im R a u m i s t d a s P a r a l l e ­ lo g r a m m d e r B e w e g u n g e n d u r c h e in P a r a l l e l f l a c h zu e r s e t z e n . W ird nämlich der P u n k t 0 (Fig. 5) zu den Bewegungen O A , O B und 0 C angeregt, deren R ich­

tungen nicht in eine E bene fallen, so gelangt er an die der E cke O gegenüberliegende E cke D des aus

F i g .5. O A , O B und O C als K an ten kon­

struierten Parallelflachs.

§ 4. Die beschleunigte Bewegung.

L e g t ein K örper in gleichen Zeiten ungleiche W ege zurück, so ist seine Bewegung eine ungleichförmige.

U n ter Geschwindigkeit in einem bestim m ten Zeitpunkte versteht m an in diesem F alle den W eg, den der K örper von jenem Zeitpunkte ab in einer Sekunde zurücklegen würde, falls er sich nun gleichförmig weiter bewegte.

J e nachdem die Geschwindigkeiten in den aufeinander folgenden gleichen Zeitteilen wachsen oder abnehmen, heißt die Bewegung beschleunigt oder verzögert. D ie Geschwindigkeitszunahme in der Sekunde heißt B e ­ s c h l e u n i g u n g . Ä ndert sich diese während der D auer der Bewegung n ich t, so führt der m aterielle P u n k t eine g l e i c h m ä ß i g b e s c h l e u n i g t e B e w e g u n g aus.

Bezeichnet v0 (velocitas) die Anfangsgeschwindigkeit, a die Beschleunigung (acceleratio), v die Geschwindig­

keit am E nde der Zeit t , s den W eg, welchen der K örper während jener Zeit zurücklegt, so gelten folgende Beziehungen:

(1) v = v0 + a t , (2) s = v0t + | a t 2 .

Elim iniert m an aus beiden Gleichungen t , so erhält man (3) v² = Vo + 2 a s .

Beweis xu 2. W eil die Geschwindigkeit gleich­

mäßig zunimmt, muß der W eg, den der materielle P u n k t in t Sekunden beschreibt, ebenso groß sein wie derjenige W eg, den er in der gleichen Zeit m it seiner m ittleren Geschwindigkeit — J zurücklegte. L etzterer ist

* v 0 + V

und daher auch

a v + v0 2 v0 + a t _ _

s = ---- t = --- t — v0t + - t . Zusatz 1. Is t v0 = 0, so vereinfachen sich obige Gleichungen, und man erhält

v = a t ; s = £ - a t a ; 2 a s = v2 .

Zusatz 2. Is t die Bewegung gleichmäßig verzögert und bedeutet a die Verzögerung, so ergibt eine der obigen ent­

sprechende Schlußreihe

v = v0 — a t ; s = v0t — } a t 2 ; v2 = vü — 2 a s . Zusatz 3. Beschleunigungen werden wie Bewegungen zusammengesetzt und zerlegt.

12 I. Abschnitt. Mechanik.

§ 5. Der Fall.

I. Der freie Fall. D ie Fallbew egung ist inner­

halb unseres Beobachtungsgebietes eine g l e i c h m ä ß i g b e s c h l e u n i g t e B e w e g u n g . D ie Beschleunigung g (gravitas) b eträ g t in der Sekunde 9,806 m u nter

4 5 ° B reite. In der Breite von ^{9 5 0} ist g gleich 9,781 • (1 + 0,00512 sin29?) m. N ach den in § 4 aufgestellten Gesetzen erhält man, da v0 = 0 und a = g zu setzen ist:

1. v = g * t ; 2. s = £ g - t 2; 3. v2 = 2 g • s . D ie Geschwindigkeit beim B eginn der Bewegung ist 0 ; am E n d e der ersten, zweiten, d ritten , . . . (t — l ) ten, t ten Sekunde b eträg t sie g , 2 g , 3 g , . . . (t — l ) g , t g ; daraus ergibt sich die m ittlere G e­

schwindigkeit in der ersten, zweiten, dritte n , . . . t ten Sekunde zu

Folglich sind die in der ersten, zweiten, dritten, . . . t ten Sekunde zurückgelegten Einzelwege gleich

g latten , schiefen Ebene m it einer kleineren B e­

schleunigung abw'ärts. B ildet die schiefe E bene A B 2 g + 3 g R_ ( t - l ) g + t g 2

o *§>»••* 99

2 t - 1

B l g • 1; l g • 3 ; l g • Ö; . . . l g (2 t — 1) ■

\ II. Der Fall a u f der schiefen Ehern. E in m aterieller P u n k t,

1 C der frei m it der Beschleunigung Fis-6- g fällt, bewegt sich auf einer

(Fig. 6) m it der horizontalen A C den W inkel « und zerlegt m an die lotrecht abwärts gerichtete Beschleu­

nigung G D in die beiden Komponenten G E = g • sin « p arallel und

G F = g • cos«

senkrecht zur schiefen Ebene, so ist letztere auf die Bewegung ohne Einfluß, weil von der Keibung hier abgesehen wird.

F ü r die gleichmäßig beschleunigte Bewegung längs der schiefen Ebene kommt nur die Kom ponente

G E = g • sin «

in B etrach t, und wenn der M assenpunkt aus dem Zustand der Ruhe in den der Bewegung übergeht, so gelten folgende Gleichungen:

1. v = g • sin « • t ;

2. s = -J-g • sin « • t 2;

3. v2 = 2 g • sin « • s .

H a t aber der materielle P u n k t die A nfangs­

geschwindigkeit v0 , welche längs der schiefen Ebene abwärts oder aufwärts gerichtet sein kann, so ergeben sich nach § 4 folgende .Beziehungen:

1. v = v0 + g • s in « • t ;

2. s = v0t + k g • sin « • t 2 ;

3. v2 = v j + 2 g • sin « • s .

14 I* Abschnitt. Mechanik.

§ 6. Der Wurf.

I. Der senkrechte W urf. E i n m it d e r G e ­ s c h w i n d i g k e i t v0 l o t r e c h t a b w ä r t s g e w o r f e n e r M a s s e n p u n k t f ü h r t e in e g l e i c h m ä ß i g b e s c h l e u ­ n i g t e B e w e g u n g m it d e r B e s c h l e u n i g u n g g a u s , weshalb die Gleichungen gelten:

v = v0 + g t ; s = v0t + -i-gt2;

v2 = vg + 2 g s .

W ir d d a g e g e n d e r m a t e r i e l l e P u n k t m it d e r G e s c h w i n d i g k e i t v0 v e r t i k a l a u f w ä r t s g e ­ w o r f e n , so i s t d ie B e w e g u n g e in e g l e i c h m ä ß i g v e r z ö g e r t e m it d e r V e r z ö g e r u n g g ; daher (1) v = v0 — g t ;

(2) s = v0t — | g t 2;

(³) v² = vj) — ² g s .

Im höchsten P u n k t seiner B ahn ist die Ge­

schwindigkeit v = 0 .

Bezeichnet m an die Steigdauer m it t x, so folgt aus (1) (4) 0 = v0 — g t j ; ti = “ •■

Ö A us (3) ergibt sich die Steighöhe st . (5) 0 = v? — 2 g s 1 ; Si = .

L äß t m an den Raum sx von einem m ateriellen P u n k t frei durchfallen, wobei er eine Endgeschwindig­

keit c erreichen möge, so gilt

(6) c2 — 2 g sx .

Aus den Gleichungen (5) und (6) ergibt sich c = v0 ;

d. h.: D e r M a s s e n p u n k t e r r e i c h t d e n A u s g a n g s ­ p u n k t s e i n e r B a h n m it d e r g l e i c h e n G e s c h w in ­ d i g k e i t , m it d e r e r ih n v e r lie ß .

U m den Raum s, frei zu durchfallen, brauche ferner der materielle P u n k t T Sekunden. N ach den Fallgesetzen besteht sodann die Beziehung

(?) Si = i g • T 2^.

Setzt m an in diese Gleichung (7) den W ert von st aus (5) ein, so findet m an

T =

g t, nach der Gleichung (4).

In W orten: E in l o t r e c h t in d ie H ö h e g e ­ w o r f e n e r K ö r p e r s t e i g t e b e n s o l a n g e , a ls e r

f ä llt.

D a man ferner jeden P u n k t der W urfbahn als A usgangspunkt der Bewegung betrachten k an n , so durbhläuft der M assenpunkt irgend eine seine Bahn durchschneidende horizontale Ebene beim H inauf- und H inabsteigen m it der gleichen Geschwindigkeit, und die beiden Momente des D urchgangs liegen zeitlich vom A ugenblick der höchsten E rhebung gleichweit ab.

II. Der schiefe W u rf auf- T wärts. E in M assenpunkt A wird

mit der Geschwindigkeit v0

unter dem Erhebungsw inkel x gegen die W agrechte schräg aufwärts geworfen (Fig. 7).

Um ihn auf seiner Bewegung ⁷.

16 1. Abschnitt. Mechanik.

verfolgen zu können und seine B ahn kennen zu lernen, wählt man in der Bahnebene die durch A gehende H orizontale A X zur X-A chse und die durch A führende V ertikale zur Y-A chse eines rechtw inkligen K oordinaten­

systems. H ierauf zerlegt m an die Anfangsgeschwindig­

keit A B = v0 längs der beiden A chsenrichtungen in die wagrechte

A G = vx = v0 • cos«

und die senkrechte

A D = vy = v0 • s in « .

E rstere ändert sich nach dem Gesetz der T rägheit w ährend der Bewegung nicht, letztere hingegen erfährt eine sekundliche A bnahm e um die Beschleunigung der Erdschwere. N ach t Sekunden b eträg t sie:

(1) vy = v0 • sin«. — g • t .

D ie Projektionen x und y auf die Achsen des in der Zeit t zurückgelegten W egs sind somit:

(2) x = v0 • co s« • t ;

(3) y = v0 sin « • t — j g • t2 . Elim iniert m an t , so folgt

g • x2

(4) y = x • tg « —- ——5— — .

2 Vy cos2«

D er bewegliche P u n k t beschreibt somit eine P a r a ­ b e l, deren Achse vertikal ist und welche die R ichtung A B der A nfangsgeschwindigkeit in A berührt. Schneidet die P a rab el die H orizontale A X in dem P u n k te E zum zweitenmal, so wird A E = X die W u r f w e ite genannt.

U m sie zu bestimmen, darf man n u r y = 0 und x = X setzen. M an erhält aus (4)

V vo • 9

X = — • sm 2 oc .

(°) g

Dieser A usdruck erreicht seinen größten W e rt für 2 oc — 90° oder oc = 45° .

A us trigonometrischen G ründen ist ferner sin 2 oc = sin (180° —2 a ) ,

m ithin ist die W urfw eite für kom plem entäre E levations­

winkel die gleiche.

Im höchsten P u n k t H der Bahn, im Scheitel der P arabel ist die Geschwindigkeit wagrecht gerichtet, folglich die vertikale Kom ponente vy derselben gleich Null. Verfließt von A bis H die Zeit T , so ergibt die Gleichung (1)

0 = v0 sin oc — g • T , daher

rn vö s in a (6) T = -»---.

v ’ g

Substituiert m an diesen W e rt für t in (3), dann erhält m an die W u r f h ö h e F H , welche m it Y be­

zeichnet werden mag:

.7, y Vp sin2 q

2 g

D ie Geschwindigkeit v zur Zeit t ergibt sich aus den Komponenten vx und vy :

v 2 = VX + v y = vo cos 2« + Vo sin2 a — 2 g t v0 sin a - f g2 1 2

= Vo + g2t2 — 2 g t v0 s in a = vg — 2 g y . Die R ichtung dieser Geschwindigkeit v m acht m it der W agerechten A X einen W inkel cp, der sich aus der Gleichung e rg ib t:

M a h l e r , P h y sik alisch e F o rm elsam m lung. . 2

18 I. Abschnitt. Mechanik.

v0 s in « — g t

= t g a —

v0 co sa V0 COSiX

Besondere Fälle. W ird der M assenpunkt horizontal geworfen, so ist <x — 0 und dam it w ird

Ä ndert m an die Zählrichtung auf der Y -A chse, so werden die O rdinaten positiv; demnach ist

vy = g t und y = | g t 2 .

D ie einfachste aller Zentralbewegungen ist diejenige, bei welcher eine K reisbahn m it gleichförmiger G e­

schwindigkeit durchlaufen wird. D er Radius des Kreises 0 sei r (Fig. ⁸), die Geschwindigkeit des m ateriellen P u n k tes A sei v und die / Fj jF Beschleunigung der Z entripetalkraft a . j \ W ährend eines kleinen Zeitteils t , nur c / I der Tangentialgeschw indigkeit folgend, / J gelangt A nach F , n u r der Zentripetal- ' kr af t folgend, nach E , durch das Zu- Ä sammenwirken beider U rsachen nach Fig. 8. D . E s ist nun

und weil der kurze Bogen A D durch seine Sehne er­

setzt werden darf, so ergibt sich m it H ilfe des A A D B die Gleichung

= v0 ; W = — g t ;

§ 7. Die Zentralbewegung.

A D = v • t und A E = -§- a t2 ,

A D2 = A E • A B oder

v^{2 1 2} = £ a t² • ² r ;

hieraus

v2

a = — . r

U n ter W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t co versteht m an den vom L e itstrah l in der Zeiteinheit überstriehenen W inkel, oder wenn m an den W inkel im Bogenmaß ausdrückt, die Geschwindigkeit desjenigen P unktes auf dem L eitstrahl, der vom Zentrum die E ntfernung 1 hat. Es ist also auch

v = r • co und dam it

r2 - « > 2

a = = r • co- . r

Ist T die Umlaufszeit des M assenpunktes A , so ist zunächst

2jit

folglich

4yi2 * r2 4 jr2 *r a = T2 • r T2 ~ ‘

Die für die Zentripetalbeschleunigung gefundenen Ausdrücke sind daher

v2 . 4 j i2 • r (1) a = — = r • co2 = T2— .

D a die Beschleunigungen, welche zwei K räfte einzeln wirkend einer und derselben Masse erteilen, in geradem V erhältnis zur Stärke der Kräfte stehen, so läßt sich unter Beiziehung des freien Falles die Größe der Z entripetalkraft bestimmen. E s sei Q das

2*

20 I. Abschnitt. Mechanik.

Gewicht des bewegten P u n k tes und P die S tärke der Z entripetalkraft, so gilt die Proportion

P : Q = a : g , hieraus

(2) P = — • a .

g

Die Gegenwirkung, die ein m aterieller P u n k t bei der K reisbew egung erfäh rt, wird als S c h w u n g k r a f t , Z e n t r i f u g a l k r a f t bezeichnet; sie ist gleich der Zentripetalkraft.

§ 8. Die harmonische Bewegung.

Bewegt sich ein P u n k t auf einer K reisbahn mit gleichförmiger Geschwindigkeit, so führt seine Projektion auf einen Durchm esser eine schwingende Bewegung aus, die h a r m o n i s c h e Bewe­

gung heißt. In Fig. 9 sei A der sich bewegende P u n k t, O der M ittelpunkt des Kreises vom R a­

dius r , ferner C B _ L A O und derjenige Durchmesser, auf wel­

chen der P u n k t A projiziert wird, E der O rt des P unktes A , an welchen er nach der D rehung um den -3C <x gelangt, F dessen Projektion auf CB, E G die Tangentialgeschw indigkeit v und E K die Zentri­

petalbeschleunigung a des P unktes E . P rojiziert m an ferner E G und E K auf C B oder auch auf eine durch E II C B gelegte G erade m it H ilfe der L ote G H und K J , so ist E H die Geschwindigkeit und E J die B e­

schleunigung des schwingenden P unktes F . N un ist E H = v • cos« und E J = a • sin<x ,

y-

und weil nach § 7 Gleichung (1) a = — ist, so findet r

man auch

E J = ' • s in « = ~ • O F . v-

r r2

W ird m it ax die Beschleunigung des Punktes F in dem A ugenblick bezeichnet, wo er sich in der E ntfernung 1 von O befindet, so ist

E in H ingang bzw. H ergang des P unktes F heißt eine S c h w in g u n g und die darauf verwandte Zeit die S c h w i n g u n g s d a u e r , der bei einer Schwingung zurückgelegte W eg die S c h w in g u n g s w e ite , A m ­ p l i t u d e . W ährend der P u n k t A die ganze Peripherie des Kreises mit der Geschwindigkeit v durchläuft, m acht seine Projektion einen H in- und H ergang, mithin ist die Schwingungsdauer

(1 ) T = 711

aber es ist

hieraus

v V- ai = r >

(2) T - * . l / I .

Dieses R esultat zeigt sich von der Schwingungsweite unabhängig, m ithin sind bei gleicher Beschleunigung in der E ntfernung 1 die Schwingungen isochron.

22 I. Abschnitt. Mechanik.

§ 9. Das mathematische Pendel.

D ie Bewegung des Pendels ist eine oszillatorische, jeder H in- bzw. H erg an g wird eine S c h w in g u n g ge­

nannt, die darauf verw andte Zeit heißt S c h w i n g u n g s ­ d a u e r und der W inkel, um welchen sich das P endel aus seiner lotrechten Gleichgewichtslage entfernt, S c h w i n g u n g s w e i t e , A m p litiid e . O A (Fig. 10) sei ein m athem atisches Pendel von der L änge 1. I n dieser L age w irkt auf den M assenpunkt A die Erdschw ere und erteilt ihm die Beschleunigung

A F = g .

Diese k ann in die unwirksame K om ponente

A H = g • cos«

nach der F adenrichtung und in eine dazu senkrechte zweite K om ponente

A J = g • sin «

zerlegt werden. L etztere gibt die Beschleunigung des P unktes A in seiner B ahn an. F ä llt m an auf OC das L o t A K , so ist

F ig . 10.

sin « A K A O

A K

1

L äß t m an n u n n u r kleine A m plituden zu, so darf man die Strecke A K durch den Bogen A C ersetzen und es ist

s m a = ^ - ,A C m ithin

A J = g • sin « = — • A C ;

d. h. die Beschleunigung des M assenpunktes ist seinem A bstand vom M ittelpunkt C der B ahn proportional; die Bewegung desselben ist eine harmonische. I n der Entfernung 1 vom Zentrum C h a t der P u n k t die

£ • •

Beschleunigung y . Setzt m an diesen W e rt in die Gleichung (2) des § 8 ein, so ergibt sich für die Schwingungsdauer des m athem atischen Pendels

a) D ie S c h w i n g u n g s d a u e r i s t v o n d e r G rö ß e d e r b e w e g te n M a s s e u n a b h ä n g i g .

b) D ie S c h w i n g u n g s d a u e r i s t u n a b h ä n g i g v o n d e r A m p litu d e .

c) D ie S c h w i n g u n g s d a u e r i s t d e r Q u a d r a t ­ w u r z e l a u s d e r P e n d e l l ä n g e d i r e k t p r o p o r t i o n a l .

d) D ie S c h w i n g u n g s d a u e r i s t d e r Q u a d r a t ­ w u r z e l a u s d e r F a l l b e s c h l e u n i g u n g u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l .

Zusatz. Mißt man die Länge 1 eines Pendels und be­

stimmt die Schwingungsdauer T dazu, so läßt sich aus obiger Gleichung die Fallbeschleunigung g ermitteln, denn es ist

?r2 • 1

& ip2 •

§ 10. Masse; Kraft.

S to f f ist alles, was Baum einnehmen kann. Die Menge des Stoffes, den ein K örper enthält, heißt seine M a sse . Jed e Ursache, welche eine Ä nderung in dem

24 I. Abschnitt. Mechanik.

R uhe- oder Bewegungszustand eines K örpers hervor­

ruft, wird K r a f t genannt. U m die doppelte Masse in die gleiche Bewegung zu versetzen, wie die ein­

fache, ist die doppelte K ra ft notwendig. E s besteht somit zwischen K ra ft und Masse ein bestimmtes V e r­

hältnis .der A bhängigkeit, welches bei der W ahl der E inheiten fü r K ra ft und Masse in der W eise zum A usdruck gebracht wird, daß m an festsetzt:

D ie K r a f t e i n h e i t e r t e i l t d e r M a s s e n e i n h e i t in d e r Z e i t e i n h e i t d ie E i n h e i t d e r B e s c h l e u ­ n ig u n g .

D ie K ra ft p , die Masse m und die erzielte B e­

schleunigung a sind somit durch die Grundgleichung

(1) p = m • a

verbunden. D ie Größe des D ruckes oder Zuges, den ein K örper infolge der Schwere in lotrechter Richtung ausübt, heißt sein a b s o l u t e s G e w ic h t, und da für alle K örper die Beschleunigung g an einem und dem­

selben O rte der E rd e die gleiche ist, so gilt der S a tz : D a s G e w ic h t e in e s K ö r p e r s i s t s e i n e r M a s s e p r o p o r t i o n a l .

U n t e r l i e g t d ie M a s s e m d e r s t e t e n E i n ­ w i r k u n g d e r u n v e r ä n d e r l i c h e n K r a f t p , so b e w e g t s ie s ic h g l e i c h m ä ß i g b e s c h l e u n i g t , und es ist nach F rü h erem , sofern die Masse beim Beginn der Bewegung in R uhe war,

v = a - t ; s = - |- a - t 2 ; v2 = 2 a s . Setzt man in diese Gleichungen aus (1) den W e rt für a , nämlich a = — ein, so treten folgende B e­

rn

Ziehungen auf:

m v = p t ; (2) m s = -|-p t2 ;

p s = -|-m v2 .

Besaß jedoch die Masse, als die K raft p einsetzte, die Geschwindigkeit v0 , so findet man in analoger W eise die Gleichungen

m (v — v0) = + p t ; (3) m (s — v0t) = + i p t2 ;

p s = + 1 m (v3 — vg) .

Das P ro d u k t m v heißt die B e w e g u n g s g r ö ß e , das P ro d u k t p t der Z e i t e f f e k t der K raft. Die erste Beziehung der Gleichungen (2) enthält sonach den Satz:

D ie B e w e g u n g s g r ö ß e i s t g l e i c h d e m Z e i t ­ e f f e k t d e r K r a f t .

D arin liegt auch der Satz: W irk t auf die Massen m und rri, ein und dieselbe K ra ft (z. B. die Expansion der Pulvergase zwischen Geschoß und Geschütz) gleich lange ein und erlangen sie dadurch die Geschwindig­

keiten v und V j, so sind die erzielten Bewegungs­

größen m v und m1v1 einander gleich.

Das P ro d u k t p s wird die A r b e i t d e r K r a f t u nter der V oraussetzung genannt, daß der W eg in die K raftrichtung fällt. Schließen jedoch beide den W inkel <x ein, so kann man entweder die K raftstrecke auf die W egrichtung oder den W eg auf die K ra ft­

richtung projizieren, und die geleistete A rbeit wird durch das P ro d u k t p s - c o s « angegeben. Die in der Zeiteinheit geleistete A rbeit heißt E f f e k t und das P ro d u k t | m v ! nennt m an die l e b e n d i g e K r a f t . Aus der dritten Beziehung der Gleichungen (3) leiten

26 I. Abschnitt. Mechanik.

sich sonach die Sätze ab: D ie g e l e i s t e t e A r b e i t i s t g l e i c h d e r Z u n a h m e a n l e b e n d i g e r K r a f t , d ie v e r b r a u c h t e A r b e i t i s t g l e i c h d e r A b n a h m e a n l e b e n d i g e r K r a f t . Die einem bewegten K örper innewohnende F ähigkeit, A rb eit zu leisten, nennt man E n e r g i e d e r B e w e g u n g ( k i n e t i s c h e E nergie,leben­

dige K raft); u n ter E n e r g i e d e r L a g e ( p o t e n t i e l l e r E n erg ie, S p a n n k r a f t ) hingegen versteht m an die F äh ig k eit eines K örpers, verbrauchte A rb eit in leben­

dige K ra ft umzusetzen. D ie U m w andlung von poten­

tieller und kinetischer E nergie ineinander in einem abgeschlossenen System erfolgt ohne Gewinn oder V er­

lust; die E nergie ist somit unzerstörbar, ihre Q uantität konstant.

§ 11. Das Maßsystem.

I. Das irdische, konventionelle Maßsystem. Die G rundgrößen dieses Systems sind K r a f t , L ä n g e und Z e it.

Als K rafteinheit bezeichnet man diejenige K raft, die in ih rer R ichtung den D ru ck oder Zug von 1 kg (in Paris) auszuüben verm ag. D ie E inheit der Länge ist das M eter, die E inheit der Zeit die Sekunde. Die E inheit der Masse wird aus der Gleichung (1) des

§ 10 abgeleitet. H a t ein K örper das Gewicht P kg, ist seine Masse gleich m , die Beschleunigung der Erdschw ere gleich g , so besteht die Beziehung

P = m g ; m ithin m = P .

Soll nun m = ¹ werden, so muß P = g sein;

daher: U n t e r d e r E i n h e i t d e r M a s s e v e r s t e h t

m a n d i e j e n i g e M a s s e , d e r e n G e w ic h t g k g b e t r ä g t .

D ie E inheit der A rbeit wird verrichtet, wenn ein W iderstand von 1 k g auf einem W eg von 1 m überwunden wird. M an nennt sie M e t e r k i l o g r a m m (mkg).

D ie technische E inheit des Effekts ist die P f e r d e ­ s t ä r k e ( H P ) , d. i. die Leistung von 75 m kg in

1 Sekunde.

II. Das absolute Maßsystem. Die Grundgrößen sind M a s s e , L ä n g e und Z e it. D ie E inheit der Masse ist die eines Gramms (unabhängig von Raum und Zeit); die E inheit der L änge ist das Zentim eter und die E inheit der Zeit ist die Sekunde. Aus der Gleichung p = m a ergibt sich, wenn m = 1 , a = 1 ist, für p der W e rt 1, also: D ie E i n h e i t d e r K r a f t i s t d i e j e n i g e K r a f t , w e lc h e d e r M a s s e n e i n h e i t in d e r Z e i t e i n h e i t d ie E i n h e i t d e r B e s c h l e u n i g u n g e r t e i l t ; s ie h e i ß t D y n e . D a die Beschleunigung des freien F alls etwa 981 cm beträgt, so ist

1 D y n e = G r a m m g e w ic h t.

Die E inheit der A rbeit heißt E r g , sie wird von 1 D y n e auf dem W eg von 1 cm geleistet. 1 J o u l e

= 1 0 7E r g .

D ie E inheit des Effekts, das S e k u n d e n e r g , ist vorhanden, wenn die L eistung in jeder Sekunde gleich der Arbeitseinheit ist. 1 W a t t ist die Arbeitsleistung von 1 Joule in der Sekunde.

1 m kg ist gleich 981 • 1 0 0 • 1000 E rg

= 9 8 1 0 0 000 E rg = 9,81 Joule ;

1 H P ist gleich 7 5 -9 ,8 1 W a tt

= 736 W att in runder Zahl.

82 I. Abschnitt. Mechanik.

§ 12. Die Dimension.

Je d e r A usdruck, der die A bhängigkeit eines ab­

geleiteten Begriffs aus den Grundbegriffen der Masse M , der L änge L und der Zeit T deutlich erkennen läßt, heißt die D im e n s io n des abgeleiteten Begriffs. Sie h at in der Regel die Form eines P rodukts aus den Potenzen von M , L und T .

D ie Dimension eines Weges ist L , die einer Flöehe'L-, die eines allseitig begrenzten Raumes L 3 .

D ie Dimension einer Geschwindigkeit ist L T - 1 , weil sie erhalten wird, wenn m an den W eg m it der Zahl der Sekunden dividiert.

N ach der Bezeichnung des § 4 ist v = a t , mithin die Beschleunigung a = v : t und daher ihre Dimension gleich L T-2 .

D ie Dimension einer K raft ist M L T _ 2 , denn sie ist das P ro d u k t aus Masse und Beschleunigung.

D ie Dimension der Bewegungsgröße ist gleich dem P ro d u k t aus der Dimension einer Masse und einer Geschwindigkeit, also M L T - 1 .

D ie Dimension des Zeiteffekts p t ist M L T^{- 2} - T = M L T^{- 1} .

Bemerkung. Sind zwei physikalische Größen einander gleich, so haben sie auch gleiche Dimensionen.

Die Dimension einer Arbeit p s ist M L T- 2 - L = M L2T ~ 2 .

Die Dimension der lebendigen K raft ^ m v2 ist M ( L T- J ) 2 = M L2T - 2 .

Die Dimension eines E ffekts ist gleich derjenigen der A rbeit, dividiert durch die Zeit, somit gleich

M L2T - 2 :T = M L2T- 3 .

Bemerkung. Die Lehre von den Dimensionen wurde von Fourier 1822 in seiner Wärmetheorie begründet.

§ 13. Die Grundgesetze des Gleichgewichtes starrer Körper.

1. Zwei K räfte, die einander das Gleichgewicht halten, sind gleich groß und entgegengesetzt.

2. H alten zwei Kraftsystem e einem dritten einzeln das Gleichgewicht, so sind sie gleichwertig und können einander ersetzen.

3. Die W irkung eines Systems von K räften, die an einem K örper angreifen, ändert sich nicht, wenn man noch weitere K räfte hinzufügt oder wegnimmt, die einander das Gleichgewicht halten.

§ 14. Das Parallelogramm der Kräfte.

Eine K raft ist durch ihren A n g r i f f s p u n k t , ihre R i c h t u n g und ihre S t ä r k e bestimmt. Strecken, welche in einer graphischen D arstellung Richtung und Größe einer K raft versinnlichen, eventuell auch deren A ngriffspunkt angeben, werden K r a f t s t r e c k e n genannt. V erlegt m an den A ngriffspunkt einer K ra ft nach einem anderen P u n k t ihrer eigenen Richtung, so wird an ihrer W irkung nichts geändert (§ 1; 3).

Eine K raft, welche die gleiche W irkung erzeugt wie zwei oder mehrere gleichzeitig wirkende K räfte, heißt R e s u l t i e r e n d e , M i t t e l k r a f t , R e s u l t a n t e , und die Einzelkräfte führen den Namen S e i t e n k r ä f t e , K o m ­ p o n e n te n .

W e n n zw ei K r ä f t e u n t e r e in e m W in k e l g l e i c h z e i t i g a u f e in e n m a t e r i e l l e n P u n k t e i n ­ w ir k e n , so w ir d d ie R i c h t u n g u n d d ie G rö ß e

3 0 I. Abschnitt. Mechanik.

d e r M i t t e l k r a f t d u r c h d ie D i a g o n a l e d e s j e n i g e n P a r a l l e l o g r a m m s b e s t i m m t , d a s s ic h a u s d e n S e i t e n k r ä f t e n k o n s t r u i e r e n lä ß t.

Sind in der F ig u r 11 A B = p , A C = q die K om ­ ponenten und der von ihnen gebildete W inkel BAC=<%, so ist aus trigonom etrisch en G rün­

den die R esultante A D = r:

r = ]/p2 + q2 + 2p q cos<x .

Ist « = 9 0 °, so ist

r = }'p2 + q 2; ' ist oc = 0° , so erhält m an

r = p + q ; ist oc = 1 8 0 °, so findet m an

r = ± (p — q) •

Ist die R esultante gleich 0, so v e rh arrt der Massen­

p u n k t in Ruhe.

Greifen die beiden K räfte nicht unm ittelbar an dem M assenpunkt an, sondern gehen n u r ihre Richtungen d urch denselben, so verlege m an ihre A ngriffspunkte dorthin und verfahre bei der Zu­

sammensetzung wie oben.

W i r k e n a u f e in e n m a t e ­ r i e l l e n P u n k t d r e i K r ä f t e im R a u m , so s t e l l t n a c h G rö ß e u n d R i c h t u n g d ie D i a g o n a l e d e s a u s d e n S e i t e n k r ä f t e n k o n s t r u i e r t e n P a r a l l e l f l a c h s d ie R e s u l t a n t e d a r . In d e rF ig .1 2 ist A E = r die R esultante zu

A B == p , A C = p, , A F = p2 . Stehen die drei K raftrichtungen senkrecht aufeinander, so ist

r = }'p2 + Pi + P2 •

F ü r m ehrere Seitenkräfte, die an einem materiellen P u n k t an greifen, findet man die R esultante, wenn m an zunächst zwei K räfte (Fig. 13) A B = p t und A C = p² zusammensetzt, hierauf

die erhaltene resultierende K ra ft A D = rj m it der dritten K ra ft A F = p8 zu A E = r , vereinigt, usw.

Um die Zeichnung möglichst einfach zu gestalten, zieht m an B D ^ A C , D E ^ A F usw.; die

Schlußlinie des aus den einzelnen K raftstrecken kon­

struierten polygonalen Zuges ist somit die R esultante derselben.

Ist die R esultante gleich 0 , oder schaltet m an in das System als letzte Seitenkraft eine solche ein, die der R esultante gleich und entgegengesetzt ist, so halten sich die sämtlichen ^Einzelkräfte das Gleichgewicht.

Die Zerlegung einer als R esultante betrachteten M ittelkraft in zwei Seitenkräfte geschieht ebenfalls durch das Parallelogram m der K räfte. Sind dabei über die K om ponenten keine weiteren Bestimmungen getroffen, so ist die A ufgabe vieldeutig (vgl. den § 3).

D urch die Zusammensetzung und Zerlegung der K räfte wird der Einblick in viele mechanische V o r­

gänge wesentlich erleichtert.

Bemerkung. Der Satz vom Kräfteparallelogramm wurde zuerst von Newton und Varignon klar ausgesprochen.

32 I. Abschnitt. Mechanik.

§ 15. Die Zusammensetzung zw eier Kräfte in der Ebene mit verschiedenen Angriffspunkten.

I. Die Kraftrichtungen schneiden sich. (Fig. 14.) Gesetzt, die K räfte A E = p und B F = q greifen in A

und B an dem starren K örper A B an und es sei ihre R e ­ sultante r zu bestimmen. A n der W irkung der K räfte wird nichts geändert, wenn man die Angriffspunkte in den Schnitt­

p u n k t C der K raftstrecken ver-

^ legt, wobei p durch C G und q durch C H zu ersetzen ist. D as Parallelogram m C G J H liefert

Fig. 14. die M ittelkraft C J = r . G ibt

m an ih r den A ngriffspunkt K und m acht K L = C J , so iqt K L die gesuchte R esultante. F ä llt man des weiteren von J u n d K die L ote auf C A und C B , so ist

K S • q = K N • p .

II. Beide Kräfte sind gleichgerichtet. (Fig. 15.) Die beiden K räfte A C = p und B D = q sind gleich­

gerichtet und greifen in A und B an. In der W irk u n g der K räfte tr itt keine Ä nderung ein, wenn m an die gleichen und entgegen­

gesetzten K räfte A G und B E hinzufügt. N un liefern die K räfte A C und A G die R esultante A H und auf der anderen Seite die Kom ponenten B D und B E die M ittelkraft B F . Die Angriffs­

punkte beider R esultanten verlegt