Procesy stochastyczne
3. Momenty zatrzymania
Ćw. 3.1 (J. S., Zad. 1. str. 225) τ jest momentem zatrzymania względem filtracji {Fn}n∈N. Czy są momentami zatrzymania τ − 1 i τ2?
Ćw. 3.2 (B., str. 13) W chwili t = 0 cząstka znajduje się w punkcie 0. W chwili t = 1 cząstka przemieszcza się z prawdopodobieństwem 12 do punktu 1 lub z prawdopodobieństwem 12 do punktu −1. W następnej chwili cząstka rusza ruchem jednostajnym w prawo lub w lewo z tym samym prawdopodobieństwem równym 12. Niech τ będzie momentem dotarcia do punktu 1. Wyznacz Fτ.
Ćw. 3.3 (J. S., Zad. 5. str. 225) X1, X2, . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jed- nakowym rozkładzie jednostajnym na odcinku [0, 1]. τ = inf{n ∈ N; X1 + . . . Xn 1}.
Wyznacz Eτ .
Ćw. 3.4 Pokaż, że jeśli w grze opisanej w ćw. 2.5 oznaczymy przez T liczbę gier, które należy rozegrać do momentu aż jeden z graczy zdobędzie wszystkie żetony, to ET = ab + bc + ca.
Ćw. 3.5 (S., Ex. 5.25 p. 223) W szatni wisi c1 płaszczy należących do c1 osób. Wychodząc, wszystkie osoby podchodzą do szatniarza i jednocześnie podają losowo numer wieszaka (od 1 do c1, przy czym numery mogą się powtarzać). Osoby, które trafiły w ten sposób na swój własny płaszcz, wychodzą. Pozostałe zwracają okrycie do szatni i losują od nowa, podając znów losowo numer wieszaka z zakresu od 1 do c2, gdzie c2 oznacza liczbę osób, które jeszcze nie wyszły. Sytuacja powtarza się tak długo aż wszyscy wyjdą. Niech N oznacza liczbę potrzebnych rund. Pokaż, że EN = c1.
Ćw. 3.6 (W., E 10.6 p. 233) W każdym momencie czasu n = 1, 2, 3, . . . małpa pisze losowo 1 literę spośród 26 liter alfabetu angielskiego, tworząc w ten sposób ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie.
Przed każdym momentem n do gry dołącza nowy gracz, który stawia 1$ na to, że n-tą napi- saną przez małpę literą będzie A. Jeśli przegrywa odchodzi. Jeśli wygrywa, otrzymuje 26$, które stawia na to, że kolejną literą będzie B. Jeśli przegrywa odchodzi. Jeśli wygrywa, otrzy- muje 262$, które stawia na to, że następną literą będzie R i tak dalej, zgodnie z kolejnością liter w słowie ABRACADABRA.
Niech T będzie pierwszym momentem, w którym małpa napisała słowo ABRACADABRA.
Wykaż, że ET = 2611+ 264+ 26.
Ćw. 3.7 (J. S., Zad. 13. str. 225) Rzucamy kostką tak długo, aż otrzymamy wszystkie oczka.
Znajdź średnią wartość sumy wyrzuconych oczek.
Ćw. 3.8 (K. S., Ex. 10 p. 200) Gracz rzucający monetą wygrywa 1 zł, gdy wypadnie orzeł, a 5 zł, gdy wypadnie reszka. Gra kończy się, gdy gracz wygra co najmniej 1000 zł. Z dokładnością
±1 wyznacz wartość oczekiwaną momentu zakończenia gry.
