• Nie Znaleziono Wyników

Zadania, które mogą się przydać w najbliższym czasie 1. Rozwi

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Zadania, które mogą się przydać w najbliższym czasie 1. Rozwi"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Zadania, które mogą się przydać w najbliższym czasie

1. Rozwiąż w liczbach zespolonych równanie z2− (5 − i)z + 8 − i = 0.

2. Oblicz (i −√3)127.

3. W zależności od parametrów a, b ∈ R rozwiąż układ równań:





X1+ X2+ aX3= 0 X1+ 2X2+ X3= 2 2X1+ 3X2+ 2X3= b

.

4. Dla jakich a, b ∈ Z7 układy równań:

% x + y + z + t = 1

2x + 6y + 3t = 1 oraz

% 6x + 5y + 3z + 4t = 1 5x + 2y + az + bt = 4 mają równe zbiory rozwiązań.

5. Dane są wektory α1 = [1, 1, 2], α2 = [1, 2, b], α3 = [a, 1, 2], β = [1, 2, 1] przestrzeni R3. Wyznacz wartości parametrów a, b ∈ R, dla których wektor β jest kombinacją liniową wektorów α1, α2, α3. Dla jakich wartości parametrów a, b wektor β ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji liniowej wektorów α1, α2, α3 ?

6. Dane są podprzestrzenie U = lin ( [1, 2, 4, 3], [2, 1, 3, 4] ), W = lin ( [3, 3, 2, 2], [3, 4, 1, 2] ) przestrzeniZ54. (a) Znajdź układ równań, którego zbiorem rozwiązań jest warstwa [1, 1, 1, 1] + U.

(b) Znajdź bazę przestrzeni U + W . (c) Znajdź bazę przestrzeni U ∩ W .

(d) Wskaż przynajmniej jedną podprzestrzeń T <Z54 taką, że W ⊕ T = Z54.

7. Dane są podprzestrzenie U = Sol

&'

X1+ X2+ X3+ X4= 0 X1− X2+ 2X3+ X4= 0

(

, W = lin ( [2, 0,−1, 3], [1, 1, 1, 1], [9, −1, −6, 14] ) przestrzeni liniowejR4. Znajdź bazę podprzestrzeni U, W, U + W oraz U ∩ W .

8. Zbadać czy istnieje przekształcenie liniowe ϕ :Z3−→ Z2takie, że ker ϕ = Sol(x+y+z = 0) i ϕ([2, 1, 3]T) = [1, 2]T. Jeśli istnieje, to wyznaczyć imϕ oraz znaleźć jego macierz w bazach (ε1, ε2, ε3) oraz (ε1, ε2).

9. Zbadać czy istnieje przekształcenie liniowe ϕ :R3−→ R3 takie, że

f

 1 1 0

 =

 3 0 1

 , f

 1 0 1

 =

 2 1 4

 , f

 1

−11

 =

 2 2 4

 .

Jeśli istnieje, to obliczyć f

 1 2 3

 .

10. Dane jest przekształcenie liniowe f : Z35 −→ Z35, f

x y z

 =

x + 2y + z 2x − z x + y + 4z

 oraz podprzestrzenie U = Sol (x + x + z = 0) i W = lin([1, 2, 3], [2, 0, 3]) przestrzeni Z35. Znajdź f (U ), f (W ), f−1(U) oraz f−1(W ).

11. Macierz przekształcenia liniowego ψ :R4→ R3w bazach (&1+ &2− &3, &2− &3, &3), (&1, &2, &3, &4) jest równa

 1 0 −1 2

0 −1 1 −1

−1 1 0 −1

. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia ψ.

12. Macierz endomorfizmu ϕ ∈ End (Z53) w bazie ([1, 0, 4], [0, 1, 0], [2, 0, 4]) jest równa

2 1 4 1 2 1 4 0 1

.

1

(2)

(a) Znajdź bazę jądra i obrazu endomorfizmu ϕ.

(b) Znajdź wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie wektorów własnych endomorfizmu ϕ.

13. Macierz endomorfizmu ϕ przestrzeniR3w bazie (ε1, ε12, ε123) ma postać A =

1 1 1

0 1 −1

−1 0 2

.

Wyznaczyć wzór analityczny tego endomorfizmu. Zbadać czy istnieje rzeczywista macierz nieosobliwa C taka, że C−1AC jest diagonalna. Odpowiedź uzasadnić. Podobne pytanie o zespoloną macierz C.

14. * Dana jest przestrzeń ortogonalna (R4, ξ), qξ([x1, x2, x3, x4]T) = x21+ x22+ x23+ x24. Wyznaczyć bazę ortogonalną podprzestrzeni lin(([1, 1, 0, 1]T, [1, 1, 1, 0]T, [1, 3, 3, 1]T).

15. * Znaleźć macierz nieosobliwą C taką, że macierz CT

 2 1 0 1 2 0 0 0 2

 C jest macierzą diagonalną.

16. * Dana jest przestrzeń ortogonalna (R3, ξ), gdzie qξ([x, y, z]) = 2xz + y2. (a) Znajdź macierz funkcjonału ξ w bazie (&1, &1+ &2, &1+ &3).

(b) Znajdź bazę ortogonalną przestrzeni (R3, ξ).

(c) Wyznacz rząd i sygnaturę przestrzeni (R3, ξ).

17. Macierz endomorfizmu ϕ ∈ End (R3) w bazie jednostkowej jest równa

 0 0 −1

0 −1 0

−1 0 0

 .

(a) Znajdź macierz endomorfizmu ϕ w bazie (&1, &1+ &2, &1+ &3).

(b) Znajdź wartości własne endomorfizmu ϕ.

(c) Znajdź podprzestrzenie wektorów własnych endomorfizmu ϕ.

(d) * Sprawdź, czy ϕ jest endomorfizmem samosprzężonym w przestrzeni ortogonalnej (R3, η), gdzie qη([x, y, z]) = x2+ 4y2+ 9z2.

18. * Znajdź rzeczywistą macierz ortogonalną P , aby macierz PT

−1 1 1

1 −1 1

1 1 −1

 P była diagonalna.

Uwaga. Zadania z gwiazdkami nie pojawią się na ćwiczeniach, ale całkiem do nich podobne planowane są na wykładzie w ramach przykładów ilustrujących teorię. Na egzaminie może się pojawić co najwyżej jedno spośród nich.

2

Cytaty

Powiązane dokumenty

Lapbook jest „książką” tematyczną, którą tworzy się na dany temat i w której tworzeniu uczeń aktywnie uczestniczy.. Dzięki lapbookom uczniowie

wyprofilowanie łuków skrzyżowania poprzez zmianę ich geometrii, przebudowę warstw technologicznych istniejącej drogi powiatowej w obrębie skrzyżowania z ulicą Mostową i

Zadania domowe na 3.12.2018 Kognitywistyka: Wstęp do matematyki.. Zadania nie są obowiązkowe, ale są istotne w przygotowaniu

Naucz się tych zwrotów na pamięć.(nagranie do zadania znajdziesz na stronie www.macmillan.pl w zakładce Strefa ucznia. Dalej proszę wejść w Szkoła podstawowa klasy 4-8

Zwracając się do wszystkich, Ojciec Święty raz jeszcze powtarza słowa Chrystusa: „Bóg nie posłał swego Syna na świat po to, aby świat potępił, ale po to, by

Najbliższy wykład poświęcę na dokończenie string’ów (na ostatnim wykładzie straciłem trochę czasu na omawianie klasówki) , napiszemy sortowanie pozycyjne ciągów.. Poza

Konsument może odstąpić od umowy sprzedaży, o ile wada jest istotna, a sprzedawca nie może zablokować tego uprawnienia, gdy rzecz była już naprawiana lub wymieniana.. Konsument

Historia orłowskich klas kończy się jednak dużo później, bo dopiero w 2009 roku, kiedy po 17-letnim okresie karwińskim (klasy te w 1992 roku przeniesiono z Łazów