„ B y t p r z y g o d n y ” z m i e n n y , z a w i e r a j ą c y m o ż n o ś ć o z n a c z a o g ó l * n i e , ż e j e s t w n i m j a k i ś p a r a m e t r . „ B y t z ł o ż o n y z i s t o t y i i s t n i e n i a ” w y k a z u j e z ł o ż e n i e m , ż e w z i ę t a a b s o l u t n i e i s t o t a , t j . a b s t r a h u j ą c a o d s t a n u r e a l n e g o i i d e o w e g o , j e s t p a r a m e t r e m s t a n u , z ł o ż o n y m z d w ó c h r e l a c y j d o a k t u i s t n i e n i a : b y ć w k o m p o z y c j i i b y ć w d e k o m p o z y c j i z a k t e m i s t n i e n i a . — S t ą d p e w n i k V I I I o k a z u j e s i ę n a j o g ó l n i e j s z y m s f o r m u ł o w a n i e m z a s a d y p r z y c z y n o - w o ś c i . — W z w i ą z k u z p o w y ż s z y m i w y w o d a m i m o ż n a
actus purusr ó w n o w a ż n i e o k r e ś l i ć j a k o „ i s t n i e n i e b e z p a r a m e t r o w e ”
P o s i e d z e n i e z d n i a 5 g r u d n i a 1 9 5 7 r .
C z ł . K s . S t a n i s ł a w K a m i e ń s k i z r e f e r o w a ł s w o j ą p r a c ę p t .
O definicjach kontekstowych i zaw ikłanych.N a I K o n f e r e n c j i L o g i k ó w w g r u d n i u 1 9 5 2 r . p o ś w i ę c o n o w i e l e u w a g i u s u n i ę c i u z a m ę t u p a n u j ą c e g o w t e o r i i d e f i n i c j i . W y j a ś n i e n i a m i t e r m i n o l o g i c z n y m i o b j ę t o w t e d y g ł ó w n i e p e w n e t y l k o r o d z a j e d e f i n i c j i , a m i a n o w i c i e d e f i n i c j e r e a l n e i n o m i n a l n e o r a z d e f i n i c j e a n a l i t y c z n e i s y n t e t y c z n e . N i n i e j s z y o d c z y t j e s t p r ó b ą d o p e ł n i e n i a t e g o s a m e g o z d a n i a g ł ó w n i e w o d n i e s i e n i u d o d e f i n i c j i k o n t e k s t o w y c h i u w i k ł a n y c h . B i o r ą c p o d u w a g ę s t r u k t u r ę d e f i n i c j i a z w ł a s z c z a s t o s u n e k d e f i n i e n d u m d o c a ł e j d e f i n i c j i i j e j e l e m e n t ó w d a j e s i ę p o d z i e l i ć w y r a ż e n i a d e f i n i u j ą c e n a d w a z a s a d n i c z e t y p y , k t ó r e m o ż n a b y n a z w a ć d e f i n i c j a m i w p r o s t (
directe) o r a z d e f i n i c j a m i n i e w p r o s t (
indirecte) . P i e r w s z e o k r e ś l a j ą s a m o d e f i n i e n d u m , k t ó r e w y s t ę p u j e o d d z i e l n i e p o j e d n e j s t r o n i e r ó w n o ś c i d e f i n i c y j n e j . D r u g i e n i e o k r e ś l a j ą w p r o s t d e f i n i e n d u m l e c z j a k i ś z w r o t j ę z y k o w y w z g l ę d n i e j e g o s c h e m a t z u w i k ł a n y m w e ń d e f i n i e n d u m , a l b o o k r e ś l a j ą d e f i n i e n d u m j e d y n i e
implicite,t z n . s t a n o w i ą o d p o w i e d n i o d o b r a n e w y r a ż e n i e , w k t ó r e w p l ą t a n e
j e s t d e f i n i e n d u m i s a m o p o s ł u g i w a n i e s i ę t y m w y r a ż e n i e m p o
z w a l a z r o z u m i e ć w p e w n y m s t o p n i u s e n s d e f i n i e n d u m . D e f i n i c j e
n i e w p r o s t z a c z ę t o s t o s o w a ć z e , z r o z u m i e n i e m l u b o m a w i a ć
d o p i e r o w X I X w i e k u . R o z w ó j n o w o c z e s n e j l o g i k i p r z y c z y n i ł
s i ę d o t e g o , ż e o p r a c o w a n o w i e l e r o z m a i t y c h m e t o d d e f i n i o
w a n i a n i e w p r o s t . N i e u p o r z ą d k o w a n o j e d n a k d o s t a t e c z n i e
t y c h r ó ż n y c h o d m i a n d e f i n i c j i n i e w p r o s t , a n i r z e c z o w o , a n i
t e r m i n o l o g i c z n e . C z a s e m t e s a m e n a z w y s ł u ż ą d o o z n a c z a n i a
z u p e ł n i e r ó ż n y c h t y p ó w d e f i n i c j i o r a z t e n s a m r o d z a j d e f i n i c j i
b y w a r o z m a i c i e n a z y w a m y . T a k n p . n i e k t ó r z y a u t o r z y ( K o t a r
b i ń s k i ,
K urs logiki,2 7 — 8 ) p o s ł u g u j ą s i ę t e r m i n e m d e f i n i c j a
"w u w i k ł a n i u n a o z n a c z e n i e d e f i n i c j i t y p u : p 3 q = - p v q , k t ó r ą c z ę ś c i e j z o w i e s i ę w s p ó ł c z e ś n i e d e f i n i c j ą k o n t e k s t o w ą , a i n n i ( C h u r c h ,
In trodiction to M athem acial L ogic,3 2 3 ) n i e c h c ą p r z y z n a ć n a z w y d e f i n i c j i k o n t e k s t o w e j n a s t ę p u j ą c e j d e f i n i c j i : A e B = ( A 3 B ) - ( B a A ) , k t ó r a z d a j e s i ę w z u p e ł n o ś c i s p e ł n i a ć w a r u n k i z a z w y c z a j s t a w i a n e d e f i n i c j o m k o n t e k s t o w y m .
Z a n i m z a p r o p o n u j ę k l a s y f i k a c j ę d e f i n i c j i n i e w p r o s t z e w z g l ę d u n a i c h b u d o w ę p o d a m k i l k a n i e z b ę d n y c h w y j a ś n i e ń . W s t r u k t u r z e r ó ż n y c h d e f i n i c j i m o ż n a w y r ó ż n i ć n a s t ę p u j ą c e e l e m e n t y : d e f i n i e n d u m — w y r a ż e n i e , k t ó r e m a b y ć z d e f i n i o w a n e ; d e f i n i e n s — w y r a ż e n i e d e f i n i u j ą c e ; d e f i n i t u m — w y r a ż e n i e z a w i e r a j ą c e j a k o s w ą c z ę ś ć w ł a ś c i w ą d e f i n i e n d u m i w r a z z n i m p o d l e g a j ą c e z d e f i n i o w a n i u ; r ó w n o ś ć d e f i n i c y j n a — w y r a ż e n i e r ó w n o ś c i p o d j a k i m ś w z g l ę d e m z a c h o d z ą c e j m i ę d z y d e f i n i e n s e m a d e f i n i e n d u m l u b d e f i n i t u m . W d e f i n i c j a c h w y s t ę p u j e r ó ż n e g o r o d z a j u k o n t e k s t d e f i n i e n d u m . M o ż e o n b y ć b ą d ź z e w n ę t r z n y , b ą d ź w e w n ę t r z n y ( z a s a d n i c z y ) i w t e d y w y s t ę p u j e a l b o j a k o k o n t e k s t d l a d e f i n i e n d u m w d e f i n i t u m a l b o w c a ł e j d e f i n i c j i b e z o d r ó ż n i e n i a d e f i n i t u m o d d e f i n i e n d u m . W p i e r w s z y m p r z y p a d k u s t a n o w i ć b ę d z i e b ą d ź t y l k o k o n t e k s t t y p o w y d l a d e f i n i o w a n y c h w y r a ż e ń n i e k o m p l e t n y c h , b ą d ź t a k ż e i n i e t y p o w y d l a w y r a ż e ń k o m p l e t n y c h . K o n t e k s t z e w n ę t r z n y n a t o m i a s t w ł a ś c i w i e d o s a m e j d e f i n i c j i n i e n a l e ż y , j e s t d l a n i e j n i e i s t o t n y . M o ż n a g o n a z w a ć j a k b y o p r a w ą d e f i n i c j i . S ł u ż y o n d o b l i ż s z e g o o k r e ś l e n i a c h a r a k t e r u d e f i n i c j i . T e n k o n t e k s t p o z w a l a b o w i e m o d r ó ż n i ć d e f i n i c j ę m e t a j ę z y k o w ą o d w e w n ę t r z n o j ę z y k o w e j , p r o j e k t u j ą c ą o d s p r a w o z d a w c z e j , d e f i n i c j ę - r e g u ł ę o d d e f i n i c j i - t e z y i t p . N i e c h n p . l i t e r a
As y m b o l i z u j e d e f i n i e n d u m a
B Cd e f i n i e n s . T a k i e m o ż n a w t e d y p r z y t o c z y ć s c h e m a t y d e f i n i c j i z k o n t e k s t e m z e w n ę t r z n y m : b ę d ę r o z u m i a ł A j a k B C , z w y k l e
„ A ” z n a c z y t y l e c o „ B C ” , w j ę z y k u J „ A ” o z n a c z a z a w s z e i t y l k o B C , d e f i n i c j ą A j e s t B C , w j ę z y k u J w o l n o z a s t ę p o w a ć „ A ” p r z e z „ B C ” . D e f i n i c j e n i e w p r o s t m o g ą w y s t ę p o w a ć j a k o z d a n i a — d e f i n i c j e w ł a ś c i w e , b ą d ź j a k o z a w i e r a j ą c e z m i e n n e s c h e m a t y z d a ń — s c h e m a t y d e f i n i c j i ( w y r a ź n i e o d d z i e l a j e C h u r c h ,
Introduction...,
7 8 i 3 2 3 ) o r a z w p o s t a c i t w i e r d z e n i a l u b r e g u ł . T r z e b a t e ż p a m i ę t a ć o r ó ż n i c y , j a k a z a c h o d z i z e w z g l ę d u n a b u d o w ę d e f i n i c j i m i ę d z y d e f i n i c j a m i n a z w a d e f i n i c j a m i f u n k t o r ó w .
D e f i n i c j e n i e w p r o s t d z i e l ą s i ę p r z e d e w s z y s t k i m n a w y r a ź n e o s t r u k t u r z e g w a r a n t u j ą c e p r z e k ł a d a l n o ś ć i n i e - t w ó r c z o ś ć o r a z n i e w y r a ź n e ( n i e k t ó r z y z o w i ą j e u w i k ł a n y m i ) p o z b a w i o n e c h a r a k t e r u n i e t w ó r c z e g o . P i e r w s z e s ą r ó w n o ś c i a m i ,
•w k t ó r y c h d e f i n i e n d u m w y s t ę p u j e w t y p o w y m k o n t e k ś c i e
53
w d e f i n i t u m . D e f i n i u j e s i ę t u j a k b y r o b o c z o . S t ą d z o w i ą s i ę d e f i n i c j a m i u ż y t k o w y m i , a l e n a j c z ę ś c i e j k o n t e k s t o w y m i
( Gebrauchsdefinition, D efiniłion in use).
I c h p o w s z e c h n e u ż y c i e w i ą ż e s i ę z p o w s t a n i e m n o w o c z e s n e j l o g i k i . Z e w z g l ę d u n a l i c z b ę d e f i n i t ó w i d e f i n i e n s ó w o d r ó ż n i a s i ę d e f i n i c j e k o n t e k s t o w e 0 j e d n y m d e f i n i t u m i j e d n y m d e f i n i e n s i e — p r o s t e , o j e d n y m d e f i n i t u m i w i ę c e j n i ż j e d n y m d e f i n i e n s i e — t z w . d e f .
by caseso r a z d e f i n i c j e m a t r y c o w e , o r a z o w i ę c e j n i ż j e d n y m d e f i n i t u m 1 w i ę c e j n i ż j e d n y m d e f i n i e n s i e — s y s t e m r ó w n o ś c i o w y c h z d a ń l u b r e g u ł d e f i n i u j ą c y c h . D o k ł a d n i e j o m a w i a t e t y p y d e f i n i c j i
D o p p
(Les variełes syntaxiques de la definiłion dans les lan-guges rigoreux,
1 9 5 6 ) . D e f i n i c j e n i e w y r a ź n e r o z p a d a j ą s i ę n a t a k i e , k t ó r e g w a r a n t u j ą p r z e k ł a d a l n o ś ć o r a z t a k i e , k t ó r e j e j n i e g w a r a n t u j ą . W ś r ó d p i e r w s z y c h j e d n e m a j ą c h a r a k t e r r ó w n o ś c i o w y c h w k t ó r y c h d e f i n i e n d u m w y s t ę p u j e w d e f i n i t u m , a l e j u ż w n i e t y p o w y m k o n t e k ś c i e , a i n n e n i e r ó w n o ś c i o w e , d l a k t ó r y c h z a s a d n i c z y m k o n t e k s t e m j e s t c a ł a d e f i n i c j a a n i e t y l k o k o n t e k s t d e f i n i t u m . J a k o p r z y k ł a d d e f i n i c j i r ó w n o ś c i o w y c h t e g o r o d z a j u m o ż n a p r z y t o c z y ć t z w . d e f i n i c j e q u a s i — w y r a ź n e , j a k n p . d e f i n i c j a n a z w y a = b s G ( b ) , l u b d e f i n i c j a f u n k t o r a w e d ł u g s c h e m a t u : h ( x - y ) = b = G ( x ^ y - b ) o r a z d e f . m n o g o ś c i o w e u ż y w a n e w l o g i c z n e j t e o r i i n a z w , w e d ł u g s c h e m a t ó w : F ( a b ) = G ( b ) i F / h ( x - y ) b / = G ( x - y - b ) . W c e l u u p r o s z c z e n i a p o m i n i ę t o w t y c h w z o r a c h o z n a c z a n i e t y p u z m i e n n y c h . D e f i n i e n d u m j e s t t u t a j n a z w a a o r a z f u n k t o r n a z w o t w ó r c z y c h h . Z n a n y m n a w e t w p o d r ę c z n i k a c h e l e m e n t a r n y c h p r z y k ł a d e m ą u a s i - d e f i n i c j i f u n k t o r a j e s t n a s t ę p u j ą c a d e f i n i c j a o d e j m o w a n i a : a — b = c = a = b + c . D e f i n i c j e n i e r ó w n o ś c i o w e t e g o r o d z a j u t o d e f i n i c j e i n d u k c y j n e z w a n e r e k u r e n c y j n y m i . J u ż F r e g e (
B egriffisch rifł, 1 8 7 9 ) b u d o w a ł p e w i e n s z c z e g ó l n y t y p d e f i n i c j i r e k u r e n c y j n y c h t z w . d e f i n i c j e a n c e s t r a l n e . D e f i n i c j e i n d u k c y j n e s p o p u l a r y z o w a n e z o s t a ł y d z i ę k i z a s t o s o w a n i u i c h p r z e z P e a n o w j e g o s y s t e m i e a r y t m e t y k i . O t o s c h e m a t i n d u k c y j n e j d e f i n i c j i f u n k t o r a h :
h ( a - 1) = a h ( a ’ n - f 1 ) - g / h ( a - n ) - a /
D o b r z e z n a n y j e s t p r z y k ł a d i n d u k c y j n e j d e f i n i c j i n a z w y , m i a n o
w i c i e z a z w y c z a j p o d a w a n a d e f i n i c j a w y r a ż e n i a s e n s o w n e g o ( p o
p r a w n i e z b u d o w a n e g o ) w s y s t e m i e d e d u k c y j n y m ( o d e f . r e k u r e n
c y j n y c h p i s z e : L . K a l m a r , A . C h u r c h , R . S u s z k o ) . D e f i n i c j e
n i e w y r a ź n e , k t ó r e n i e g w a r a n t u j ą p r z e k ł a d a l n o ś c i , c z y l i t z w .
p s e u d o d e f i n i c j e w y s t ę p u j ą z a z w y c z a j b ą d ź w p o s t a c i r e g u ł
u ż y w a n i a d e f i n i e n d u m b ą d ź w p o s t a c i t e z y ( c z ę ś c i e j u k ł a d u
t e z ) p o s ł u g u j ą c e j s i ę d e f i n i e n d u m t a k , ż e d o s t a t e c z n i e w y z n a
c z o n y z o s t a j e p r z e z t o j e g o s e n s . R e g u ł a u ż y w a n i a d e f i n i e n d u m
z w a n a j e s t c z a s e m
regiilar definition.J e s t n i ą n p . n a s t ę p u j ą c a d e f i n i c j a f u n k t o r a
lub:s ł o w o
lubs ł u ż y w l o g i c e z a w s z e i t y l k o d o p o ł ą c z e n i a d w ó c h z d a ń , z k t ó r y c h p r z y n a j m n i e j j e d n o j e s t p r a w d z i w e . T e z a ( u k ł a d t e z ) b ę d ą c a n i e w y r a ź n ą d e f i n i c j ą n i e - p r z e k ł a d a l n ą p r z y b i e r a f o r m ę a l b o s p e c j a l n e j r ó w n o w a ż n o ś c i ( d e f i n i c j a p r z e z a b s t r a k c j ę ) a l b o p r a w a - f o r m u ł y ( d e f i n i c j a w u w i k ł a n i u ) , k t ó r a z e w z g l ę d u n a c h a r a k t e r s y s t e m u w j a k i m w y s t ę p u j e , b y w a b ą d ź a k s j o m a t e m ( d e f i n i c j a a k s j o m a t y c z n a ) , b ą d ź w o l n y m c d s p r z e c z n o ś c i u k ł a d e m p o s t u l a t ó w ( d e f i n i c j a p r z e z p o s t u l a t y ) . O w ł a ś c i w o ś c i a c h d e f i n i c j i p r z e z a b s t r a k c j ę w i e d z i a ł j u ż L e i b n i z , a l e d o p i e r o w k o ń c u X I X w i e k u z a c z ę t o r o z u m i e ć j e j n a t u r ę , a w y r a ź n i e s p r e c y z o w a ł j ą R u s s e l l w 1 9 0 3 r . S c h e m a t d e f i n i c j i p r z e z a b s t r a k c j ę j e s t n a s t ę p u j ą c y : a R b = f a = f b , g d z i e d e t i n i e n d u m s t a n o w i w ł a ś c i w i e R , a w i ę c w y r a ż e n i e , k t ó r e w s a m e j d e f i n i c j i w y s t ę p u j e w n i e c o z m i e n i o n e j p o s t a c i . R j e s t t u d w u c z ł o n o w ą r e l a c j ą s y m e t r y c z n ą , p r z e c h o d n i ą i z w r o t n ą , a w i ę c d e f i n i c j a p r z e z a b s t r a k c j ę m o ż l i w a j e s t j e d y n i e w t y c h p r z y p a d k a c h , w k t ó r y c h m a m y d o c z y n i e n i a z t a k ą r e l a c j ą . P o p u l a r n e p r z y k ł a d y d e f i n i c j i p r z e z a b s t r a k c j ę t o : w l o g i c e d e f i n i c j a k a t e g o r i i s y n t ; k t y c z n e j , w m a t e m a t y c e d e f i n i c j a r ó w n o l i c z n o ś c i , w b i o l o g i i d e f i n i c j a g a t u n k u ( o d e f i n i c j i p r z e z a b s t r a k c j ę p i s a l i : S c h o l z - S c h w e i t z e r , W i l k o s z , C a s s i n a ) . D e f i n i c j a u w i k ł a n a u s t a l a , b ą d ź w y z n a c z a a l t e r n a t y w n i e l u b j e d n o z n a c z n i e j a k i ś s e n s z n a k u p r z e z p r z y j ę c i e n i e s p r z e c z n e g o z a ł o ż e n i a , w k t ó r e t e n z n a k j e s t w p l ą t a n y . M y ś l s t o s o w a n i a t e g o r o d z a j u d e f i n i c j i ś w i t a ł a j u ż d a w n o ( n p . u H o b b e s a , L e i b n i z a i L o c k e ’ a ) , a l e w y r a ź n i e o m ó w i ł j e w r o k u 1 8 1 8 G e r g o n n e . O t o j e g o p r z y k ł a d u w i k ł a n e j d e f i n i c j i p r z e k ą t n e j : C z w o r o b o k m a d w i e p r z e k ą t n e , z k t ó r y c h k a ż d a d z i e l i g o n a d w a t r ó j k ą t y ( t r z e b a z w r ó c i ć u w s g ę , ż e D u b i s l a v n i e s ł u s z n i e u w a ż a t ę d e f i n i c j ę z a k o n t e k s t o w ą w w y ż e j p o d a n y m s e n s i e ) . M . P a s c h n a t o m i a s t d o m y ś l a s i ę
( Vorlesvngen iiber neure Geom etrie,
1 8 8 2 ) i d e i w s p ó ł c z e s n y c h d e f i n i c j i p r z e z p o s t u l a t y t w i e r d z ą c , ż e p r a w d z i w o ś ć t e z g e o m e t r i i z a l e ż y o d u s t a n o w i o n y c h w p o s t u l a t a c h p o d s t a w o w y c h s t o s u n k ó w ( j a k b y d z i ś m o ż n a p o w i e d z i e ć — s e n s ó w f o r m a l n y c h s y m b o l i ) . Z w i ę k s z a n i e s t o p n i a f o r m a l i z a c j i s y s t e m u d e d u k c y j n e g o d o p r o w a d z i ł o d o o d r ó ż n i a n i a n i e k i e d y w ś r ó d d e f i n i c j i u w i k ł a n y c h d e f i n i c j i a k s j o - i p a t y c z n e j w s y s t e m i e a k s j o m a t y c z n y m o r a z d e f i n i c j i p r z e z p o s t u l a t y w s y s t e m i e s f o r m a l i z o w a n y m . D e f i n i c j e a k s j o m a t y c z n e u s t a l a j ą d o p e w n e g o s t o p n i a ( n a t y l e p r z y n a j m n i e j a b y m o ż n a , b y ł o r o z s t r z y g n ą ć p r a w d z i w o ś ć n i e k t ó r y c h z d a ń z a w i e r a j ą c y c h d e f i n i e n d u m ) s e n s d e f i n i e n d u m . D e f i n i c j e p r z e z p o s t u l a t y u s t a n a w i a j ą s e n s f o r m a l n y s y m b o l i s t a ł y c h w n i c h w y s t ę p u j ą c y c h . W y z n a c z a j ą g o j e d n o z n a c z n i e , j e ś l i u k ł a d p o s t u l a t ó w j e s t
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