Odpowiedzi i wskazówki — Zestaw 8 Grawitacja

(1)

http://www.ftj.agh.edu.pl/∼malarz/fizyka/ Zestaw 8

Odpowiedzi i wskazówki — Zestaw 8 Grawitacja

WMS — Matematyka, rok II 1. • prawo powszechnego ci ażenia: _,

F ~ G = −G m 1 m 2

r ³ ~ r 12

• przyspieszenie grawitacyjne:

~ g(~ r) = F ~ G

m = − GM r ² ˆ r g(r = R) = GM

R ² ≈ 9.81 [m/s ² ]

• energia potencjalna:

E p = W r→∞ = −W _∞→r = −G M m r

• potencjał:

V = E p

m = − GM

r = − GM

p x ² + y ² + z ²

• pierwsza prędkość kosmiczna: siłę odśrodkową równoważy siła oddziaływania grawitacyjnego.

v 1 = p

GM/R = p

gR ≈ 7.9 [km/s]

• druga prędkość kosmiczna: proszę skorzystać z zasady zachowania energii mechanicznej.

v ₂ = √

2v ₁ ≈ 11.2 [km/s]

2. Znów proszę skorzystać z zasady zachowania energii...

v = √ 2v 0

3. Korzystamy z prawa Gaussa dla pola grawitacyjnego Z Z

Σ

~

γ ◦ d~ σ = 4πG Z Z Z

V

ρdτ

ρ = 3M

4π(R ³ _Z − R ³ _W )

• r < R W

M (r) = 0 → ~ γ = ~0

• R W < r < R Z

M (r) = M · r ³ − R ² _W

R ³ _Z − R ³ _W → ~ γ(~ r) = − GM

r ² · r ³ − R ² _W R _Z ³ − R ³ _W r ˆ

• r > R _Z

M (r) = M → ~ γ = − GM r ² r ˆ

4. Generatorem równań ruchu w mechanice klasycznej jest pewne prawo fizyczne pozwalające zapisać:

¨

x = − GM (x) x ² M (x)

M = x ³ R ³

¨

x = − GM

R ³ x = −ω ² x

Równanie jest analogiczne jak w przypadku położenia ciała na sprężynie, czy ładunku na okładkach kon- densatora w układzie LC — a więc równaniem oscylatora harmonicznego:

T = 2π ω = 2π

r R ³ GM

Grawitacja 1

(2)

http://www.ftj.agh.edu.pl/∼malarz/fizyka/ Zestaw 8

Czas t przebycia drogi o długości połowy równika można sprawnie znaleźć żądając zrównoważenia sił działających na satelitę krążącego po orbicie o promieniu R

t = T /2.

5. F = − ~ L ² mr ²

d ² dϕ ²

1 r

+ 1

r

· ˆ r, ϕ = ˙ L

mr ² , L = const ~ r(ϕ) = p

1 + e cos ϕ F = − ~ L ²

mp ˆ r r ² , co matematycznie wyraża treść pierwszego prawa Keplera.

Porównując wyznaczoną siłę F z prawem powszechnego ciążenia mamy p = L ²

GM m ² .

Mimośród e możemy natomiast powiązać z całkowitą energią ciała E:

E = E K + E G = mv ²

2 − GM m

r = G ² M ² m ³ e ²

2L ² − G ² M ² m ³ 2L ² e =

r

1 + 2EL ² G ² M ² m ³ 6.

S = Z ϕ

₂

ϕ

₁

1 2 r ² (ϕ)dϕ Prędkość polowa

S = ˙ dσ dt =

1 2 r ² dϕ

dt = 1

2 r ² ϕ = ˙ 1 2 r ² L

mr ² = L 2m Co przy stałości L wyraża treść drugiego prawa Keplera.

7. Policzmy pole jakie zakreśla promień wodzący planety w ciągu okresu obiegu elipsy Z T

0 Sdt = ˙ LT 2m . Pole elipsy o półosiach a i b wynosi

S = πab.

Stąd okres obiegu elipsy wynosi

T = 2πabm L . Półosie elipsy są odpowiednio równe: a = p/(1 − e ² ) oraz b = a √

Odpowiedzi i wskazówki — Zestaw 8 Grawitacja

http://www.ftj.agh.edu.pl/∼malarz/fizyka/ Zestaw 8

Odpowiedzi i wskazówki — Zestaw 8 Grawitacja

WMS — Matematyka, rok II 1. • prawo powszechnego ci ażenia: ,

F ~ G = −G m 1 m 2

r 3 ~ r 12

• przyspieszenie grawitacyjne:

~ g(~ r) = F ~ G

m = − GM r 2 ˆ r g(r = R) = GM

R 2 ≈ 9.81 [m/s 2 ]

• energia potencjalna:

E p = W r→∞ = −W ∞→r = −G M m r

• potencjał:

V = E p

m = − GM

r = − GM

p x 2 + y 2 + z 2

• pierwsza prędkość kosmiczna: siłę odśrodkową równoważy siła oddziaływania grawitacyjnego.

v 1 = p

GM/R = p

gR ≈ 7.9 [km/s]

• druga prędkość kosmiczna: proszę skorzystać z zasady zachowania energii mechanicznej.

v 2 = √

2v 1 ≈ 11.2 [km/s]

2. Znów proszę skorzystać z zasady zachowania energii...

v = √ 2v 0

3. Korzystamy z prawa Gaussa dla pola grawitacyjnego Z Z

Σ

~

γ ◦ d~ σ = 4πG Z Z Z

V

ρdτ

ρ = 3M

4π(R 3 Z − R 3 W )

• r < R W

M (r) = 0 → ~ γ = ~0

• R W < r < R Z

M (r) = M · r 3 − R 2 W

R 3 Z − R 3 W → ~ γ(~ r) = − GM

r 2 · r 3 − R 2 W R Z 3 − R 3 W r ˆ

• r > R Z

M (r) = M → ~ γ = − GM r 2 r ˆ

4. Generatorem równań ruchu w mechanice klasycznej jest pewne prawo fizyczne pozwalające zapisać:

¨

x = − GM (x) x 2 M (x)

M = x 3 R 3

¨

x = − GM

R 3 x = −ω 2 x

Równanie jest analogiczne jak w przypadku położenia ciała na sprężynie, czy ładunku na okładkach kon- densatora w układzie LC — a więc równaniem oscylatora harmonicznego:

T = 2π ω = 2π

r R 3 GM

Grawitacja 1

http://www.ftj.agh.edu.pl/∼malarz/fizyka/ Zestaw 8

Czas t przebycia drogi o długości połowy równika można sprawnie znaleźć żądając zrównoważenia sił działających na satelitę krążącego po orbicie o promieniu R

t = T /2.

5.

F = − ~ L 2 mr 2

 d 2 dϕ 2

 1 r

 + 1

r



· ˆ r, ϕ = ˙ L

mr 2 , L = const ~ r(ϕ) = p

1 + e cos ϕ F = − ~ L 2

mp ˆ r r 2 , co matematycznie wyraża treść pierwszego prawa Keplera.

Porównując wyznaczoną siłę F z prawem powszechnego ciążenia mamy p = L 2

GM m 2 .

Mimośród e możemy natomiast powiązać z całkowitą energią ciała E:

E = E K + E G = mv 2

2 − GM m

r = G 2 M 2 m 3 e 2

2L 2 − G 2 M 2 m 3 2L 2 e =

r

1 + 2EL 2 G 2 M 2 m 3 6.

S = Z ϕ

ϕ

1

2 r 2 (ϕ)dϕ Prędkość polowa

WMS — Matematyka, rok II 1. • prawo powszechnego ci ażenia: _,

r ³ ~ r 12

m = − GM r ² ˆ r g(r = R) = GM

R ² ≈ 9.81 [m/s ² ]

E p = W r→∞ = −W _∞→r = −G M m r

p x ² + y ² + z ²

v ₂ = √

2v ₁ ≈ 11.2 [km/s]

4π(R ³ _Z − R ³ _W )

M (r) = M · r ³ − R ² _W

R ³ _Z − R ³ _W → ~ γ(~ r) = − GM

r ² · r ³ − R ² _W R _Z ³ − R ³ _W r ˆ

• r > R _Z

M (r) = M → ~ γ = − GM r ² r ˆ

x = − GM (x) x ² M (x)

M = x ³ R ³

R ³ x = −ω ² x

r R ³ GM

F = − ~ L ² mr ²

d ² dϕ ²

1 r

+ 1

mr ² , L = const ~ r(ϕ) = p

1 + e cos ϕ F = − ~ L ²

mp ˆ r r ² , co matematycznie wyraża treść pierwszego prawa Keplera.

Porównując wyznaczoną siłę F z prawem powszechnego ciążenia mamy p = L ²

GM m ² .

E = E K + E G = mv ²

r = G ² M ² m ³ e ²

2L ² − G ² M ² m ³ 2L ² e =

1 + 2EL ² G ² M ² m ³ 6.

2 r ² (ϕ)dϕ Prędkość polowa

1 2 r ² dϕ

2 r ² ϕ = ˙ 1 2 r ² L

mr ² = L 2m Co przy stałości L wyraża treść drugiego prawa Keplera.

T = 2πabm L . Półosie elipsy są odpowiednio równe: a = p/(1 − e ² ) oraz b = a √

1 − e ² . T ²

a ³ = 4π ²