Wstęp do modelowania matematycznego – odpowiedzi, wskazówki, rozwiązania
1. Niech 𝑚 i 𝑛 będą liczbami naturalnymi. Ile punktów kratowych leży na odcinku o końcach (0, 0) i (𝑚, 𝑛)?
Odp. 1 + 𝑑, gdzie 𝑑 = NWD(𝑚, 𝑛) – największy wspólny dzielnik liczb 𝑚 i 𝑛.
Wsk. Rozważyć przypadek, gdy 𝑚 i 𝑛 są względnie pierwsze, tzn. NWD(𝑚, 𝑛) = 1. Wykazać, że wtedy jedynie końce odcinka są punktami kratowymi.
2. Korzystając z twierdzenia Picka obliczyć pole powierzchni :
a) czworokąta o wierzchołkach 𝑂 = (0, 0), 𝐾 = (−2, 7), 𝐿 = (1, 10) i 𝑀 = (9, 6) ;
b) czworokąta z podpunktu a) z wyciętym trójkątem o wierzchołkach (0, 2), (0, 6) i (4, 6).
Sprawdzić wynik metodami geometrycznymi.
Odp. a) 𝑃1= 𝑃𝑂𝐾𝐿𝑀 = 551
2; b) 𝑃2 = 471
2.
Rozw.. W zliczaniu punktów kratowych na brzegu można wykorzystać wynik zadania 1:
𝑂𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [9, 6], 𝐾𝐿⃗⃗⃗⃗⃗ = [−8, 4], 𝐿𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [−3, −3], 𝑀𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [2, −7]: zatem 𝑑1= NWD(9, 6) = 3, 𝑑2= NWD(−8, 4) = 4, 𝑑3= NWD(−3, −3) = 3, 𝑑4= NWD(2, −7) = 1, stąd liczba punktów kratowych na brzegu 𝐵 = (1 + 𝑑1) + (1 + 𝑑2) + (1 + 𝑑3) + (1 + 𝑑4) − 4 = (cztery końce odcinków liczyliśmy dwukrotnie) 𝑑1+ 𝑑2+ 𝑑3+ 𝑑4 = 3 + 4 + 3 + 1 = 11.
Liczba punktów kratowych wewnątrz czworokąta (licząc rzędami poziomymi) jest równa 𝑊 = 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 10 + 8 + 5 + 2 = 51. Ze wzoru Picka 𝑃𝑂𝐾𝐿𝑀 = 𝑊 +1
2𝐵 − 1 = 51 +11
2 − 1 = 551
2. Do sprawdzenia wyniku wykorzystamy wzór na pole trójkąta rozpiętego na wektorach 𝑢⃗ = [𝑢1, 𝑢2] i 𝑣 = [𝑣1, 𝑣2]: 𝑃 =12|det [𝑢1 𝑢2
𝑣1 𝑣1]| =12|𝑢1∙ 𝑣2− 𝑣1∙ 𝑢2|.
Mamy 𝑂𝐿⃗⃗⃗⃗⃗ = [1, 10] i 𝑃1= 𝑃𝑂𝐾𝐿𝑀 = 𝑃𝑂𝐾𝐿= +𝑃𝑂𝐿𝑀=1
2|det [9 6 1 10]| +1
2|det [1 10 2 −7]| =
1
2|9 ∙ 10 − 1 ∙ 6| +1
2|1 ∙ (−7) − 2 ∙ 10| =1
2(84 + 27) =111
2 = 551
2.
Podobnie w przypadku b) 𝑊 = 36, 𝐵 = 23 i „poprawiony” wzór Picka 𝑃 = 𝑊 −12𝐵 daje wynik 𝑃2= 4712, albo geometrycznie 𝑃2= 𝑃1−12∙ 4 ∙ 4 = 5512− 8 = 4712.
3. Czy można umieścić trójkąt równoboczny w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie w taki sposób, aby wszystkie współrzędne wierzchołków były liczbami całkowitymi? A czy można w ten sposób umieścić czworościan foremny w przestrzeni ?
Odp. Nie. Pole takiego trójkąta byłoby liczbą niewymierną (𝑃 =𝑎24√3, 𝑎2 ∈ ℤ), a z drugiej strony, np. z twierdzenia Picka pole jest równe połowie liczby całkowitej – sprzeczność.
W przestrzeni jest inaczej: czworościan foremny o wierzchołkach w punktach kratowych istnieje (w związku z tym trójkąty równoboczne też): wystarczy rozważyć sześcian o przeciwległych wierzchołkach (0, 0, 0) i (1, 1, 1) i w ten sześcian wpisać czworościan foremny: jego wierzchołkami będą cztery wierzchołki sześcianu parami nie sąsiadujące.
4. Wyznaczyć liczbę krawędzi i wierzchołków:
a) ośmiościanu foremnego;
b) dwunastościanu foremnego.
Odp. a) 𝐾 = 12, 𝑊 = 6; b) 𝐾 = 30, 𝑊 = 20.
5. Wykazać, że każdy wielościan prosty (tzn. homeomorficzny ze sferą) ma albo ścianę o trzech krawędziach, albo wierzchołek, w którym schodzą się trzy krawędzie (albo jedno i drugie).
Dowód: Niech 𝑆𝑛, 𝑊𝑛 oznacza odpowiednio liczbę ścian 𝑛 − kątnych oraz liczbę wierzchołków stopnia 𝑛. Mamy wykazać, że 𝑆3+ 𝑊3≥ 1. Wykażemy mocniejszą tezę, a mianowicie, że w dowolnym wielościanie prostym 𝑆3+ 𝑊3≥ 8:
2𝐾 = 3𝑆3+ 4𝑆4+ 5𝑆5+ ⋯ ≥ 3𝑆3+ 4𝑆4+ 4𝑆5+ ⋯ = 3𝑆3+ 4(𝑆4+ 𝑆5+ ⋯ ) = 3𝑆3+ 4(𝑆 − 𝑆3) = 4𝑆 − 𝑆3.
Stąd 𝑆3≥ 4𝑆 − 2𝐾. Podobnie dla wierzchołków 𝑊3≥ 4𝑊 − 2𝐾.
Dodając te nierówności stronami otrzymujemy:
𝑆3+ 𝑊3≥ 4𝑊 − 4𝐾 + 4𝑆 = 4 ∙ (𝑊 − 𝐾 + 𝑆) = 4 ∙ 2 = 8
6. Niech 𝑆 oznacza liczbę ścian, 𝐾- liczbę krawędzi, a 𝑊- liczbę wierzchołków wielościanu prostego. Wykazać, że:
a) 𝑆 ≤ 2𝑊 − 4;
b) 𝐾 ≤ 3𝑊 − 6;
c) jeśli wielościan nie ma ścian trójkątnych, to 𝐾 ≤ 2𝑊 − 4.
Rozw. Jak w poprzednim zadaniu: liczymy krawędzie, każdą dwukrotnie, stąd
2𝐾 = 3𝑆3+ 4𝑆4+ 5𝑆5+ ⋯ ≥ 3𝑆3+ 3𝑆4+ 3𝑆5+ ⋯ = 3(𝑆3+ 𝑆4+ 𝑆5+ ⋯ ) = 3𝑆 a) ze wzoru Eulera 𝐾 = 𝑊 + 𝑆 − 2 i mamy
2𝐾 ≥ 3𝑆 ↔ 2(𝑊 + 𝑆 − 2) ≥ 3𝑆 ↔ 2𝑊 + 2𝑆 − 4 ≥ 3𝑆 ↔ 𝑆 ≤ 2𝑊 − 4.
ze wzoru Eulera 𝑆 = 2 + 𝐾 − 𝑊 i mamy
b) 2𝐾 ≥ 3𝑆 ↔ 2𝐾 ≥ 3(2 + 𝐾 − 𝑊) ↔ 2𝐾 ≥ 6 + 3𝐾 − 3𝑊 ↔ 𝐾 ≤ 2𝑊 − 6.
c) 2𝐾 = 4𝑆4+ 5𝑆5+ ⋯ ≥ 4𝑆4+ 4𝑆5+ ⋯ = 4(𝑆4+ 𝑆5+ ⋯ ) = 4𝑆 i dalej j.w.
7. Niech w wielościanie prostym każda ściana będzie pięcio- lub sześciokątem. Wykazać, ze:
a) wielościan musi mieć co najmniej 12 ścian pięciokątnych;
b) jeśli w każdym wierzchołku schodzą się dokładnie trzy ściany, to ma on dokładnie 12 ścian pięciokątnych.
Dowód: Przy oznaczeniach j.w. mamy: 2𝐾 = 5𝑆5+ 6𝑆6= 5𝑆5+ 6(𝑆 − 𝑆6) = 6𝑆 − 𝑆5 (*).
Ponadto 2𝐾 ≥ 3𝑊 (w każdym wierzchołku schodzą się co najmniej 3 krawędzie, ale każdą krawędź liczymy 2 razy), stąd 4𝐾 ≥ 6𝑊 (**). Dodając () i (**) stronami otrzymujemy
6𝐾 ≥ 6𝑆 − 𝑆5+ 6𝑊, a stąd 𝑆5≥ 6(𝑊 − 𝐾 + 𝑆) = 6 ∙ 2 = 12 (ze wzoru Eulera), co dowodzi tezy a). Zakładając równość w (**) otrzymujemy tezę z punktu b).
8. Niech dla parkietażu foremnego lub półforemnego symbol (𝑘, 𝑙, 𝑚) oznacza, że w dowolnym wierzchołku schodzą się trzy wielokąty o liczbie boków 𝑘, 𝑙 i 𝑚.
a) Wykazać, że 1𝑘+1
𝑙+ 1
𝑚=1
2 (∗)
Dowód: W dowolnym 𝑛 − kącie suma miar kątów wewnętrznych jest równa (𝑛 − 2) ∙ 𝜋.
Zatem w 𝑛 − kącie foremnym miara kąta wewnętrznego jest równa 𝑛−2
𝑛 𝜋 = (1 −2
𝑛) ∙ 𝜋. Jeśli mamy parkietaż półforemny o symbolu (𝑘, 𝑙, 𝑚), to
(1 −2
𝑘) ∙ 𝜋 + (1 −2
𝑙) ∙ 𝜋 + (1 −2
𝑚) ∙ 𝜋 = 2𝜋, czyli 1 −2
𝑘+ 1 −2
𝑙 + 1 − 2
𝑚= 2 i dalej
2 𝑘+2
𝑙+ 2
𝑚= 1, skąd po podzieleniu przez 2 otrzymujemy tezę.
b) Narysować parkietaże odpowiadające symbolom (6, 6, 6), (3, 12, 12), (4, 6, 12), (4, 8, 8).
c) Wykazać, że spełnienie warunku (∗) nie wystarcza, aby istniał parkietaż odpowiadający danemu symbolowi (rozważyć przykład trójki (3, 10, 15)).
Dowód: Przypuśćmy, że parkietaz o symbolu (3, 10, 15) istnieje i trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest jednym z jego elementów. Załóżmy że krawędź 𝐴𝐵 łączy ten trójkąt z dziesięciokątem. Wówczas krawędzie 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 łączą trójkąt 𝐴𝐵𝐶 z piętnastokątami, a zatem w wierzchołku 𝐶 mamy konfigurację (3, 15, 15) – sprzeczność.
9. W podobny sposób możemy zdefiniować symbol (𝑘, 𝑙, 𝑚) dla wielościanu półforemnego.
Opisać wielościan (podać liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian poszczególnych typów) o symbolu
a) (4, 6, 8);
b) (5, 6, 6);
c) (4, 6, 10).
Wsk. (do przykładu a) Niech 𝑆𝑛 oznacza liczbę ścian, które są 𝑛-kątami. Wówczas spełnione są zależności: 2𝑆4= 3𝑆6 (każdy kwadrat przylega do dwóch sześciokątów, a każdy sześciokąt do trzech kwadratów), 2𝑆4= 4𝑆8 (analogicznie) i 4𝑆4+6𝑆6+ 8𝑆8= 2𝐾 (co wynika z
policzenia liczby krawędzi dwoma sposobami). (Można też zauważyć, że 𝑊 = 4𝑆4= 6𝑆6= 8𝑆8 , gdyż każdy wierzchołek należy tylko do jednej ściany danego typu, ale ta uwaga nie ma zastosowania w punkcie b).
10. Narysować wszystkie grafy proste o wierzchołkach oznaczonych 1, 2, 3.
11. Ile jest wszystkich grafów prostych o wierzchołkach oznaczonych 1, 2, …, 𝑛?
Odp. 2(𝑛2). Mamy (𝑛2) par wierzchołków grafu. Każda para może być lub nie byćpołączona krawędzią.
12. Narysować:
a) graf prosty
b) graf, który nie jest prosty, ale nie ma pętli
c) graf, który nie jest prosty, ale nie ma krawędzi wielokrotnych.
Każdy z grafów ma mieć 5 wierzchołków i 8 krawędzi.
13. Narysować wszystkie nieizomorficzne spójne grafy proste o 𝑛 wierzchołkach nieoznaczonych dla 𝑛 = 4 i 5 (jest ich odpowiednio 6 oraz 21).
14. Podać przykład grafu prostego o 𝑛 wierzchołkach, którego wszystkie wierzchołki mają stopień równy 3, dla 𝑛 = 8 oraz 𝑛 = 10. Czy jest to możliwe, jeśli 𝑛 = 9?
Odp. Przykładem dla dowolnego 𝑛 parzystego (𝑛 ≥ 6) jest graf graniastosłupa, którego podstawą jest 𝑚 − kąt (𝑛 = 2𝑚). Dla 𝑛 = 4 jest to graf pełny 𝐾3 (graf czworościanu). Dla liczby nieparzystej 𝑛 taki graf nie istnieje (wniosek z lematu Eulera o uściskach dłoni).
15. Uzasadnić, że każdy graf prosty ma przynajmniej dwa wierzchołki tego samego stopnia.
Dowód (nie wprost): Przypuśćmy, że stopnie wszystkich wierzchołków są parami różne. Ciąg stopni wierzchołków jest więc równy (0, 1, 2, … , 𝑛 − 1). Wierzchołek mający stopień 𝑛 − 1 jest połączony ze wszystkimi pozostałymi wierzchołkami, co przeczy temu, że mamy wierzchołek izolowany (stopnia 0).
16. Podać przykład symetrycznej sieci komunikacyjnej pomiędzy 10 miastami takiej, że z dowolnego miasta można dostać się do każdego innego miasta z co najwyżej jedną
przesiadką, a z każdego miasta są co najwyżej trzy połączenia. Czy taka sieć jest możliwa dla 𝑛 miast, jeśli 𝑛 = 8 , 𝑛 = 9, 𝑛 = 11?
Dla 𝑛 = 10 jest to graf Petersena. Graf o żądanych własnościach istnieje dla 𝑛 = 8, nie istnieje dla 𝑛 = 9 ani dla 𝑛 = 11.
17. Podać przykład grafu spójnego:
a) eulerowskiego, ale nie hamiltonowskiego b) hamiltonowskiego, ale nie eulerowskiego c) ani hamiltonowskiego, ani eulerowskiego
d) hamiltonowskiego i eulerowskiego jednocześnie.
18. Kiedy graf pełny jest grafem eulerowskim, a kiedy hamiltonowskim? To samo pytanie dla grafów pełnych dwudzielnych.
Odp. Graf pełny 𝐾𝑛 jest:
a) eulerowski ↔ 𝑛 jest liczbą nieparzystą b) hamiltonowski ↔ 𝑛 ≠ 2
Graf pełny dwudzielny 𝐾𝑚,𝑛 jest:
a) eulerowski ↔ 𝑚 = 𝑛 jest liczbą parzystą b) hamiltonowski ↔ 𝑚 = 𝑛 ≥ 2
19. Które z grafów platońskich są eulerowskie? Które są hamiltonowskie?
Odp. Hamiltonowskie są wszystkie grafy platońskie, eulerowski jest tylko graf ośmiościanu.
20. Wykazać, że w dowolnej grupie 6 osób zawsze znajdą się 3 osoby znające się nawzajem, albo 3 osoby, z których żadna nie zna dwóch pozostałych.
Podać przykład grupy 5 osób, w której nie ma ani 3 osób znających się nawzajem, ani 3 osób takich, że żadna nie zna dwóch pozostałych.
Dowód: Oznaczmy osoby literami 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹. Rozważmy osobę 𝐴. Wśród pozostałych osób albo jest co najmniej trzech znajomych 𝐴, albo co najmniej trzech nieznajomych 𝐴. W pierwszym przypadku niech wśród znajomych 𝐴 będą 𝐵, 𝐶, 𝐷. Jeśli pewne dwie spośród tych trzech osób się znają, to one wraz z 𝐴 tworzą one szukaną trójkę. Jeśli wśród 𝐵, 𝐶, 𝐷 nie ma dwóch znajomych, to jest to szukaną trójką jest 𝐵, 𝐶, 𝐷. W drugim przypadku rozumowanie przebiega analogicznie.
Sytuację opisaną w zadaniu możemy zilustrować w postaci grafu o wierzchołkach 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 i 𝐹, w którym krawędzie odpowiadają znajomościom.
Graf przedstawiający pięciokąt (graf cykliczny) jest przykładem spełniającym warunki opisane w drugiej części zadania.
21. Kostką 𝑛-wymiarową nazywamy graf, którego wierzchołkami są ciągi zerojedynkowe długości 𝑛, a dwa wierzchołki uznajemy za sąsiednie, jeśli różnią się na dokładnie jednej współrzędnej.
a) Jaki stopień mają wierzchołki kostki 𝑛-wymiarowej?
b) Ile wierzchołków i ile krawędzi ma kostka 𝑛-wymiarowa?
Odp. a) stopień każdego wierzchołka jest równy 𝑛 − 1 ; b) kostka 𝑛-wymiarowa ma 2𝑛 wierzchołków i 𝑛 ∙ 2𝑛−1 krawędzi.
22. Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej określonej równaniem:
a) 𝑥3+ 𝑦3− 2𝑥𝑦 = 0 w punkcie (1, 1);
b) 𝑥𝑒𝑦+ 𝑦𝑒𝑥− 𝑒𝑥𝑦 = 0 w punkcie (1, 0);
c) 𝑥𝑦= 𝑦𝑥 w punkcie (2, 4);
d) 𝑥2+ 𝑦2− 𝑥23𝑦 − 1 = 0 w punktach (1, 0) oraz (1, 1).
23. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanych:
a) 𝑦 = 𝑦(𝑥) b) 𝑥 = 𝑥(𝑦)
określonych równaniem 𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2+ 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0.
24. Wyznaczyć półosie i ogniska elipsy o równaniu 16𝑥2+ 25𝑦2 = 400. Sporządzić rysunek.
25. Narysować hiperbolę określoną równaniem 𝑥2− 4𝑦2= 4. Wyznaczyć ogniska i asymptoty.
26. Opisać we współrzędnych biegunowych i narysować krzywe określone równaniami:
a) 𝑥2+ 𝑦2= 1;
b) 𝑥2+ 𝑦2= 2𝑥;
c) 𝑥2+ 𝑦2= 2𝑥 + 2𝑦;
d) (𝑥2+ 𝑦2)2= 4(𝑥2− 𝑦2) (lemniskata Bernoullego);
e) (𝑥2+ 𝑦2− 𝑥)2= 𝑥2+ 𝑦2 (kardioida).
27. Opisać we współrzędnych biegunowych i narysować następujące obszary:
a) {(𝑥, 𝑦): 𝑥 ≤ 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 𝑦, 𝑦 ≥ 0 };
b) {(𝑥, 𝑦): 4 ≤ 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 9, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 };
c) {(𝑥, 𝑦): 2 ≤ 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 2𝑦 }.
28. Narysować powierzchnie określone równaniami:
a) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2+ 𝑦2 ; b) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2+ 𝑦2 ; c) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2− 𝑦2 ; d) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos 𝑥 ;
e) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − |𝑦| ; f) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2− 𝑦2 . 29. Narysować następujące bryły:
a) {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 0 ≤ 𝑧 ≤ 8 − 𝑥2− 𝑦2, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 2};
b) {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥2− 𝑦2, |𝑦| ≤ 𝑥 ≤ 2};
c) {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥2+ 𝑦2≤ 9, 0 ≤ 𝑧 ≤ 4};
d) {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥2+ 𝑦2≤ 𝑅2, 𝑥2+ 𝑧2≤ 𝑅2}, 𝑅 > 0;
e) {(𝑥, 𝑦, 𝑧): √𝑥2+ 𝑦2≤ 𝑧 ≤ √1 − 𝑥2− 𝑦2};
f) {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2≤ 𝑅2, 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2≤ 2𝑅𝑧}, 𝑅 > 0 g) {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥2+ 𝑦2≤ 2𝑥, 0 ≤ 𝑧 ≤ √𝑥2+ 𝑦2}.
30. Bryły z przykładów 8c-g opisać we współrzędnych walcowych, a bryłę z przykładu 8e również we współrzędnych sferycznych.
31. Wykazać, że część wspólna dwóch (dowolnej liczby) zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym. Czy suma zbiorów wypukłych musi być zbiorem wypukłym?
32. Podać przykład trzech zbiorów wypukłych na płaszczyźnie, z których każde dwa mają punkt wspólny, ale nie istnieje punkt wspólny dla wszystkich trzech zbiorów.
33. Na płaszczyźnie dane są cztery zbiory wypukłe, z których każde trzy mają punkt wspólny.
Wykazać, że wszystkie cztery zbiory mają punkt wspólny.
34. Na prostej danych jest 𝑛 odcinków, z których każde dwa mają punkt wspólny. Wykazać, że wszystkie te odcinki mają punkt wspólny.
35. Na płaszczyźnie danych jest 𝑛 prostokątów o bokach równoległych do osi układu
współrzędnych. Każde dwa z nich mają punkt wspólny. Wykazać, że istnieje punkt należący do wszystkich prostokątów.
36. Na płaszczyźnie danych jest 𝑛 punktów, przy czym każde trzy z nich należą do pewnego koła o promieniu 1. Wykazać, że wszystkie te punkty leżą w kole o promieniu 1.
37. Udowodnić, że w dowolnym siedmiokącie wypukłym istnieje punkt, który nie należy do żadnego czworokąta o wierzchołkach będących kolejnymi wierzchołkami tego siedmiokąta.
38. Podać przykład zbioru wklęsłego, którego jądro jest:
a) punktem; b) odcinkiem; c) półprostą; d) trójkątem; e) kwadratem.
39. Niech 𝑊 będzie wielokątem o kolejnych wierzchołkach (0, 3), (1, 1), (3, 0), (1, −1), (0, −3), (−1, −1), (−3, 0) i (−1, 1). Niech 𝐴 = (0, 3), 𝐵 = (2,12) Wyznaczyć i narysować zbiory st(𝐴, 𝑊), st(𝐵, 𝑊), ker(𝑊) i conv(𝑊).
40. Za pomocą indukcji matematycznej wykazać, że dla dowolnego 𝑛 ≥ 1:
a) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + (𝑛 − 1)𝑛 =13(𝑛 − 1)𝑛(𝑛 + 1);
b) 1
1∙4+ 1
4∙7+ 1
7∙10+ ⋯ +(3𝑛−2)∙(3𝑛+1)1 = 𝑛
3𝑛+1; c) 12+ 22+ 32+ ⋯ + 𝑛2=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
6 .
41. Ciąg (𝑎𝑛) jest określony indukcyjnie wzorem: 𝑎1 = 1, 𝑎𝑛= 2𝑎𝑛−1+ 1 dla 𝑛 ≥ 2. Wykazać, że dla każdego 𝑛 ≥ 1 𝑎𝑛 = 2𝑛− 1.
42. Na odcinku 𝐴𝐵 wyznaczyć taki punkt 𝑋, że 𝑋𝐵𝐴𝑋=𝐴𝑋
𝐴𝐵 (złoty podział odcinka).
43. Ciąg (𝐹𝑛) określamy indukcyjnie: 𝐹1 = 𝐹2= 1, 𝐹𝑛= 𝐹𝑛−1+𝐹𝑛−2 dla 𝑛 ≥ 3. Wyrazy ciągu (𝐹𝑛) nazywamy liczbami Fibonacciego. Wykazać, że dla dowolnego 𝑛 ≥ 1:
a) 𝐹1+ 𝐹2+ ⋯ + 𝐹𝑛= 𝐹𝑛+2− 1 (*) Dowód:
1) Sprawdzamy wzór dla 𝑛 = 1: 𝐿 = 𝐹1= 1, 𝑃 = 𝐹3− 1 = 2 − 1 = 1, a zatem 𝐿 = 𝑃.
2) Załóżmy że dla pewnego (ale dowolnie wybranego) 𝑛 ≥ 1 spełniona jest równość 𝐹1+ 𝐹2+ ⋯ + 𝐹𝑛= 𝐹𝑛+2− 1; wykażemy, że 𝐹1+ 𝐹2+ ⋯ + 𝐹𝑛+ 𝐹𝑛+1= 𝐹𝑛+3− 1.
𝐿 = (𝐹1+ 𝐹2+ ⋯ + 𝐹𝑛) + 𝐹𝑛+1= (z założenia indukcyjnego) = 𝐹𝑛+2− 1 + 𝐹𝑛+1= 𝐹𝑛+2+ 𝐹𝑛+1− 1 = (z definicji liczb Fibonacciego) = 𝐹𝑛+3− 1 = 𝑃.
3) Na mocy 1), 2) i zasady indukcji wzór (*) jest prawdziwy dla dowolnego 𝑛 ≥ 1
b) 𝐹12+ 𝐹22+ ⋯ + 𝐹𝑛2= 𝐹𝑛∙ 𝐹𝑛+1 (**) Dowód:
1) Sprawdzamy wzór dla 𝑛 = 1: 𝐿 = 𝐹12= 1, 𝑃 = 𝐹1∙ 𝐹2= 1 ∙ 1 = 1, a zatem 𝐿 = 𝑃.
2) Załóżmy że dla pewnego (ale dowolnie wybranego) 𝑛 ≥ 1 spełniona jest równość (**).
Wykażemy, że 𝐹12+ 𝐹22+ ⋯ + 𝐹𝑛2+ 𝐹𝑛+12= 𝐹𝑛+1∙ 𝐹𝑛+2.
𝐿 = (𝐹12+ 𝐹22+ ⋯ + 𝐹𝑛2) + 𝐹𝑛+12= (z założenia indukcyjnego) = 𝐹𝑛∙ 𝐹𝑛+1+ 𝐹𝑛+12
= (𝐹𝑛+ 𝐹𝑛+1) ∙ 𝐹𝑛+1= 𝐹𝑛+2∙ 1 = 𝑃 (z definicji liczb Fibonacciego).
3) Na mocy 1), 2) i zasady indukcji wzór (**) jest prawdziwy dla dowolnego 𝑛 ≥ 1
c) 𝐹𝑛−1∙ 𝐹𝑛+1= 𝐹𝑛2+ (−1)𝑛 (przyjmujemy, że 𝐹0= 0) (***) Dowód:
1) Sprawdzamy wzór dla 𝑛 = 1: 𝐿 = 𝐹0∙ 𝐹2= 0 ∙ 1 = 0, 𝑃 = 𝐹12+ (−1)1= 1 − 1 = 0, a zatem 𝐿 = 𝑃.
2) Załóżmy że dla pewnego (ale dowolnie wybranego) 𝑛 ≥ 1 spełniona jest równość (***).
Wykażemy, że 𝐹𝑛∙ 𝐹𝑛+2= 𝐹𝑛+12 + (−1)𝑛+1.
𝐿 = 𝐹𝑛∙ 𝐹𝑛+2= 𝐹𝑛∙ (𝐹𝑛+ 𝐹𝑛+1) = 𝐹𝑛2+ 𝐹𝑛∙ 𝐹𝑛+1= (z założenia indukcyjnego) = 𝐹𝑛−1∙ 𝐹𝑛+1− (−1)𝑛+ 𝐹𝑛∙ 𝐹𝑛+1= 𝐹𝑛−1∙ 𝐹𝑛+1+ (−1)𝑛+1+ 𝐹𝑛∙ 𝐹𝑛+1
= (𝐹𝑛+ 𝐹𝑛+1) ∙ 𝐹𝑛+1+ (−1)𝑛+1= 𝐹𝑛+12 + (−1)𝑛+1+ 𝑃.
3) Na mocy 1), 2) i zasady indukcji wzór (***) jest prawdziwy dla dowolnego 𝑛 ≥ 1
44. Niech 𝑎𝑛 =𝐹𝑛+1
𝐹𝑛 . Wykazać, że ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny i obliczyć lim
𝑛→∞𝑎𝑛.
Wsk. Wywnioskować z zad. 42c, że 𝑎1< 𝑎3 < 𝑎5< ⋯ < 𝑎6< 𝑎4< 𝑎2 oraz 𝑎𝑛+1−𝑎𝑛→ 0, a następnie zauważyć, że 𝑎𝑛+1= 1
𝑎𝑛+ 1.
45. Wykazać, że dla dowolnego 𝑛 ≥ 1 𝐹𝑛 = 1
√5[(1+√5
2 )
𝑛
− (1−√5
2 )
𝑛
] (wzór Bineta).
46. Na ile sposobów można przedstawić liczbę naturalną 𝑛 w postaci sumy składników, które są liczbami naturalnymi:
a) nie większymi niż 2;
b) nie mniejszymi niż 2;
c) nieparzystymi?
Uwaga: Liczba składników jest dowolna, a ich kolejność uważamy za istotną, np. dla liczby 3 zadanie z podpunktu a) ma trzy rozwiązania: 1+1+1=1+2=2+1.
