#################################################################################################
Wprowadzenie do supersymetrii
A. W. Gałażinskij
Tomski Uniwersytet Politechniczny Tomsk 2008
************************************************************************************************
Tłumaczenie : R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie : 2020
Ostatnia modyfikacja : 2020-07-01 Tłumaczenie całości książki.
************************************************************************************************
Wstęp własny
Jako wprowadzenie do zagadnienia polecam książkę :
Supergravity’81 – ed. S. Ferrara, J. G Taylor Cambridge University Press 1982
************************************************************************************************
Skróty i oznaczenia (własne ) zastosowane w tłumaczeniu.
rrz – równania różniczkowe zwyczajne (układ takich równań ) rrc – równania różniczkowe cząstkowe (układ takich równań ) KTP – kwantowa teoria pola
FD – funkcjonał działania
Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ...
Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)
Standardowe oznaczenia.
Z = {0, ±1, ±2, ... } – zbiór liczb całkowitych
Z+ = {0, 1, 2, ... } – zbiór całkowitych liczb nieujemnych N = { 1, 2, ... } – zbiór liczb naturalnych
R – zbiór liczb rzeczywistych C = R + iR – zbiór liczb zespolonych
***********************************************************************************************
Wprowadzenie.
Jednym z najważniejszych problemów, stojących przed współczesna fizyka jest wyjaśnienie wewnętrznej struktury materii.
Klasyfikacja znanych cząstek elementarnych opiera się na pojęciu symetrii.
Zasada symetrii pozwala usystematyzować znane zjawiska, a często i przewidzieć nowe.
Wszystkie cztery typy oddziaływań fundamentalnych (silne, słabe, elektromagnetyczne i grawitacyjne ) opisywane są przez prawa, wynikające z jednej zasady symetrii cechowania (zobacz np. [1] )
Supersymetria, której poświęcono niniejsze wykłady, jest symetrią nowego typu. W odróżnieniu od innych symetrii, wiąże ona między sobą cząstki o różnej wartości spinu.
Przekształcenie takiego typu po raz pierwszy zostało przedstawione w pracach radzieckich fizyków Golfanda i Lichtmana [2], oraz Wołkowa i Akulowa [3]. Od tej poty szybki rozwój danego tematu, który jest kontynuowany do dziś, rozpoczyna się od prac Wessa i Zumino [4,5].
Szczegółowa analiza klasy teorii supersymetrycznych doprowadziła do ujawnienia szeregu istotnych faktów.
I tak, przykładowo, dla dowolnej supersymetrycznej teorii kwantowej wartość średnia operatora energii w dowolnym stanie jest określona dodatnio, a spektrum kwantowe zawiera równa liczbę stanów bozonowych i fermionowych.
Dla szerokiej klasy modeli supersymetrycznych obserwuje się zmiękczenie rozbieżności ultrafioletowych dzięki skróceniu się między sobą wkładów bozonowych i fermionowych.
Oprócz tego, znane są nietrywialne modele supersymetryczne, które są skończone we wszystkich rzędach teorii zaburzeń (zobacz np. pracę [6] ).
Analiza lokalnej wersji przekształceń supersymetrii, która prowadzi do różnych teorii supergrawitacji, pozwala osiągnąć pewien postęp przy analizie dobrze znanego problemu budowy kwantowej teorii pola grawitacyjnego [7].
Supersymetryczna wersja teorii grawitacji okazuje się renormalizowalna w przybliżeniu jednopetlowym [8].
Odkrycie przekształceń supersymetrii w znacznej mierze stymulowało rozwój teorii strun. Jak dobrze wiadomo, teoria strun stanowi jedno z najbardziej perspektywicznych podejść do zbudowania kwantowej teorii grawitacji i problemu unifikacji znanych oddziaływań fundamentalnych.
W szczególności, włączenie supersymetrii w schemat strunowy pozwala oddalić z kwantowego spektrum struny niepożądany stan tachionowy i obniżyć wymiar krytyczny z d = 26, do d = 10.
Chociaż podstawowe zasady supersymetrii są w chwili obecnej w pełni sformułowane, to wciąż pojawiają się nowe modele supersymetryczne i tym sposobem pojawia się cała gałąź współczesnej kwantowej teorii pola (KTP).
Z tego powodu zaznajomienie się z bazowymi pojęciami supersymetrii stanowi podstawowy element wiedzy studenta, specjalizującego się w obszarze fizyki teoretycznej i KTP.
Niniejszy wykład poświęcono elementarnemu wprowadzeniu do teorii supersymetrii. W pierwszym rozdziale przedstawiono elementy algebry i analizy zmiennych antykomutujących, które stanowią matematyczna podstawę przedmiotu.
Rozdział drugi poświęcono algebrze przekształceń N =1 supersymetrii i budowie jej nieprzywiedlnych reprezentacji unitarnych.
W rozdziale trzecim rozpatrzono bazowe modele supersymetryczne, w szczególności model Wessa- Zumino i supersymetryczną teorię cechowania.
Przedstawiony wykład zawiera ok. 100 zadaν, których rozwiązanie pomoże studentowi nabrać odpowiednich technicznych nawyków i opanować przedstawiony materiał.
Należy zauważyć, że teorii supersymetrii poświęcono obszerną literaturę, do której zainteresowany czytelnik może się odwołać. Najpełniejszy w współczesny wykład N = 1 supersymetrii i supergrawitacji można znaleźć w monografii [9]
Użytecznymi źródłami informacji są również monografie [10, 11].
Ścisły wykład rozdziałów matematyki, na których bazuje teoria supersymetrii, można znaleźć w monografiach [12,13].
.
************************************************************************************************
Rozdział 1. Elementy supermatematyki.
Jak już wspominano na wstępie, dowolna supersymetryczna teoria wprowadza pola fermionowe. Ścisły matematyczny opis fermionów odwołuje się do pojęcia algebry Grassmanna.
W niniejszym rozdziale przedstawiono podstawowe wiadomości związane z algebrą i analizą zmiennych antykomutujących, które stanowią bazę matematyczna dla dalszego wykładu.
1.1 Algebra Grassmanna. Superliczby.
Przypominamy, że algebrą nazywa się przestrzeń liniową V nad ciałem liczbowym K, w którym zadano operację iloczynu elementów :
a • b ∈ V, ∀a, b ∈ V
spełniającą następujące aksjomaty :
dla dowolnych a, b, c ∈ V, α, β ∈ K.
Jeśli ciało K jest ciałem liczb rzeczywistych (zespolonych ), to mówimy o algebrze rzeczywistej (zespolonej ).
Algebra nazywa się komutatywną, jeśli : a • b = b • a , ∀a, b ∈ V
Dla algebry łącznej spełnione są zależności : a • ( b • c ) = ( a • b ) • c , ∀a, b, c ∈ V
Mówimy, że zadano algebrę z jednością, jeśli w V można znaleźć taki element e, że ; e • a = a • e = a , ∀a ∈ V
Niech V będzie algebra z jednością. Podzbiór elementów ξi, i = 1, 2, ... nazywamy tworzącymi algebry V, jeśli dowolny element a ∈ V można przedstawić w postaci wielomianu :
gdzie ci1i2 – liczby z ciała K.
W powyższym wzorze prowadzimy sumowanie po powtarzających się indeksach, taką umowę o sumowaniu będziemy wykorzystywali dalej.
Zakładamy, że tworzące są liniowo niezależnymi elementami przestrzeni V.
Algebrą Grassmanna nazywa się algebrę łączną z jednością, której tworzące spełniają zależność :
ξi • ξj + ξj • ξi = 0 , i, j = 1, ... , N (1.3) W szczególności, dla dwóch powtarzających się wartości indeksu otrzymujemy :
ξi •ξi = 0 (1.4) Na mocy ostatniej zależności rozkład dowolnego elementu w algebrze Grassmanna po tworzących urywa się w skończonym kroku (w dalszej kolejności nie będziemy wypisywali jawnie elementu jednostkowego algebry ) :
gdzie ci1... ik – liczby zespolone.
Zatem algebra Grassmanna jest skończeniewymiarową przestrzenia liniową, w której baza tworzona jest przez elementy {e, ξi1 ...ξik }, gdzie i1 < i2 < ... < ik , oraz k = 1, ... , N.
W dalszej kolejności dla oznaczenia skończeniewymiarowej algebry Grassmanna będziemy wykorzystywali symbol ΛN.
Zadanie 1.1 Dowieść, że dim ΛN = 2N
Przy analizie teorii supersymetrycznych szczególnie ważna jest nieskończeniewymiarowa algebra Grassmanna Λ∞, elementy której nazywają się superliczbami. Taka algebra jest generowana przez nieskończony zbiór tworzących ξi, i = 1, 2, ... spełniających wcześniejszą zależność :
ξi • ξj + ξj • ξi = 0 (1.6) Oczywiście, ze dowolna superliczba może być przedstawiona w postaci sumy :
z = zB + zS (1.7)
gdzie zB – liczba zespolona, oraz : ∞
zS = Σ (1/k!) ci1... ik ξi1 ...ξik k=1
Współczynniki ci1... ik są antysymetryczne względem każdej pary indeksów i zakładamy, że tylko skończona ich liczba jest różna od zera.
Obiekty zB i zS przyjęto nazywać odpowiednio ciałem i duchem superliczby z.
Drugi ważny rozkład dowolnej superliczby z otrzymujemy przy grupowaniu członów, zawierających parzyste i nieparzyste potęgi tworzących :
Wielkość zc przyjęto nazywać parzystą częścią superliczby z lub c- liczbą.
Zbiór parzystych superliczb oznaczymy symbolem Cc
Wielkość za nazywana jest nieparzystą częścią superliczby z lub a- liczbą.
Zbiór nieparzystych superliczb oznaczymy jako Ca.
Łatwo zauważyć, że nieparzyste superliczby komutują między sobą i z superliczbami nieparzystymi, a dwie superliczby nieparzyste antykomutują między sobą. Z tego powodu superliczby zc i za nazywane są czystymi superliczbami.
Wskazaną różnicę między czystymi superliczbami dogodnie jest scharakteryzować przez pojęcie grassmannowskiej parzystości superliczby z, wielkość tę oznaczymy symbolem ε(z) :
W szczególności, dla dwóch czystych superliczb otrzymujemy :
Norma na zbiorze superliczb zadana jest poprzez zależność :
gdzie | α | - jest modułem standardowej liczby zespolonej.
W charakterze kolejnego kroku zdefiniujemy operację sprzężenia zespolonego na zbiorze superliczb. Dla tworzących w algebrze Grassmanna przyjmiemy :
gdzie α - jest standardową liczbą zespoloną.
W szczególności, dla dowolnej superliczby otrzymujemy :
Superliczbę nazwiemy rzeczywistą, jeśli z* = z, urojoną, jeśli z* = −z, oraz zespoloną, jeśli nie jest spełniona żadna z tych dwóch możliwości.
Zadanie 1.2. Dowieść, że następstwem wybranej definicji są następujące zależności :
gdzie α - jest standardową liczbą zespoloną, ω - dowolne superliczby.
1.2 Supermacierze.
Z przeprowadzonych analiz wynika, że podstawowa własność przy pracy z superliczbami polega na tym, ze należy uwzględniać grassmannowska parzystość czystej superliczby.
Pomnożenie dowolnego wyrażenia przez jedną i tę sama superliczbę lewostronnie i prawostronnie prowadzi do rożnych wyników.
Wykorzystując wskazaną okoliczność, można wprowadzić pojęcie przestrzeni superwektorowej (szczegółowy wykład teorii przestrzeni superwektorowych można znaleźć w monografiach [13, 9] )
Cechą charakterystyczną tej przestrzeni jest to, że mnożenie lewostronne i prawostronne w aksjomatach przestrzeni superwektorowej zadane jest jako oddzielne operacje.
Oprócz tego, operacja sprzężenia zespolonego w przestrzeni superwektorowej spełnia następujący aksjomat :
(αX )* = (X )* α* , α ∈ Λ∞ (1.15)
Analogicznie do superliczb można wprowadzić pojęcie grassmannowskiej parzystości superwektora.
W szczególności, baza czysta w skończeniewymiarowej przestrzeni superwektorowej składa się z elementów :
eM = ( en , eα ) (1.16)
gdzie n = 1, ... , p α = 1, ... , q, przy czym ε(en ) = 0 i en komutuje z dowolną czystą superliczbą, a ε(eα ) = 1 i eα antykomutuje z a- liczbami.
W przypadku ogólnym dowolny superwektor X można rozłożyć względem bazy czystej na dwa różne sposoby : X = XM(L) eM = eM XM
(R) (1.17)
Dla dalszych analiz dogodnie będzie przyjąć oznaczenie :
ε(eM ) = εM (1.18)
Pojęcie supermacierzy w sposób naturalny pojawia się przy rozpatrzeniu przekształceń liniowych przestrzeni superwektorowej.
Lewe przekształcenie liniowe w przestrzeni superwektorowej zadamy przez operator o postaci : F(X ) = X’ = eM FM
N XN (1.19)
gdzie FMN ∈Λ∞
W analogiczny sposób określamy prawe przekształcenie liniowe w przestrzeni superwektorowej :
(X )G = X’ = XM GNM eM (1.20)
gdzie GNM ∈ Λ∞
Macierze FNM i GNM elementami których są superliczby, nazywamy supermacierzami.
Dowolna supermacierz składa się z czterech bloków :
Analogicznie z superliczbami rozróżniamy c- supermacierze i a- supermacierze.
C-supermacierze charakteryzują się warunkami A, D ∈ Cc , C, B ∈ Ca.
Ich podstawowa cecha polega na tym, że nie zmieniają one grassmannowskiej parzystości składowych superwektora eM = ( em , eβ )
przy przekształceniu liniowym :
ε( F(eM )) = εM (1.22)
Dla a- supermacierzy spełnione są warunki A, D ∈ Ca , C, B ∈ Cc.
Takie przekształcenie zmienia grassmannowską parzystość (czystych) składowych superwektora na przeciwną :
ε( F(eM )) = εM + 1 (mod 2 ) (1.23)
Innymi słowy :
ε(FNM ) = ε(F ) + εN + εM (1.24)
W dalszej kolejności ograniczymy się do rozpatrzenia tylko c- supermacierzy.
Na zbiorze supermacierzy w naturalny sposób wprowadzamy operację dodawania :
i mnożenia :
Zasadę mnożenia supermacierzy przez dowolną czystą superliczbę określamy poprzez relacje operatorowe : z^ • F(X ) = zX’ , F • z^(X ) = F(zX ) = F(eN X’N ) (1.27)
Zadanie 1.3 Wybierając w charakterze wektora X elementy bazowe eN przekonać się w słuszności następującej reprezentacji dla operatora z^ :
z^MN = (−1)ε(z)εM z δM
N (1.28)
lub, rozpatrując zapis w składowych :
Sprzężenie zespolone na zbiorze supermacierzy również jest indukowane przez odpowiednią operacje na zbiorze operatorów liniowych (zobacz np. monografię [9] ) :
F*(X ) = (−1)ε(F)ε(X) ( F(X*) )* (1.30)
Przy standardowym wyborze sprzężenia zespolonego w przestrzeni superwektorowej :
( eN )* = (−1)εN eN (1.31)
dla dowolne supermacierzy (na mocy zależności : F*(eN ) ≡ eM (Fs* )MN )
otrzymujemy :
(Fs* )MN = (−1)ε(F) (εM + εN) + εN + εNεM (FMN )* (1.32)
Zadanie 1.4 Dowieść następującej równości : (F1F2 )s* = (−1)ε(F1 ) ε(F2 ) F1s*F2s*
Uwaga. εM(εM +1 ) = 0 (mod 2 )
Ścisła definicja operacji supertranspozycji odwołuje się do pojęcia przestrzeni, dualnej do przestrzeni superwektorowej [9].
Opuszczając zbędne szczegóły, podamy ostateczne wyrażenie :
( FsT )MN = (−1)ε(F) (εM + εN) + εM + εNεM FNM (1.33)
W szczególności, dla dowolnej c-supermacierzy otrzymujemy :
Dodatkowym argumentem na korzyψć wybranej definicji jest zależność :
FNM XM = XM (FsT )MN (1.35) która jest spełniona dla c- supermacierzy.
Supermacierz, odwrotna do (kwadratowej ) supermacierzy F, jest definiowana poprzez standardową relację :
FF−1 = F−1F = 1 (1.36)
Ponieważ duch supermacierzy jednostkowej jest równy zero, to z (1.36) znajdujemy :
FB FB−1 = FB−1 FB = 1 (1.37) gdzie FB – ciało supermacierzy F.
Zatem, supermacierz odwrotna może być określona tylko w tym przypadku, jeśli ciało FB jest standardową niezdegenerowaną macierzą.
Przepisując tożsamościowo F w postaci : F = FB ( 1 + FB−1 FS )
dochodzimy do formalnego wyrażenia dla supermacierzy odwrotnej :
W przypadku ogólnym suma, wchodząca do tego wyrażenia urywa się na skończonym członie.
W obliczeniach praktycznych okazuje się być użyteczny następujący wzór dla supermacierzy odwrotnej :
Przyjmując do wiadomości wcześniejsze analizy, wydaje się oczywistym zdefiniowanie rzędu supermacierzy jako rzędu jej ciała.
Dalej przejdziemy do określenia pojęcia superwyznacznika supermacierzy.
W tym celu przedstawimy dowolną supermacierz F w postaci :
lub
Superwyznacznikiem lub inaczej berezinianem supermacierzy F nazywamy superliczbę, zadana przez następującą zależność :
Różnica tego wyrażenia od standardowej definicji wyznacznika macierzy polega na tym, że wyznacznik bloków,
umiejscowionych w dolnej części diagonalnej supermacierzy, wchodzi do wzoru wynikowego w minus pierwszej potędze.
Uzasadnienie takiego wyboru jest podyktowane wymaganiem zgodności pojęcia superwyznacznika i jakobianu zamiany liniowej zmiennych :
X’N = FNM XM
w całce nieokreślonej. W dalszym rozdziale omówimy to zagadnienie szerzej.
Zadanie 1.5 Dowieść następujących własności superwyznacznika :
Ber(F1F2 ) = Ber F1 Ber F2 , Ber( FsT ) = Ber F (1.43)
W charakterze kolejnego kroku omówimy pojęcie superśladu supermacierzy.
Przypominamy, że dla macierzy o nieskończenie małych elementach spełniona jest zależność : det (1 + A ) = 1 + tr A
Rozpatrując supermacierz 1 + F, gdzie F składa się z nieskończenie małych elementów (według normy (1.11), otrzymujemy :
Ber( 1 + F ) = 1 + tr A − tr D (1.44)
Zatem, wydaje się naturalnym zdefiniować superślad supermacierzy tak :
str F = (−1)εM FMN (1.45)
Zadanie 1.6 Dowieść następujących własności superśladu :
str(F1F2 ) = str( F2F1 ) , str( FsT ) = str F (1.46)
Zadanie 1.7 Dowieść następującej zależności :
Ber( eF ) = estr F (1.47)
Uwaga. Rozpatrzyć równanie różniczkowe f(t) = Ber(etF )
1.3 Superprzestrzeń. Elementy analizy na superprzestrzeniach.
1.3.1 Superpola w superprzestrzeni.
Przestrzeń, punkty której są sparametryzowane poprzez zbiór p parzystych zespolonych superliczb i q nieparzystych zespolonych superliczb :
Cp|q = { ( x1,... ,xp ,θ1, ... ,θq ) | x ∈Cc , θ ∈Ca } (1.48)
nazywa się zespolona superprzestrzenią o wymiarze (p, q).
Rzeczywista superprzestrzeń Rp|q
definiowana jest w analogiczny sposób :
Rp|q = { ( x1,... ,xp ,θ1, ... ,θq ) | x ∈Rc , θ ∈Ra } (1.49)
Dalej umówimy się aby litery alfabetu łacińskiego wykorzystać dla numeracji parzystych współrzędnych superprzestrzeni m = 1, ... , p.
Zmiennym, parametryzującym nieparzysty sektor superprzestrzeni, przypiszemy indeks dla którego zarezerwujemy litery alfabetu greckiego : α = 1, ... , q.
Ogólnie przyjętym jest oznaczenie w postaci multiindeksu :
zM = ( xm ,θα ) (1.50)
gdzie M = (m, α ).
W dalszej kolejności, jeśli nie powiedziano inaczej, będziemy omawiali tylko rzeczywiste superprzestrzenie.
Funkcję, określoną na superprzestrzeni i przyjmującą wartości w algebrze Grassmanna :
f : Rp|q → Λ∞ (1.51)
nazwiemy superfunkcją lub superpolem.
Superfunkcja nazywa się analityczna, jeśli może być ona przedstawiona w postaci szeregu Taylora :
Funkcja nazywa się supergładką, jeśli słuszny jest dla niej rozkład :
gdzie f[α1... αk ](x) – funkcje gładkie.
Pośród odwzorowań (1.51) szczególną rolę odgrywają dwa typy superfunkcji :
W pierwszym przypadku mówimy o superpolach bozonowych. Superfunkcje drugiego typu nazywa się superpolami fermionowymi.
Zauważmy, że dla czystych superfunkcji współczynniki rozkładu we wzorze (1.53) spełniają relacje :
1.3.2 Różniczkowanie w superprzestrzeni
Dalej zdefiniujemy operacje różniczkowe w superprzestrzeni. W tym celu będziemy zakładami, że superpola są supergładkimi. Wydaje się naturalnym zadać różniczkowanie po zmiennych parzystych w sposób standardowy :
W dalszym wykładzie będziemy wykorzystywali oznaczenie ∂/∂xm = ∂m
Zanim zdefiniujemy pochodną gładkiego superpola względem zmiennej nieparzystej θα, zauważymy, że różniczka superfunkcji może być przedstawiona na dwa różne sposoby :
albo :
Zatem dochodzimy do pojęcia lewej i prawej pochodnych względem zmiennej nieparzystej.
W najprostszym przypadku, kiedy f(x, θ) = θ, naturalną definicją jest :
Ponieważ δµα - jest macierzą parzystą a θα - jest zmienna nieparzystą, to operatory :
∂→ /∂θµ i ∂← /∂θµ są nieparzyste.
W szczególności :
Zadanie 1.8 Pokazać, że lewa pochodna względem zmiennej nieparzystej działa na dowolne gładkie superpole zgodnie z prawem :
Przekonać się o słuszności następującej zależności, zawierającej prawą pochodną :
Sprawdzić, że lewa i prawa pochodne cząstkowe są związane poprzez zależność :
Na mocy ostatniej zależności przy obliczeniach praktycznych wystarczy pracować tylko z pochodną jednego rodzaju.
W dalszym wykładzie będziemy wykorzystywali tylko pochodną lewostronną, dla której wprowadzimy oznaczenie :
∂→ /∂θµ = ∂ /∂θµ = ∂µ
Jak już mówiliśmy wcześniej, pochodna po zmiennej nieparzystej jest operatorem nieparzystym.
Zatem, dla dowolnego czystego superpola wzięcie pochodnej względem zmiennej nieparzystej zmienia statystykę superfunkcji na przeciwną :
ε(∂µf ) = ε(f) + 1 (mod 2 ) (1.64)
Wykorzystując zwarte oznaczenie (1.50), dogodnie jest wprowadzić symbol :
∂M = (∂m ,∂µ ) , ∂M zN = δMN (1.65)
Zadanie 1.9 Przekonać się o słuszności następujących zależności :
Zadanie 1.10 Dowieść, że operacja sprzężenia zespolonego działa na pochodną czystego superpola zgodnie z prawem :
1.3.3 Całkowanie w superprzestrzeni.
Przy budowaniu rachunku całkowego w superprzestrzeni wydaje się naturalnym zdefiniować całkę po zmiennych parzystych analogicznie z konstrukcją znana z analizy matematycznej.
W szczególności, całkowanie w Rc zadamy za pośrednictwem wzoru :
gdzie f(x) – jest funkcją pierwotną superfunkcji f(x), d/dx F(x) = f(x).
Całkę w przestrzeni Rcp|0
będziemy rozumieli jako całkę wielokrotną.
Dla zmiennych nieparzystych okazuje się niemożliwe zadanie operacji całkowania jako operacji, odwrotnej do operacji różniczkowania.
W istocie, rozpatrzmy przypadek jednej zmiennej nieparzystej θ. Próba określenia całki z wykorzystaniem pojęcia funkcji pierwotnej np. :
∫ 1 dθ = θ
prowadzi bezpośrednio do trudności, ponieważ dla funkcji θ nie istnieje funkcja pierwotna θ2 = 1
Jako następstwo, przy takim podejściu całka ∫ θ dθ nie jest określona.
Postępując za F. A. Berezinem [12], zadamy całkę w Ra poprzez cztery aksjomaty :
Pierwsze dwie zależności reprezentują sobą dosłowne uogólnienia własności całki, znane z klasycznej analizy matematycznej.
Przy założeniu, że funkcja f(θ) jest supergładka tj. : f(θ) = a + bθ; a, b ∈ Λ∞
zależność trzecia jest równoważna następującej :
∫ dθ = 0 (1.70)
Innymi słowy, w ramach wybranej definicji przestrzeń Ra posiada zerową „objętość”.
Aksjomat trzeci zadaje zasadę całkowania przez części :
łatwo można się przekonać, ze całka (1.69) jest inwariantna względem translacji w Ra :
∫ f(θ + λ)dθ = ∫ f(θ) dθ ; λ ∈ Ra (1.72)
Zauważmy, że prawa część w zależności czwartej, wchodząca do wzoru (1.69) jest c- liczbą.
Ponieważ θ jest a-liczbą, to miarę całkowania można rozumieć jako a- liczbę :
λ dθ = − dθλ , λ ∈ Ra (1.73)
Jako następstwo, ostatnia zależność (1.69) może być przepisana tak :
∫ dθ θ = 1 (1.74)
I dochodzimy do wniosku, że całkowanie w Ra jest równoważne różniczkowaniu :
∫ dθ f(θ) = d/dθ f(θ) (1.75)
δ- funkcje Ra określimy za pomocą znanej zależności :
∫ dθ δ(θ) f(θ) = f(0) (1.76)
skąd bez trudu znajdujemy jawne wyrażenie :
δ(τ) = θ (1.77)
Zadanie 1.11 Przekonać się o słuszności następujących zależności :
oraz następującej, całkowej reprezentacji dla δ- funkcji :
δ(θ) = ∫ dλ eλθ (1.79)
Całkę po podprzestrzeni R0|q będziemy rozumieli jako całkę wielokrotną :
gdzie
Całka po pełnej superprzestrzeni może być zadana tak :
Ważnym jest podkreślić, że dla gładkiego superpola f(x, θ) całkowanie po zmiennych nieparzystych pozostawia tylko starszą składową superpola ( q(q + 1 ) = 0 (mod 2 )) :
W charakterze kolejnego kroku omówimy liniowa zamianę zmiennych :
z'N = FNM zM (1.84)
gdzie FNM jest c- supermacierzą w całce po superprzestrzeni Rp|q W tym celu przeanalizujemy kilka prostych przypadków :
1. Zamiana :
x'n = Anm xm , θ’µ = θµ (1.85)
jest identyczna do liniowej zamiany zmiennych, znanej z wykładu analizy matematycznej.
Zatem, w sektorze zmiennych parzystych pojawia się Jakobian : J(∂x’/∂x ) = det A
oraz :
dpx’ = ( det A ) dpx (1.86)
Na mocy zależności :
∫ dθ'µθ’ν = δµν = ∫ dθ'µθν (1.87)
dla zmiennych nieparzystych miara całkowania pozostaje inwariantną : dθ'µ = dθµ
lub :
dq θ’ = dqθ (1.88)
2. Dalej rozpatrzymy przeciwną sytuację :
x'n = xn , θ'µ = Dµν θν (1.89)
Ponieważ :
∫ dθ'µ θ’ν = δµν
to miara całkowania przekształca się zgodnie z prawem :
dθ'µ = dθν (D−1)νµ (1.90)
Zatem, dla miary po podprzestrzeni R0|q otrzymujemy :
dθ'q ... dθ'1 = ( det D−1) dθq ... dθ1 (1.91)
3. Przekształceniom mieszanym : x'n = xn , θ'µ = θµ + Cµ
n θn (1.92)
x'n = xn + Bnµ θn , θ'µ = θµ (1.92)
odpowiada jednostkowy jakobian, ponieważ miara całkowania po superprzestrzeni Rp|q jest inwariantna względem
przesunięć w R0|q i Rp|0.
Przyjmując do wiadomości reprezentacje (1.40), (1.41) dla dowolnej supermacierzy FNM dochodzimy do wniosku, że liniowa zamianę zmiennych (1.84) można rozumieć jako złożenie czterech przekształceń, rozpatrzonych powyżej.
Przypominając sobie definicję (1.42) berezinianu supermacierzy, znajdujemy ostateczne wyrażenie dla jakobianu liniowej zamiany zmiennych w Rp|q :
dz’p+q = (Ber F ) dzp+q (1.93)
Zatem, zachowanie miary całkowania w całce Berezina przy liniowych zamianach współrzędnych podpowiada prawidłowe uogólnienie pojęcia jakobianu (wyznacznika macierzy ) na superprzypadek.
************************************************************************************************
Rozdział 2. Superalgebra Poincarego.
W niniejszym rozdziale przejdziemy do analizy algebry przekształceń N = 1 supersymetrii. Jak pokażemy dalej, superalgebra Poincarego pojawia się w sposób naturalny przy próbie zapisania maksymalnie szerokiej algebry symetrii macierzy S relatywistycznej KTP.
Omówimy również strukturę nieprzywiedlnych unitarnych masywnych i bezmasowych reprezentacji N = 1 superalgebry Poincarego.
2.1 Pojęcie superalgebry.
W rozdziale 1 wprowadziliśmy pojęcie superprzestrzeni i podaliśmy elementy algebry i analizy na superprzestrzeniach.
Naszym dalszym zadaniem będzie zbudowanie teorii polowych w superprzestrzeni i analiza ich cech charakterystycznych.
Jak już mówiliśmy na wstępie, podstawową cechą modeli superpolowych jest obecność supersymetrii – symetrii mieszającej pola bozonowe i fermionowe.
Funkcjonał działania (*FD*) najprostszej teorii supersymetrycznej ma postać [14] :
gdzie A(x), B(x) – są rzeczywistymi polami skalarnymi, Ψ(x) – spinor Majorany.
Oprócz przekształceń symetrii z grupy Poincarego, podany FD jest inwariantny względem przekształceń zawierających parametr fermionowy ε (spinor Majorany ) :
Zadanie 2.1 Dowieść, że przekształcenie (2.2) jest symetrią FD (2.1).
Uwaga. Wykorzystać standardowa własność macierzy Γ Diraca : Γn Γm + Γm Γn = − 2ηnm , ηnm = diag ( −, +, +, + )
oraz reprezentację w której : ( Γ0 Γ5 )T = − Γ0 Γ5
Oprócz tego, użytecznym okazują się następujące własności spinorów Majorany : ψ-χ = χ-ψ , ψ- Γn χ = − χ- Γn ψ
Zatem, algebra generatorów symetrii danej teorii, oprócz generatorów algebry Poincarego (Pn , Mnm ), zawiera dodatkowy operator fermionowy, który w dalszej kolejności będziemy oznaczali jako QA.
W związku z tym dobrze jest przypomnieć twierdzenie Colemana – Manduli [14], zgodnie z którym ( Twierdzenie Colemana – Manduli dowodzone jest przy następujących założeniach :
- dla dowolnego m > 0 istnieje tylko skończona liczba stanów jednocząstkowych o masie mniejszej , niż m - amplitudy rozpraszania są funkcjami analitycznymi w obszarze fizycznym
- operatory symetrii posiadają dobrze określoną reprezentacje całkową )
w ramach lokalnej KTP najszersza grupa symetrii macierzy S posiada strukturę iloczynu prostego grupy Poincarego i półprostej zwartej grupy Liego i U(1) – czynników. Innymi słowy, generatory symetrii przestrzennych i symetrii wewnętrznych komutują i w ramach lokalnej KTP nie można realizować nietrywialnych rozszerzeń grupy Poincarego.
Podany przykład pokazuje, że jeśli pośród generatorów symetrii dopuścimy obecność operatorów fermionowych, spełniających relacje antykomutacyjne, to otwiera się nowa interesująca możliwość rozszerzenia algebry Liego grupy Poincarego, którą nie obejmuje twierdzenie Colemana- Manduli.
Pojawiająca się w ten sposób struktura algebraiczna znana jest obecnie pod pojęciem superalgebry lub algebry Z2 – gradowanej.
Przypominam, że przestrzeń V nad ciałem K nazywa się algebrą Liego, jeśli zadano w niej operacje iloczynu [ . , . ] (nawias Liego ), która przyporządkowuje parze elementów, element trzeci i spełnia następujące własności :
W szczególności, dowolna algebra łączna może być wyposażona w strukturę algebry Liego.
W tym celu wystarczy zadać iloczyn elementów w postaci komutatora :
[a, b ] = a • b − b • a (2.4)
Przestrzeń liniowa V nazywa się Z2 – gradowaną, jeśli jest ona sumą prostą dwóch podprzestrzeni :
V = V0 + V1 (2.5)
I zadano w niej operator liniowy Z : V → V, dla którego spełnione są następujące zależności :
Jako następstwo definicji : Z2 = 1.
Obecność operatora Z2 – gradacji pozwala wprowadzić pojęcie parzystości wektora :
Zauważmy, że od samego początku można było postępować w odwrotnym porządku.
Formalnie określić parzystość wektora wzorem (2.7), a następnie zadać operator gradacji w postaci :
Z(v) = (−1)κ(v) v (2.8)
W charakterze najprostszego przykładu rozpatrzymy układ kwantowo- mechaniczny o jednym stopniu swobody, który jest opisywany przez operator a, spełniający relacje antykomutacyjną :
{a, a+ } = 1 (2.9)
Reprezentacje operatorów a, a+ zadamy przez macierze (a • a = 0, a+ • a+ = 0 ) :
działające w dwuwymiarowej przestrzeni foka, elementami bazowymi której są wektory :
łatwo się przekonać, że rozpatrywana przestrzeń jest Z2 – gradowana.
Odpowiedni operator ma postać :
Z2 – gradowana przestrzeń liniowa nazywa się superalgebrą, jeśli zadano w niej (biliniową ) operacje iloczynu [ . , . } (supernawias Liego ), spełniającą następujące własności :
Zauważmy, że jeśli Z2 – gradowana przestrzeń liniowa V jest algebra łączną, iloczyn której posiada własności :
to na takiej przestrzeni bez trudu można zadać strukturę superalgebry.
W istocie – łatwo przekonać się, że nawias :
spełnia wszystkie własności supernawiasu Liego.
Jeśli rozpatrywana przestrzeń liniowa jest skończenie wymiarowa, to oznaczając elementy bazowe w podprzestrzeniach V0 , V1, odpowiednio :
nn , n = 1, ... , p eα , α = 1, ..., q
dochodzimy do następujących zależności :
nawiasy :
[ . , . ] – komutator ; { . , . } – antykomutator
liczby ( fnmk , fnαk , fαβk ) nazywają się stałymi strukturalnymi superalgebry.
W charakterze najprostszego przykładu takiej konstrukcji można rozpatrzyć zbiór macierzy zespolonych :
gdzie A, B, C, D są blokami o wymiarach odpowiednio ; (p × p ), (p × q ) , (q× p ), (q, × q )
Z2 – gradacje zadamy w postaci :
łatwo sprawdzić, że w danym przypadku spełnione są zależności (2.14).
Supernawias Liego zadamy w postaci :
[ f, G } = [ F0, G0 ] + [ F0, G1 ] + [ F1, G0 ] + { F1, G1 } (2.19) gdzie do prawej strony wchodzą standardowe komutatory i antykomutator macierzy.
Zadanie 2.2 Dla powyższego przykładu zbudować operator Z2 – gradacji (2.6) w postaci jawnej.
Zadanie 2.3 Rozpatrzmy zbiór forma różniczkowych na dowolnej rozmaitości gładkiej.
Czy można zadać strukturę superalgebry na takiej rozmaitości ?
Jeśli w wejściowej Z2 – gradowanej przestrzeni liniowej formalnie zamienimy liczby z ciała K na superliczby, to o wynikowej przestrzeni mówimy jako o grassmannowskiej warstwie superalgebry.
Jeśli Z2 – gradowana przestrzeń liniowa posiada strukturę przestrzeni superwektorowej, to wynikowa superalgebra nazywa się superalgebrą Berezina.
Na zakończenie należy podać ważna uwagę. Z zależności (2.16) wynika, że podprzestrzeń V0 jest algebrą Liego, która charakteryzuje się stałymi strukturalnymi fmnk.
Każdemu elementowi z podprzestrzeni V0 przyporządkujemy operator F, działający w przestrzeni V1 zgodnie z następującą zasadą :
F(en ) eα = [en , eα ] (2.20)
Wykorzystując tożsamość Jakobiego, zawierającą elementy (en , em eα ), znajdujemy :
[ F(en ), F(en )] = F( [en , em ] ) (2.21)
Zatem, podprzestrzeń V1 realizuje reprezentacje algebry Liego V0.
2.2 Twierdzenie Haaga- Łopuszańskiego- Sohniusa.
Jak pokazano w poprzednim podrozdziale, algebra Liego grupy Poincarego dopuszcza nietrywialne rozszerzenie poprzez wprowadzenie generatorów nieparzystych. W niniejszym podrozdziale rozpatrzymy twierdzenie Haaga- Łopuszańskiego- Sohniusa, ustanawiające strukturę maksymalnie szerokiej grupy symetrii macierzy S w ramach lokalnej KTP.
2.2.1 Struktura algebraiczna generatorów symetrii macierzy S.
Przypomnijmy sobie formalną definicję macierzy S, znana z wykładu KTP. W tym celu w równaniu Schrödingera, w którym w sposób jawny wydzielono potencjał oddziaływania :
przejdziemy do reprezentacji oddziaływania (obraz Diraca ) :
gdzie VD = exp[ (i/ħ )tH0 ] VS exp[ −(i/ħ )tH0 ] – potencjał oddziaływania w obrazie Diraca.
Wprowadzając operator ewolucji (w obrazie Diraca ) :
ostatnie równanie we wzorze (2.23) można zamienić na równoważne równanie całkowe :
które można rozwiązać z użyciem metody iteracji :
T – operator uporządkowania chronologicznego :
Macierzą S nazywamy zbiór amplitud :
gdzie przyjmujemy, że oddziaływanie jest włączane i wyłączane adiabatycznie.
Postulujemy, że przy t0 → −∞ stan | Ψ1(t0 ) >D opisuje układ nieoddziaływujących n cząstek.
W analogiczny sposób stan końcowy | Ψ2(t ) >D przy t → ∞ odpowiada układowi m cząstek swobodnych., Omówimy teraz symetrie macierzy S.
W ramach KTP globalnym przekształceniom symetrii odpowiadają ładunki zachowane (twierdzenie Noether ).
Większość przekształceń symetrii, będących fizycznie interesującymi, posiada strukturę grupy Liego.
Przy przejściu do teorii kwantowej postulujemy zasadą inwariantności, zgodnie z którą prawdopodobieństwo przejścia kwantowego :
| Ψ1> → | Ψ2 >
jest inwariantne względem przekształceń symetrii :
|| < Ψ’2 | Ψ’1 > ||2 = || < Ψ2 | Ψ1 > ||2 (2.29)
Jako wniosek, wektory stanu układu tworzą unitarną reprezentacje grupy symetrii teorii klasycznej :
| Ψ’ > = U(q) | Ψ > , U+U = 1 (2.30)
Zauważmy, że w przypadku ogólnym teoria polowa może przejawiać inwariantność, której na poziomie kwantowym odpowiada operator antyunitarny, tj. :
< UΨ1 | UΨ2 > = < Ψ2 | Ψ1 > (2.31)
Takim przekształceniem jest np. odwrócenie czasu. Dla uproszczenia w niniejszym rozdziale omawiamy tylko operatory unitarne. Szczegółowe omówienie przekształceń antyunitarnych można znaleźć w monografii [1].
W języku macierzy S zależność (2.29) oznacza że :
U+SU = S (2.32)
Rozpatrując teraz nieskończenie małe przekształcenie :
U = 1 + iαG (2.33)
gdzie G – jest pewnym operatorem hermitowskim, α - rzeczywiste parametry grupowe dochodzimy do definicji operatora symetrii macierzy S :
[S, G ] = 0 (2.34)
Jako następstwo danej definicji, zbiór operatorów symetrii teorii tworzy przestrzeń liniową.
Przypominam, że stany – początkowy i końcowy, wchodzące do wyrażenia dla macierzy S, odpowiadają układowi cząstek swobodnych (iloczyn prosty stanów jednocząsteczkowych ).
Jednym z fundamentalnych założeń MQ jest założenie o tym, że wektory | Ψ > i | Ψ’ > = ( 1 + iαG ) | Ψ > opisują jedne i ten sam stan, rejestrowany przez dwóch różnych obserwatorów, znajdujących się w układach odniesienia, związanych przekształceniem U = 1 iαG.
Jako następstwo, operator symetrii nie zmienia liczby cząstek w danym stanie i posiada następującą strukturę ogólną :
gdzie gij(p, k) – jądro (funkcja c- numeryczna ), określające w sposób pełny operator G.
Zmienne p, k - interpretujemy jako pędy cząstek, indeksem i oznaczono inne liczby kwantowe, charakteryzujące cząstki.
Dla dalszego wykładu dogodnie będzie wprowadzić oznaczenie : G = a+ ٭ g ٭ a
Ważnym jest podkreślić, ze przy analizie teorii supersymetrycznych działanie operatora G na stan w przypadku ogólnym zmienia liczbę bozonów i fermionów w danym stanie, pozostawiając jedynie niezmienną całkowitą liczbę cząstek.
Na tym polega zasadnicza różnica od sytuacji, rozpatrzonej przez Colemanna i Mandule w pracy [14].
Dla teorii, zawierającej zarówno pola bozonowe i fermionowe otrzymujemy : ai(p) ≡ ( bi(p), fi(p))
oraz :
Zatem, dowolny operator symetrii możemy przedstawić w postaci sumy prostej :
G = B + F (2.37)
gdzie :
gdzie (gbb, gff , gfb , gbf ) – pewne jądra.
Operator B nazywa się parzystym operatorem symetrii, operator F – nieparzystym operatorem symetrii.
I tak, zbiór operatorów symetrii macierzy S posiada strukturę Z2 – gradowanej przestrzeni liniowej.
W charakterze kolejnego kroku rozpatrzymy relacje komutacyjne dwóch operatorów parzystych.
Elementarny rachunek daje :
gdzie wprowadzono oznaczenie :
(g1 bb ٭ g2 bb )(p, k ) = ∫ d3q g1 bb (p, q) g2 bb (q, k)
W analogiczny sposób dla komutatora operatorów parzystego i nie parzystego, otrzymujemy :
Antykomutator dwóch operatorów nieparzystych ma postać :
Powtarzając w/w obliczenia, dochodzimy do ważnego wniosku o tym, ze względem supernawiasu Liego :
zbiór operatorów symetrii macierzy S tworzy superalgebrę.
Na zakończenie niniejszego podrozdziału przypominamy, ze dowolny element spójnej grupy Liego może być przedstawiony w postaci :
g = exp(iξnen ) (2.43)
gdzie ξn – liczby zespolone lub rzeczywiste, en – baza w algebrze Liego.
Formalnie, uogólniając daną konstrukcję na przypadek superalgebry, zbiór elementów :
g ~ = exp( iξnen + iξαeα ) (2.44)
gdzie ξn ∈ Rc , ξα ∈ Ra , (en , eα ) – baza w superalgebrze nazwiemy superalgebrą Liego.
Na mocy wzoru Bakera –Campbella- Hausdorffa :
ea • eb = ea + b + ½ [a, b] + ... (2.45)
podana definicja jest poprawna.
2.2.2 Parzysty sektor superalgebry.
Jeśli rozpatrzymy podzbiór parzystych operatorów symetrii relatywistycznej macierzy S, to znajdziemy się w ramach tej sytuacji, która rozpatrywali Coleman i Mandula [14].
Zatem, w sektorze bozonowym superalgebra zawiera generatory algebry Liego grupy Poincarego :
które znajdują się w sumie prostej z generatorami algebry Liego pewnej półprostej zwartej grupy Liego :
Oprócz tego, w algebrze dopuszczalne jest pojawienie się generatorów U(1)- przekształceń.
Te ostatnie są abelowe i nie odgrywają istotnej roli w naszej dalszej analizie.
2.2.3 Nieparzysty sektor superalgebry.
Przypominam, że nieparzysta część dowolnej superalgebry z konieczności realizuje liniową reprezentację algebry Liego, która opisuje część parzystą (wzór (2.21)).
Jako następstwo, w przypadku superalgebry Poincarego generatory nieparzyste realizują skończenie wymiarową reprezentację spinorową grupy Lorentza, o spinie połówkowym (chiralności )
Qα1... αnβ•1... β•k gdzie (n+ k ) – liczba nieparzysta.
W dalszej kolejności będą nas interesowały tylko reprezentacje unitarne superalgebry. Dlatego naturalnym jest dopuścić, ze wraz z operatorem Qα1... αnβ•1... β•k do superalgebry wchodzi operator sprzężony hermitowsko
Q-
β1... βkα•1... α•n
Oprócz tego, przyjmiemy, że metryka w przestrzeni stanów kwantowych jest określona dodatnio.
W ramach w/w założeń słuszny jest następujący lemat :
Lemat 2. Nieparzysta część superalgebry jest wyczerpywana przez elementy QIα , Q-Iα• , I = 1, ... , N
Dowód. Generatory ( Ti, Mab , Pa ) zadające parzystą część superalgebry, realizują następujące reprezentacje grupy Lorentza :
Z jednej strony, antykomutator dwóch operatorów nieparzystych powinien dawać operator parzysty, z drugiej strony, dla reprezentacji spinorowych grupy Lorentza słuszny jest wzór :
Rozkładając tensor { Qα1... αnβ•1... β•k , Q-
β1... βkα•1... α•n } na składowe nieprzywiedlne, wnioskujemy, że prawa część danej zależności leży całkowicie w nieparzystej części superalgebry tylko jeśli n = 1, k = 0 albo {Q, Q-
} = 0.
W ostatnim przypadku nieparzyste generatory są trywialne Q = 0 , Q-
= 0 na mocy dodatniej określoności przestrzeni Hilberta :
I tak, operator nieparzysty w superalgebrze realizuje reprezentację spinorową grupy Lorentza typu ( ½, 0 ).
Zauważmy, że w przypadku ogólnym, do algebry może wchodzić pewien zbiór operatorów o wskazanej strukturze.
Różne operatory z takiego zbioru będziemy oznaczali indeksem I = 1, ... , N.
W zależności od tego jakie wartości indeksu I, mówimy o N = 1 supersymetrii, N= 2 supersymetrii itd.
Wniosek 2.1 Ponieważ QIα , Q-Iα• są spinorami grupy Lorentza, to zależności komutacyjne generatorów nieparzystych z generatorami Mab mają postać:
Wniosek 2.2 Redefiniując generatory antykomutator operatorów QIα , Q−Iα• można sprowadzić do następującej postaci :
{ QIα , Q-Jα• } = 2 δIJ σnαα• Pn (2.51)
W istocie – z lematu 2.1 wynika, że :
{ QIα , Q-Jα• } = cIJ σnαα• Pn (2.52) gdzie cIJ – pewna macierz numeryczna.
Rozpatrując zależność sprzężoną hermitowsko ( Dla współczynników numerycznych c i σ należy brać standardowe sprzężenie zespolone. Ponieważ σ niesie indeksy spinorowe i dla nich sprzężenie zespolone suponuje zamianę indeksów miejscami , to sprzężenie zespolone σ - macierzy jest równoważne ich sprzężeniu hermitowskiemu ) do (2.52),
wnioskujemy że cIJ – macierz hermitowska : cIJ = c-IJ
Poprzez przekształcenie unitarne może być ona sprowadzona do postaci diagonalnej :
UPI cIJ U-LJα = λL δPL (2.53)
gdzie λL (rzeczywista ) wartość własna macierzy cIJ
W prawej części powyższej zależności nie ma sumowania po indeksie L.
Redefiniując operator nieparzysty w algebrze QI → UIJ QJ dalej znajdujemy :
{ QIα , Q-Jα• } = λI δIJ σnαα• Pn (2.54)
Dalej, rozpatrzymy średnią tej zależności operatorowej względem dowolnego stanu | Ψ >.
W tym celu przyjmiemy I = J i obliczymy ślad pojawiającej się w wyniku tej operacji macierzy : tr (σn Pn ) = 2P0
Na mocy dodatniej określoności iloczynu skalarnego w przestrzeni Hilberta, dochodzimy do zależności :
λI < Ψ | P0 | Ψ > > 0 (2.55) Z rozważań fizycznych naturalnym wydaje się wymaganie, aby wartość średnia operatora energii w dowolnym stanie | Ψ >
była dodatnia. Jako tego następstwo λI > 0 i poprzez kolejna redefinicję operatorów QIα łatwo można sprowadzić zależność (2.54) do postaci (2.51).
Zauważmy, że dla dowolnej teorii tylko stan próżniowy | 0 > jest supersymetryczny : Q | 0 > = Q-
| 0 > = 0 (2.56)
Stany z niezerową energią automatycznie będą tworzyły multiplety, zawierające cząstki o spinie zarówno całkowitym jak i połówkowym.
Wniosek 2.3 Jeśli w teorii kwantowej spełniona jest zależność : { QIα , Q-Jα• } = 2 δIJ σnαα• Pn
to wartość średnia operatora energii w dowolnym stanie jest określona dodatnio : 0 ≤ < Ψ | P0 | Ψ >
Lemat 2.2 Słuszna jest następująca zależność :
{ QIα , QJβ } = i (σab )αβ Mab X(IJ) + εαβ Z[IJ] (2.57)
gdzie Z[IJ] – macierz antysymetryczna, przyjmująca wartości w algebrze Liego półprostej zwartej grupy Liego : Z[IJ] = Σp Zp[IJ] Tp
X(IJ) – numeryczna macierz symetryczna.
Dowód. Lewa część rozpatrywanej zależności posiada strukturę tensorową typu : ( ½ , 0 ) ⊗ ( ½ , 0 )
Rozkładając dany tensor na składowe nieprzywiedlne :
( ½ , 0 ) ⊗ ( ½ , 0 ) = (1, 0 ) ⊕ ( 0, 0 ) (2.58)
wnioskujemy, że :
{ QIα , QJβ } ~ [ i(σab )αβ Mab XIJ + εαβ ZpIJ Tp ] (2.59) gdzie X, Z – są macierzami numerycznymi.
Symetryzując daną zależność po indeksach α, β, znajdujemy że X- jest macierzą symetryczną.
W analogiczny sposób zawężając powyższą zależność z tensorem εαβ, można pokazać, że macierz Z – jest antysymetryczna.
W dalszym wykładzie użytecznym będzie trywialny wniosek z zależności (2.57) :
[ Pm , { QIα , QJβ } ] = 2 X(IJ) (σmn )αβ Pn (2.60)
Lemat 2.3 Generatory translacji i supertranslacji komutują :
[ QIα , Pm ] = 0 , [ Q-Jα• , Pm ] = 0 (2.61) Dowód. Przyjmując do wiadomości zależność :
( ½ , 0) ⊗ ( ½ , ½ ) = ( 1, ½ ) ⊕ ( 0, ½ )
oraz fakt, że parzysta część superalgebry nie zawiera reprezentacji typu ( 1, ½ ), dochodzimy do wyrażenia :
[ QIα , Pm ] = dIJ (σm )αα• Q-Jα• (2.62) gdzie dIJ – dowolna macierz numeryczna.
Dalej, rozpatrując tożsamość Jakobiego : [ Pm , [ Pn, QI
α ]] + [ Pn , [ QI
α , Pm ]] + [ QI
α , [ Pm ,Pn ]] = 0 (2.63)
i wykorzystując wyrażenie, hermitowsko sprzężone do (2.62) : [ Q-Iα•, Pm ] = d-IJ (σ~
m )αα• QJα (2.64)
znajdujemy ograniczenie na postać macierzy d :
dIJ d-JK = 0 (2.65) W analogiczny sposób analizując tożsamość Jakobiego :
[ Pm , { Pn, QIα } ] + { QIα , [ QIβ , Pm ] } − { QIβ , [ Pm, QIα ] } = 0 (2.66) i zawężając powyższą zależność z tensorem εαβ, wnioskujemy, że macierz d jest symetryczna
dIJ = dJI (2.67) Jako następstwo, równanie (2.65) przyjmuje postać:
d d+ = 0 → dIJ = 0 (2.68)
Zatem, translacje i supertranslacje rzeczywiście komutują.
Wniosek 2.4 Stosując w/w lemat do wzoru (2.60), ustalamy postać macierzy X(IJ) :
X(IJ) = 0 (2.69) Zależność ta upraszcza również antykomutator (2.57).
Jak już mówiliśmy wcześniej, generatory nieparzyste w superalgebrze realizują liniową reprezentację algebry Liego, tworzoną przez generatory parzyste.
Wypiszemy teraz jawnie wzory dla komutatorów [ QIα , Ti ] , [ Q-Iα• , Ti ] Na mocy relacji tensorowej :
( ½ , 0) ⊗ ( 0, 0 ) = ( ½ , 1 ) otrzymujemy równość :
[ QIα , Ti ] = biIJ QαJ (2.70)
gdzie biIJ – pewna macierz numeryczna.
Analizując dalej tożsamość Jakobiego :
[ Ti , {QIα , Q−Jα• }] + {QIα , [ Q-Jα• , Ti ] } − { Q-Jα• , [ Ti , QIα ] } = 0 (2.71) otrzymujemy równość :
biIJ = b-
iJI (2.72)
Tożsamość Jakobiego, zawierająca tylko jeden generator nieparzysty :
[ Ti , [QIα , TJ ]] + [ QIα , [ TJ , Ti ] ] + [ TJ , [ Ti , QIα ] ] = 0 (2.73) nakłada następujące ograniczenie na postać macierzy b :
