################################################################################
Wprowadzenie do supersymetrii i supergrawitacji P. West
Tytuł oryginału : „Introduction to supersymetry and supergravity”
World Scientific 1986
Tłumaczenie z przekładu rosyjskiego Moskwa MIR 1989
*************************************************************************************************
Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra
Pierwsze tłumaczenie 2012
Ostatnia modyfikacja : 2020-06-30 Tłumaczenie całości książki.
*************************************************************************************************
Wprowadzenie
Zalecana literatura wstępna : 1, 2, 4, 5, 11, 13, 14
„Wprowadzenie do supersymetrii” - A. W. Gałażinskij ; Tomski Uniwersytet Politechniczny Tomsk 2008 (tekst dostępny w tłumaczeniu własnym )
Pewne uwagi odnośnie supersymetrii
Jak dotąd ( 2010 ) nie ma bezpośrednich danych doświadczalnych świadczących o istnieniu supersymetrii nie odkryto, bowiem, jak dotąd żadnej pary cząstek związanych z przekształceniami supersymetrii.
Steven Wienberg pisze :
„Tylko jeden istotny fakt pośrednio wskazuje na istnienie supersymetrii : unifikacja przy wysokich energiach stałych sprzężenia cechowania grup SU(3), SU(2) i U(1) działa lepiej z dodatkowymi cząstkami, których wymaga supersymetria, niż bez nich.
Mimo to, z powodu wewnętrznej atrakcyjności supersymetrii oraz możliwości rozwiązania problemu hierarchii, jaka ona daje, ja oraz wielu innych fizyków jesteśmy raczej spokojni, iż okaże się, i to zapewne wkrótce, że supersymetria jest istotna dla rzeczywistego świata. Dlatego też supersymetria jest głównym celem eksperymentów fizyki wysokich energii planowanych dla istniejących akceleratorów oraz dla tzw. LHC, czyli Wielkiego Kolajdera Hadronów budowanego w CERN” .[ 5, tom 3 str. 17 ]
„symetrie wewnętrzne, takie jak izospinowa, wiążą cząstki o jednakowym spinie. Jednym z marzeń fizyki teoretycznej było znalezienie symetrii łączących cząstki o różnych spinach. Marzenie to ziściło się dzięki odkryciu supersymetrii.
Supersymetria łączy cząstki o sąsiednich spinach np. 1 i ½, a zatem przeprowadza fermiony w bozony i na odwrót.
Równie ważną rzeczą jest, iż supersymetria wiąże symetrie wewnętrzne z niezmienniczością Poincarego. Właśnie ten ostatni związek pozwala skonstruować nową teorię ciążenia – supergrawitacje.” [ 3p]
Supersymetrię sformułowano niezależnie w byłym Związku Radzieckim – prace J. A. Golfanda , J. P. Lichtmana (1971), następnie praca D. W. Wołkowa , W. P. Akułowa (1973 ), oraz w Europie Zachodniej i USA – Pierre Ramond, Andre Neveu , Jacob Schwarz. W 1973 Julius Wess i Bruno dokonali uogólnienia powyższych prac na KTP i przedstawili systematyczny sposób konstruowania teorii opartych na globalnej supersymetrii.
W połowie lat 60-tych XX wieku udowodniono twierdzenia, które zdawały się wykluczać możliwość połączenia grupy niezmienniczości Poincarego z grupami symetrii wewnętrznych. W późniejszym czasie okazało się, że poczyniono, implicte zbyt silne założenia przy ich formułowaniu i można je osłabić ( chodziło o założenie, że symetrie powinny spełniać prawo komutatywności mnożenia, a jak wiadomo istotnym elementem teorii supersymetrii są m.in. grupy nieprzemienne – nieabelowe i algebry Grassmanna ).
Generalną ideą działania supersymetrii jest następujące działanie : f ’ = f + bε ; b’ = b + fε
gdzie : b – pole bozonowe , f – pole fermionowe , b’ – pole bozonowe po wykonaniu transformacji supersymetrii , f’ – pole fermionowe po wykonaniu transformacji supersymetrii , czynnik ε jest miarą „kąta obrotu” w pewnej superprzestrzeni; b- jest zwykłą liczbą, natomiast liczby f i ε antykomutują.
Najbardziej zaskakującą własnością supersymetrii jest to, że dwukrotne wykonanie transformacji fermion-bozon przeprowadza cząstkę z jednego punktu czasoprzestrzeni w inny, a to jest niczym innym jak transformacją Poincarego.
Literatura.
1) „Elementy klasycznej i kwantowej teorii pola” - J. Karaśkiewicz ; UMCS 2003
2) „Quantum field theory” - L. H. Ryder ; tłumaczenie rosyjskie Mir 1987 3) „Grup theory and general relativity” - M. Carmeli ; McGraw-Hill
4) “Quantum field theory – A modern inroduction” - M. Kaku ; Oxford 1993
6) „Supersymmetry and supergravity” - J. Wess, J. Bagger ; tłumaczenie rosyjskie Mir 1986 7) “Supergravity ’81” - red. S. Ferrara , J.G. Taylor ; tłumaczenie rosyjskie Mir 1985 8) „Introduction to supersymmetry” - A. Wipf ; Jena 2001
9) “Ideas and method of supersymmetry and supergravity” – I. L. Buchbinder, S. M. Kuzenko ; IOP 1998 10) “Kwantowa teoria pola w zadaniach” - V. Radovanocić ; WN-PWN 2008
11) „Wstęp do supersymetrii. Notatki do wykładu” - Zygmunt Lalak ; UW 2005 12) „Wwiedenie w algebru i analiz z - F. A. Berezin
antykomutirujuszimi peremennymi”
13) ”Klasyczne pola cechowania – Teorie bozonowe” - W. A. Rubakow ; tłumaczenie własne 14) „Quantum field theory” - C. Itzykson, J-B Zuber ; tłumaczenie rosyjskie Mir 1984
15) „Wprowadzenie do metody reprezentacji indukowanych” - Robert Rynio ; W-UMK Toruń 2005
16) „Concise encyclopedia of supersymetry” - S. Duplij, W. Siegel, J. Bagger ; Kluwer 2004
Literatura popularna.
1p) “Supersymetria” - Gordon Kane ; Prószyński i S-ka 2000 2p) „Droga do rzeczywistości” - R. Penrose ; Prószyński i S-ka 2005 3p) „Supergrawitacja a unifikacja praw fizyki” - D. Z. Freedman, P. van Nieuwenhuizen PF tom 30 zeszyt 5 1979
OZACZENIA STOSOWANE W TŁUMACZENIU
(* .... *) – przypisy - jeśli nie określono, od kogo pochodzą, to należy przyjąć, że są to przypisy autora niniejszego tłumaczenia.
*************************************************************************************************
Wprowadzenie redaktora przekładu rosyjskiego.
Prawie dwadzieścia lat temu zbiór zasad symetrii został uzupełniony jeszcze jedną ważną zasadą, zgodnie, z którą istnieją przekształcenia symetrii zamieniające między sobą pola bozonowe i fermionowe. W relatywistycznej teorii pola razem z generatorami grupy Poincarego pojawiły się dodatkowe generatory fermionowe Qa ( a = 1, 2, ... , N ) za pomocą, których dokonujemy przekształcenia symetrii między polami o różnych statystykach (* mowa oczywiście o statystyce Bosego-Einsteina i statystyce Fermiego-Diraca *). Jeśli istnieje kilka zbiorów takich generatorów ( N > 1 ), to mówimy o rozszerzonej supersymetrii. Nowe modele fizyki bardzo wysokich energii, oparte na zasadzie supersymetrii odkrywają przed nami nowe drogi poszukiwań zunifikowanych teorii pól, w których połączone są wszystkie oddziaływania.
Budowa relatywistycznego obrazu świata z udziałem supersymetrii daleka jest od ukończenia i na pewno przyjdzie nam spotkać się w jej ramach z wieloma nowymi, niezwyczajnymi koncepcjami. Jednakże już teraz pojawia się potrzeba systematycznego przedstawienia materiału teoretycznego związanego z omawianym tematem.
W tym kontekście monografia znanego angielskiego fizyka-teoretyka Petera West’a przedstawia udaną próbę
zamkniętego i dostatecznie dokładnego opisania już otrzymanych wyników w obszarze supersymetrycznej kwantowej teorii pola oraz supergrawitacji, poczynając od podstaw, a kończąc na przedstawieniu pewnych wyników z ostatnich lat.
Wielki postęp renormalizowalnej teorii z cechowaniem, oddziaływania cząstek elementarnych, tzw. model standardowy Weinberga–Salama–Glashowa, oparty na grupie SU(3)C × SU(2)L × U(1), pobudził nadzieje zbudowania zunifikowanej teorii wszystkich oddziaływań, włączając w to grawitację.
Uogólnieniem modelu standardowego w obszarze bardzo wysokich energii jest teoria Wielkiej Unifikacji , która zawiera wspomnianą grupę jako swoją podgrupę. Nie bacząc na fakt, że z pomocą teorii Wielkiej Unifikacji osiągnięto szereg fenomenologicznych wniosków, w znacznym stopniu nie zależnych od szczególnej postaci wybranej grupy symetrii, teorie te posiadają szereg niedostatków. Najbardziej istotnym z nich jest brak wyjaśnienia hierarchii oddziaływań i pominięcie w nich grawitacji, chociaż unifikacja w takich teoriach następuję w skali niedalekich od planckowskich.
Naturalną drogą połączenia grawitacji z polami o mniejszych spinach wydaje się być supergrawitacja.
Model ze spontanicznym naruszeniem (N-1)-supergrawitacji jest podstawowy dla fenomenologicznego opisu fizyki cząstek o interesujących wnioskach w obszarze niskich energii, w ten sposób okazało się, że bez grawitacji faktycznie nie jest możliwe zbudowanie fenomenologicznie poprawnej teorii.
W latach 1982-1984 w eksperymentach akceleratora CERN zostały odkryte bozony pośredniczące W+ , W- i Z0 , odpowiadające za oddziaływanie słabe, odkrycie to potwierdziło teorię Weinberga–Salama–Glashowa .
Wielka unifikacja kwarków i leptonów jest możliwa, jeśli oprócz znanych bozonów cechowania, modelu standardowego istnieją masywne bozony cechowania odpowiedzialne za przejścia między tymi dwoma klasami cząstek, odkrycie takich bozonów oczekiwane jest z wielką niecierpliwością. Nie bacząc na wnioski płynące z supersymetrii w różnych
obszarach energii w chwili obecnej nie dysponujemy potwierdzeniem takiej symetrii. Tym niemniej istnieje wiele
teoretycznych wskazówek świadczących o jej obecności, co też stymuluje do dalszych jej poszukiwań eksperymentalnych.
Sukcesywny rozwój teorii supersymetrii i supergrawitacji oraz zainteresowanie podobnymi problemami stał się powodem dla napisania podręczników, zawierających najważniejsze aspekty tych teorii skierowanych do czytelników zaznajomionego z podstawami teorii pola. Do takiego rodzaju książek należy monografia P. Westa. To, że niniejszą książkę oparto na wykładach wygłoszonych na różnorodnych szkołach i konferencjach, celem, których było
zaznajomienie szerokiej publiczności fizycznej z podstawowymi zagadnieniami supersymetrii i supergrawitacji, określa w wielu aspektach charakter wyłożenia materiału fizycznego. Autor konsekwentnie przechodzi od prostych sformułowań do bardziej złożonych, za każdym razem objaśniając wprowadzane pojęcia.
W całej książce autor równolegle z formalizmem polowym ( lub indeksowym ) w standardowej czasoprzestrzeni wykorzystuje opis geometryczny. Dla supergrawitacji tj. dynamicznej teorii lokalnej ( symetrii cechowania ) supersymetrii, taki opis opiera się na pojęciu superprzestrzeni jako przestrzeni ilorazowej, pojawiającej się przy faktoryzacji rozszerzonej grupy Poincarego względem grupy Lorentza ( rozszerzona grupa Poincarego posiada 14 parametrów, dlatego superprzestrzeń parametryzowana jest przez 4 bozonowe i 4 fermionowe współrzędne ).
Zbudowanie supergrawitacji wymaga wprowadzenia obiektów geometrycznych w superprzestrzeni, a jej podstawą jest uogólniona zasada względności, zawierająca w jednej geometrycznej strukturze zarówno symetrie czasoprzestrzenne jak i wewnętrzne. Geometryczne idee supergrawitacji są adekwatne do zasad OTW, którą można rozpatrywać jako
supergrawitacje o N = 0.
Po wyłożeniu formalizmu klasycznej teorii w superprzestrzeni autor przechodzi do teorii kwantowej, rozpatrując feynmanowską technikę diagramów w podejściu superpolowym, kiedy supergrafy zawierają określony zbiór standardowych diagramów Feynmanna, odpowiadający składowym bozonowym i fermionowym wchodzących, do superpola.
Największą uwagę autor poświęca rozbieżnością ultrafioletowym oraz argumentom ich nie występowania dla specjalnej klasy teorii z rozszerzoną supersymetrią ( N = 2, 4 ). Wprowadza dowody skończoności oparte na anomaliach i
niewystępowaniu renormalizacji. Na szczególną uwagę zasługują modele w których uwzględnia się jawne ( „miękkie” ) naruszenie supersymetrii.
W celu otrzymania zadowalającego relatywistycznego spektrum cząstek w modelach supersymetrycznych koniecznym jest posiadanie mechanizmu spontanicznego naruszenia symetrii, który formułuje się w przybliżeniach klasycznym i kwantowym. W dalszej kolejności omawiana jest struktura multipletu prądów w teoriach supersymetrycznych, pojawienie się anomalii w prawie zachowania superprądu przy jego kwantowaniu, wartość multipletu prądów przy formułowaniu supergrawitacji.
Autor rozpatruje supersymetryczne modele w dwu wymiarowej czasoprzestrzeni, które nie tylko pomagają zilustrować ogólne zasady, ale również prowadzą do sformułowania superstruny – najbardziej obiecującego, współczesnego kierunku badań.
Książkę kończy budowa inwariantnej względem cechowania teorii drugiego kwantowania relatywistycznej, otwartej struny bozonowej, w której wykorzystano generatory algebry Virasoro.
Niewielka objętość książki nie pozwoliła ująć całego bogactwa kierunków i metod badań w obszarze supersymetrii.
W szczególności nie omawia formalizmu harmonicznej superprzestrzeni, który pozwala sformułować szereg rozszerzonych teorii supersymetrycznych na zewnątrz powierzchni masy ( nie na rozwiązaniach równań ruchu ) Oczywiście podstawowym celem jest wykorzystanie supersymetrii w celu zbudowania ogólnego obrazu świata.
Autor podejmuje również poważne próby zastosowania koncepcji supersymetrii do różnorodnych obszarach fizyki np.
przy budowaniu modeli kosmologicznych, analizie zaburzonych stanów pewnych grup jąder, oraz przy opisie szeregu zjawisk w ciele stałym.
Niesłabnące zainteresowanie zagadnieniami supersymetrii pozwala mieć nadzieje, że przedstawiona książka będzie użyteczna zarówno dla aktywnych specjalistów w omawianej dziedzinie, jak i młodych naukowców, zainteresowanych osiągnięciami współczesnej teorii cząstek elementarnych.
P. P. Kulisz
1. Wprowadzenie autora do wydania rosyjskiego.
Minęło około dwóch lat od chwili angielskiego wydania niniejszej książki i jak się wydaje należy skomentować różnorodne kierunki rozwoju fizyki teoretycznej, które zmieniły się w tym czasie. W szczególności perspektywy i obecne miejsce teorii strun w fizyce nie wydaje się tak oczywistym jak twierdzono niedawno.
Chociaż model standardowy, wykorzystywany w kwantowej teorii pola, z powodzeniem stosuje się w bardzo szerokim interwale energii, druga teoria współczesnej fizyki – OTW, sprawdzona jest tylko w skalach, dużo mniejszych od skal charakterystycznych modelu standardowego. Oprócz tego poczynając od lat 30-tych (* XX wieku *) wiadomo, że zastosowanie zasad teorii kwantów w OTW prowadzi do sprzecznych wyników. Istnieją pewne nadzieje, że problemy te zostaną rozwiązane, po zbudowaniu jednolitej teorii łączącej obie te teorie.
Do chwili odkrycia teorii strun i supersymetrii nie udało się w żadnej mierze posunąć się w rozwiązaniu powyższego problemu. Teoria strun pojawiła się przy próbie wyjaśnienia fizyki hadronów, jednak odkrycie tego, że w niej pojawia się naturalnie cząstka bezmasowa o spinie 2, poprowadziło nieuchronnie do wykorzystania jej w charakterze teorii grawitacji. Supersymetria została ujawniona na początku lat 70-tych przez Golfanda i Lichtmana w wyniku nietrywialnego połączenia symetrii czasoprzestrzennych i wewnętrznych, oraz niezależnie przez Geravaisa i Sakite badających superstrunę Ramonda-Neveu-Schwarza. Na dzień dzisiejszy nie ma bezpośredniego potwierdzenia supersymetrii lub teorii strun. (* obecnie tj. na początku XXI w. dalej nie ma takiego potwierdzenia *)
Mimo tego, że supersymetria prowadzi do nietrywialnego uogólnienia teorii grawitacji Einsteina, nie jest jasne czy na tej drodze zostanie rozwiązany wspomniany powyżej problem kwantowania grawitacji. Wydaje się, że połączenie teorii strun i supersymetrii jest konieczne i być może w niedalekiej przyszłości zostanie zrealizowane (* istotnie na początku lat 90-tych udało się dokonać takiej syntezy w wyniku, której powstała teoria superstrun *)
Jednakże nie jest to etap ostateczny, należy jeszcze ustalić związek z modelem standardowym. Jednym z problemów polega na tym, że jak się wydaje istnieje nie tylko jedna zgodna z nim teoria – istnieje ich wiele.
Być może nasze zrozumienie teorii strun i w szczególności tego, w jaki sposób może ona być połączona z koncepcjami mechaniki kwantowej, inwariantności cechowania, supersymetrii i OTW dla sformułowania pełnej teorii jest niepełne.
W przeszłości połączenie dwóch teorii fizycznych przywiodło do pojawienia się określonych fizycznych koncepcji.
Jednym z następstw takiego procesu jest nasze wyobrażenie o czasoprzestrzeni, które jednakowoż zmienia się wraz z pojawieniem się teorii supersymetrii i teorii strun.
Pozostaje otwartym zagadnienie o tym, czy model standardowy jest stosowalny przy energiach, znacznie
przewyższających jego skalę charakterystyczną 100 [GeV] i przybliżających się do energii teorii strun 1019 [GeV].
Jeśli nie, to może to doprowadzić do radykalnych zmian w naszym rozumieniu tego, w jaki sposób znana nam fizyka zawiera się w teorii strun.
Nie bacząc na wszystkie te niejednoznaczności, wydaje się prawdopodobnym, ze badanie supersymetrii będzie kontynuowane w ciągu najbliższych lat, zarówno w kontekście teorii strun, jak i w kontekście teorii
niskoenergetycznych, które mogą być poddane weryfikacji z danymi eksperymentalnymi, otrzymanymi na nowych akceleratorach.
Po wielu latach wysiłków, ukierunkowanych na budowę teorii unifikującej, przejawienie się supersymetrii w eksperymencie byłoby bardzo oczekiwane.
CERN Szwajcaria 1988 P. West
*************************************************************************************************
Przedsłowie.
Niniejsza książka została napisana na podstawie wygłoszonych prze zemnie wykładów dotyczących supersymetrii i supergrawitacji. W trakcie wygłaszania wykładów doszedłem do wniosku, że potrzebna jest książka, która stanowiłaby wprowadzenie do podstawowych aspektów teorii supersymetrii. Chociaż zawartość przedstawionej książki jest ograniczona w pewien sposób, poprzez obszar moich zainteresowań naukowych, zawiera ona wszystkie podstawowe zagadnienia, konieczne dla wprowadzenia do danego tematu, jak również pewne dodatkowe, bardziej złożone zagadnienia. Te ostatnie dotyczą własności kwantowych teorii supersymetrii, oraz budowy teorii supergrawitacji.
Rozdział kończący zawiera omówienie swobodnej inwariantnej względem cechowania teorii strun.
Teorie supersymetrii w sposób znaczący wpłynęły na współczesne pokolenie fizyków teoretyków. Stymulowały one próby poszukiwania jednej unifikującej teorii fizycznej i doprowadziły one do głębszego zrozumienia tego, w jaki sposób zbudowana jest czasoprzestrzeń, w której żyjemy. Z ogólnego punktu widzenia sprawiły one, że pewne idee , które na pierwszy wzgląd wydawały się luźno powiązane z danymi eksperymentalnymi, stały się bardziej poglądowe.
Przy wyłożeniu materiału, tam gdzie było to konieczne, starałem się, aby ściśle wyprowadzić przedstawiany materiał.
Tym niemniej, mam nadzieję, że przy zapoznawaniem się z tematem, czytelnik razem z matematycznymi przekształceniami zrozumie w sposób pełny koncepcje, leżące u podstaw teorii supersymetrii.
Chciałem w tym miejscu podziękować Uniwersytetowi kalifornijskiemu oraz CERN, gdzie napisany został rękopis niniejszej publikacji. Chciałbym również podziękować moim kolegom, praca z którymi stymulowała głębsze rozumienie omawianych problemów.
Londyn 1986 Peter West
1. Wprowadzenie.
Niniejsza książka pojawiła się w wyniku cyklu wykładów wygłoszonych na różnych letnich konferencjach, jest ona pomyślana jako wprowadzenie do supersymetrii i supergrawitacji. Książkę tę można rozpatrywać jako wykład akademicki w tym sensie, że prawie zawsze podano dokładne dowody wprowadzanych stwierdzeń. Po prawie dziesięcioletnim intensywnym rozwoju teorii supersymetrii nie można ująć całej obszernej literatury przedmiotu w jednym tomie. Zamiast ogólnego omawiania wielu zagadnień zdecydowaliśmy się ograniczyć do rozpatrzenia tych z tematów, które są istotne dla początkowego zapoznania się z tematem, oraz ważnych dla dalszego rozwinięcia supersymetrii i których dokładny wywód nie zajmuje wiele miejsca.
W obszar tych zagadnień wchodzą prawie wszystkie tematy związane z globalnym podejściem, do supersymetrii i ( N = 1)-supergrawitacji.
Do niniejszej książki nie weszły teorie rozszerzonej supergrawitacji, teorie superstrunowe, redukcja wymiarowa Kaluzy- Kleina, oraz dokładne omówienie własności fenomenologicznych supersymetrii. Spis literatury, zawierający m.in. pewne przeglądy tych ważnych tematów podano w dodatku B.
Uwzględniając wprowadzający charakter książki, nie próbowaliśmy podawać systematycznego opisu przedmiotu lub podawać pełne matematyczne wywody, mając na uwadze to, aby czytelnik nie pogubił się w detalach. Często podajemy tylko te strony omawianej teorii, które są konieczne dla wyprowadzenia danego zagadnienia. W tym sensie dana książka nie pretenduje do pełnego i ścisłego matematycznego wykładu, mamy jednak nadzieję, że będzie ona zrozumiała.
Istotna część prezentowanej książki została napisana jednocześnie z książką [6]. Ta ostatnia stanowi jednak monografię bardziej zaawansowaną, w której to rozpatrzono dokładnie koncepcje oraz matematyczne zagadnienia supersymetrii, w oparciu o te podstawy teoria ta wyprowadzana jest w detalach i z odpowiednią ścisłością.
W ten sposób otrzymaliśmy tam grubą i bogatą w treść książkę. W prezentowanej obecnie książce staraliśmy się unikać powtórzeń ze wspomnianej monografii i mamy nadzieje, że omawiane książki będą się wzajemnie uzupełniały.
W ostatnich rozdziałach istnieje pewne zbliżenie wykładu i jestem wdzięczny Peterowi van Nieuwenhuizen’owi za to, że je przeczytał i wprowadził wiele pożytecznych ulepszeń.
Supersymetria została odkryta przez Golfanda i Lichtmana [1]. Akułow i Wołkow [2] zbudowali teorię inwariantną względem nieliniowej realizacji supersymetrii. W wyniku niezależnych badań [7] supersymetria została wprowadzona jako dwuwymiarowa symetria powierzchni świata w kontekście teorii strun. Jednak supersymetria stała się szeroko znana po tym jak ta dwu wymiarowa symetria była uogólniona na cztery wymiary i zbadana w celu zbudowania modelu Wessa-Zumino [3].
Do chwili obecnie nie przekonujących dowodów tego, że supersymetria realizuje się w przyrodzie. Nie mamy również konkretnych powodów, które zmuszałyby nas do wierzenia, że supersymetria jest konieczna dla rozwiązania jakiegoś z paradoksów współczesnych fizycznych teorii. Możliwe jest jednak, że supersymetria jest wymagana w celu objaśnienia nowych zjawisk, już ujawnionych lub tych, które zostaną ujawnione w bliskiej i najbliższej przyszłości, chodzi
zwłaszcza o badania prowadzone na akceleratorach cząstek. Z punktu widzenia teorii istnieją pewne powody oczekiwać, że supersymetria okaże się nieodzowna. W przyrodzie istnieją w skrajnym przypadku dwa silnie różniące się skale energii : skala oddziaływania słabego ( 100 [GeV] ) i skala Plancka ( 1019 [GeV] ).
Mamy również pewne podstawy przyjmować, że powinna istnieć jeszcze jedna ( lub więcej ) skal pośrednich.
Chociaż pochodzenie tych silnie różniących się skal energii nie jest znane, przyjmuje się jako naturalne, aby teorie w niższych skalach energii nie były gubione na tle silniejszych efektów, pojawiających się w skali większych energii. W tym sensie pewne supersymetryczne teorie są bardziej naturalne, a z przytoczonych argumentów wynika, że
superpartnerzy obserwowanych cząstek powinny mieć masę w pobliżu najniższej skali energii i odpowiednio do tego, powinny zostać znalezione w niedalekiej przyszłości ( zobacz rozdział 19 ). Taka własność teorii supersymetrii jest następstwem tego faktu, że dzięki supersymetrii stany z zerowym spinem związane są ze stanami ze spinem ½.
W modelu standardowym oddziaływania słabego i EM największą nieokreśloność wnosi sektor zerowego spinu.
W istocie, bowiem, wiele z 19-stu swobodnych parametrów tego modelu związanych jest nieokreślonością oddziaływań pól o zerowym spinie, zarówno między sobą jak i z polami o spinie ½.
Naturalnym jest oczekiwanie, że teorie supersymetryczne, pewne z tych swobodnych parametrów ustalą w sposób jednoznaczny.
Nie było to wykonalne w kontekście modeli supersymetrycznych o (N=1)-supersymetrii, nie jest jednak wykluczone, że ustalenie parametrów jest możliwe, jeśli uda się zbudować modele realistyczne o rozszerzonej supersymetrii.
Można mieć nadzieję, że w pewnej skali energii teorie supersymetryczne powinny zapewniać uzgodnienie kwantowania grawitacji i tym samym zunifikowanie ciążenia z wszystkimi innymi siłami natury. Najbardziej obiecującymi
kandydatami w kierunku takiej unifikacji są teorie superstrun. Jednakże należy mieć na uwadze, że grawitacja może okazać się siłą o nie fundamentalnym znaczeniu, a może być powodowana przez jakiś mechanizm dynamiczny.
Zdumiewający jest fakt, że supersymetria jak się wydaje, może dać nam odpowiedzi na wiele ważnych pytań, na które fizyka cząstek nie potrafiła odpowiedzieć. Jeśli supersymetria da nam odpowiedzi na takie pytania, to być może zwiąże ona zjawiska zachodzące w skali energii Plancka ze zjawiskami zachodzącymi w skali sił oddziaływania słabego.
Chociaż supersymetria na początku budziła szereg wątpliwości, w ostatnich latach stała się ona głównym obiektem badań dla znacznej liczby teoretyków. Takie szerokie zainteresowanie tym tematem, który nie ma bezpośredniego
teoretycznej jest to nowe zjawisko. Wywołane jest ono pewnymi nadziejami związanym z możliwością zastosowania supersymetrii wskazanymi wcześniej, jak również bardzo bogatą strukturą teorii supersymetrycznych, prowadzącą do szeregu ważnych wyników, które na swój sposób prowadzą do dalszych następstw. Niektóre z takich nowych wyników zawierają rozszerzone teorie o globalnej supersymetrii, teorie supergrawitacji, teorie z superkonforemną inwariantnością tj. dalsze rozwinięcie teorii supersymetrycznych, jak również zbudowanie realistycznych modeli supersymetrycznych i wykorzystanie supersymetrii dla uproszczenia dowodów pewnych twierdzeń matematycznych.
Książkę rozpoczynamy od wyprowadzenia algebry supersymetrii. Pokazano, że w ramach KTP dana algebra jest naturalną konsekwencją wymogu symetrii Bosego-Fermiego lub, że w fizyce grupa Poincarego i grupy symetrii wewnętrznej powinny być związane między sobą w nietrywialny sposób ( zobacz rozdziały 2, 3, 4 i 5 ) Nieprzywiedlne reprezentacje algebry supersymetrii ( rozdział 8 )opisują możliwe stany teorii supersymetrycznych na powierzchni masy. Objaśniono jak można systematycznie budować wszelkie teorie supersymetryczne, znając tylko ich stany na powierzchni masy. W tym celu należy znaleźć przekształcenia supersymetrii, które realizują przekształcenia w przestrzeni pól zgodnie z równaniami ruchu ( tj. stanami na powierzchni masy ) i przeprowadzić pola jedne w drugie, a następnie znaleźć inwariantne działanie, zbudowane z pól, na które nie nałożono żadnych więzów. Metodę tą ilustrujemy dla (N=1)-teorii z globalną supersymetrią w rozdziałach 5, 6, 7, a teorie z rozszerzoną globalną supersymetrią budujemy w rozdziale 12. Słowo „globalna” oznacza, że parametry przekształceń supersymetrii nie zależą od współrzędnych czasoprzestrzeni.
W rozdziale 9 (N=1)-supergrawitacja budowana jest na początku jako zlinearyzowana teoria, inwariantna tylko względem globalnej supersymetrii. Następnie, wykorzystując metodę, Noether znajdujemy teorie lokalnie supersymetryczną. Jej inwariantność ustanawiamy w rozdziale 11.
Otrzymawszy te supersymetryczne teorie, rozpatrujemy następnie ich oddziaływanie. Najprościej jest je analizować wykorzystując supersymetryczny rachunek tensorowy. Nazwa tego rachunku, przypomina analogicznie z OTW, że należy wybrać pewne supermultiplety tj. zbiór pól w przestrzeni x, które przekształcają się między sobą przy
przekształceniach supersymetrii, a następnie znaleźć zasady ich złożenia tak, aby otrzymać nowe supermultiplety.
Taka procedura, jak również umiejętność budowy inwariantów pozwala znaleźć najogólniejszą postać oddziaływania.
W rozdziale 12, 13 zostało to zrobione dla supersymetrii globalnej i lokalnej.
Wspomniany supersymetryczny rachunek tensorowy w przestrzeni x pozwala zachować supersymetryczną postać teorii na każdym etapie jej budowy. Jednakże metoda ta nie może być wykorzystana dla zachowania supersymetrii w procesie obliczeń kwantowych. To, bowiem jest osiągane na poziomie klasycznym i kwantowym za pomocą formalizmu superprzestrzennego – rozdział 14. Supersymetria pojawia się tutaj jako wynik działania na 8-mio wymiarowej przestrzeni ilorazowej, nazywanej superprzestrzenią. Cztery współrzędne superprzestrzeni komutują, a pozostałe antykomutują. Taka konstrukcja uogólnia realizacje grupy Poincarego na przestrzeni Minkowskiego. Supermultiplety zadane są poprzez pola na superprzestrzeni, pola te nazywamy superpolami. Sformułowanie teorii z supersymetrią globalną i (N=1)-supergrawitacją podano w rozdziałach 15, 16.
W rozdziale 17 pokazano jak obliczać kwantowe efekty w superprzestrzeni , w rozdziale 18 zbadano zachowanie teorii supersymetrycznych w obszarze ultrafioletowym. Teorie te zawierają szeroką klasę skończonych kwantowych teorii pola. W rozdziale 19 krótko rozpatrzono teoretyczne aspekty budowy modeli realistycznych. Rozdział 20 zawiera omówienie struktury supermultipletu, do którego należą prądy teorii supersymetrycznych. To pozwala znaleźć sformułowanie supergrawitacji, jak również posiada pewne odniesienie do obliczeń efektów kwantowych w teoriach supersymetrycznych.
Na zakończenie, mając na uwadze odniesienie do powstałych w ostatnim czasie teorii strun, w rozdziale 21 omawiamy dwuwymiarowe teorie, supersymetryczne leżące u podstaw takich teorii. W rozdziale 22 podajemy wprowadzenie do gauge-kowariantnego sformułowania teorii strun.
2. Algebra supersymetrii.
W latach 60-tych w miarę jak wzrastało rozumienie znaczenia symetrii wewnętrznych, takich jak SU(2) i wyższych, fizycy próbowali ujawnić symetrię, która by w nietrywialny sposób łączyła grupę Poincarego i grupę symetrii wewnętrznych. Po wielu próbach dowiedziono, że takie podejście jest niemożliwe w ramach teorii grup Liego.
Na podstawie bardzo ogólnych założeń Coleman i Mandula [4] pokazali, że dowolna grupa Liego, zawierająca grupę Poincarego P, o generatorach Pa i Jab spełniających następujące zależności :
[ Pa , Pb ] = 0 , [ Pa , Jbc ] = ( ηab Pc − ηac Pb ) (2.1)
[ Jab , Jcd ] = − ( ηac Jbd + ηbd Jac − ηad Jbc − ηbc Jad ) (2.1) i grupy symetrii wewnętrznej G, o generatorach Ts :
[ Tr , Ts ] = frst Tt (2.2)
powinna być iloczynem prostym P i G , innymi słowy :
[ Pa , Ts ] = 0 = [ Jab , Ts ] (2.3) Pokazali oni również, że grupa G powinna zawierać grupę półprostą i dodatkowe grupy U(1).
Należy poczynić pewne uwagi odnośnie statusu tego wzbraniającego ( twierdzenie wykluczające ) ( „no-go theorem” ) twierdzenia. Jest jasne, że istnieją grupy Liego zawierające grupę Poincarego oraz grupę symetrii wewnętrznych w sposób nietrywialny, jednak omawiane twierdzenie mówi, że grupy takie prowadzą do trywialnej fizyki.
Przykładowo rozpatrzmy rozpraszanie dwóch ciał , z uwzględnieniem zachowania pędu i momentu pędu jedyną nieznaną wielkością okazuje się kąt rozpraszania. Jeśli istniałyby grupy Liego, które w nietrywialny sposób zmieszane byłyby z grupą Poincarego, to powinny istnieć dodatkowe generatory związane z przekształceniami czasoprzestrzeni.
Odpowiadające takim dodatkowym generatorom prawa zachowania prowadzą do dodatkowych ograniczeń, nakładanych np. na rozpraszanie dwóch ciał, tak, że kąt rozpraszania może przyjmować tylko dyskretne wartości. Jednakże ogólnie przyjmuje się, że amplituda rozpraszania jest analityczna względem kąta θ i odpowiednio, wnioskujemy, że proces rozpraszania nie jest zależny od θ.
Istota tego twierdzenia polega na tym, że jeśli wykorzystamy grupę Liego, która zawiera grupę symetrii wewnętrznych, zmieszaną w nietrywialny sposób z grupą Poincarego, to macierz S dla wszystkich procesów powinna być trywialna.
Oprócz tego w sformułowaniu teorii zakłada się, że macierz S istnieje i jest nietrywialna, próżnia jest niezdegenerowana i nie występują cząstki bezmasowe. Ważnym jest zrozumienie, że twierdzenie to jest stosowalne tylko do przekształceń symetrii działających na elementy macierzy S, a nie do wszystkich możliwych przekształceń symetrii, istniejących w KTP (* kwantowej teorii pola *).
W istocie, bowiem łatwo jest znaleźć przykłady symetrii o takiej właśnie postaci.
Podsumowując – twierdzenie „no-go” jest słuszne tylko w takim zakresie, w jakim słuszne są założenia wykorzystywane w celu jego dowiedzenia.
W ważnej pracy Golfand i Lichtman [1] pokazali, że jeśli uogólnimy pojęcie grupy Liego, to możemy znaleźć grupę symetrii, włączającą w nietrywialny sposób grupę Poincarego oraz grupę symetrii wewnętrznych. W niniejszym
rozdziale omówimy takie podejście do supersymetrii. Przyjmując bardziej ogólną definicję grupy, dojdziemy za pomocą twierdzenia Colemana-Manduli, oraz pewnych dodatkowych założeń do słynnego pojęcia grupy supersymetrii.
Ponieważ struktura grupy Liego, w skrajnym przypadku w otoczeniu elementu jednostkowego jest określona całkowicie poprzez jej algebrę Liego, koniecznym jest sformułowanie ogólniejszego pojęcia algebry Liego.
Ważnym krokiem na drodze do odkrycia algebry supersymetrii było wprowadzenie generatorów Qαi spełniających zależności antykomutacyjne , tj. (* na mocy własności antykomutacyjnych nieparzystych generatorów QAi dla tego, aby otrzymać z nich obiekty parzyste, które przy podstawieniu ich do wykładnika dały elementy grupy , generatory te należy pomnożyć przez nieparzyste elementy antykomutujace algebry Grassmana Λ(ε1, ... εi ... ) ( algebra stowarzyszona z jednością ).
Algebra ta jest generowana przez skończoną lub nieskończoną liczbę elementów tworzących ε1, ... εi ... o własnościach [ 52, 202* ] : εiεj + εjεi = 0, w szczególności εi2 = 0. W algebrze Grassmana Λ parzystość jest ustalona.
Algebra Grassmana jako przestrzeń liniowa, może być rozłożona na sumę prostą : Λ = Λ0⊕ Λ1 , gdzie : Λ0 – podalgebra elementów parzystych ( generowana przez jedność i jednomiany o parzystych potęgach względem tworzących εi )
Λ1 – podprzestrzeń elementów nieparzystych ( generowana przez jednomiany o nieparzystych potęgach względem εi ) tym samym w Λ zadana jest Z2– gradacja – przypis redaktora przekładu rosyjskiego *)
{ Qαi , Qβi } = Qαi Qβi + Qβi Qαi = pewien inny generator (2.4)
(* przypominam , że komutator : [ A, B ] = AB − BA i antykomutator { A, B } = AB + BA *)
Wartości indeksów i, α wyjaśnimy dalej.
Założymy teraz, że grupa symetrii zawiera generatory Pa , Jab i Ts oraz być może pewne inne generatory, spełniające zależności komutacyjne, jak również generatory Qαi ( i = 1, 2, ... , N ).
Generatory spełniające zależności (2.1), (2.2) i (2.3) – parzystymi ,a generatory spełniające zależność (2.4) – nieparzystymi.
Pozwalając jedynie ukazać się „Dżinowi z butelki”, szybko ją zamykamy, innymi słowy nakładamy wymóg, aby algebra posiadała Z2-gradacje. To prosto oznacza, że generatory parzyste i nieparzyste powinny spełniać następujące zasady :
[ parzysty, parzysty ] = parzysty (2.5)
[ nieparzysty, nieparzysty ] = parzysty (2.5)
[ parzysty, nieparzysty ] = nieparzysty (2.5)
Powinny być spełnione również zależności :
[ Pa , Ts ] = 0 = [ Jab , Ts ] (2.6) ponieważ parzysta ( bozonowa) podgrupa powinna spełniać twierdzenie Colemana-Manduli.
Rozpatrzmy teraz komutator wielkości Jab i Qαi.
Na mocy zależności (2.5) powinien on mieć postać :
[ Qαi , Jab ] = (bab )αβ Qβi (2.7)
ponieważ zgodnie z definicją Qαi są jedynymi generatorami nieparzystymi. Tutaj indeks α odpowiada obrotom, realizowanym przez operator Jab. Analogicznie z algebrą Liego wprowadzimy uogólnioną tożsamość Jakobiego.
Oznaczając parzyste generatory literą B, a nieparzyste literą F, znajdujemy :
[ [B1, B2 ] , B3 ] + [ [ B3 , B1] , B2 ] + [ [ B2 , B3 ] , B1 ] = 0 (2.8)
[ [B1, B2 ] , F3 ] + [ [ F3 , B1] , B2 ] + [ [ B2 , F3 ] , B1 ] = 0 (2.8)
{ [B1, F2 ] , F3 } + { [ B1, F3 ] , F2 } + [ {F2 , F3 }, B1 ] = 0 (2.8)
[ {F1, F2 } , F3 ] + [ {F1 , F3 }, F2 ] + [ {F2 , F3 }, F1 ] = 0 (2.8) Czytelnik może sprawdzić słuszność tych zależności.
Wykorzystując tożsamość Jakobiego :
[ [ Jab , Jcd ] , Qαi ] + [ [ Qαi , Jab ] , Jcd ] + [ Jcd , Qαi ] , Jab ] = 0 (2.9) oraz równanie (2.7), otrzymamy :
[ bab , bcd ]αβ = − ηac ( bbd )αβ + ηad ( bbc )αβ + ηbc ( bad )αβ (2.10) To oznacza, że macierz wielkości ( bcd )αβ tworzy reprezentacje algebry Lorentza lub, innymi słowami, że na
generatorach Qαi zadano reprezentacje grupy Lorentza.
Wybierzemy teraz generatory Qαi , które należą do reprezentacji ( 0, ½ ) ⊕ ( ½ , 0 ) grupy Lorentza , tj.
[ Qαi , Jab ] = ½ (σab )αβ Qβi (2.11)
Niech Qαi - spinor Majorany :
Qαi = Cαβ Q-βi (2.12)
gdzie : Cαβ = – Cβα – macierz sprzężenia ładunkowego ( zobacz dodatek A ).
Nie prowadzi to jednak do utraty ogólności, ponieważ jeśli algebra dopuszcza sprzężenie zespolone jako inwolucje możemy przekształcić superładunki tak, aby spełnić (2.12) ( zobacz uwagę 1 w końcówce tego rozdziału ).
Wprowadzone obliczenia są odbiciem głębszego faktu : generatory Qαi powinny określać reprezentacje parzystej ( bozonowej ) podalgebry grupy supersymetrii. Jest to prostą konsekwencją tego, aby algebra była Z2-gradowana.
Komutator dowolnego generatora B1 i generatora Qαi ma postać :
[ Qαi , B1 ] = (h1)αj Qβj (2.13)
Z uogólnionej tożsamości Jakobiego :
[ [ Qαi , B1 ] , B2 ] + [ [ B1, B2 ] , Qαi ] + [ [ B2 , Qαi ] , B1 ] = 0 (2.14) wynika, że :
[ h1, h2 ]αj iβ Qβj = [ Qαi , [ B1, B2] ] (2.15) lub, innymi słowy, macierze h określają reprezentacje algebry Liego generatorów parzystych.
Przedstawione powyżej zależności, oznaczają, że : [ Qαi , Tr ] = (łr )i
j Qαj + (tr )ji ( iγ5 )αβ Qβj (2.16)
gdzie składowe (łr )i
j iγ5 (tr)i
j zadają reprezentacje algebry Liego symetrii wewnętrznej.
Wynika to z faktu, że δβα i (γ5 )αβ – są jedynymi inwariantnymi tensorami, będącymi skalarem i pseudoskalarem.
Pozostaje nam komutator [ Qαi , Pa ] generatorów parzystych i nieparzystych. Uogólniona tożsamość Jakobiego, zawierający grupę symetrii wewnętrznych i grupę Lorentza, dopuszcza następującą zależność :
[ Qαi , Pa ] = c (γa )αβ Qβj (2.17) Jednakże tożsamość [ [ Qαi , Pa ] , Pb ] + ... wymaga, aby stała c była równa zeru , tj.
[ Qαi , Pa ] = 0 (2.18) W przypadku ogólniejszym można rozpatrzyć składowe ( cγa + dγa γ5 )Q w prawej części (2.17), jednak wtedy
wprowadzona wcześniej tożsamość Jakobiego, oraz warunek Majorany dają : c = d = 0 ( zobacz uwaga 2 pod koniec tego rozdziału ).
Na zakończenie rozpatrzymy, antykomutator { Qαi , Qβj }.
Powinien on być zestawiony z generatorów parzystych i powinien być symetryczny względem zamiany α ↔ β i i ↔ j.
Generatory parzyste, to generatory grupy Poincarego, grupy symetrii wewnętrznej, jak również generatory, które zgodnie z twierdzeniem Colemana-Manduli, komutują z elementami grupy Poincarego, tj. są skalarami i pseudoskalarami. Odpowiednio, najogólniejsza ogólna forma antykomutatora ma postać :
{ Qαi , Qβj } = r (γa C)αβ Pα δij + s (σab C)αβ Jab δij + Cαβ Uij + ( γ5C )αβ Vij (2.19) Nie wykluczyliśmy składowej ( γbγ5C )αβ Lbij ponieważ tożsamość Jakobiego, wiążąca generatory Q, Q i Jab
( Q, Q, Jab ) oznacza, że Lbij jest mieszane z elementami grupy Poincarego w nietrywialny sposób i odpowiednio wspomniana składowa powinna być wykluczona mocy twierdzenia „no-go”.
Fakt, że wykorzystaliśmy tylko tensory inwariantne względem grupy Poincarego, jest następstwem uogólnionych tożsamości Jakobiego, dwóch generatorów nieparzystych i jednego parzystego.
Generatory parzyste Uij = – Uji i Vij = –Vji nazywają się ładunkami centralnymi [5], oznaczamy je często literą Z.
Na mocy uogólnionych tożsamości Jakobiego (Q, Q, Q ) i ( Q, Q, Z ) komutują one ze wszystkimi generatorami, włącznie ze samymi tymi ładunkami tj. :
[ Uij , dowolny generator ] = 0 = [ Vij , dowolny generator ] (2.20)
Zauważmy, że twierdzenie Colemana-Manduli dopuszcza grupę półprostą z dodatkowymi grupami U(1).
Rola ładunków centralnych w teoriach supersymetrycznych stanie się jasna w następnych rozdziałach.
W przypadku ogólnym powinniśmy zapisać prawą stronę (2.19) w postaci ( γbC )αβ ωij Pa + ... , gdzie ωij – dowolna rzeczywista macierz symetryczna. Można jednak pokazać, że macierzy ωij nie można sprowadzić do postaci ωij = rδij za pomocą żadnych transformacji superładunków ( obroty i mnożenie przez czynniki rozmiarowe ), nie naruszających warunku Majorany ( zobacz uwaga 3 na końcu niniejszego rozdziału ).
Tożsamość [ Pa , { Qαj , Qβj }] + ... = 0 prowadzi do równości s = 0, dlatego Pa można znormalizować, zakładając r = 2, otrzymujemy w ten sposób :
{ Qαj , Qβj } = 2 ( γaC )αβ δij Pa + CαβUij + ( γ5C )αβ Vij (2.21)
W dowolnym przypadku czynniki r, s mają różne wymiary i aby przyjąć je jako niezerowe wymagane jest wprowadzenie pewnego parametru wymiarowego.
Jeśli wybralibyśmy inną nieprzywiedlną reprezentacje lorentzowską dla Qαj różna, od ( j + ½ , j ) ⊕ ( j, j + ½ ), to można byłoby otrzymać Pa tj. reprezentację ( ½ , ½ ) w prawej części (2.21).
Prostszą możliwością jest reprezentacja ( 0, ½ ) ⊕ ( ½ , 0 ).
W rzeczywistości jest to jedyny możliwy wybór ( zobacz uwagę 4 )
Na koniec, musimy rozważyć więzy, jakie nakładana na grupę symetrii wewnętrznych, uogólniona tożsamość Jakobiego.
Rozważania takie są złożone ze względu na wybraną formę zapisu warunku Majorany (2.12). Dwuskładnikowy wariant takich więzów ma postać :
Q-
A•i = ( QAi )* ; A, A•= 1, 2 (2.22)
( zobacz dodatek A dotyczący oznaczeń dwuskładnikowych ) Równania (2.19) i (2.16) przyjmują postać :
{ Qαj , Q-
B•j } = – 2i (σa )AB• δij Pa (2.23)
{ QAi , QBj } = εAB ( Uij + iVij ) (2.23)
[ QAi , Jab ] = ½ ( σab )AB QBi (2.23)
i
[ QAi , Tr ] = ( lr + itr )i
j QAj (2.24)
Przechodząc od (2.24) do sprzężonego zespolenie równania, oraz wykorzystując warunek Majorany, otrzymujemy : [ Q-
A•i , Tr ] = QA•k ( Ur† )ki (2.25)
gdzie : ( Ur )i
j = ( lr + itr )i j . Z tożsamości Jakobiego ( Q, Q-
, T ) wynika, że δij – tensor, inwariantny względem grupy G, tj. :
Ur + Ur† = 0 (2.26)
Odpowiednio, macierze Ur są antyhermitowskie, tj. przedstawiają sobą generatory grupy unitarnej U(N).
Przyjmując do wiadomości człony z ładunkami centralnymi w tożsamości Jakobiego ( Q, Q, T) znajdujemy, że każdemu ładunkowi centralnemu można przyporządkować inwariantny tensor grupy symetrii wewnętrznej i odpowiednio możliwa grupa symetrii wewnętrznej jest jeszcze bardziej zawężona. Przypadkowi, kiedy mamy tylko jeden ładunek centralny odpowiada grupa symetrii wewnętrznych Sp(N), a przypadkowi, kiedy nie ma ładunku centralnego - grupa U(N).
Zatem, jeśli wymagamy, aby algebra była Z2-gradowana i zawierała algebrę grupy Poincarego i symetrii wewnętrznych to uogólnione tożsamości Jakobiego nakładają bardzo silne ograniczenia na wybór takiej algebry.
Istotnie, jeśli bowiem dokonamy dalszych założeń, że Qαi – to spinory względem grupy Lorentza, to algebra posiada formę, określoną przez zależności (2.1), (2.6), (2.11), (2.16), (2.18) i (2.21).
Zbudowana algebra istnieje przy N = 1, zawiera ona zależności :
{ Qα , Qβ } = 2(γa C )αβ Pa , [ Qα , Pa ] = 0 (2.27)
[ Qα , Jcd ] = ½ (σcd )αβ Qβ , [ Qα , R ] = i (γ5 )αβ Qβ (2.27)
jak również zależności komutacyjne grupy Poincarego. Zauważmy, że w tym przypadku nie ma ładunków centralnych ( tj. U’’ =V’’ = 0 ), a grupa symetrii wewnętrznych jest po prostu grupą rotacji chiralnej o generatorze R.
Teraz dowiedziemy, trzy wspomniane wcześniej stwierdzenia.
Nie zrobiliśmy tego od razu, aby nie odwracać uwagi od głównego toku wykładu. Wykorzystamy formalizm dwuskładnikowy.
Uwaga 1. Załóżmy, że mamy algebrę dopuszczającą sprzężenie zespolone jako inwolucje (* inwolucja jest to takie działanie, które wykonane kolejno dwa razy nad danym obiektem, prowadzi do tego samego obiektu np. pomnożenie liczby przez –1 jest inwolucją *); dla superładunków oznacza to, że :
( QAi )* = bij QA•j , ( QA•j )* = dj k QAk
Nie występuje tutaj mieszanie indeksów lorentzowskich, ponieważ ( Qai )* przekształca się tak samo jak superładunki QA•i , a dokładnie zgodnie z reprezentacją ( 0, ½ ) grupy Lorentza, a nie tak jak QAi , które przekształcają się według reprezentacji ( ½ , 0). Opuszczenie indeksu i pod znakiem sprzężenia zespolonego jest tylko kwestią przyjętej konwencji.
Dwie kolejne operacje sprzężenia zespolonego nie zmieniają wyniku, a to oznacza, że : ( bij )* djk = δi
k (2.28)
i w szczególności, że bij – jest macierzą odwrotną.
Przekształćmy teraz superładunki :
Q’Ai = QAi , Q’A•i = bij QA•j (2.29)
Znajdziemy wielkości, sprzężone zespolenie Q’A•j : ( Q’Ai )* = ( QAi )* = bij QA•j = Q’A•j
podczas, gdy wykorzystując (2.28), otrzymamy :
( QA•i )* = ( bij )* ( QA•j )* = ( bij )* djk QAk = QAi (2.30)
Zatem, Q’Ai spełnia warunek Majorany, czego właśnie wymagaliśmy. Jeśli superładunki pierwotnie nie spełniają tego warunku, to możemy przeformułować je tak, aby go spełniały.
Uwaga 2. Załóżmy, że komutator [ QA , Pa ] ma postać :
[ QA , Pa ] = e(σa )AB• QB• (2.31)
gdzie e – liczba zespolona,
( dla uproszczenia opuściliśmy indeks i )
Przechodząc do sprzężenia hermitowskiego tego wyrażenia ( zobacz dodatek A ), znajdujemy :
[ QA• , Pa ] = − e* (σa )BA• QB (2.32)
Rozpatrzone wcześniej tożsamości Jakobiego [ [ QA , Pa ] , Pb ] + ... = 0 prowadzą do równania :
−| e |2 ( σa )AB• (σb )CB• − ( a ↔ b ) = 0 (2.33)
Odpowiednio, zatem e = 0 i ponownie otrzymujemy tożsamość :
[ QA , Pa ] = 0 (2.43)
Uwaga 3. Najogólniejsza forma antykomutatora wielkości QAi , QB•j ma postać :
{ QAi , QB•j } = − 2i Uij (σm )AB• Pm + składowe z innymi macierzami Diraca (2.35) Przechodząc od (2.35) do równania sprzężonego , a następnie porównując te równania, znajdujemy, że U – jest macierzą hermitowską :
( Uij )* = Uj
i (2.36)
Przekształćmy teraz superładunki :
Q’Ai = Bij QAj (2.37)
W sprzężone zespolenie superładunki : Q’A•i = ( Bi
j )* QA•
j (2.38)
Po takim przekształceniu w wyrażeniu (2.35) macierz U zamienia się na macierz : U’ij = Bi
k Uk m ( Bj
m )* lub U’ = BUB† (2.39)
Ponieważ U jest macierzą hermitowską, możemy ją zdiagonalizować za pomocą macierzy unitarnej B, sprowadzając ją do postaci ci δi
j. Zauważmy, że przy tym nie naruszany jest warunek Majorany dla QAi.
Na koniec, po przekształceniu Qi → ( 1/ √ci )Qi macierzy U możemy nadać formę U = di δi
j, gdzie di = ±1.
Podstawiając, bowiem A = B = 1 oraz i = j = k dochodzimy do wniosku, że prawa część zależności (2.35) jest operatorem dodatnio określonym, a ponieważ energia iP0 jest przyjmowana jako dodatnia, to znajdujemy naturalną wartość di = +1.
Ostateczny wynik ma postać :
{ QAi , QB•j } = − 2i δij (σm )AB• Pm (2.40)
Uwaga 4. Załóżmy, że superładunki Q należą do innej nieprzywiedlnej reprezentacji grupy Lorentza, różnej od ( 0, ½ ) ⊕ ( ½ , 0 ), np. reprezentacji QA1... An, B•1... B•m , gdzie indeksy A, B należy rozumieć jako symetryzowane niezależnie. Aby superładunki Q były nieparzyste, liczba n + m powinna być nieparzysta, oprócz tego, powinien być spełniony warunek n + m > 1. Wybierając w odpowiedni sposób składowe komutatora { Q, Q+ }, można znaleźć antykomutator, zawierający superładunki QA1... An, B•1... B•m ,oraz ich sprzężenia hermitowskie.
Rozpatrzmy w szczególności antykomutator zawierający superładunek Q = Q
11... 1,1•1•... 1•,który powinien być równy elementowi ze spinem n + m > 1. Jednakże zgodnie z twierdzeniem „no-go” Colemana-Manduli, w algebrze nie może być takiego generatora, dlatego antykomutator, powinien być równy zeru, tj. QQ† + Q† Q = 0.
Zakładając, że przestrzeń, w której działają generatory Q posiada dodatnio określoną normę ( np. przestrzeń stanów na powierzchni masy ), wnioskujemy, że superładunki Q są równe zeru. Jeśli jednak Q
11... 1,1•1•... 1•jest równy zeru, to QA1... An, B•1... B•m są również równe zeru na mocy własności lorentzowskich generatorów i pozostaje tylko jedna możliwa reprezentacja ( 0, ½ ) ⊕ ( ½ , 0 ).
Chociaż wywód ten rozpoczęliśmy od grupy Poincarego, można byłoby z tym samym wynikiem wyjść od grupy konforemnej lub (anty) de sitterowskiej i otrzymać superkonforemną lub supersymetryczną (anty) de sitterowską algebrę. Dla pełności wykładu przedstawimy zależności komutacyjne takich algebr. Algebra superkonforemna, która zawiera generatory Pn , Jmn, D, Kn, Qαi, Sαi, łącznie z zależnościami komutacyjnymi należącymi do grupy Poincarego, określana jest poprzez następujące zależności :
Generatory Tr i A tworzą grupę U(N), a τ1 + γ5 τ2 należą do fundamentalnej reprezentacji grupy SU(N).
Anty de sitterowska superalgebra tworzona jest przez generatory Mmn , Tij i Qαi o zależnościach komutacyjnych :
[ Mmn , Mpq ] = ηnp Mmq + 3 składowe (2.42)
[ Mmn , Tij ] = 0 , [ Qαi , Mmn ] = ½ (γmnC−1 )αβ Qβi (2.42)
[ Qαi , Tjk ] = − 2i ( δij Qak − δik Qαj ) (2.42)
{ Qαi , Qβj } = δij ( γmn C−1 )αβ iMmn + ( C−1 )αβ Tij (2.42)
[ Tij , Tkl ] = − 2i ( δjk Tik + 3 składowe ) (2.42)
3. Alternatywne podejścia do algebry supersymetrii.
W rozdziale 2 algebra supersymetrii została przedstawiona z punktu widzenia możliwości nietrywialnego związku grupy Poincarego i grupy symetrii wewnętrznej, jednakże można ja otrzymać z pomocą innych podejść.
Być może najbardziej intuicyjną z takich podejść jest metoda oparta na wymogu istnienia symetrii między fermionami i bozonami. Omawiając takie podejście, założymy, że mamy pewną reprezentacje symetrii, zawierającą w skrajnym przypadku skalar A, tylko jeden spinor χα jak również inne pola bozonowe. Przy tym musimy dysponować przekształceniem, wiążącym pola A i χα.
Przekształcenie wiążące skalar A i fermion χα , jeśli jest ono liniowe powinno mieć postać
δA = ε-α χα (3.1)
Analiza wymiarowa pokazuje, że parametr ε-α powinien mieć wymiar ½ (* dalej w książce wykorzystuje się potęgi stopnia n dla wymiarów dowolnych wielkości w jednostkach masy tj. cm−1 w jednostkach ħ = c = 1 *)
i powinien być parametrem antykomutacyjnym, ponieważ A i χα podlegają odpowiednio, statystyce Bosego-Einsteina i Fermiego-Diraca.
Przyjmując pod uwagę rozważania wymiarowe, inwariantność lorentzowską oraz parzystość, nadto zakładając liniowość wnioskujemy, że szukane przekształcenie ma postać :
δχα = ( γa )αβ ∂a Aεβ + składowe zawierające inne pola (3.2)
Oczywiście, aby otrzymać symetrie nie wystarczy tak po prostu wypisać szereg przekształceń, należy jeszcze upewnić się, że takie przekształcenia tworzą zamkniętą algebrę. Z równania (3.1) i (3.2) wynika :
[ δ1 , δ2 ]A = ε-
2 φα ε1 ∂α A − ( 1 ↔ 2 ) + inne składowe (3.3) (* symbol ( 1 ↔ 2 ) oznacza wyraz powstały przez zamianę indeksów 1, 2 – przypis własny *)
Znajdujemy więc, że wymóg symetrii Fermiego-Bosego ( przy warunku liniowej realizacji ) w wyniku różnych wymiarów pól bozonowych i fermionowych powinien prowadzić do pojawienie się translacji czasoprzestrzennych jak również cząstek z innym spinem.
Czytelnik może się przekonać, że działanie komutatora dwóch przekształceń supersymetrii na spinor χα w przypadku, kiedy uwzględniamy tylko pierwszą składową prawej strony (3.2), nie jest prostą translacją. Jest to odbiciem tego faktu, że wymagane są dopełniające pola z zerowym spinem, różne od A. Takie podejście można doprowadzić do ukończenia, a czytelnik może się zapoznać z modelami zbudowanym na tej podstawie, odpowiednio modelem Wessa-Zumino w rozdziale 5 i modelem Yanga-Millsa o N = 1 w rozdziale 6.
Inne podejście do supersymetrii jest następujące : rozpatrzmy ogólną teorię pola i wymagajmy aby miała ona dogodne własności w obszarze ultrafioletowym ( brak rozbieżności ), jak wiadomo jest to bowiem cechą charakterystyczną teorii supersymetrycznych. Przykładowo rozpatrzmy energię próżni cząstki o masie m i spinie j :
½ ( −1)2j ( 2j + 1 ) ∫ d3k sqrt( k2 + mj2 ) = ½ ( −1)2j ( 2j + 1 ) ∫ d3k sqrt( k2 ) [ 1 + ½ ( mj2 /k2 ) − (mj2 /k2 )2 + ... ]
Wymagając, aby nie występowała rozbieżność czwartego stopnia, kwadratowa i logarytmiczna, otrzymujemy :
Σ ( −1)2j ( 2j + 1 ) = 0 , Σ ( −1)2j ( 2j + 1 )mj2 = 0 , Σ ( −1)2j ( 2j + 1 )mj4 = 0
Pierwszy warunek wymaga równości liczb fermionowych i bozonowych stopni swobody, a dwa następne są spełnione, jeśli cząstki mają jednakowe masy. Okoliczność ta została dawno temu zauważona przez Pauliego.
Przyjmując najprostszą ze wspomnianych możliwości tj. jeden fermion Majorany i dwa pola o zerowym spinie, możemy zapisać najogólniejsze renormalizowalne oddziaływanie. Wymaganie, aby taka teoria, pierwotnie mająca dziesięć swobodnych parametrów posiadała tylko jeden parametr renormalizacji funkcji falowej, nakłada ograniczenia na stałe oddziaływania i masy. W rzeczywistości dochodzimy do modelu Wessa-Zumino, rozpatrzonego w rozdziale 5, model ten posiada oczywista supersymetrię. Można również wymagać, aby teoria zawierała cząstki o spnie ½ i 1, jak również posiadała tylko jedną nieskończoną renormalizację funkcji falowej. Przy tym powinniśmy otrzymać ( N =1)-teorię Yanga-Millsa, którą rozpatrujemy w rozdziale 6.
4. Bezpośrednie następstwa algebry supersymetrii.
Superładunki Qαi należą do reprezentacji grupy Lorentza o spinie ½ i odpowiednio do tego, działając na stan o spinie j, generują w wyniku tego działania stan o spinie j ± ½. Zatem, supersymetria jest symetrią, która miesza cząstki o różnym spinie tj. miesza fermiony i bozony. Struktura supersymetrii z Z2–gradacją jest koniecznym następstwem tego, że bozony i fermiony podlegają odpowiednio statystyce Bosego-Einsteina i Fermiego-Diraca tj. w obszarze klasycznym pole bozonowe A i pole fermionowe χα spełniają zależności :
[ A, A ] = 0 , [ A, χα ] = 0 (4.1)
{ χα , χβ } ≡ χα χβ + χβ χα = 0 (4.1)
Innymi słowy, dla zgodności z tymi zależnościami koniecznym jest, aby parametr supersymetrii εα był antykomutujący.
Zależność [ Pα , Qαi ] = 0 prowadzi do równości :
[ Pα2 , Qαi ] = 0 (4.2)
Odpowiednio, Pα2 – jest operatorem Casimira, algebry supersymetrii, dlatego cząstki w dowolnej nieprzywiedlnej reprezentacji posiadają jedną i tę samą masę. Nie musimy długo rozpatrywać tablicy cząstek, aby zrozumieć, że podobna własność nie jest obserwowana w przyrodzie nawet w przybliżeniu. Jedną z głównych trudności w zastosowaniu
supersymetrii do badania natury cząstek elementarnych polega na znalezieniu dróg naruszenia supersymetrii przy zachowaniu jej podstawowych cech i siły przewidywania.
Druga własnością algebry supersymetrii, która prowadzi do daleko idących konsekwencji jest nieujemność energii P0. Aby to zobaczyć, pomnożymy (2.21) przez Cδβ , co daje nam :
{ Qαj , Q-βj } = − 2 δij ( γaPa )αβ − δαβ Uij − ( γ5 )αβ Vij (4.3) Podstawiając i = j i mnożąc (4.3) przez γ0 , a następnie obliczając ślad po indeksach i oraz diracowskich, znajdujemy : 0 ≤ − Σ Tr [ {Qαk , Q-βk } γ0 ] = Σ Qαk ( Qαk )† + człony hermitowsko sprzężone = 2N Tr (γ0 γa Pa ) = 8NP0 Odpowiednio :
P0 ≥ 0 (4.4)
Na zakończenie podamy użyteczne twierdzenie.
Twierdzenie. W dowolnej reprezentacji supersymetrii, w której Pa – jest operatorem odwracalnym, istnieje równa ilość fermionowych i bozonowych stopni swobody.
