Ćwiczenie 28. W grafie pełnym

Paweł Tarasiuk, 151021

Ćwiczenie 28.

W grafie pełnym K

znaleźć liczbę ścieżek długości 4 oraz 5 między:

1. Różnymi wierzchołkami.

2. Tym samym wierzchołkiem.

Rozwiązanie

Zadanie jest równoważne problemowi potęgowania macierzy połączeń grafu K

, czyli:

M =















0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0















W grafie K

każda para wierzchołków jest połączona dokładnie jedną krawędzią, więc rozróżnienie wierzchołków nie ma w nim istotnego znacze- nia (graf ten posiada 5! automorfizmów - dla każdej permutacji wierzchoł- ków). Skoro wierzchołki są nierozróżnialne, to zarówno sama macierz M jak i wszystkie jej potęgi muszą posiadać tę własność, że wartości z głów- nej przekątnej są parami równe, oraz że wszystkie wartości spoza głównej przekątnej są parami równe - gdyby było inaczej, dawałoby to możliwość wy- różnienia pewnego wierzchołka bądź grupy wierzchołków, co jest sprzeczne z własnościami grafu K

.

Oznaczmy zatem:

M

=















a

b

b

b

b

b

a

b

b

b

b

b

a

b

b

b

b

b

a

b

b

b

b

b

a















Z zapisanej macierzy połączeń oczywiście można odczytać, że a

= 0 i b

= 1.

Zauważmy, że chcąc z danego wierzchołka przejść do samego siebie ścież- ką o długości n, musimy ścieżką o długości n−1 przejść do jednego z czterech pozostałych wierzchołków, a następnie wrócić do początku ścieżki, zatem dla n ­ 2:

1 / 2

Paweł Tarasiuk, 151021

a

= 4 · b

Wszystkich możliwych ścieżek o długości n jest oczywiście 4

, bo przy każdym wierzchołku możemy wybrać jedną z czterech krawędzi. Zatem wszyst- kich wychodzących z danego wierzchołka ścieżek otwartych o długości n jest 4

− a

= 4

− 4 · b

. Zauważmy jednak, że wzięte pod uwagę zostały wszystkie ścieżki otwarte, niezależnie od tego gdzie znajduje się ich koniec.

Biorąc pod uwagę nierozróżnialność wierzchołków grafu pełnego oraz fakt, że mamy do wyboru 4 końce, możemy zapisać liczbę ścieżek o długości n ­ 2 łączącą dowolną parę różnych wierzchołków:

b

= 4

− 4 · b

4 = 4

− b

Mając tak podany wzór, można pokusić się o rozwiązanie rekurencji:

b

= 4

− (−1)

5

Zatem możemy wyznaczyć także a

:

a

= 4

+ 4 · (−1)

5

Rozwiązaniem ćwiczenia 28. jest oczywiście (1.) b

= 51, b

= 205 oraz (2.) a

= 52 i a

= 204.

2 / 2