. Soit K une extension ab´elienne de degr´e n de k de conducteur C. On note :

LXXVIII.4 (1997)

Valeurs en s = 1 de fonctions L

par

Michel Pestour (Grenoble)

0. Introduction. Soit k un corps de nombre, totalement r´eel, de degr´e d ≥ 2, d’anneau des entiers O

_k

. Soit K une extension ab´elienne de degr´e n de k de conducteur C. On note :

• k

_C

l’ensemble des ´el´ements α de k qui sont totalement positifs et con- grus `a 1 modulo C,

• I

_C

le groupe des id´eaux fractionnaires de k qui sont premiers avec C,

• P

_C

le sous-groupe de I

_C

form´e des id´eaux principaux de la forme αO

_k

avec α ∈ k

C

.

D’apr`es la th´eorie du corps de classes la restriction ω de l’application d’Artin `a I

C

est surjective et son noyau est P

C

×N

_k^K

(C) o` u N

_k^K

(C) d´esigne le sous-groupe des normes des id´eaux fractionnaires de K. (N

_k^K

(C) = {N

_k^K

(B) o` u B est un id´eal fractionnaire de K premier avec CO

_K

}.) On a donc I

C

/P

C

N

_k^K

(C) ' Gal(K/k). Soit alors e χ un caract`ere de Gal(K/k) = G.

e

χ induit un caract`ere χ = e χ ◦ ω sur I

_C

:

I

_C

I

_C

/P

_C

N

_k^K

(C) Gal(K/k)

C

^∗

s

//

χ

++

V V V V V V V V V V V V V

˜

∼ω

//

˜ χ

²²

(o` u s d´esigne la surjection canonique et e ω ◦ s = ω) qui permet de d´efinir la fonction

L

_C

(s, χ) = X

aid´eal entier dek apremier `aC

χ(a)

N (a)

^s

pour Re s > 1 (o` u l’on a pos´e N (a) = N

_Q^k

(a)).

Notons que l’on peut prolonger le caract`ere χ `a l’ensemble des id´eaux non nuls de k en posant pour tout id´eal P premier de O

_k

:

• χ(P ) = 0 si le groupe d’inertie I

P

de P n’est pas inclus dans le noyau Ker χ de χ,

[367]

• χ(P ) = e χ(σ) si I

P

⊂ Ker χ o` u σ est un ´el´ement de Gal(K/k) dont la restriction au corps K(χ) = {x ∈ K : σ(x) = x, ∀σ ∈ Ker χ} est l’automorphisme de Frobenius (P, K(χ)/k), ce qui permet de poser

L(s, χ) = X

aid´eal entier non nul dek

χ(a)

N

_Q^k

(a)

^s

pour Re s > 1.

On a alors

L(s, χ) = L

C

(s, χ) Y

Pid´eal entier premier dek

tel queP |C

 1

1 − χ(P )/N (P )

^s



pour Re s > 1

et on sait que L(s, χ) se prolonge en une fonction enti`ere si χ est distinct du caract`ere trivial.

En particulier,

L(1, χ) = L

C

(1, χ) Y

Pid´eal entier premier dek

tel queP |C

 1

1 − χ(P )/N (P )

 .

Le probl`eme de l’´evaluation de L(1, χ) fut ´etudi´e initialement par Kro- necker qui d´etermina une expression du second terme du d´eveloppement de Laurent au voisinage de s = 1 de la fonction ζ

_k

d’un corps de nombres k quadratique imaginaire expression dans laquelle la fonction ln |η(z)| avec

η(z) = e

^πiz/12

Y

∞ n=1

(1 − e

^2πinz

) (z ∈ C, Im z > 0)

joue un rˆole fondamental. De la formule obtenue, appel´ee formule limite de Kronecker , r´esulte ais´ement l’expression de L(1, χ) (cf. [Si] par exemple).

Le cas o` u k est un corps quadratique r´eel fut ´etudi´e en 1917 (pr`es d’un demi-si`ecle plus tard) par Hecke, l’existence d’unit´es de k d’ordre infini ren- dant le probl`eme plus d´elicat, la fonction ln |η(z)| intervenant toujours mais de fa¸con moins satisfaisante. Ce cas fut repris par Meyer en 1957 dans un travail dont certaines remarques ont ´et´e interpr´et´ees en termes de fractions continues par Zagier en 1975 (cf. [Z]). Dans son travail, la formule limite de Kronecker obtenue par Zagier s’exprime `a l’aide de valeurs particuli`eres de la fonction

F (x) =

∞

\

0

 1

1 − e

^−t

− 1 t



ln(1 − e

^−xt

) dt (x > 0) (cf. [Z], p. 164).

En 1980, Novikov mena une ´etude analogue (cf. [N]) en introduisant la fonction

%(x, α, β) =

1

\

0

ln(1 − t

^x

e

^2πiα

)

e

^−2πiβ

− t dt (x > 0, β 6∈ Z)

et obtint une formule limite de Kronecker s’exprimant `a l’aide de certaines valeurs relativement compliqu´ees, prises par cette fonction %, valeurs qui rendent l’expression obtenue difficile `a expliciter (cf. [N], th´eor`eme 2, p. 167).

Entre-temps, Shintani en 1977 avait obtenu une formule limite de Kro- necker o` u un rˆole fondamental ´etait jou´e par le logarithme de la fonction gamma double de Barnes (cf. [S1], th´eor`eme 1, p. 184).

Dans ce travail on reprend, en l’adaptant au cas de L

_C

(s, χ) avec χ 6= 1 (la relation P

σ∈G

χ(σ) = 0 jouant un rˆole essentiel), un travail (cf. [C]) o` e u Colmez exprime la fonction zˆeta d’un corps de nombre comme la transform´ee de Mellin en d variables d’une fonction rationnelle en e

^z

, `a l’aide d’une variante effective de la m´ethode de Shintani. On obtient ainsi une formule g´en´erale valable pour d quelconque. On donne ensuite, dans le cas o` u d = 2, deux expressions de L(1, χ) qui sont `a rapprocher de celles obtenues dans [N] et [Z]. La bibliographie donne des r´ef´erences d’articles pr´esentant des r´esultats reli´es aux nˆotres ou utilis´es dans le d´etail des calculs.

1. D´ ecomposition de Shintani. Variante effective de Colmez

• Soient O

^∗_k

le groupe multiplicatif des unit´es de O

_k

(O

^∗_k

' {±1}×Z

^d−1

) et U

C

le sous-groupe de O

_k^∗

form´e des unit´es de k totalement positives et congrues `a 1 modulo C.

• Soit τ

1

, . . . , τ

d

les d plongements de k dans R. L’application τ : k → R

^d

, x 7→ (τ

1

(x), . . . , τ

d

(x)),

permet d’identifier k avec une Q-sous-alg`ebre de R

^d

.

Colmez a prouv´e dans [C] l’existence de ε

1

, . . . , ε

d−1

∈ U

C

v´erifiant : (i) le groupe multiplicatif V engendr´e par ε

1

, . . . , ε

d−1

est discret et libre de rang d − 1,

(ii) si pour σ ∈ S

d−1

(groupe sym´etrique d’ordre d − 1) on pose f

_1,σ

= 1 et f

_i,σ

=

i−1

Y

j=1

ε

_σ(j)

∀i = 2, . . . , d − 1,

alors ∆

σ

= det(f

1,σ

, . . . , f

d,σ

) a le mˆeme signe que la signature ε(σ) de la

permutation σ, pour tout σ ∈ S

_d−1

.

De plus, si l’on pose pour toute partie J non vide de {1, . . . , d} et pour tout σ ∈ S

_d−1

C

σ,J

= n X

j∈J

λ

j

f

j,σ

avec λ

j

∈ R

^+∗

∀j ∈ J o

, alors

(R

^+∗

)

^d

/V = a

(σ,J)∈S

C

_σ,J

o` u S d´esigne un syst`eme de repr´esentants fix´e de l’ensemble des couples (σ, J) muni de la relation d’´equivalence : (σ, J) ∼ (σ

⁰

, J

⁰

) si et seulement s’il existe v ∈ V tel que C

_σ,J

= vC

_σ⁰_,J⁰

.

Notons alors, pour tout id´eal a de O

_k

,

D

_σ,J,a

= D

_σ,J

∩ (1 + Ca

⁻¹

) avec

D

_σ,J

= n

y ∈ C

_σ,J

: y = X

j∈J

x

_j

cf

_j,σ

avec 0 < x

_j

≤ 1 ∀j ∈ J o

(c ´etant le g´en´erateur positif de l’id´eal C ∩ Z). D

σ,J,a

est un ensemble fini.

Posons de plus, pour z ∈ (R

^+∗

)

^d

, F

y,σ,J

(z) = e

^{− Tr(yz)}

Y

j∈J

1 1 − e

^{−c Tr(fj,σz)}

et

F

_aq,σ

(z) = X

J∈S⁰_σ

X

y∈D_σ,J,aq

F

_y,σ,J

(z)

o` u S

⁰_σ

d´esigne l’ensemble des parties J de {1, . . . , d} telles que (σ, J) ∈ S et Tr(x) = P

_d

j=1

τ

j

(x) pour x ∈ k. Alors, si h

C

= Card I

C

/P

C

et si a

1

, . . . , a

h_C

d´esigne un syst`eme de repr´esentants de I

_C

/P

_C

on a si Re s > 1, L

_C

(s, χ) =

hC

X

q=1

χ(a

_q

)

N (a

q

)

^s

· 1

[U

C

: V ] · 1 Γ (s)

^d

X

σ∈S_d−1

\

(R^+∗)^d

F

_aq,σ

(z) Y

d i=1

(z

_i^s−1

dz

_i

).

A partir de cette expression, pour d´eterminer la valeur en 1 de L `

_C

(s, χ) on explicite un prolongement holomorphe `a {s ∈ C : Re s > 1 − 1/d} de la fonction h d´efinie par

h(s) =

h_C

X

q=1

χ(a

q

) N (a

q

)

^s

· 1

[U

C

: V ] · 1 Γ (s)

^d

X

σ∈S_d−1

X

y∈D_σ,aq

\

(R^+∗)^d

F

y,σ

(z) Y

d i=1

(z

_i^s−1

dz

i

) pour Re s > 1 (o` u l’on a pos´e, pour all´eger les notations, D

σ,a_q

= D

_{σ,aq,{1,...,d}}

et F

_y,σ

= F

y,σ,{1,...,d}

).

En reprenant le travail effectu´e par Colmez dans [C] (lemme 3.3, pp. 377–

378) on obtient pour Re s > 1 − 1/d et s 6= 1,

(1) h(s) = − 1

[U

_C

: V ] · 1

Γ (s)

^d

· 1

d(s − 1) f (s) avec

f (s) =

hC

X

q=1

χ(a

_q

) N (a

_q

)

^s

× X

σ∈Sd−1

X

y∈D_σ,aq

X

d i=1

\

(R^+∗)^d

∂Φ

i,y,σ

∂u

_i

(u)

 Y

^d

j=1 j6=i

u

^s−1_j

 u

^d(s−1)_i

Y

d i=1

du

i

o` u, si l’on pose

L

i

(y, u) = (y

1

u

1

+ . . . + y

i−1

u

i−1

+ y

i

+ y

i+1

u

i+1

+ . . . + y

d

u

d

)u

i

(avec u = (u

₁

, . . . , u

_d

) ∈ R

^d

et y

_i

= τ

_i

(y) pour i = 1, . . . , d et y ∈ O

_k

), Φ

_i,y,σ

est d´efinie par

Φ

i,y,σ

(u)

= e

^−Li(y,u)

Y

d j=1

 L

_i

(f

_j,σ

, u)

1 − e

^{−cLi(fj,σ,u)}

· u

_i

L

_i

(f

_j,σ

, u)



ψ

_i

(u

₁

, . . . , u

_i−1

, 1, u

_i+1

, . . . , u

_d

) pour i = 1, . . . , d, ψ

₁

, . . . , ψ

_d

´etant des fonctions C

^∞

sur (R

⁺

)

^d

\{0} v´erifiant

(i) P

_d

i=1

ψ

i

(u) = 1 ∀u ∈ (R

⁺

)

^d

\ {0}, (ii) ψ

_i

(u) = 0 s’il existe j 6= i tel que u

_j

≥ 2u

_i

,

(iii) ψ

_i

(λu) = ψ

_i

(u) pour tous λ > 0, u ∈ (R

⁺

)

^d

\ {0} et i = 1, . . . , d.

Les fonctions Φ

_i,y,σ

pr´esentent l’avantage d’ˆetre C

^∞

sur (R

⁺

)

^d

et `a d´ecroissance rapide `a l’infini.

En notant alors que f (1) =

 



0 si χ 6= 1,

−h

_C

X

σ∈S_d−1

K

_σ

|∆

_σ

| N (C) √

D

k

si χ = 1, avec

K

_σ

= X

d i=1

\

(R^+∗)^d−1

ψ

_i

(u

₁

, . . . , u

_i−1

, 1, u

_i+1

, . . . , u

_d

) c

^d

Q

_d

j=1

L

i

(f

j,σ

, u) u

^d_i

 Y

^d

j=1 j6=i

du

_j



(D

_k

d´esignant la valeur absolue du discriminant du corps k) et en utilisant la relation P

_hC

q=1

χ(a

_q

) = 0 si χ 6= 1, on obtient h(1) = −f

⁰

(1)

d[U

_C

: V ]

o` u, en notant p

i

(u) = u

1

. . . u

i−1

u

^d_i

u

i+1

. . . u

d

si u = (u

1

, . . . , u

d

), f

⁰

(1) = −

h_C

X

q=1

χ(a

q

) ln N (a

q

) N (a

q

)

X

σ∈S_d−1

X

y∈D_σ,aq

X

d i=1

\

(R^+∗)^d

∂Φ

i,y,σ

∂u

i

(u) Y

d j=1

du

j

+

hC

X

q=1

χ(a

_q

) N (a

q

)

X

σ∈S_d−1

X

y∈D_σ,aq

X

d i=1

\

(R^+∗)^d

∂Φ

_i,y,σ

∂u

i

(u) ln p

_i

(u) Y

d j=1

du

_j

. On a de plus

hC

X

q=1

χ(a

_q

) N (a

_q

)

X

σ∈Sd−1

X

y∈D_σ,aq

X

d i=1

\

(R^+∗)^d

∂Φ

_i,y,σ

∂u

_i

(u) ln(u

₁

. . . u

^d_i

. . . u

_d

) Y

d j=1

du

_j

= d

h_C

X

q=1

χ(a

q

) N (a

_q

)

X

σ∈Sd−1

X

y∈D_σ,aq

X

d i=1

\

(R^+∗)^d

∂Φ

i,y,σ

∂u

_i

(u) ln u

i

du

1

. . . du

d

et

−

hC

X

q=1

χ(a

_q

)

N (a

_q

) ln N (a

_q

) X

σ∈Sd−1

X

y∈D_σ,aq

X

d i=1

\

(R^+∗)^d

∂Φ

_i,y,σ

∂u

_i

(u) Y

d j=1

du

_j

=

h_C

X

q=1

χ(a

q

)

N (a

_q

) ln N (a

_q

) X

σ∈Sd−1

K

_σ

Card(D

_σ,aq

)

= h X

^hC

q=1

χ(a

_q

) ln N (a

_q

) i

· dR(V ) N (C) √

D

_k

(en notant R(V ) le r´egulateur de V ).

En r´ecapitulant, on en d´eduit une premi`ere expression de L

_C

(1, χ) : Th´ eor` eme 1.

L

_C

(1, χ)

=

hC

X

q=1

χ(a

_q

) N (a

_q

) · 1

[U

_C

: V ] X

σ∈Sd−1

X

J∈S_σ⁰ J6={1,...,d}

X

y∈D_σ,J,aq

\

(R^+∗)^d

F

_y,σ,J

(u) Y

d j=1

du

_j

−

hC

X

q=1

χ(a

_q

)(ln N (a

_q

))R(V ) [U

_C

: V ]N (C) √

D

_k

− 1

[U

_C

: V ]

h_C

X

q=1

χ(a

q

) N (a

_q

)

X

σ∈Sd−1

X

y∈D_σ,aq

X

d i=1

\

(R^+∗)^d

∂Φ

i,y,σ

∂u

_i

(u) ln u

_i

Y

d j=1

du

_j

.

On reprend ensuite `a l’envers la transformation de Colmez permettant de passer des fonctions F

_y,σ

aux fonctions Φ

_i,y,σ

(cf. [C], pp. 377–378) en exploitant `a nouveau la relation P

_hC

q=1

χ(a

q

) = 0. On fait successivement une int´egration par parties, puis un changement de variables permettant d’´eliminer les fonctions ψ

_i

. On obtient alors, en posant

f

_k,σ^∗

= (τ

_k

(f

_1,σ

), . . . , τ

_k

(f

_d,σ

)) ∀k = 1, . . . , d,

et en d´esignant par Γ

_σ

= Γ

_σ

(f

_1,σ^∗

, . . . , f

_d,σ^∗

) le cˆone ouvert form´e des points z = (z

₁

, . . . , z

_d

) ∈ (R

^+∗

)

^d

tels que pour tout k = 1, . . . , d,

ε(σ) det(f

_1,σ^∗

, . . . , f

_k−1,σ^∗

, z, f

_k+1,σ^∗

, . . . , f

_d,σ^∗

) > 0, une seconde expression de L

_C

(1, χ).

Th´ eor` eme 2.

L

C

(1, χ)

=

hC

X

q=1

χ(a

_q

) [U

C

: V ]N (a

q

)

X

σ∈S_d−1

X

J∈S⁰_σ J6={1,...,d}

X

y∈D_σ,J,aq

\

(R^+∗)^d

F

_y,σ,J

(u) Y

d k=1

du

_k

−

hC

X

q=1

χ(a

_q

)(ln N (a

_q

))R(V ) [U

C

: V ]N (C) √

D

k

+ 1

[U

_C

: V ] X

σ∈Sd−1

ε(σ) c

^d

∆

_σ

\

Γσ

h_C

X

q=1

χ(a

q

) N (a

_q

)

X

(x1,...,xd)∈ ˆD_σ,aq

Y

d j=1

e

^−xjzj

1 − e

^−zj

dz

j

( b D

_σ,aq

d´esignant l’ensemble des d-uplets (x

₁

, . . . , x

_d

) ∈ ]0, 1]

^d

tel que P

_d

j=1

x

j

cf

j,σ

∈ D

σ,a_q

).

2. Le cas d = 2. Dans le cas d = 2, S

d−1

= {Id} et la somme sur les parties J de {1, . . . , d} distinctes de {1, . . . , d}, intervenant dans l’expression du th´eor`eme 2, est r´eduite `a J = {1} modulo la relation d’´equivalence ∼ (de sorte que l’on peut supprimer l’indice σ).

On choisit en outre un syst`eme particulier de repr´esentants de I

_C

/P

_C

form´e d’id´eaux premiers de P

1

, . . . , P

h_C

dont la norme est un nombre pre- mier. Un tel syst`eme de repr´esentants existe d’apr`es un th´eor`eme de Tche- botareff, ce qui permet de d´ecrire explicitement les ensembles finis b D

_{1},Pq

et b D

P_q

pour tout q = 1, . . . , h

C

. De fa¸con plus pr´ecise, on introduit une base (e

₁

, e

^q₂

) de CP

_q⁻¹

telle que pour tout q = 1, . . . , h

_C

, cf

₁

= e

₁

et cf

₂

= u

_Pq

e

₁

+ v

_Pq

e

^q₂

. On obtient alors :

Lemme 1. Pour tout q = 1, . . . , h

_C

,

D

_{1},Pq

= {1},

D b

_Pq

=

 x

₁

x

₂



∈ ]0, 1]

²

: x

₁

= x

₁

(m) = θ

 mu

P_q

v

_Pq

− 1 c



, x

₂

= x

₂

(m) = m

v

_Pq

, m = 1, . . . , v

_Pq

 , en posant θ(x) = E(x) − x + 1 = 1 − {x} pour x ∈ R et v

_Pq

=

^{N (P}_{N (C)}^q√)c_D^2∆

k

. D’o` u l’on d´eduit :

Th´ eor` eme 3.

L

_C

(1, χ)

=

hC

X

q=1

χ(P

_q

)ζ(2, 1/c) N (P

_q

)c

²

[U

_C

: V ] −

hC

X

q=1

χ(P

_q

)(ln N (P

_q

))R(V ) N (C) √

D

_k

[U

_C

: V ]

+ 1

[U

_C

: V ]

\

Γa

h_C

X

q=1

χ(P

q

) N (C) √

D

_k

v

_Pq

X

(x₁,x₂)∈D

b

_Pq

e

^−x1z1

e

^−x2z2

(1 − e

^−z1

)(1 − e

^−z2

) dz

1

dz

2

=

hC

X

q=1

χ(P

_q

)ζ(2, 1/c) N (P

q

)c

²

[U

C

: V ] −

hC

X

q=1

χ(P

_q

)(ln N (P

_q

))R(V ) N (C) √

D

_k

[U

_C

: V ]

+ 1

[U

_C

: V ]N (C) √ D

_k

\

Γa

hC

X

q=1

χ(P

_q

) v

_Pq

v_Pq

X

m=1

e

^−xq1(m)z1

e

^−(m/vPq)z2

(1 − e

^−z1

)(1 − e

^−z2

) dz

₁

dz

₂

o`u ζ(x, b) d´esigne la fonction zˆeta d’Hurwitz et Γ

_a

= {(z

₁

, z

₂

) ∈ R

^+∗

: (1/a)z

1

< z

2

< az

1

} si ε

1

= (1/a, a).

Posons alors, pour s = 1, . . . , v

_Pq

− 1, H

_s

(x) =

∞

\

0

ln(1 − ζ

_q^s

e

^−xt

)

1 − ζ

q^suPq

e

^−t

dt (x > 0) o` u ζ

_q

= e

^2πi/vPq

. Th´ eor` eme 4.

L

_C

(1, χ) =

hC

X

q=1

χ(P

_q

) ln N (P

_q

) ln a [U

_C

: V ] √

D

_k

N (C)

+ 1

[U

_C

: V ] √

D

_k

N (C)

×

hC

X

q=1

χ(P

_q

)

v_Pq

X

−1 s=1

e

^−2πis/c

∞

\

0

ln(1 − ζ

_q^s

e

^−az

) − ln(1 − ζ

_q^s

e

^−z/a

)

1 − ζ

q^uPqs

e

^−z

dz

=

h_C

X

q=1

χ(P

q

) ln N (P

q

) ln a [U

C

: V ] √

D

k

N (C)

+ 1

[U

_C

: V ] √

D

_k

N (C)

hC

X

q=1

χ(P

_q

)

v_Pq

X

−1 s=1

e

^−2πis/c

[H

_s

(a) − H

_s

(1/a)].

Ce r´esultat peut se rapprocher d’un r´esultat obtenu par Novikov dans [N]; il s’obtient `a partir du th´eor`eme 3 en ´evaluant pr´ecis´ement le terme correspondant `a s = v

P_q

et en int´egrant par rapport `a z

1

(si l’on int`egre par rapport `a z

₂

les calculs sont plus compliqu´es) la somme des termes restants, le calcul reposant sur la d´ecomposition en ´el´ements simples de la fraction rationnelle T

^r−1

/(1 − T

^vPq

) pour r = 1, . . . , v

_Pq

. L’int´erˆet de cette d´ecomposition est double : d’une part, il permet d’int´egrer par rapport `a l’une des variables; d’autre part, l’apparition de racines v

P_q

-i`eme de l’unit´e permet “d’avaler” l’entier E(mu

_Pq

/c − 1/c

+1 intervenant dans x

^q₁

(m) et que l’on maˆıtrise mal.

Corollaire. Il existe un syst`eme d’id´eaux (a

_σ

)

_σ∈G

tels que L(1, χ) = 1

n h X

σ∈G

e

χ(σ) ln N (a

σ

) i 2hR √

k

D

_k

+ 1

[U

_C

: V ] √

D

_k

N (C)

×

 X

_hC

q=1

χ(P

_q

)e

^−2πis/c



H

_s

(a) − H

_s

 1 a

 Y

P |C



1 − χ(P ) N (P )



₋₁

o`u R

_k

d´esigne le r´egulateur et h le nombre de classe du corps k.

On termine cette ´etude en donnant une expression r´eelle de L

_C

(1, χ) : soit

G

q

(z) = X

∞

l=1

(Γ

⁰

/Γ )(lz+x

^q₁

(l)) − ln(lz) l

= X

∞

l=1

1 l

∞

\

0

"

e

^−lzt

t − e

^{−(lz+xq1(l))t}

1 − e

^−t

#

dt, ∀z > 0.

Th´ eor` eme 5.

L

_C

(1, χ) =

hC

X

q=1

χ(P

_q

)

N (P

_q

) · ζ(2, 1/c) [U

_C

: V ]c

²

+

hC

X

q=1

χ(P

_q

) ln N (P

_q

) ln a N (C) √

D

_k

[U

_C

: V ]

+ 1

[U

_C

: V ]N (C) √ D

_k

hC

X

q=1

χ(P

_q

)

 G

_q

 a v

_Pq



− G

_q

 1 av

_Pq



.

Ce r´esultat s’obtient encore `a partir du th´eor`eme 3 en isolant la partie polaire dans l’int´egrale sur Γ

_a

, l’expression restante conduisant cette fois aux fonctions G

_q

, fonctions qui pr´esentent certaines analogies avec la fonction F introduite par Zagier dans [Z].

R´ef´erences

[CN] P. C a s s o u - N o g u`es, Valeurs aux entiers n´egatifs des fonctions zˆeta et fonctions zˆeta p-adiques, Invent. Math. 51 (1979), 29–59.

[C-S] J. C o a t e s and W. S i n n o t t, On p-adic L-functions over real quadratic fields, ibid. 25 (1974), 253–279.

[C] P. C o l m e z, R´esidu en s = 1 des fonctions zˆeta p-adiques, ibid. 91 (1988), 371–389.

[D] J. D i e u d o n n´e, Calcul infinit´esimal, Hermann, Paris, 1968.

[K] N. K a t z, Another look at p-adic L-functions for totally real fields, Math. Ann.

255 (1981), 33–43.

[L] S. L a n g, Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, 1970.

[N] A. P. N o v i k o v, Kronecker’s limit formula in a real quadratic field, Math. USSR- Izv. 17 (1981), 147–176.

[P] G. P ´o l y a and G. S z e g ˝o, Problems and Theorems in Analysis I , Springer, Berlin, 1972.

[Sc] R. S c z e c h, Eisenstein cocycles for GL2Q and values of L-functions in real quad- ratic fields, Comment. Math. Helv. 67 (1992), 363–382.

[S1] T. S h i n t a n i, On a Kronecker limit formula for real quadratic fields, J. Fac. Sci.

Univ. Tokyo Sect. IA Math. 24 (1977), 167–199.

[S2] —, On evaluation of zeta functions of totally real algebraic number fields at non- positive integers, ibid. 23 (1976), 393–417.

[Si] C.-L. S i e g e l, Lectures on Advanced Analytic Number Theory, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1961.

[T] J. T a t e, Les conjectures de Stark sur les fonctions L d’Artin en s = 0, Birkh¨auser, Boston, 1984.

[W] E. T. W h i t t a k e r and G. N. W a t s o n, A Course of Modern Analysis, 4th ed., Cambridge (reprinted), 1963.

[Z] D. Z a g i e r, A Kronecker limit formula for real quadratic fields, Math. Ann. 213 (1975), 153–184.

Universit´e de Grenoble I Institut Fourier

UMR 5582

UFR de Math´ematiques B.P. 74

38402 St. Martin d’H`eres Cedex, France

Re¸cu le 5.4.1996 (2961)