Pewna charakteryzacja prostej wśród grafów płaskich *

L. S

(Wrocław)

Pewna charakteryzacja prostej w śród grafów płaskich *

Przez graf rozumiem kontinuum płaskie jednowymiarowe, lokalnie spójne i będące lokalnie krzywą zwyczajną, tj. taką, że każda Jej część spójna, pokryta przez domknięcie obszaru ograniczonego, jest krzywą zwyczajną w sensie Mengera(1).

Przy ograniczeniu pojęcia krzywej do grafów wydaje się celowe wprowadzenie niezmiennika topologicznego nieco słabszego od pojęcia jednorodności. Po określeniu w grafach zbiorów, które nazywam węzło­

wymi i oznaczam ogólnie jako zbiory W, wprowadzam mianowicie dla każdej pary liczb naturalnych n , Tc własność rozdzielania tego zbioru przez jego dowolny podzbiór n-punktowy na Tc części.

W pracy tej ograniczam się do podania dowodu dwu twierdzeń, z których pierwsze charakteryzuje wśród grafów płaskich prostą, a drugie okrąg.

(1) Na mocy określenia graf zawiera w każdym obszarze płaskim ograniczonym co najwyżej skończenie wiele punktów rozgałęzienia i rząd każdego z tych punktów jest skończony.

Przez zbiór W rozumiem dowolny nadzbiór zbioru wszystkich punk­

tów nieregularnych (tj. końców i punktów rozgałęzienia) grafu G, spełnia­

jący warunek następujący:

(2) jeżeli punkt p należący do zbioru W rozspaja graf G, to każda komponenta zbioru G— (p) zawiera co najmniej jeden punkt zbioru W.

Przez Tn oznaczam własność zbioru W grafu G polegającą na tym, że (3) dla każdego w-punktowego zbioru N C W zbiór W ma punkty wspólne dokładnie z к komponentami zbioru G—N.

Pomijam łatwy dowód, że:

LI. Jeśli zbiór W grafu G ma własność Tj, to graf G nie ma końców.

* Praca, była referowana na posiedzeniu Wrooł. Oddz. PTM w 1958 roku.

(J) K . Monger, Kurventheorie, Leipzig-Berlin 1932, str. 63.

W pracy nie będę definiował ogólnie znanych pojęć i będę korzystał z ważniej­

szych twierdzeń znanych czytelnikowi z podręczników, np. C. Kuratowski, Topo­

logie I I , pomijając ich sformułowania i nie powołując się na literaturę.

Udowodnię, że:

L2. Jeżeli punkt p0 zbioru W grafu G leży wewnątrz krzywej zamknię­

tej C CG, to zbiór W nie ma własności T\.

D o w ó d . Przypuśćmy, że zbiór W ma własność T\. Punkt p0 rozspaja więc graf G na 2 komponenty zawierające punkty zbioru W.

Jedną z tych dwu komponent zbioru G—(p0) jest komponenta zawie­

rająca krzywą zamkniętą (7; wynika to ze spójności grafu G i z tego, że każdy punkt zbioru L-G, gdzie L jest lukiem łączącym punkt pQ z krzy­

wą C, jest punktem rozgałęzienia grafu G, a więc należy do zbioru W.

Druga komponenta zbioru G — (p0), nazwijmy ją K Q, leży więc całkowicie wewnątrz krzywej G.

Ze względu na (2) komponenta K 0 zawiera co najmniej jeden punkt p x zbioru W.

Z własności T\ zbioru W wynika na mocy (3), że punkt px rozspaja graf U na 2 komponenty zawierające punkty zbioru W. Jedną z tych komponent jest więc ta część grafu G, która zawiera punkt p0 i krzywą C.

Druga zaś komponenta zbioru G — (px), oznaczmy ją przez K x, leży wewnątrz krzywej C, ponieważ p x leży wewnątrz tej krzywej.

Załóżmy, że określone są już punkty p0, p x, . .. , pj i zbiory K 0, K x, ...

. .. , Kj takie, że dla i = 0 , 1 , . .. , j , (4) pi należy do W,

(5) Pi rozspaja graf G na dwie komponenty zawierające punkty zbioru W, z których jedna JT* zawiera krzywą G, punkty p0, p x, . .. , pi_x i zbio­

ry R x = K 0 — K x, . . . , Ą = К {_ Х~ К { , drugą zaś komponentą jest K { . Określam punkt pi+1 jako dowolny punkt zbioru Kj • W, a zbiór K j+ 1 jako tę jedyną na mocy (2), (3) i T\ komponentę zbioru G — (pj+1), która nie zawiera krzywej G.

Ponieważ pj+l należy do komponenty Kj zbioru G— {pj), więc zbiór Rj+i~\~(Pj) = { K j —Kj+J + lpj) jest kontinuum łączącym Pj z Pj+X. Za­

tem Pj należy do komponenty Mj+X zbioru G — {pj+x), różnej od K j+1. Po­

nieważ zaś pj należy do W, a taka komponenta jest jedyna wobec, własności l\ zbioru W grafu G, więc komponenta ta zawiera krzywą G, punkty węzłowe p0, p x, . .. , pj i zbiory R x, R %, . .. , Ri+l.

W ten sposób zdefiniowane zostały ciągi nieskończone punktów {pi } oraz zbiorów { K t), { Ą } i {МД o własnościach (4) i (5).

Wobec własności (1) grafu G tylko skończenie wiele punktów ciągu {Pi) jest punktami rozgałęzienia i tylko skończenie wiele spośród zbio­

rów Rj zawiera punkty rozgałęzienia. Istnieje więc takie m, że zbiór

OO

o m = £ ( (?<-.) + Ą )

i = m

nie ma punktów rozgałęzienia.

Zatem zbiory (p*_i)+-#i Щ dla i ^ m lukami, z których jedynie ko^

lejne mają końce wspólne.

Mamy

oo

Gm

K m+ ( p m)f

i=*m

więc

(6) Gm-Mm = 0.

Ponieważ Gm nie ma punktów rozgałęzienia, więc Gm jest lukiem, którego jednym z końców jest pm. Drugi koniec luku Gm jest wobec (6) końcem grafu G. Otrzymaliśmy sprzeczność z LI.

Oczywiste są następujące własności:

Rye. 1

L3. Jeżeli zbiór W grafu G ma własność T\ i punkt p zbioru W jest punktem rozgałęzienia, to istnieje co najmniej jedna taka komponenta К zbioru G—(p), że К + ( р ) zawiera krzywą

zwykłą zamkniętą C.

Ł4. Jeżeli dwa punkty p x i p 2 krzywej zwykłej zamkniętej C połączymy lukiem L poprzez wnętrze krzywej C, a pz i p4 są punktami rozdzielającymi (px, p 2) na krzy­

wej C, i przeprowadzimy łuk prosty L l łączący p3 i p4 taki, że L X'C = {p1) + (p2), to bądź istnieje punkt przecięcia L i L x wewnątrz krzywej C, bądź też jeden z punk­

tów px lub p 2 znajduje się wewnątrz krzy­

wej zwykłej zamkniętej L x-\-Gx, gdzie 6\

jest jedną z części krzywej C wyznaczonej przez punkty pz i p4 (rys. 1).

T w i e r d z e n i e 1.

Na to, by graf G był homeomorfiezny z linią prostą, potrzeba i wystarcza, by istniał zbiór W grafu G mający własności T\, T\ i l\.

D o w ó d . Warunek jest konieczny, ponieważ każdy zbiór gęsty na prostej ma oczywiście wszystkie własności T“ +1 dla n — 1 , 2 , . . .

Ponieważ żaden punkt leżący na okręgu nie rozspaja okręgu, więc dla dowodu dostateczności warunku wystarczy wykazać, że graf G nie ma punktów rozgałęzienia.

Przypuśćmy, że punkt p zbioru W grafu G jest punktem rozgałę­

zienia. Z L3 wynika, że jedna z komponent zbioru G — (p), np. K 0, jest taka, że K 0-\-(p) zawiera krzywą zwykłą zamkniętą C. Drugą zaś kompo­

nentę zbioru G — (p), zawierającą punkty zbioru W, oznaczmy przez К г.

Z określenia zbioru W wynika na mocy (2), że na krzywej C leży

oprócz punktu p jeszcze co najmniej jeden punkt p x zbioru W. Ponieważ

zbiór W ma własność T\, więc zbiór G — {px) ma poza komponentą, na

której leży punkt p, jeszcze jedną komponentę K 2, zawierającą punkty zbioru W (rys. 2).

Z własności l l zbioru W wynika, że dokładnie 3 komponenty zbioru G — (p, Pi) zawierają punkty zbioru W. A więc oprócz komponent K x i K 2 istnieje jeszcze jedna komponenta, oznaczmy ją przez K 03, zawiera­

jąca punkty zbioru W.

Można przyjąć, że komponen­

ta ta zawiera część krzywej C, na której leży punkt p 2 zbioru W (2).

Z własności l\ zbioru W wy­

nika, że zbiór G — {p2) ma kom ponentę K 3C K 03 zawierającą pun­

kty zbioru W. Oczywiście K z- { C + K X+ K 2) = 0. •

Na mocy własności l\ zbiór trzypunktowy ( p , p x, p z) rozspaja graf G na komponenty, z których dokładnie 4 zawierają punkty zbioru W.

Rozumując jak poprzednio (p. odsyłacz (2)), można przyjąć, że czwarta komponenta, oznaczmy ją przez i f 04, różna od K x, K 2, K 3, zawiera część krzywej C, na której leży punkt p 3 zbioru W, a zbiór G — (p3) ma komponentę K 4 C K 04i zawierającą punkty zbioru W. Oczywiście K f ( C + K x+ K 2+ K 3) =

\

S t o ^ 4

/ Pr

/

, ^ 92/

\

3

\

\

\

Rys. 3

Z własności T\ zbioru W wynika, że pary punktów [p, px) i (p2, p 3) są połączone lukami, odpowiednio 8 X i S2 takimi, że Sx nie zawiera punk­

tów p 2 i p3, a S2 punktów p i p x.

(2) Nie ogranicza to bowiem ogólności rozumowania. Istotnie, łatwo wykazać, że ■K’o3 + ,(P )+ iVi) zawiora łuk L, którego końcami щ p i p x. W przypadku, gdy L ’ C = (p) + (px), zamiast krzywej C możemy rozpatrywać jedną z dwu krzywych zw y­

kłych zamkniętych L + L x, gdzie L x jest jednym z łuków krzywej G okońcach p i p x

(rys. 3).

W przypadku gdy łuki 8 X i S2 nie mają z krzywą <7 innych punktów wspólnych niż p , P i , P z i Pzy mielibyśmy sprzeczność z L2 i L4.

W przypadku zaś, gdy jeden z łuków 8 X i S2, np. 8 X, ma z krzywą G jeszcze punkt wspólny pl , to oczywiście p4 należy do W (rys. 4). Z własno­

ści Tl wynika, że para punktów (px, p4) rozspaja graf G na komponenty, z których dokładnie 3 zawierają punkty zbioru W. Łatwo wykazać, że i w tym przypadku zachodziłaby sprzeczność z L2 i L4.

Zauważmy, że rozumowania i konstrukcje użyte w dowodzie twier­

dzenia 1 wykazują zarazem niezależność warunków T\, T\ i T\.

Jeżeli w definicji grafu G pominiemy warunek, że graf jest płaski, to odpowiednie twierdzenie dla grafów przestrzennych będzie fałszywe (rys. 5). W dowodzie własności L2 i L4 korzystaliśmy bowiem w sposób istotny z twierdzenia Jordana. Można też łatwo skonstruować grafy przestrzenne i ich podzbiory W mające własności T\, Tl, . .., T*+1, a nie mające żadnej z własności T%+1 dla n > Tc. Bys. 5 przedstawia taki właśnie przykład dla Tc — 4 (zbiór W jest tu sumą półprostych P i , . . . , * » ) -

Natomiast poniższy lemat i twierdzenie 2 są prawdziwe już dla gra­

fów niekoniecznie płaskich.

L5. Jeżeli punkt p jest punktem rozgałęzienia grafu G i nie rozspaja tego grafu, to istnieje jeszcze co najmniej jeden punkt rozgałęzienia p x różny od p grafu G, taki, że punkty p i px są połączone co najmniej trzema lukami L x, L 2 i L 3 nie mającymi poza tym punktów wspólnych.

Łatwy dowód pomijam.

T

2. Na to, by graf G był Tiomeomorficzny z okrę­

giem, potrzeba i wystarcza, by istniał zbiór W grafu G ntający własności

T\ i T l

D o w ó d . Analogicznie jak w poprzednim twierdzeniu konieczność warunku jest oczywista, a dla dowodu dostateczności wystarczy wykazać, że graf G nie ma punktów rozgałęzienia.

Przypuśćmy, że punkt p zbioru W jest punktem rozgałęzienia grafu G.

Z L5 wynika istnienie punktu p0 Ф p będącego także punktem rozgałę­

zienia grafu G, a więc należącego także do W, oraz to, że punkty p i p0 są połączone co najmniej trzema lukami prostymi Lx, L 2 i L3, nie mają­

cymi poza tym punktów wspólnych.

Z własności l\ zbioru W wynika, że para punktów (p , p0) rozspaja graf G na komponenty, z których dokładnie 2, K x i K 2, zawierają punkty zbioru W ; niech to będą punkty p x i p2.

Możemy założyć, że zbiór L x— ((p) + {p0)) jest zawarty w K t , a L 2Ą-L3 — ((p) + (p0))

K 2, ponieważ w przeciwnym razie teza twier­

dzenia byłaby oczywiście spełniona. Niech punkt p x leży na L x, a punkt p 2 na L 2.

Para punktów {px, p 2) rozspaja graf G na komponenty, z których dokładnie 2 zawierają punkty zbioru W. Wynika to z własności I\. Oczy­

wiście jedną z nich jest komponenta zawierająca łuk L 3 o końcach p i p0.

Druga komponenta, oznaczmy ją przez K Q2, ma tę własność, że K 02-\- + (Pi) + iPz) jest zbiorem spójnym, w przeciwnym bowiem razie jeden z tych punktów nie miałby własności l \.

W G istnieje 'więc kontinuum łączące punkty p1e E 1 i p 2e K 2, a nie przechodzące przez p0 i p, co daje sprzeczność, ponieważ K x i K 2 są kom­

ponentami zbioru G— {p + Po).

W świetle dowiedzionych twierdzeń 1 i 2 wydaje się interesujące dla zbudowania klasyfikacji grafów, aby rozstrzygnąć następujące zagadnienia:

1. Czy prawdą jest, że żaden graf nie zawiera zbioru W o własności T£

różnej od 1 ^ 1 1 , 1 ^ 1 ^ 4

2. Czy dla grafów płaskich z własności zbioru W 1\, l\, T\ wynikają własności l \ ,l \ i ^з-

3. Które z własności 1%+} są zależne od innych (zwłaszcza dla gra­

fów płaskich) ?

Л . Шамколович (Вроцлав)

Н Е К О Т О Р А Я Х А Р А К Т Е Р И З А Ц И Я ПРЯМ ОЙ СРЕДИ П Л О С К И Х ГРАФОВ

РЕЗЮМЕ

В этой статье определено для графов понятие топологического инварианта немного слабее понятия однородности.

Пусть W произвольное надмножество множества всех особых точек графа G, имеющее следующее свойство: если точка р принадлежащая множеству W разби­

вает граф G, то каждая компонента множества G — (р) содержит по крайней мере одну точку множества W.

Тпк обозначает следующее свойство множества W графа G: для всякого

«-точечного множества N С W, множество W имеет общие точки точно с к компо­

нентами множества G — N.

Для плоских графов доказана теорема 1: Для того, чтобы граф G был гомеоморфеп прямой, необходимо и достаточно, чтобы существовало множество W имеющее свойства Т\, Т\ и Т|.

Теорема неверна, конечно, для пространственных графов.

При доказательстве теоремы 2 : Для того, чтобы граф G был гомеоморфеп окружности, необходимо и достаточно, чтобы существовало множество W графа G имеющее свойства Т\ и Т|, несущественно условие, что граф плоский.

Кроме того сформулированы проблемы существенные для классификации графов базирующейся на свойствах Тпк множества W.

L. Szamkołowicz (Wrooław)

ON A C E R T A IN C H A R A C T E R IZ A T IO N OF ST R A IG H T L IN E A M O N G P L A N E G RAPH S

S U M M A R Y

In the paper the concept of the topological invariant weaker than the concept of homogeneity for graphs is defined.

Let W be any set containing all irregular points of the graph G with the following property: if the point p of the set W separates the graph G, then every component of the set G— (p) encloses at least one point of the set W.

Denote by Tn the following property of WC- G: for each «-point-set, J C f , there exist exactly к components of G — N which have common points with W.

For plane graphs the theorem 1 is proved: The graph G is homoeomorphous with the straight line if and only if there exists a set W C G for which the properties T\, T\ and T\ hold.

This theorem, of course, does not hold for space graphs.

The following theorem 2 holds also for space graphs: The graph G is homeomorphous with the circle if and only if there exists a set W of the graph G for which the properties T\ and T\ hold.

The problems concerning the classification of graphs based on the properties Tnк of W, are also formulated.