L.
Szamkołowicz(Wrocław)
Uwagi o charakteryzacji prostej wśród grafów na powierzchniach niezwartych
1. W pracy [3] wprowadzone zostało pojęcie zbioru węzłowego W grafu G jako dowolnego nadzbioru zbioru wszystkich punktów nieregularnych grafu G spełniającego warunek
(2) jeżeli punkt p należący do zbioru W rozspaja graf G, to każda komponenta zbioru G—{p) zawiera co najmniej jeden punkt zbioru W.
Dla każdej pary liczb naturalnych n, Tc wprowadzona została własność T* polegająca na tym, że
(3) dla każdego w-punktowego zbioru N C W zbiór W ma punkty wspólne dokładnie z к komponentami zbioru G — N.
Udowodnione zostało przy założeniu, że graf G leży na płaszczyźnie (sfera bez punktu).
Tw ie e d z e n ie 1.
Na to, by graf G był homeomorficzny z linią prostą, potrzeba i wystarcza, by istniał zbiór W grafu G mający własności T\ , T\ i T\.
2
. Naturalnym będzie postawienie zagadnienia charakteryzacji pro
stej wśród grafów na innych powierzchniach niezwartych.
Nasuwa się pytanie, czy można sformułować podobne twierdzenie w przypadku powierzchni niezwartych, na przykład dla sfery bez dwóch lub większej liczby punktów (obszary płaskie ele
mentarne w sensie [2]).
Już na sferze bez dwóch punktów łatwo można podać przykład grafu różnego od prostej, którego zbiór węzłowy ma własności T \y T\, T\.
Przykład takiego grafu przedstawiam na ry
sunku 1, gdzie bx i b2 są punktami odrzuconymi ze sfery 8. Do zbioru W należą 4 punkty niere
gularne tego grafu i dowolny podzbiór gęsty
każdego z łuków łączących te punkty z punktami odrzuconymi bx i b2 (na rysunku
1łuki te są pogrubione).
Natomiast na sferze 8 bez 4 punktów istnieje graf różny od prostej,
którego zbiór węzłowy ma ponadto własność T\ . Przykład takiego grafu
jest na rysunku 2, gdzie (i — 1, .. . , 4) są punktami odrzuconymi ze sfery 8. Do zbioru W należy 12 punktów nieregularnych i dowolne pod
zbiory gęste każdego z łuków łączących te punkty z punktami odrzu
conymi.
t>4
W pracy tej ograniczam się do dowodu twierdzenia charakteryzu
jącego prostą wśród grafów na powierzchni walca (sfera bez 2 punktów).
3. Mówimy, że punkt leży wewnątrz krzywej zwykłej zamkniętej G względem punktu jeżeli leży w komponencie dopełnienia krzywej G nie zawierającej punktu bt . Punkty drugiej komponenty leżą zewnątrz G względem bt .
LI. Je,żeli zbiór W grafu G ma własność T\, to żaden punkt p eW nie leży wewnątrz żadnej krzywej zwykłej zamkniętej G CG względem obu pun
któw odrzuconych bx i bz naraz.
Dowód tego lematu nie różni się zasadniczo od dowodu L2 z pracy [3].
Oczywista jest następująca własność (por. też [3], własność L4):
L2. Jeżeli pary punktów (px, p 2) i (Рз, Pi) przedzielają się na krzywej zwykłej zamkniętej G i łuk L łączy jej punkty p x i p 2 poprzez jej wnętrze na sferze 8 względem punktu bi (odrzuconego z 8), to zależnie od tego, czy łuk L x łączy punkty p 3 i p 4 poprzez wnętrze krzywej G względem tegoż punktu
^ , czy przez jej zewnętrzne względem bi, bądź L - L x Ф 0 (i wtedy L L X leży wewnątrz G względem bi), bądź jeden z punktów p x, p 2 leży wewnątrz krzywej zwykłej zamkniętej L x-\-Gx względem bi, gdzie Gx jest jednym z łuków krzy
wej G, łączącym p 3 i p 4.
Udowodnię teraz L3. Załóżmy, że
(a) zbiór W grafu G ma własności T\, T\, ..., T%_x, « (b) G CG jest krzywą zwykłą zamkniętą taką, że
G W = {Рх)-\Г ‘ + {Рп) i k ^ n < 2 k ,
(c) L jest tukiem, którego końcami są dwa różne punkty zbioru (Pi, •••,Pn) i L C G ,
(d) p jest punktem takim, że peL, р ф pi, dla i — 1, . . . , n, wówczas istnieje krzywa zwykła zamknięta С C G, na której leży co najmniej n -\-1 punktów zbioru W.
Dowód. Niech j będzie liczbą wszystkich łuków łączących punkt p z punktami zbioru (px, . .. , p n), a (p ai, .. . , p a.) zbiorem końców tych łuków w zbiorze (pl t ...,p„).
Z (b) mamy, że każdy podzbiór к punktowy zbioru (px, . . . , p n) za
wiera co najmniej jedną parę punktów sąsiednich.
Na mocy (c) j > 2. Także j > k\ gdyby bowiem j < к, to z Tl, (d) 1 (b) liczba komponent zbioru G—{pai, • • •, p aj) byłaby — wbrew TJ-+1 — nie mniejsza niż j + 2.
Zatem punkt p jest połączony lukami z parą punktów są
siednich p s i p
s + 1(1 < s < n). A więc krzywa zwykła zamknięta C" = PPs+PPs+i + PsPiPs
+1{PsPiPs+i^C, i Ф s) zawiera co najmniej n-\-1 punktów zbioru W.
L4. Jeżeli zbiór W grafu G, leżącego na sferze 8 bez dowolnej skończo
nej liczby punktów bx, .. . , bn, ma własności Tl, T\, T‘l, T \ i G zawiera punkt rozgałęzienia, to G zawiera krzywą zwykłą zamkniętą, na której leży co naj
mniej 8 punktów nieregularnych.
Dowód. Z tego, że graf G ma punkt rozgałęzienia i z własności Tl, T\, Tl wynika, że graf G zawiera krzywą zwykłą zamkniętą Cx, na której leżą co najmniej 4 punkty p x, p %, p 3, zbioru W (por. [3], str. 86).
Z Tl i Tl wynika, że istnieje łuk L C G łączący 2 punkty krzy
wej Gx, na którym leży co najmniej jeden punkt zbioru W różny od Pi (» = 4).
Na mocy L3 (k = 4) wynika stąd, że istnieje krzywa zwykła zamknięta C2, na której oprócz punktów pi {i = 1, .. ., 4) leży jeszcze co najmniej jeden punkt p b zbioru W.
Z Tl i Tl wynika, że punkty p x (i = 1, .. ., 5) są połączone lukami każdy z każdym. Na mocy twierdzenia Kuratowskiego o grafach płaskich (p. [1]) istnieje punkt przecięcia różny od p i: (i — 1, ... , 5) co najmniej 2 spośród tych łuków.
Stosując L3 (k = 5) otrzymujemy krzywą zwykłą zamkniętą C3, na której oprócz punktów Pi (i — 1 , . . . , 5 ) leży jeszcze co najmniej jeden punkt p 6 zbioru W.
Z Tl i Tl punkty każdej z trzech par punktów zbioru {pl , . . . , p 6),
wzajemnie przedzielających się na krzywej G3, są połączone łuka-
mi L X, L 2, L 3, takimi, że C-(L1j - L 2Jr L3) = {px) + ••• +(Pe) i Lr CG
(r = 1 , 2 , 3 ) . Na mocy przytoczonego wyżej twierdzenia Kuratowskiego
istnieje punkt przecięcia co najmniej 2 spośród tych łuków, różny od Pi
(* = 1 , . . . , 6 ) .Na mocy L3 (k — 5) wynika stąd, że istnieje krzywa zwykła zam
knięta 0 4, na której oprócz punktów pi (i — 1, ..., 6) leży jeszcze co naj
mniej jeden punkt p 7 zbioru W.
Poprzedni krok dowodu powtórzony dla krzywej 6y4 daje w rezultacie krzywą C5, na której leży już co najmniej 8 punktów zbioru W.
L5. Jeżeli zbiór W grafu G, leżącego na sferze 8 bez dwóch punktów bx i b2, ma własności T\, T\, T\, Tl i G ma punkt rozgałęzienia, to istnieje krzywa zwykła zamknięta C C G dzieląca sferę między punktami bx a b2, na której leży co najmniej 7 punktów zbioru W.
Dowód. Z L4 wynika, że G zawiera krzywą zwykłą zamkniętą C, na której leży co najmniej 8 punktów zbioru W.
Przypuśćmy, że krzywa C rozcina sferę 8 na komponenty, z których jedna zawiera oba punkty odrzucone bx i b2. Korzystając z własności T\ i Tl dwóch wzajemnie przedzielających się na krzywej C par punktów zbioru W, łatwo, w oparciu o lematy 1 i 2, otrzymać krzywą zwykłą zamkniętą G' CG dzielącą sferę między punktami bx a b2 i zawierającą co najmniej 5 punktów zbioru W (patrz rys. 3).
Ustalając numerację punktów jak na rysunku i biorąc pod uwagę, że czwórka punktów {px, p 2, p x, p 5) musi mieć własność Tl, otrzymuje
my luk L łączący p 2 z jakimś punktem zbioru (p6, p 7, p s). A więc istnieje krzywa zwykła zamknięta (np. krzywa, na której leżą punkty Pn Psi Pu Psi Ps, i Рь) dzieląca sferę między punktami bx a b2 zawiera
jąca już co najmniej 6 punktów zbioru W. W przypadku gdy jest ich tylko 6, z własności Tl i Tl czwórki punktów {Pzi Ра Ры Pi)i otrzymu
jemy żądaną krzywą.
L6. Niech graf G leży na sferze 8 bez punktów bx i b2, zawartych od
powiednio w komponentach B x i B2, na które krzywa zwykła zamknięta
C C G dzieli 8. Załóżmy, że zbiór W • C składa się z n > 7 punktów oraz że
W ma własności T \ , T \ , T\ i Tl. Wówczas istnieje łuk L CG łączący 2 nie-
sąsiednie spośród tych 7 punktów poprzez komponentę Bx lub B 2 i dzielący jej domknięcie między zawartym w niej punktem odrzuconym, a co najmniej
3 spośród tych 7 punktów.
Do wó d. Z Tl i Tl wynika, że istnieje łuk L x łączący 2 punkty krzy
wej G i rozcinający jedną z komponent Bx i B 2 na dwie części takie, że w jednej z nich. leży punkt odrzucony, a na brzegu drugiej leżą co naj
mniej 4 punkty zbioru W-G. Konfiguracja taka przedstawiona jest na rysunku 4. Korzystając teraz z tego, że każdy z punktów p n i pn_x musi być połączony lukami co najmniej z pięcioma punktami krzywej G (por. dowód L3), łatwo już w sumie tych łuków znaleźć łuk L o żąda
nych własnościach.
Twierdzenie 1'.
Na to, by graf G był homeomorficzny z linią pro
stą, potrzeba i wystarcza, by istniał zbiór W grafu G mający własności
T2 rp3 m 4 • m b17-A 2?-Ł 3 г 4 *
Dowód. Konieczność warunku jest oczywista, a dla dowodu dosta- teczności wystarczy wykazać, że graf G nie ma punktów rozgałęzienia.
Przypuśćmy, że G zawiera punkt rozgałęzienia. Z L5 wynika, że graf G zawiera krzywą zwykłą zamkniętą C dzielącą sferę 8 bez punktów bx i b2 na komponenty B x i B 2 zawierające odpowiednio te punkty i że na O leży co najmniej 7 punktów zbioru W.
Niech L będzie lukiem istniejącym na mocy L6 i niech B x oznacza tę z komponent B x i B 2, poprzez którą L przechodzi. Możemy zatem wszyst
kie n > 7 punktów zbioru W-G ponumerować cy
klicznie tak, by końcami luku L były punkty p x i p k, gdzie 5 < 7c < n (rys. 5).
Niech D x będzie tą komponentą dopełnienia zbioru B x—L, która zawiera punkt bx. W takim razie, w myśl L6, punkty p x, . . . , p k leżą na brzegu drugiej komponenty, a punkty p k, p k+i , . . . ,p n > Pi na brzegu D x.
Czwórka punktów {px, p 2, p k_x, p k) dzie
li krzywą G między zbiorami (p3, ... , p k_2)
a {Vk+\i •••>Pry •••>Pn)- Z założonych własności T\ i T\ czwórki punk
tów (px, p 2, p k_i, p k) wynika istnienie łuku Lr CG, który łączy jeden z punktów zbioru (p3, ..., p k_2) z jakimś punktem p r zbioru (pk+x, .. ., p n)>
Jest Lr C B x, bo gdyby Lr C B 2, to zbiór GĄ-L-{-Lr zawierałby krzywą zwykłą zamkniętą, w której wnętrzu — względem obu punktów odrzu
conych bx i b2 — leżałby, wbrew LI, bądź punkt p 2, bądź punkt p k_x.
Na mocy L2 musi więc być L -L r Ф 0. Oznaczmy przez qx pierwszy
о Ыpunkt zbioru L ‘Lr na łuku Lr, licząc od końca p r. Łuk p rqx dzieli więc B x.
Niech D 2 będzie tą komponentą zbioru D x — p rqx, która zawiera punkt
bx. Jeden z punktów bądź p x, bądź p k leży na brzegu D 2. Niech pfce Fr (D2)
{Założenie to jest nieistotne, ponieważ przypadki р 3еЕг(1>2) i p keFi {D2) są symetryczne).
Łatwo widzieć (patrz rys. 5), że zbiór (px, qx, p k, Pk-i) dzieli krzywą C + L między zbiorami (p2, . . . , p k_s) a (pk+1, p s, p n). Z założo
nych własności Tl i Tl czwórki punktów (px, qx, p k1 Pk-i) wynika istnienie łuku LSCG, który łączy jeden z punktów zbioru (p 2, . . . , p k~
2) z jakimś punktem p s zbioru (pk+i, • Pn)-
Jak poprzednio o łuku Lr, tak teraz o łuku Ls z własności Tl, Tl oraz lematów LI i L2 wnosimy, że Ls С Bx i LS'L Ф 0. Oznaczmy przez q2 pierwszy punkt zbioru L -L s na łuku Ls, licząc od końca p s.
Punkty łuku p 1q1C L (prócz końców), wobec p k€¥r(B2), są punktami wewnętrznymi krzywej zwykłej zamkniętej p kqx + p rqx + PrPiPk wzglę
dem bx i b2, gdzie p kqx C L, p rqx C Lr i p rp xPk CC, i nie mogą — na mocy LI — należeć do zbioru W.
Zatem
{*) W- p xqx = (px) + (qx), q2epkqx i qx ¥=q2 ^Pk-
Punkt p k nie może leżeć na brzegu tej komponenty zbioru B 2—
—q2p s {q^PsCLg), która zawiera punkt bx, bo wtedy qx byłby — wbrew LI — wewnątrz krzywej zwykłej zamkniętej p sq2+ p kq2 + PsPiPk względem bx i &2, gdzie p kq2C L , p sp xp k CC.
Zatem punkty łuku p kq2C L (prócz końców) są wewnątrz krzywej Psqz+Piq*+PsPiPk (p sq2C L s, p xq2C L , PsPiPkC C) względem bx i b2 i nie mogą — na mocy LI — należeć do zbioru W.
Mamy więc
{**) w-Pkq2 = (Pk)-h{q2)-
Łatwo widzieć, że zbiór {px, qxi q21 p k) dzieli krzywą C + L między zbiorami (p2, p k-i) a (pk+i, --^Pn)-
Po raz trzeci z własności Tl i Tl czwórki punktów (px, qx, q2, p k) oraz lematów LI i L2 wynika, że musi istnieć łuk L' o końcach p t i p m (1 < t < Tc, Tc < m n) taki, że L' C B x i L' -L Ф 0.
Mamy teraz, że C = p mp xPt -YPmPkPt i rozpatrzmy krzywe zwykłe
zamknięte ____
Cx — L ~\-PmPlPti C2 ~ L -f- PmPkPł •
łSTa mocy (*) i (**) jest
v -{piqi+Pkq*) = o
i dlatego bądź punkt qx jest wewnątrz krzywej Cx względem obu punktów
bx i b2 naraz, bądź punkt q% jest wewnątrz względem obu tychże punktów naraz. Jest to jednak niemożliwe wobec LI.
Przypuszczenie, że graf G ma punkt rozgałęzienia prowadzi więc do sprzeczności.
4. Nasuwa się przypuszczenie, że twierdzenie V zachodzi również dla sfery 8 bez 3 punktów oraz że dla sfery 8 bez dowolnej skończonej liczby punktów własności T\, zbioru W grafu G charakteryzują G jako linię prostą.
W każdym razie łatwo wykazać, że graf G o tych własnościach, lecz różny od prostej, musiałby zawierać nieskończenie wiele punktów nieregularnych.
Ciekawa byłaby podobna charakteryzacja prostej wśród grafów na sferze 8 bez nieskończonej (przeliczalnej) liczby punktów oraz wśród gra*
fów leżących na innych powierzchniach niezwartych np. na powierzchni torusa bez pewnej liczby punktów, a nawet na powierzchniach powsta
łych przez odrzucenie pewnej liczby punktów niekoniecznie z rozmai
tości.
Prace cytowane
[1J C. K u ra to w sk i, Sur le problems des courbes gauches en Topologie, Fund.
Math. 15 (1930), str. 271-283.
[2] C. K u ra to w sk i, Topologie I I , Warszawa-Wrocław 1950, str. 370.
[3] L. Szam kołow icz, Pewna charakteryzacja prostej wśród grafów płaskich, Prace Matem. 4 (1960), str. 83-89.
Л. Ша м о л о в и ч (Вроцлав)
ЗАМЕЧАНИЯ О ХАРАКТЕРИЗАЦИИ ПРЯМОЙ СРЕДИ ГРАФОВ НА ОТКРЫТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Р Е З Ю М Е
В настоящей статье доказана теорема для графов на сфере без двух точек, соответствующая теореме 1 статьи [3]:
Те о ре м а 1 ' . Для того, чтобы, граф G был гомеоморфен прямой, необ
ходимо и достаточно, чтобы существовало множество WС Q имеющее свойства
т\ , Т \ ,т1 U т1
Кроме того сформулированы вопросы и предположения о характеризации прямой среди графов на других открытых поверхностях.
R oczniki РТМ — P race M atem atyczn e VII
ł
L. Szamkołowioz (Wrocław)
REMARKS ON THE CHARACTERIZATION OF A STRAIGHT LINE AMONG GRAPHS ON NON-COMPACT SURFACES
S UMMARY
In this paper a theorem, corresponding to theorem^ from [3], has been proved for the graphs on the sphere without two points:
Theorem l \ The graph G is homoeomorphous with the straight line if and only if there exists a set W C G for which the properties t\, t\, t\ and t\ hold.
Besides, there have been formulated suppositions and questions referring to the characterization of a straight line among graphs on other non-compact surfaces.
