Nieliniowe zadanie sterowania optymalnego z ograniczeniami w przypadku ogólnego modelu dwuwymiarowego

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA XXXVI ( l!»93)

Ba r b a r a Bi ł y

Jaworzno

N ieliniow e zadanie sterow ania optym alnego z ograniczeniam i w przypadku ogólnego m odelu dw uw ym iarow ego

{Praca wpłynęła do Redakcji 9.02.1992⁾

W pracy rozpatruje się zadanie sterowania optymalnego dla modelu 2-D przy nieli- niowym wskaźniku jakości, przy ograniczeniach na wektory stanu i sterowania. W oparciu 0 Twierdzenie Podstawowe programowania matematycznego formułuje się warunki ko- nieczne dla tego zadania . Idee zawarte w tej pracy wykorzystywane już Indy w artykułach [1], [3] przy nieco innych modelach i bez warunków ograniczających.

1. P ostać zadania sterow ania optym alnego. Rozważmy obiekt dy- namiczny opisany równaniem różnicowym postaci:

(1) x(i + 1 • y + I) = .1ox (/.,/') + A i x{ i -j- 1. y) + A>x( i. j -f 1)

4- B 0 u i T y l d - f h ll i i + I • y ) + B'

2

gdzie x ( Lj ) £ Rn, ?/(ó y) 6 R >n, (/,y) £ N x ;V, ( N - zbiór liczb natural- nych wraz z zerem), Aj, Bi (i — 0, 1.2) są macierzami rzeczywistymi od- powiednich wymiarów. Jest to tzw. ogólny model liniowego, stacjonarnego, dyskretnego układu 2-1), zaproponowany w pracy Kurka, 1985r. [4],

Dla takiego modelu sformułujemy następujące zadanie sterowania opty- malnego:

Wy zn a czy ć se k wen cje sterowań

(2) u = [?/(0,0),? / . ( ( ) , ! , . « * ) , ?/(r,0),«(/*, 1)...w (r,.s- 1)]

1 odpowiadającą jej trajektorię układu (ł)

(3) x = [.

(0, 0), x ( 0 .1 ),..., x (r - 1, s), x (r, 0). x (r, 1 ) ,..., z (r, s - 1). x (r, s )]

minimalizujące wskaźnik jakości w postaci

42 B. Biły

(4) Jr,s (u (i J ) ) = f l j ( a; ( 1 ' i ) ’ 11 ( i J ) ) (tJ)€Dr,

gdzie:

Z)r>s = {(), 1 , . . r] x { 0 ,1, ( x-iloczvn kartezjański zbiorów) Dr,s = D \ {(r,.s)}

f f j : R n

R n — R mają ciągle pochodne ze względu na zespól zmiennych.

Minimalizacja ta przeprowadzona jest przy następujących ogranicze- niach, przedstawionych w postaci koniunkcji właściwych ograniczeń rów- nościowych i nierównościowych na zmienne stanu i sterowania.

a) ograniczenia sterowania są następujące:

(5) « ( U ) € Ujj C i r , a , j ) e D , - , s

Ui'j-zbiory domknięte i wypukłe. Dla każdego u(i.j) £ Utj istnieje aprok- symacja stożkowa. C(u,Uij) zbioru U-Uj w punkcie u.

b) ograniczenia, “stanów brzegowych”:

(6) *(0 J ) € A 0j — A

n

ój, i e {o, i, .

gdzie:

Y> —

A 0 ,J ~ {.i- € i?" : <io,j(x) < 0 } X" -

A otJ ~ {x 6 if" : 9o,j(x) — o)

(7) *(*.0) £ A i.o łl c ^ o i £ {0,1,..

gdzie:

Ą , = {x € RH : r/,.„(.r) < 0}

-V"o = {* 6 itn : 9lMx) = 0}

Dla punktu (0. 0) zachodzi zgodność warunków ((i 1 i (7). O funkcjach wy- stępujących w ograniczeniach zakładamy że:

ło,j> <7i,o :

R“

<jo,j,<ji,o-Rn

Rh

c) ograniczenia stanu końcowego

(8) x(r,s) £ A r<s — X'rt n A" ,s 1 1 - v r,s gdzie:

K . = {* € R “ ■■ <lr.,(.r) < 0}

K , = {* € « ” : <h„,(*) = 0}

oraz

qr,. : « “ - Rk\ ar., : R n - 1

O funkcjach g0j , fjr,s występujących w warunkach (b) i (c) zakładamy,

że mają ciągle pochodne i jeżeli nie są one tożsamościowo równe zeru, to

Nieliniowe zadanie sterowania optymalnego z ograniczeniami

mają macierze .Jacobiego maksymalnego rzędu dla każdego x należącego do odpowiedniego zbioru.

d) ograniczenia stanu ( trajektorii układu ) mają postać:

tów brzegowych). k j i = 1, . . . , 5)-ustalone liczby naturalne. Przyjmujemy również, że dla wszystkich x (i,j) 6 X - j , gdzie (i%j) £ D r,s , gradienty czynnych ograniczeń nierównościowych, tj.

są wektorami liniowo niezależnymi. Założenie to jest warunkiem dost atecz- nym istnienia, aproksymacji stożkowych pierwszego rodzaju zbioru X[ • w punkcie .?:(/, j) i gwarantuje, że stożki wewnętrzne f C(x(i,j),X' i j) są aprok- symacjami stożkowymi 1 rodzaju. [2].

2. Idea rozw iązania zadania. Okazuje się, że zadanie tu postawione można przeformulować do postaci Zadania Podstawowego. Sformułujemy je tutaj skrótowo w postaci dogodnej dla. naszych celów.

Z

P

1. [2]

Zminmalizowae f ( z) przy ograniczeniach

gdzie / : R 1 —r R, r : Ri —*■ Rl\ f i r mają ciągle pochodne, i? C Rl.

Warunek konieczny istnienia rozwiązania dla postawionego zadania dany jest w postaci twierdzenia.

T

P

2. [2]. Jeżeli, z jesl rozwiązaniem opty- malnym Zadania Podstawowego 1 oraz C(z. /2) jest aproksymacją stożkową zbioru i? w punkcie z, to istnieje nie ze rowy wektor ip — ( ó'°, 0 ł , . . . , ę,?>) £ Rp+1, w którym ik° < 0- taki że:

dla każdego Sz £ C{z, i?). ( ( ,)-iloczyn skalarny)

U

. C(

,{2) oznacza domknięcie zbioru C(3. i?) w przestrzeni R1 natomiast funkcja F(z) ma następującą, postać:

gdzie / jest funkcją kosztu, a r funkcją ograniczeń równościowych. Zakłada się, że funkcja F : R f — Rp+l jest różniczkowalna w sposób ciągły. 0F(z)dz

(

12

44 B. Biły

oznacza macierz Jacobiego funkcji F{z) w punkcie przez fi z rozumiemy wariację zmiennej z.

Z Twierdzenia. Podstawowego wyprowadzone zostaną szczegółowo wa- runki konieczne dla postawionego w podrozdziale 1 zadania sterowania opty- malnego.

3. W arunki konieczne istnienia sterow ania optym alnego. Sfor- mułujmy zadanie przedstawione na. początku rozdziału jako Zadanie Pod- stawowe. W tym celu wprowadźmy następujące oznaczenia:

(13) * = [.

( 0 ^. 0 ^)... i '1 \r, .s), ;i7( 0 ^. 0 )...«T( r - M ) ... 1)]T z jest wektorem kolumnowyni, z € ft{r+i)(*+i)nMr>i+r+s)in

Zdefiniujmy funkcję kosztu f ( z) jako wartość wskaźnika jakości Jr s:

u d

/(-> = Y . /!!,!•'('■•))."i;../}!

f : /j*(r +1Hs-H)«+(/■ .s+r+s)n, __ ft na mocy założeń funkcja f{z) jest różnicz- kowalna. w sposób ciągły.

Funkcja ?•(-) ujmuje wszystkie ograniczenia równościowe:

\ r ( l , l ) — /lo* ( 0 ,0 ) - , \ i .ł*( 1, 0) — /l2;r(0,l) - /?ot/(0.0) - /?! «(1.0) - /?•>»((), 1)

x( r, s ) - ,1 o-c( r - 1, - 1) - A-i x{ r, s - 1) - A2 x{ r - 1. .s) (15) r( z) = _ B{)U{r _ ]iS _ ! ) _ s - 1) - H,

\ v - l . s)

/7.\o(*(»\0)), (7 = 0,1, — r)

r/oj(.r(()..y)). ( j = 1 .2 ... ,s)

.fjr.s{x{r.s)),

r : 77('-+D('s+t)n+(r.s+7-+6)m __ ft(rs)n+(r+s+\)k2+k4 j jest różniczkowalna. W sposób ciągły.

Zbiór i? związany z ograniczeniami nierównościowymi przyjmiemy jako iloczyn kartezjański odpowiednich zbiorów:

(1 6 ) Q — Aó.o x *^ó,i x • • • x A l g x 7 o o x tfo.i x . . . x

C 77^ ' * )(*+t)ri+( rs+r+.s)m

Widać, że przy tak zdefiniowanych funkcjach / oraz /• i zbiorze fź zadanie nasze przyjmie postać Zadania Podstawowego, a do niego można stosować Twierdzenie Podstawowe.

Załóżmy że z € 1? jest rozwiązaniem optymalnym rozważanego zagad- nienia minimalizacji. Wówczas stożek

(17) CĄzM ) = JC(*(0.0),A7M)) x yC(^(0, l),A7u ) x . . . x

Nieliniowe zadanie sterowania optymalnego z ograniczeniami

x IC(x( r, ,s), x;.s) x C(u( 0,0), U0,0) x . . . x

X C ( « ( r - 1,

s),

będący iloczynem kartezjańskim stożków wewnętrznych IC(x. X') oraz aproksymacji stożkowych C( v j ! ) , ist niejących na mocy założeń, jest aprok- symacją stożkową zbioru Q w punkcie z. Możemy zatem zastosować do rozważanego zadania sterowania opty mai nogo Twierdzenie Podstawowe, na mocy którego możemy zapisać: jeżeli z jest rozwiązaniem optymalnym, to istnieje niezerowy wektor

(18) w = (p° .11) £ R r*n+( r+ s+ 1)a'4+h+1

przy czym p° < 0, p° £ R, H = (-pi,j • -pt, 2, . • •, -pr.s,Po,o, • • • ,/*o,s,/*i,o, /'2,o, • ••d'T.o,/<r.d gdzie:

Pij e Rn .

Po j € Rk2 (i = 1 ,2 ... *), Pi, o £ Rk- (i = 0. 1, . . . , r),

Pr,s e Rki , Jf ^ jfrsn-\-( r+.s+

)A‘-jA

+

taki że przy F = (f 1 . r1) 1 mamy

(19) 0 ' ' ^ T r is:) = p0< y n s ) j s ) + U . < o dla każdego 6z £ C(z,f?).

Podstawiając do wyrażenia (19) konkretne wartości za funkcje / i r.

dane wzorami (14) i (15) oraz uwzględniając postać wektora zmiennych z otrzymujemy:

(

20

_0:v J x ( L j )

Of f j x ( i . j ) . u ( i . j ) )

On J a ( i J )

+ ( - P i j i ^ ' i i j ) - -lo M ' ~ l , j - 1) - A2fix(i - 1 , j)

- Ai 6x(i, j - 1) - B06-u{i - 1, j - 1) - B2Fii{i ~ 1, j) - - 1))

. / ćb/,;,o(-*r( i--0 )) r i . n . + 2 ^ ---r;--- ć . r ( /, 0 )

i=i

dx

B. Biły 46

, V" / dyo,j{x{Q< j )) + M ' ' 0^ ---JTr--- SX[(IJ)

J=i

+ ( P r,

Ox

OfJr,s{x{r, s))

Ox óx{l\

dla każdego

6z = (MO. 0), MO, 1 ),..., M n M MO, 0 ),..., M r, .s - 1)),

€ C (£, 12).

Warunek ten można przeanalizować dokładniej, rozważając szczególne przypadki wektora ós £ C(z, i?). W rezultacie otrzymuje się poniższe twier- dzenie, które przekształca warunek (20) w postać klasyczną zawierającą warunki na hamiltonian w każdym punkcie {i,j) £ D r,s, przy czym hamil- tonian zdefiniowany jest przy użyciu wektorów sprzężonych, spełniających równanie sprzężone, zależne od ograniczeń stanu.

T

3. Jeżeli z = [xT(0,0 ),__ x T(>, *),«T(0,0),..., uT( r, s - l)]r jest rozwiązaniem zadania sterowania optymalnego zdefiniowanego w rozdziale i , to istnieją:

-wektory sprzężone pij £ R '\ dla (1,1) < (i,j) < (r, s) -skalar p° < 0

-wektory Poj € R k~, dla j — 1,2,...,.s Pi,o € R k2, dla i = 0, 1,..

Pr,s £ R k i

-wektory \ t J £ Rk& dla (1,1) < (/, j ) < (i\s) K,s e R k*

X

Rkl, dla

j ^< s

A,-,o £ R kl, dla 0 < i < r, wszystkie \ j j > 0 o następujących własnościach:

a) nie wszystkie wielkości p°, ptj , //oj, /ó-.s równe zeru

b) wektory sprzężone pij spełniają

równania sprzężone o postaci:

(

21

d q l j i x i i j ) )

dx ^{K i = P°}

d f ? j ( x { i , j ) , u ( i , j ) )

()x

+ AoPi+l,j+l + A(pij+1 + AyPi+ij — Pij

( 22 ) (R/rtj(x (f\j)) ^T

0x ^{K j =}

^°

Of r j ( x( i J) , r ( i J) )

0x T ^1 Pr,j+l ~ Pr.j

Nieliniowe zadanie sterowania optymalnego z ograniczeniami

dla 1 < j < s — 1

(23) 'Oqla{x(i,s)Y T 'd/?)S(r(/J),r(A /))'

(Ar — P dr

dla 1 < i < r — 1 c) w zbiorze stanów brzegowych” A'oj, A'ito t w zbiorze stanów końcowych X Tt9 spełnione są następujące warunki transwersalności:

■lT r&J?fi($(i,0),«(>,0)r (24) O (li, o(-i'(ł,0))

dx A i.o = P Ox

+ Pi.i + Aopi+\ j + % .o(£(/\0))

7’

(Ar ^{A i.o}

dla 1 < i < r — 1 (25) % w (.r(0 ,/))

dx Aoj - P \ _„c dx

+ A / M j + Ą) jpifj+i + %>,>(*( o, i)) ł T, (Ar ^PO,3

dla 1 < j < « — l

(/) spełnione są następujące warunki transwersalności:

‘lT rtf/?to(*(0,0),tf(0,0))- (26)

(Ar

+ A()//|,i +

n T

Ox ^Po,O

Oąr.o{^(r,0))

T T

(28)

(Ar

%),.«(*( 0,*))

Ar,O — P° d f t o($(r,Q)Mr,0)y (Ar

+ Pr,\ +

d{Jr,o(x(r, 0))T T

dx

i T

6>;r Ao,s — p( d f $ j m s ) , u ( o , s ) ) (Ar

+ -3

A

+ % M (r(0M ))

(Ar ^Ao.i

*<A/ •.,(*(

'dqr.»{*{r,s)y

(Ar J

^Ox

(29) 1

c) zachodzą następujące zależności:

(30) (A ,j.łij(£ (iJ))) = 0

rf/« (0,0) < ( / J ) < (r,«)

''r.s A,.

48 B. Biły

/ ) hamiltoniany zdefiniowane są w sposób następujący:

(31) «) = p % ( * . * )+ 0>i+i,i+1, J?o«)

+ (Pi,j+l' B[U) + {/■'/+ ! Rl u)

dla (1,1) < (i,j) < (r - l,.s - 1)

(32) HrJ x , u) p0f t j ( x, u) + (pr.j+lJ h u ) dla O < j < s - 1

(33) //,.*( A w.) = pnf !’,.(■+■. u) 4- B2

) dla O < i < r — 1

(33) //;,()(>•, a) = p°

u) + ( p u . B j u) + /?0f/) dla 1 < / < ? • - 1

(35) Ho,j(-r. u) = /A/o,.;( A u ) + ( p , /?, w) + (/Jj

+

, B()u) dla 1 < j < s — 1

(36)

II

Bo

IIi j : Rn+m R dla każdego (i,j) £ 72r,s spełniają warunek

(37) dlli.j(x(ij).u{ij))

Ou b u ( i - j ) ) < O

dla każdego Su(i.j) £ C(u{i,j)Afij).

D o w ó d . Warunek a) wynika bezpośrednio z Twierdzenia Podstawo- wego i rozważań prowadzonych przed sformułowaniem twierdzenia.

Warunek b)

Rozważmy wektor fi z = (0, . . . , 0, Sx{i . j),... ,0), i — 1, . . . , r — 1, j = 1 1 gdzie Óx(iJ) £ IC(x(i< j), A*' •). Wówczas równanie (20) daje (38) pD

0 x

J x { i J )

+ (P« + t J+l i ~ •/, j )) + {/>, J-f l , - A l fx{ i.j)) + + (/p+ u , ~ ( p i j J x ( i J ) ) < 0

Ponadto na wektor x(i,j) są nałożone dodatkowe warunki, mianowicie żą- damy, aby gi,j(x(i*j)) < 0. Ponieważ fx(i.j) £ IC(x{i,j), jest to równoważne warunkowi

(39)

dla.

£

: r/^(.r(/,

0

£ {1,2...h>}} (dla tzw. zbioru ograniczeń

czynnych).

Nieliniowe zadanie sterowania optymalnego z ograniczeniami

Stosując lemat Farkasa do warunków (38) i (39) i wykorzyst ując własno- ści iloczynu skalarnego stwierdzimy, że istnieje wektor

Aiti € «**, Xtj > 0 taki, że prawdziwa jest następująca równość:

p h f i j i u . j w

K j = P° \ ° J

dx j 0x

rp p rp

+ -d() pi+l,j+l + d I PiJ+ 1 + + d 2 pi+l.j - Pij która, jest warunkiem (21) t wierdzenia 3. dla i = 1, — 1, j = 1 . . . s — 1.

Zauważmy, że równość ta zachodzi przy warunku

K j fń j ( • j )) = 0. / G {1,2---- , kr,}

w którym przyjmujemy, że A- ? = 0. dla tych /, dla których ; )) / 0.

Warunek ten jest równoważny temu. że (A ,j, (/ij(x{i, j))) = 0. Uzasadnili- śmy zatem w tym przypadku również warunek (30).

Warunki (22) i (23) dowodzi się analogicznie jak (21). Nieco inna postać wynika ze specyfiki opisu układu na brzegach prostokąta.

Rozpatrzmy następnie syt uację j = (). / = 1 ,___?• — 1. Wówczas do- chodzą jeszcze dodatkowe ograniczenia związane z warunkami brzegowymi.

Rozważmy zatem wektor bz w postaci następującej:

bz = [bx\ i, 0), 0, . . . , 0), i = 1,2...r — 1 oraz

S x [ u 0 ) e JC( x( i . 0) . Xl o).

Wówczas z (20) wynika, że prawdziwa jest nierówność:

n / 0 f?n(x( i•

(JO) / / - i i '-0'- ? ' ---

+ (pi.l ■ - I I /,0)) + (w+1,1. •■1()^.,'( i 0))

+

( P i j :

—jjj.

l.rfi.0)) <

Ponadto żądamy aby r/,to(.r(>• 0)) < 0. Ponieważ rozważamy bx( i. 0) € TC(x( L 0). X 1; j)

więc jest to równoważne warunkowi:

/ c)fiłi o ( x ( L 0 ) )

0x

dla. / 6 {/ : </• o(.r(*,0)) = 0, / £ {1, 2, . . .,& ]}}. Stosując lemat Farkasa

50 B. Biły

stwierdzamy, że istnieje wektor Ai?o € Rki, A,-,o > 0 taki że:

(41) 05 <5 O O S O II O

0x 0x

+ A lPi,l + + dx fi i, o

oraz

A!,o X <y-f0 = 0, dla / G {1, 2, . . . , A-,}

(jeśli funkcja ą■ 0 nie zeruje się w x(i, 0), to wówczas przyjmujemy A - 0 = 0).

Powyższe równania stanowią warunek (24) oraz (30) twierdzenia 3.

Analogicznie dowodzi się prawdziwości równań (25) w sytuacji, gdy i = 0, Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla warunków (26)-(29).

Konieczność oddzielnego ich rozpatrzenia wynika z odmiennego opisu mo- delu dwuwymiarowego na brzegach prostokąta. Niemniej metoda pozostaje ta sarna.

Wychodząc z warunku (20), rozpatrujemy dodatkowe ograniczenia na wektory stanu, stosujemy lemat Farkasa i uzyskujemy interesujące nas rów- ności.

Pozostaje jeszcze do udowodnienia warunek e). Dla jego uzasadnienia rozpat rzmy wek tor

bz = (0...OJu(Lj ). 0...0) ^ C ( z . f l )

gdzie i = 0 , 1 , . . . , r - l , j = 0, 1, . . Su(iJ) G C[u(iJ), Uij). Wówczas z warunku (20) otrzymujemy nierówność:

Ou , b i i ( i j ) j -I- (pi+hj+1, B 0bu(Lj))

+ (pi,j+\,lhfin(iJ))+ {]>i+ B2bu(i.j)) < 0 Widać, że nierówność ta jest właśnie warunkiem (37) z tezy twierdzenia 3 dla funkcji 11 zdefiniowanej wzorem (31).

Następnie rozważmy warunek (20) dla wektora

Sz = ((),..., 0, Su(rJ), 0, . . . , ())€ C(z. i?), j = 0 , 1 , ---- * - 1 gdzie bu(r,j) G C(u{ i\j), Urj). Otrzymamy wówczas

■ ' — ---

--- , bu{r, j ) ) + (Pr.j+

, B ibu(r, j )) < 0

u u /

co jest. równoważne temu, że dla funkcji //,.j zdefiniowanej przez (32) za-

chodzi

Nieliniowe zadanie sterowania optymalnego z ograniczeniami

’M r J ) ) < o czyli odpowiada, warunkowi (117).

Zupełnie analogicznie postępujemy w pozostałych przypadkach, tzn.

stwierdzamy słuszność warunku (37) dla funkcji kolejno //,.,, / / (0, //o,/, //o.o zdefiniowanych w punkcie o).

Ostatecznie tezy twierdzenia zostały więc udowodnione.

4. P rzyk ład liczbow y. Rozważmy model ogólny układu 2-D. opisany równaniem (1), w którym

/lo — /li — /l o — Bo — B\ — Ba = 1 n = m = J,(/\ .

) = (1,1)

funkcje f f j występujące we wskaźniku jakości (4) mają. postać

Zbiory U.jtj = [—1.1]. Zadajmy warunki brzegowe:

*(0.0) = .r(0,1) = *(1,0) = 0. * (1 ,1) = 1

Zbiory X 0j (j = 0, 1), A\,0 (i = 1), A'i,i są zatem zbiorami punktowymi:

.¥<>„, = { .((0 .7 )} = {0} -¥ u = W U D } = {1}

-Y;,o = ).•((. Ul! = {0}

Wówczas mamy

% ..,(*) = * - x ( 0 J )

fli.o(x) = x - *(/,0) i Ho,j = Vi-o = </i,i = 0 '/i.i(*) = x - *(' 1,1)

Wobec tego

dx dx d-v

odpowiednie A<(/ są równe zero.

Zgodnie z twierdzeniem 3, jeżeli

P° < 0 , równości:

* 0 + w,o + l‘a’° - U p°*

= o

B. Biły

(44) p° * O -f p ij + //o.i — O

(45) 7>itl - /-'-u = O

(46) [p°( 2w( 1, O) + 5) + Pl,, ]/)

( 1. O) < O dla każdego Ć7/('l,0) G ^C{u{ 1, 0), [—1,1 ])

(47) [p°(2u(O, 1) + 5) + pij]Sv(0.1) < O dla każdego <*>7/(0, 1) G C (u ( 1, 0), [—1,1])

(48) [/(2 » (0 ,0 ) + 5) +

^ .,]/« (0 .0 ) <

dla każdego ó?/(0,0) G C( u( 1,0), [— 1, 1])

(49) 7/(0. 0) + »(0,1) + 7/(i , 0) — 1

Ze względu na liniowe ograniczenia, zadania, można przyjąć ^{p° —} —1, Zbiory ^{U jj =} [—1,1] są zbiorami wypukłymi w przestrzeni ^li i ich stożki promieniowe są aproksymacjami stożkowymi pierwszego rodzaju.

Stożek promieniowy ^{R C { u,} [— 1,1]) ma post ać:

{ [—co, 1] jeżeli u = 1 R jeżeli -1 < u < 1 [—1 ,+

] jeżeli u = — 1

« € [ - 1 . 1 ]

Zatem rozpatrzmy przykładowo nierówność (46)

[ —2 //( i . 0 ) — 5 +

p

dla każdego />//( 1.0) G ^{R C ( u{} 1.. 0). [—1. 1]). Możliwe są następujące przy-

1)

2

ć)7/( 1,0) < 0

—2//( 1,0) — 5 -f- p\ ,i > 0

ć 7/ ( 1 . 0 ) > 0

-2ł7( 1,0) - 5 + p u < 0

3)

f /)//(!.()) G R [ — 2 77 (1, 0) — 5 4- //,.] = 0

W sytuacji 1) jeżeli iu( 1.0) < 0 dla każdego i u (1.0) G RC(u( 1.0).[—1,1]) to «(1,0) = +1, a. zatem p tj > 7.

W sytuacji 2) 7/(0, 1) = — 1 i p\ ,i < 5.

W sytuacji 3) —1 < //(!,()) < i i p\j = 277( 1,0) + 5.

Analogicznie można napisać, nierówności (47) i (48)

Nieliniowe zadanie sterowania optymalnego z ograniczeniami

Po uwzględnieniu wszyst kich możliwych syt uacji okazuje sic, że warunki (46)-(48) są. jednocześnie spełnione tylko wówczas, gdy

- 1 < « ( () ,! ) < 1

-I. < u{ 1,0) < 1

- 1 < u( 0 , 0 ) < 1

a wówczas

57(0,0) = « ( 0 , l ) = t f ( 1 , 0 ) = ^j (^p,.ⁱ - 5 )

co w połączeniu z warunkiem (49) daje

w( 0 .0 ) = ^m(0. 1 ) = « ( 1 , 0 ) = ^

Pozostałe równania (42)-(45) są spełnione przy następujących wartościach:

Pt, i = —Po, o = ~fh, o = -Po.i = -/(i,i = Minimalna wartość wskaźnika jakości J wynosi

5. P race cytow ane

[1] 13. B iły. Optimal control problem for first Fornasini-Monhcsini model of 2-D sys- tems, Foundation ( ’oni roi Engineering, 1988.

[2] M. D. C a n o n , ( ’. D. Cu l l n m, E. P o lak , Sterowanie optymalne i programowanie matematyczne, WNT, 1975.

[3] T. K a c z o r e k , The linear-quadratic optimal regulator for singular 2-D systems with variable coefficients, IEEE Trans, on Antoni. Control, vol. 34, No. 5. 1989 pp. 565- [4] .1. K 566.11 rek. The general state-space mode! for a two-dimensional linear digital system,

IEEE Transactions on Automatic Control, vol. AC-20, no.6, 1985, str. 600-602.

Abstract,

N onlinear op tim al con trol problem w ith constraints for general 2-D system s.

In this paper a optimal, nonlinear problem for general two-dimensional, stationary, discrete systems is presented. The state and control vectors are subject to restrictions in this optimal problem.

Using a method of transformation for the system and the performance index, the problem of finding the optimal sequence of control vectors is solved by a method of ma- thematical programming. The necessary conditions are formulated.

The simple numerical example illustrates the presented method.

SULIŃSK1EGO 97 32-522 JAWORZNO POLSKA