Estymacja parametrów procesu Galtona-Watsona

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA XX (1982)

J.

HOLZHEIMER (Wrocław)

Estymacja parametrów procesu Galtona-Watsona

(Praca ^przyjęta do druku 18.04.1980)

O.

Wstęp.

Praca stanowi

próbę przeglądu

estymatorów parametrów najprostszego procesu

gałązkowego

-jednowymiarowego procesu Galtona-Watsona.

Część

pierwsza pracy zawiera opis matematyczny procesu oraz jego podstawowe

własności.

W

^części

drugiej rozpatrywane

^są

znane estymatory

^średniej

w

rozkładzie

praw-

dopodobieństwa

kreacji;

^część

trzecia jest

poświęcona

estymacji

prawdopodobień­

stw kreacji, a w

^części

czwartej

rozważa się

problem estymacji wariancji.

Ze

względu

na odmienne zachowanie

się

procesu w

zależności

od

średniej

w roz-

kładzie prawdopodobieństwa

kreacji zagadnienie estymacji parametrów rozpatruje

się

oddzielnie dla podkrytycznego, krytycznego i nadkrytycznego procesu Galtona- Watsona.

1. Proces Galtona-Watsona. Niech Z= (Zn; n = O, 1, „.), Z

0 =

1,

^będzie

ciągiem

zmiennych losowych o

wartościach całkowitych

nieujemnych,

^stanowią­

cym proces Galtona-Watsona, tzn.

Z _n+

₁

₌

_I,, ^J-(n) ₁

+

_I,, ^J-(n) ₂

+ +

_{„ .} ^J-(n) _I,,

_{zn '}

n~

O,

oo

P(

z

¹ = k)

= Pk' Pk ~ _o'

_k=O

L ^Pk

^{= 1 '}

gdzie Cfn>,

i

= 1 , 2, ... , Zn,

są

zmiennymi losowymi wzajemnie

niezależnymi,

o roz-

kładzie

Z

1 , niezależnymi

od Zn. Zn+

1 =

O, gdy Zn

=

O.

W dalszych

częściach

pracy

będziemy się często odwoływali

do popularnej interpretacji procesu Galtona-Watsona.

Rozważmy populację

indywiduów zdol- nych do rozszczepiania

się

na indywidua tego samego typu.

Załóżmy, że

populacja indywiduów w chwili O

składa się

z Z

0

indywiduów

tworzących początkowe

(zerowe) pokolenie.

Każde

indywiduum danej populacji jest tego samego typu oraz rozszcze- pia

się niezależnie

od

pozostałych

indywiduów zgodnie z

rozkładem

prawdopodo- bieństwa (Pt; k = O, 1 , ... ) nazywanym rozkładem prawdopodobieństwa kreacji.

t~tomkowie indywiduów pokolenia początkowego tworzą pierwsze pokolenie procesu Galtona-Watsona. Indywidua

każdego

pokolenia

rozszczepiają się

nieza- leżnie od liczebności poprzednich pokoleń.

[73)

74

^{J. H o I z h e im er}

Przyjmijmy

następujące

oznaczenia dla

^wartości

oczekiwanej i wariancji liczby

bezpośrednich

potomków danego indywiduum:

m = EZ

1 ,

a

²

= Var(Z

1 ).

Dalej

będziemy zakładali, że

O < a

²

< +oo.

Proces Galtona-Watsona Z nazywamy podkrytycznym, gdy m < I, krytycznym, gdy m = I, nadkrytycznym, gdy m > I.

Rozróżnienie

tych trzech przypadków jest istotne przy

rozważaniu

asymptotyki procesu.

^Jeśli q

= P( lim Zn= O) oznacza

n-++ oo

liczbę zwaną prawdopodobieństwem

wymarcia procesu, to q = I, gdy m

^~

1, nato- miast q < 1, gdym > I.

Zachowanie

^się

procesu

Z zależy

od parametru m, a

^więc

jednym z podstawo- wych

^zadań

statystyki procesów

gałązkowych

jest

określenie

dobrego (w pewnym sensie) estymatora tego parametru.

W przypadku nadkrytycznym nasz proces z

prawdopodobieństwem

I (z P.l)

osiąga

O dla dostatecznie

^dużych

n lub wzrasta do + ^{oo, gdy n}

^~

+ ^{oo. Ta}

^własność

niestabilności

procesu wydaje

^{się być}

sprzeczna z zachowaniem

^się

populacji bio- logicznych, które

często dążą

do stanu równowagi probabilistycznej. Z tego powodu

rozważany

model bez modyfikacji raczej nie nadaje

^się

do opisu zjawisk

^występu­

jących

w populacjach biologicznych. Niemniej jednak statystyka tego procesu jest

interesującym

zagadnieniem, a przy tym

^{może być}

punktem

^wyjścia

do

rozważania

modeli zmodyfikowanych, jak na

^przykład

procesu Galtona-Watsona z

^imigracją

i procesu

gałązkowego

w losowym

środowisku.

Rozważmy

pytanie, przy jakich

założeniach

istnieje taki

ciąg

C = ( e„; n =

= O, I, .„)

stałych, że

zachodzi

^zbieżność

Zn

^P

--~w,

en

gdzie symbol ~ oznacza zbieżność wg prawdopodobieństwa, a W niezdegenero-

waną zmienną losową.

C. C. Heyde

^rozwiązał

ten problem

^pokazując

(zob.

[1]

lub [Il]),

że

zawsze istnieje taki

^ciąg

C, en

^~

+ ^{oo; en+}

¹

/en

^~

m, gdy

^n~

+ ^oo,

że

zmienne losowe Wn = Zn/en

^dążą

z P.l do zmiennej losowej W z P(W > O)

=

= I -q.

^Jeżeli EZ₁

log

Z₁

< + ^{oo, to}

możemy wziąć

en = mn, w przeciwnym razie,

^jeżeli

EZ

1

log Z

1 =

+ oo, to P(W =O) = I, czyli zmienna losowa W jest zdegenerowana.

Wprowadźmy

oznaczenie S

11

=

Z0

+

Z1

+ ... +Zn. C. C. Heyde

^pokazał

rów-

nież, że

___ s_n_ ^{~ W z P.l.}

l+m+ ... +mn

A. Badalbajew (zob. [2])

^rozważał

podwójnie indeksowany

^ciąg

zmiennych lo-

sowych

W~r> = z~r>/rm",

gdzie

^(z~r>;

n= O, l, „.)jest procesem Galtona-Watsona,

dla którego

^z~r>

=

r. ^Udowodnił

on

następujące

to

Estymacja parametrów w procesie Ga/tona-Watsona

75

TWIERDZENIE

1.1. (I)

^Jeżeli

m < 1 oraz r, n

--+

+ ^oo

^w

taki sposób,

^że

rm"

--+

+ ^oo,

zer>

^p

-"---+

l • rm" '

(II)

jeżeli

m = 1 oraz r, n--+ + oo w taki sposób,

żer/n--+

+ ^{oo, to}

z<r>

_n ^p

1 • -r---+ ' (IlJ)

jeżeli

m > 1 oraz r

--+

+ ^{oo, to}

z<r>

^p

-"-- --+ I dla

^każdego

n.

rm"

N. M. Yanev (zob.

[16]) rozważył również zbieżność

zmiennych losowych

z~r>

/r w przypadkach, gdy r/n --+ O oraz gdy n/r--+

K,

O <

K

< + ^oo.

2. Estymator Lotki-Nagajewa.

^Rozważmy

estamator

średniej

m oparty na próbie (Zo

=

I, Z

1 , ..• ,

Z.,.+

1),

zdefiniowany w

następujący

sposób:

ni

= --z---;-'

( Z.,.+1

l w przeciwnym razie.

Estymator ten

był

badany przez A. J.

^Lotkę

oraz A. V. Nagajewa (zob.

[14]). Wła­

sności

asymptotyczne tego estymatora

^badał

W. Bilhler (zob. [3]).

^Pokazał

on,

że

w przypadku nadkrytycznym

P(a-

¹

(Z.,.)

¹1²

(m-m)

^~

xjZ.,. >O)--+ <l>(x),

gdzie <l>(x) jest

dystrybuantą rozkładu

normalnego ze

^średnią O

i

wariancją

1.

Zbiór A = (Z.,. > O, n = O, I, ... ) nazywamy zbiorem

niepochłaniania

procesu

Z. Ponieważ P(A)

= I -q,

więc

miara probabilistyczna PA(-) = P( ·

IA)

ma sens jedynie w przypadku nadkrytycznym. J. P. Dion

^uogólnił

wynik W. Btihlera roz-

ważając

dowolne miary probabilistyczne

Q

absolutnie

ciągłe względem

miary PA

(Q ~

PA). Wprowadzenie miary

Q

jest

próbą osłabienia założenia

o

niezależności

rozszczepiania

się

indywiduów tej samej generacji.

Oczywiście, założenie

Q

^~

^PA jest

założeniem

bardzo mocnym, ale pozwala ono

rozważać

populacje biologiczne, w których

występuje zależność między

rozszczepianiem indywiduów tej samej generacji. Rezu1tat J. P. Diona jest

następujący:

TWIERDZENIE

2.1. Dla nadkrytycznego procesu Ga/tona-Watsona Z zachodzi Q(a-

¹(Z11)11²(in-m) ~

x)--+ cJ>(x),

oo

Q(a-

¹

m"f

²

(m-m) ~ x)--+ ~ <l>(x{y)dS(y),

o

gdzie S(y)

=

PA (W < y), a W jest zmienną losott·ą będącą granicą z P. l zmiennych

losowych Z.,./m".

76 J. H o I z he i me r

J. P. Dion

znalazł również przedział ufności

dla m.

Można

ponadto

wykazać, że

w przypadku nadkrytycznym

^iii-+

m z P.l. na zbiorze

A.

Wynika to z rezultatu C. C. Heyde (zob. [11]). K. S. Crump i R. B. Howe wykazali,

^że E(mlA) ^-+

m, gdy n

^-+

+ oo. Oznacza to,

^że

estymator m jest asympto- tycznie

nieobciążony

na zbiorze

A.

Podane

^własności

estymatora Lotki-Nagajewa

dotyczą

jedynie nadkrytycznego procesu Galtona-Watsona. A. Nagajew (zob.

[14])

rozważał również asymptotykę

m w przypadku podkrytycznym i krytycznym pod warunkiem Zn > O.

Jest on

^określony

jedynie na zbiorze

niepochłaniania

procesu, a

^więc

jest nie- wygodny do praktycznych celów. Jak

już zauważyliśmy

poprzednio,

można badać asymptotykę

procesu Galtona-Watsona przy

założeniu, że

liczba indywiduów pokolenia zerowego r

^dąży

do

nieskończoności

lub gdy zarówno r, jak i n

^dążą

do

nieskończoności.

Takie

^podejście

pozwala nie

ograniczać się

do zbioru (Zn > O).

A. Badalbajew w [2]

^rozważał

estymator m postaci -

Z~'J.1 1n

'

= - - -

1 +

^{z~r) '}

przy czym

wykazał, że

jest on mocno zgodny, tzn. m,

^{-+ m}

z P.1., gdy

r ^-+

+ oo, oraz

badał asymptotykę

tego estymatora.

to

TWIERDZENIE

2.2. (I)

^Jeżeli

m <

I

oraz r, n

^-+

+ oo w taki sposób,

^że

rmn

--+

+ ^oo,

(II)

^jeżeli

m

=

1 oraz r, n

--+

+ oo w taki sposób,

^{żer/n -+}

+ oo, to

P( a-

¹

(r)

^1'2

(m,-m)

^~

x)

^-+

<l>(x);

(III)

jeżeli

m > 1 oraz r

^-+

+ ^{oo, to}

P( a-

¹

(rmn)

¹1²

(m,-m)

^~

x)

^-+

<J>(x) dla

^każdego

n.

Mocna

^zgodność

estymatora m wynika z faktu,

że z~r>

daje

się przedstawić

w postaci

gdzie Zn,i jest

^liczbą

indywiduów

^n-tego

pokolenia,

^będących

potomkami i-tego indywiduum pokolenia zerowego. Zmienne losowe (Zn,i; i= I, 2, „., r)

^są

nieza-

leżne

o

rozkładzie

takim jak Zn.

Twierdzenia 2.2 dowodzi

^się

standardowymi metodami (zob. [14] lub ll6]).

Można również badać asymptotykę

estymatora m„ ^gdy

^r--+

+ oo.

2.1. Estymator Harrisa. T. Harris w pracy [10]

udowodnił, że

Estymacja parametrów w procesie Galtona-Watsona

77 jest estymatorem

największej wiarogodności

parametru m opartym na próbie (Z

₁

k;

j = O, 1 , ... , n+ I , k = O, 1 , ... ), gdzie Z

1^k

oznacza

liczbę

indywiduów j-ej gene- racji

mających

k

bezpośrednich

potomków.

Tamże

Harris

wykazał, że

m

^-+

^m

z P. l na zbiorze

A.

P. D. Feigin w pracy [9]

udowodnił, że

estymator ten jest

^również

estymatorem

największej wiarogodności

opartym na próbie (Z

0

= 1, Z

_{1 ,}

„., Zn+

1 ).

J. P. Dion

^udowodnił

ponadto

asymptotyczną normalność

11z oraz

podał przedział ufności

dla m.

TWIERDZENIE

2.3. Dla nadkrytycznego procesu Ga/tona-Watsona Z

i

dowolnej miary probabilistycznej Q

^~

PA mamy

Q(a-

¹(Sn)¹l²

(m-m)

~ x)-+ <P(x),

oo

Q(a-

¹

(1 +m+ ... +mn)

¹1²(m-m)

~

x)-+

~

<P(xJly)dS(y).

o

Uwag a. J. Scott w pracy [15]

podał

pewne centralne twierdzenie graniczne dla

martyngałów,

z którego jako wniosek otrzymuje przedstawione

wyżej własności

asymptotyczne estymatorów Lotki-Nagajewa i Harrisa.

Dowód twierdzenia 2.3 wynika z centralnego twierdzenia granicznego dla sum

niezależnych

zmiennych losowych o losowej liczbie

składników

(zob. [5], tw. 17.2), ze

zbieżności

___ Sn_

-+W

z P.1

l+m+

„.

+mn oraz z

^równości

s„

a-1(Sn)1f2(m-m) = a-_1(Sn)-1/2 L ^(C,-m),

i=l

gdzie (C;;

i

= 1, 2, „.) jest

ciągiem niezależnych

zmiennych losowych o

rozkładzie

Z1.

Rozważanie

estymatora m na zbiorze A ma sens jedynie wtedy, gdy m > 1.

W przypadku podkrytycznym i krytycznym

interesujące byłoby rozważenie

esty- matora m pod warunkiem Zn > O. N. M. Yanev w pracy [16]

badał asymptotykę

estymatora m w przypadku, gdy

r-+

+ oo dla ustalonego

n

oraz gdy

r' n -+

+ oo.

TWIERDZENIE

2.4.

Jeżeli

r

-+

+ ^oo dla ustalonego n, to

(I)

m-+ ^{m z P.1,} Em-+ ^{m, oraz}

(Il) m jest asymptotycznie normalny, tzn.

P(a-

¹

^(r(l

^{+m+ ... +mn))112(m-m)}

^~

x)-+ <P(x).

TWIERDZENIE

2.5.

Jeżeli

r, n

-+

+ ^{oo '} to

A p A

(I)

m

-+

m, Em

-+

m, (II)

jeżeli

m < 1, to

P( ^u-

¹

(I ^~m r• (m-m) <; x )--+ <l>(x),

78

J. Holzheirner

(III)

^jeżeli

m = I oraz r/n-+ + oo, to

P( a-

¹

(rn)

¹¹²

(m-m)

^~

x)

^--+-

<l>(x), (IV)

^jeżeli

m > I oraz

E(Zt)

< + ^{oo, to}

+-1 ( r(m~+~i_I2 r (ffi-m),;; X)---> </>(x).

2.2. Inne estymatory

^średniej

m.

C. C.

Heyde i J. Leslie w pracy [13] zapropono- wali estymator

średniej

m oparty jedynie na

liczebności

n-tej generacji Zn. Estymator ten ma

^postać

m* = (Zn)1/n.

W

przypadku nadkrytycznym estymator ten jest mocno zgodny na zbiorze

^A

oraz zachodzi

zbieżność

n(m*-m)-+-mlogW z PA.I.

3. Estymacja

prawdopodobieństwa

kreacji.

Rozważając próbę (Zik; j

= O, I , ...

„., n+ 1, k

=

O, I, „.), T. Harris

^otrzymał

estymatory

największej wiarogodności

dla

prawdopodobieństw

kreacji

następującej

postaci ,.. Zok+ Zlk+

„.

+

^Znk

Pk

= _.

^{-~-·--· -}

_Sn k=0,1,„.

J. Dion w pracy [7]

udowodnił asymptotyczną normalność

tych estymatorów.

TWIERDZENIE

3.1. Dla nadkrytycznego procesu Ga/tona-Watsona Z oraz dla dowolnej miary probabilistycznej

Q ^~

PA zachodzi

((

n

)1/2 )

⁰⁰

Q I+;.~ .:.:~.;m (f,,-p,).;;

^{X --->}

J <l>(xy'.Y)d ^S(y).

U

w a g a. Dion

znalazł również przedział ufności

dla danego

Pk. ^Ponieważ

nie jest znany

rozkład łączny

dla estymatorów

prawdopodobieństw Pk,

k =O, l, ... ,

więc

podanie

łącznego przedziału ufności,

tzn. dla wszystkich prawdopodobie11stw

Pk,

nie

^{może być}

brane pod

uwagę.

Podobnie jak w przypadku estymatorów m, ⁱ m,

można badać asymptotykę

estymatorów Pk, ^{gdy r}

^--+-

⁺ oo oraz r, n

--+-

+ oo. Prawdziwe

są następujące

twier- dzenia.

TWIERDZENIE

3.2.

Jeżeli

r

--+-

+ oo dla ustalonego n, to (I)pk-+ Pk z P.1 oraz Epk-+ Pb k =O, 1, ... , (II)P((r-(l+m+ ... mn))l/2("-) ) FF.()

(I ) Pk Pk ^~ X ^{-+ ':P} X • Pk -pk

Estymacja parametrów w procesie Ga/tona-Watsona

TWIERDZENIE

3.3.

Jeżeli

r, n

^--+

+ ^oo, to:

(I) Pk ^{~Pb Efh}

^--+Pb

k = o' ^{1, ... '}

(Il)

^jeżeli

m < 1, to

p( ^(p,(1-p~ (1-m) )"\;,,-p,) ,,; x )-+

<l>(x),

(III)

^jeżeli

m

= 1

oraz r /n

-+

+ ^oo, to

p ( (

p,( ^;~ p,J'<.o. - ^{p,) ,,; X) -+} <f>(x),

(IV) ^jeżeli

m >

1

oraz

E(Zi)

< + ^{oo, to}

((

( n+1

l) )112 )

P

Pk[i: pk)(-:n-

l)

([h-Pk)

~

X --+

<P(x).

79

Dowody tych

twierdzeń są

standardowe;

^wymagają

jedynie pewnych modyfi-

1

kacji dowodu N. M. Yaneva (zob. [16]) dla m. Wykorzystuje się m.in. fakt, że

s~'>

Z <r> _Ok

+zer>+ +

_{1k • • •}

z<r> nk

=

~ L..J T(k>

^{J '}

j =l

. gdzie

(T~">; j

=

1 ,

2, ... ) , k = O,

1, ... ,

jest

ciągiem

zmiennych losowych zdefinio- . wanych w

następujący

sposób:

T(k> = { 1,

J

o w przeciwnym razie, ^{gdy C}

¹

^{= k,}

. a

s~r>

=

^z~>+

Zir> + . . . +

^z~r>;

( C

_1; j =

1 , 2, ... ) jest

ciągiem niezależnych

zmien- . nych losowych o

rozkładzie Z _1•

Można rozważyć

estymatory

prawdopodobieństw

kreacji oparte na próbie (Znk; k = O, 1, ... )postaci

- Znk k O 1

Pk

= --,

_Zn = ' '····

Estymatory te są asymptotycznie normalne.

TWIERDZENIE

3.4. Dla nadkrytycznego procesu Ga/tona-Watsona Z oraz dla dowolnej miary probabilistycznej Q ~ PA mamy

(( )

1/2 )' oo

Q p,(';':._p,) (ji,-p,).;; x -+ J

<l>(xJ!Y)dS(y).

80

J. H o I z h e i m e r

W dowodzie korzystamy z faktu,

^że

Znk daje

się przedstawić

w postaci Znk =

Zn

=

_L Tjk>. Teza twierdzenia wynika z

^równości

j=l

oraz z centralnego twierdzenia granicznego dla sum

niezależnych

zmiennych loso- wych o losowej liczbie

składników

(zob. [5], tw. 12.2).

Rozważmy próbę

(Zjk>;

j

= O, 1, ... , n, k

=

O, 1, ... ), gdzie ZJ;;> jest

^liczbą

indywiduów j-tego pokolenia

^mających

k

bezpośrednich

potomków, przy

założeniu, że z~r>

=

r. Można zaproponować

estymatory

prawdopodobieństw

kreacji wyko-

rzystując znajomość

n-tego pokolenia procesu Z

^(r)

-(r) - nk

k O 1

Pk - l +

^z~r>

^,

= ' ' · · ·

Estymatory te

^są

mocno zgodne, tzn. J5i''-+ Pk z

P.1,

gdy r-+ + oo dla k = O, l, ...

Ponadto zachodzi

TWIERDZENIE

3.5.

(I)

Jeżeli m

< 1

oraz r, n -+

+ oo w

taki sposób, ^że rmn ^-+

+ oo,

to

P((p,(i~p.) t2 <P1''-p,).;;; x)--. <l>(x),

(II)

jeżeli

m = 1

oraz r,

n-+ + oo w

taki sposób, ^żer/n-+

+ oo,

to

P( ^(p,/-p,J

¹²

<P1''-p,).;;; x)--. <l>(x), (III)

^jeżeli m

> I

oraz

r-+ + oo,

to

p( ( p.:ii:.·p.J'

²

^{o>1'' - p,)} „ x )-. <l>(x).

dla

^każdego

n.

z~'>

W dowodzie korzystamy z

^równości

ZW

⁼

L T?', gdzie

(T~k>)

jest

^ciągiem

j=l

zmiennych losowych zdefiniowanym jak w dowodzie twierdzenia 3.2. Mocna

zgodność

estymatora wynika z

^równości

ZW = Znk, ⁱ

+

Znk, ²

+ · ·. +

^Znk,,,

gdzie (Znk,i; i= 1, 2, ... , r) jest

ciągiem niezależnych

zmiennych losowych o roz-

kładzie

takim, jak Znk, oraz

^{stąd, że}

'

Zn

E(Zn1c) = E{E(l: ^{T?'IZn)} =}

^Pkmn.

j=l

Estymacja parametrów w procesie Ga/tona-Watsona

4. Estymacja wariancji.

4.1. Estymacja wariancji przy znanej

średniej.

Niech

Zk+1

( )

2

rk

= --

_2--,;-

-m

zk,

k =o, ^{1, ...}

J. P. Dion w [8]

zaproponował

estymator wariancji a

²

postaci

n

-2

1

~

<1n

= n+l

^~Tb

k=O

oraz

^podał

jego podstawowe

własności.

81

TWIERDZENIE

4.1. Niech Z

będzie

nadkrytycznym procesem Ga/tona-Watsona, dla którego Po =

O

oraz E(Zt) < + oo. Wówczas

E((i;)

=

a2,

n

Var(cr;) =(n+ 1)-

¹

[2a

⁴

+(n+

l)-¹

(Var(Z

1

-m)

²

-2a

4 )

LE(Zk"

^1)].

k=O

Estymator a; ^jest

więc nieobciążony,

a jego

słaba zgodność

wynika z

wyrażenia

na

wariancję

i z

nierówności

Czebyszewa. Dion

udowodnił również asymptotyczną normalność

tego estymatora.

TWIERDZENIE

4.2. Niech Z

będzie

nadkrytycznym procesem Ga/tona-Watsona, dla którego Po =

O

oraz

E(Zf)

< + oo. Wówczas

( ( + 1 )1/2 )

p ⁽¹²

T

^@:-a2)

^~

^{x --+ <P(x).}

4.2. Estymacja wariancji przy nieznanej

średniej.

Dla estymacji wariancji przy nieznanej

średniej

Dion w pracy [8]

zaproponował

estymator postaci

-2 - ¹ Ln ^{Z (}

^Zk+l

")2

C1n - - -

n+

1 _k=O k

---m

zk

.

Warto

zauważyć, że

C. C. Heyde

w

pracy [12]

rozważał

estymator tej postaci, ale w miejscu estymatora Harrisa m

występował

estymator Lotki-Nagajewa m.

^Słaba

zgodność

estymatora a; ^{wynika z}

następującego

twierdzenia.

TWIERDZENIE

4.3. Niech Z

będzie

nadkrytycznym procesem Ga/tona-Watsona, dla którego p

₀

= O, E(Zt) < + oo. Wówczas

IC1;-0:;1(1+n)

¹

-s~o dla każdego e>O.

Można

ten wynik

rozszerzyć

na przypadek dowolnej miary probabilistycznej

Q

~ P.

Dowód wynikazpracy Diona ([7], tw. 3). Przedstawione estymatory wariancji

82

^{J. H o 1 z he im er}

są rozważane

jedynie w przypadku p

0 =

O. Okazuje

^się

przy tym,

^że

nie

^można

rozszerzyć własności

tych estymatorów na zbiór

niepochłaniania

A metodami, które

były

stosowane przy

rozważaniu

estymatorów mim. ^Ciekawe

^byłoby

^rozwa-

żenie

asymptotyki tych estymatorów na zbiorze A w ogólnej sytuacji, gdy Po > O.

Dion w pracy [8]

wykazał, że

estymator

największej wiarogodności

dla wariancji a

²

oparty na próbie

(Z₁k; j

= O, 1, ... , n+ 1,

k

= O, 1, ... ) ma

^postać

oo

A2 ~

(k

^{A )2A}

<1n = ^~

-m Pk·

k=O

Asymptotyczna

normalność

estymatora &; ^{wynika z}

następującego

twierdzenia.

TWIERDZENIE

4.4.

^Jeżeli

Z jest nadkrytycznym procesem Ga/tona-Watsona oraz

E(Z1)

< + oo, to dla miary probabilistycznej Q

^~PA

zachodzi

Wykorzystując

estymatory Pk

można zaproponować

estymator dla wariancji z

nieznaną średnią,

mianowicie

oo

2 "\.~ . - 2-

2'.n =

^~

(k-m) Pk·

k=O

Zachodzi wówczas

następujące

TWIERDZENIE

4.5. Przy

założeniach

twierdzenia 4.4

zachodzą zbieżności

Dowód jest analogiczny do dowodu twierdzenia 4.4.

Można badać asymptotykę

estymatora

największej wiarogodności

dla wariancji

a;, ^gdy

^{r, n--+}

⁺ oo. Zachodzi

następujące

TWIERDZENIE

4.6.

^Jeżeli

E(Z't) < + oo oraz r, n

^~

+ oo , to

(I)

jeżeli

m < 1, to

Estymacja parametrów w procesie Ga/tona-Watsona

(Il)

jeżeli

m = I oraz r/n

^~

+ ^{oo, to}

p( ( Var(;:-m)Z r (a;-uz)" X)-+ t/>(x), (III)

^jeżeli

m > 1, to

(( r(m"+¹-1) )¹¹² ,.. _{2 2} )

p

Var(Z

₁ -m)2(m-1) (a

-a)~

x

~

<l>(x).

D o w ó d. Za

pomocą bezpośrednich

rachunków

można sprawdzić, że

J&;- L

oo

^(k-m)

²

.Pkjcs~r>)

¹

'

²

~ o.

k=O

83

Stąd

wynika,

że

wystarczy

wykazać prawdziwość

tezy dJa estymatora *a; =

co

=

L ^(k-m)

²

Pk· Estymator *a; daje się przedstawić w postaci

k=O

gdzie

^S~'>

= Z&'>+

^Z~'>+

. . . +

^z~r>,

a ( C;;

i

= 1 , 2, ... ) jest

ciągiem niezależnych

zmiennych losowych o

rozkładzie

Z

_{1 •}

Dalej dowód przeprowadza

się

standardo- wymi metodami (zob. [16]).

Prace cytowane

[1] K. B." At hr e y a, P. E. Ney, Branching processes, Springer, Berlin 1972.

(2] A. Bad a I baje w, Some properties of an estimate of the mean of a branching process, Fan, Task. G. U. Taszkent 1977.

[3] w~ J. B i.i h I e r, Ein zentraler Grenzwertsatz /iir Verzweigungsprozesse, Z. Wahrscheinlicht- keitstheorie verw. Geb. 11 (1969), 139-141.

[4] P. Bi 11 i n g s Ie y, Statistica/ inference for Markov processes, Chicago, 1961.

[5] -, Convergence of probability measures, Wiley, New York 1968.

[6] K. S. Cr u mp, R. B. Ho we, Nonparametric estimation of the age of a Ga/ton-Watson branching process, Biometrika 59 (1972), 533-538.

[7] J. P. Di o n, Estimation of the mean and the initial probabi/ities of a branching process, J. Appl.

Prob. 11 (1974), 687-694.

[8] -, Estimation of the variance of a branching process, Ann. Statist. 3 (1975), 1183-1187.

[9] P. D. Fe i gin, A note on maximum llkelihood estimation for simple branching process, Austr. J. Statist. 19 (1977), 152-154.

UO] T. E. Harris, Branching processes, Ann. Math. Statist. 19 (1948), str. 474-494.

' (11] C. C. Hey de, Extension of a result of Seneta for the supercritical Ga/ton-Watson process, ibidem 41 (1970), 739-742.

84

^{J. H o I z h e i me r}

[12) -, On estimating the variance of ^th~ of/spring distribution in a simple branching process, Adv.

Appl. Prob. 3 (1974), 421-433.

[13] C. C. Hey de, J. R. Les 1 ie, lmproved c/assical limit ana/ogues for Ga/ton-Watson process with or without immigration, Bull. Austr. Math. Soc. 5 (1971), 145-155.

[14] A. V. N ag aj ew, On estimating the expected number of direct descendants of a particie in a branching process, Theor. Prob. Appl. 12 (1967), 312-320.

[15] J. Scott, A central limit theorem for martinga/es and an application to branching process, Stoch. Proc. Appl. Vol. 6, No 3 (1978), 89-94.

[16] N. M. Yan e v, On the statistics of branching processes, Theor. Prob. Appl. 20 (1975), 505-515.