ANALIZA PORÓWNAWCZA PODEJŚCIA
SEKWENCYJNEGO I SYMULTANICZNEGO W MODELOWANIU ZJAWISKA ZDERZENIA
Mariusz Warzecha
1a1Katedra Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn, Akademia Górniczo-Hutnicza
amwarzech@agh.edu.pl
Streszczenie
W artykule przeprowadzono analizę porównawczą podejścia symultanicznego i sekwencyjnego wykorzystywanego w modelowaniu zjawiska zderzenia w układach wielobryłowych. Zaproponowano układ, na podstawie którego przeprowadzona została analiza. Metodę symultaniczną oraz sekwencyjną wykorzystano do wyznaczenia prędkości ciał układu po zderzeniu. Rezultaty te odniesiono do wyników otrzymanych z symulacji zaimplementowanej na podstawie stworzonego modelu w dziedzinie czasu. Przedstawiono otrzymane wartości liczbowe dla przykładowego zestawu parametrów. Na podstawie rezultatów przeprowadzonych badań symulacyjnych wyciągnięto wnioski.
Słowa kluczowe: zderzenie, podejście symultaniczne, podejście sekwencyjne, model Hertza
A COMPARATIVE ANALYSIS OF SEQUENTIAL AND
SIMULTANEOUS APPROACH IN COLLISION MODELING
Summary
In the article a comparative analysis of sequential and simultaneous approach in collision modeling has been con- ducted. The analysis has been based on a proposed system. A simultaneous and sequential approach has been used to calculate velocities of the bodies after collision. Those results has been compared with the results obtained from a simulation implemented basing on a model created in a time domain. The results obtained for an exempla- ry set of parameters have been given. Basing on the conducted simulations a summary has been made.
Keywords: collision, sequential approach, simultaneous approach, Hertz model
1. WSTĘP
Zjawisko zderzenia występuje w wielu układach tech- nicznych, zarówno będąc istotne w aspekcie działania danego układu (np. prasy, młoty, kraty inercyjne), jak i elementem ubocznym, będącym efektem zużycia i two- rzących się w jego rezultacie luzów w węzłach kinema- tycznych. Dominującym w literaturze podejściem w modelowaniu zjawiska zderzenia w układach wielobry- łowych (ang. multibody) jest podejście sekwencyjne [4, 8, 9]. Polega ono na podzieleniu modelowanego układu na pary, a następnie rozpatrywaniu zderzenia w każdej z par po kolei, rozpoczynając od pary, w której znajduje się bryła, inicjująca zderzenie. Podejście takie jest sto- sunkowo proste obliczeniowo i w zależności od konkret- nej konfiguracji ciał i dokładności, z jaką w danej sytu- acji znany jest współczynnik restytucji, daje dobre
rezultaty [2, 3]. Niemniej jednak w układach technicz- nych, w których pomiędzy elementami charakteryzują- cymi się wysoką sztywnością występują różnego rodzaju połączenia modelowane za pomocą więzów, uzasadnione wydaje się pytanie, czy do zderzenia, przynajmniej w sposób częściowy, nie dojdzie jednocześnie. Podejście, które zakłada, że do zderzenia dochodzi równocześnie pomiędzy wszystkimi ciałami biorącymi w nim udział nazwano symultanicznym. Wymaga ono rozwiązania algebraicznego układu równań, jest bardziej wymagające obliczeniowo od podejścia sekwencyjnego i znacznie mniej rozpowszechnione [6]. W niniejszym artykule podjęto próbę odpowiedzi na pytanie, czy wykorzystanie podejścia symultanicznego może być uzasadnione w modelowaniu zderzenia w układach technicznych.
W tym celu dokonano porównania rezultatów otrzym nych przy wykorzystaniu metody sekwencyjnej oraz symultanicznej. Następnie odniesiono je do wyników otrzymanych z modelu, w którym siła zderzenia opisana jest w funkcji lokalnej deformacji zderzającyc
Na podstawie przeprowadzonego porównania wyciągni to wnioski oraz dokonano podsumowania.
rozważania mogą zostać wykorzystane do wyznaczania impulsów sił zderzenia działających w różnego rodzaju węzłach kinematycznych układów techn
łożyskach tocznych), jak również w układach biomech nicznych (np. do oceny obciążeń stawu biodrowego)
2. ZDERZENIE - PODEJŚCIE SEKWENCYJNE
I SYMULTANICZNE
W celu udzielenia odpowiedzi na pytanie postawione we wstępie rozważono prosty, teoretyczny układ składający się z trzech kul. Dwie z nich znajdują się w spoczynku ich położenie jest dobrane w taki spos
uderzeniem pierwszej kuli znajdują się one Zostało to zobrazowane na rys. 1.
Rys. 1. Rozważany układ ciał
Każda z kul została oznaczona numerem od 1 do 3 masy oznaczono kolejno jako m1, m2
zderzeniem kule 2 oraz 3 znajdują się w spoczynku, kula 1 porusza się z prędkością v10. Oznaczenie prędkości posiada w indeksie dolnym dwie cyfry: pierwsza oznacza numer ciała, druga etap dla którego podawana jest prędkość. Odpowiednio 0 dla prędkości początkowej, 1 dla prędkości po zderzeniu kuli 1 z kulą 2, 2 dla prędk ści po zderzeniu kuli 2 z kulą 3. Dodatkowo w indeksie górnym oznaczenia prędkości pojawia się symbol „*”
oznaczający prędkość ciała po zakończeniu fazy kompr sji (tzn. w momencie, w którym prędkość względna zderzających się ciał jest równa 0). Ponieważ rozważany przypadek jest jednowymiarowy, obliczenia przeprow dzone zostały na wielkościach skalarnych.
tym celu dokonano porównania rezultatów otrzyma- nych przy wykorzystaniu metody sekwencyjnej oraz symultanicznej. Następnie odniesiono je do wyników otrzymanych z modelu, w którym siła zderzenia opisana eformacji zderzających się ciał.
Na podstawie przeprowadzonego porównania wyciągnię- to wnioski oraz dokonano podsumowania. Przedstawione rozważania mogą zostać wykorzystane do wyznaczania impulsów sił zderzenia działających w różnego rodzaju węzłach kinematycznych układów technicznych (np. w jak również w układach biomecha- nicznych (np. do oceny obciążeń stawu biodrowego)
PODEJŚCIE
W celu udzielenia odpowiedzi na pytanie postawione we teoretyczny układ składający się z trzech kul. Dwie z nich znajdują się w spoczynku, a ich położenie jest dobrane w taki sposób, że przed one w kontakcie.
Każda z kul została oznaczona numerem od 1 do 3. Ich oraz m3. Przed zderzeniem kule 2 oraz 3 znajdują się w spoczynku, kula . Oznaczenie prędkości posiada w indeksie dolnym dwie cyfry: pierwsza oznacza numer ciała, druga etap dla którego podawana jest Odpowiednio 0 dla prędkości początkowej, 1 dla prędkości po zderzeniu kuli 1 z kulą 2, 2 dla prędko-
Dodatkowo w indeksie pojawia się symbol „*”
po zakończeniu fazy kompre- sji (tzn. w momencie, w którym prędkość względna zderzających się ciał jest równa 0). Ponieważ rozważany est jednowymiarowy, obliczenia przeprowa- dzone zostały na wielkościach skalarnych. Współczynnik
restytucji dla zderzenia kuli 1 z kulą 2 oznaczono jako R12, a dla zderzenia kuli 2 z kulą 3 jako R
2.1 PODEJŚCIE SEKWENCYJNE
Zarówno podejście sekwencyjne
bazuje na mechanice klasycznej, gdzie podstawą rozw żania zderzenia jest zasada zachowania pędu. Jej wyk rzystanie wraz ze współczynnikiem restytucji pozwala na wyznaczenie prędkości zderzających się ciał po zako czeniu zderzenia. Rozważając
układzie przedstawionym na rys. 1 z wykorzystaniem metody sekwencyjnej, należy zbadać następujące kolejno po sobie zderzenia kuli 1 z kulą 2
kulą 3. Ponieważ kula 2 przed zderzeniem znajduje się w spoczynku, uderzenie kuli 1 nada jej prędkość, z którą następnie uderzy ona w kulę 3. W związku z tym, że zakończeniu fazy kompresji zderzenia prędkość względna zderzających się ciał wynosi 0, zapisać można następuj cą zależność (1):
∗ ∗ 0
Korzystając z faktu, że:
∗ ∆ ∗ ; ∗
równanie (1) przekształcić można do postaci:
∆ ∗ Wiedząc, że:
∆ ∗ oraz
∆ ∗
równanie (3) można przekształcić do postaci Π
gdzie:
Π - wartość impulsu siły zderzenia kuli 1 z kulą 2 po zakończeniu fazy kompresji zderzenia
oznacza fazę zderzenia, dla której został wyznaczony dany impuls, I – faza kompresji, II
Korzystając ze znanego współczynnika restytucji następnie wyznaczyć całkowity impuls siły (7):
Π Π Π Π Π
Znając całkowity impuls siły zderzenia kuli 1 z kulą 2, dany równaniem (7), wyznaczyć można prędkości obu kul po zderzeniu (8), (9):
1 1
1
restytucji dla zderzenia kuli 1 z kulą 2 oznaczono jako , a dla zderzenia kuli 2 z kulą 3 jako R23.
PODEJŚCIE SEKWENCYJNE
równo podejście sekwencyjne, jak i symultaniczne bazuje na mechanice klasycznej, gdzie podstawą rozwa- żania zderzenia jest zasada zachowania pędu. Jej wyko- współczynnikiem restytucji pozwala na wyznaczenie prędkości zderzających się ciał po zakoń-
najpierw zderzenie w układzie przedstawionym na rys. 1 z wykorzystaniem zbadać następujące kolejno po sobie zderzenia kuli 1 z kulą 2, a następnie kuli 2 z kulą 3. Ponieważ kula 2 przed zderzeniem znajduje się w uderzenie kuli 1 nada jej prędkość, z którą ie uderzy ona w kulę 3. W związku z tym, że po zakończeniu fazy kompresji zderzenia prędkość względna zapisać można następują-
(1)
∆ ∗ (2)
równanie (1) przekształcić można do postaci:
∆ ∗ 0 (3)
(4)
(5) równanie (3) można przekształcić do postaci (6):
(6)
wartość impulsu siły zderzenia kuli 1 z kulą 2 po zakończeniu fazy kompresji zderzenia, indeks górny oznacza fazę zderzenia, dla której został wyznaczony
faza kompresji, II – faza restytucji anego współczynnika restytucji, można następnie wyznaczyć całkowity impuls siły (7):
1 (7)
Znając całkowity impuls siły zderzenia kuli 1 z kulą 2, dany równaniem (7), wyznaczyć można prędkości obu
(8)
(9)
Postępując w analogiczny sposób, znaleźć można pręd- kości dla zderzenia kuli 2 z kulą 3 (należy tutaj zwrócić uwagę na fakt, że przyjmujemy, iż kula 2 przed zderze- niem z kulą 3 posiada prędkość nadaną jej w zderzeniu z kulą 1, daną równaniem (9)). Prowadzi to do następują- cych wyników (10), (11):
1 1 1 (10)
1 1 (11)
2.2 PODEJŚCIE SYMULTANICZNE
Rozważając zderzenie w układzie kul przedstawionym na rys. 1 z wykorzystaniem podejścia symultanicznego, w pierwszej kolejności rozwiązać należy układ równań (12).
Układ ten bazuje na założeniu czynionym w podejściu symultanicznym, mianowicie przyjęciu, że zderzenia kuli 1 z kulą 2 oraz kuli 2 z kulą 3 są jednoczesne.
∗ ∗ 0
∗ ∗ 0 (12)
Korzystając z zależności analogicznych do tych wykorzy- stanych w podejściu sekwencyjnym oraz zapisując układ równań (12) w postaci macierzowej, otrzymano (13):
! " #
# ! "$ %ΠΠ & ' 0 ( (13) Rozwiązanie układu równań (13) prowadzi do otrzyma- nia szukanych impulsów (14):
%ΠΠ & ) * (14)
co po wykorzystaniu znanych współczynników restytucji pozwala na wyznaczenie prędkości ciał po zakończeniu zderzeń (15):
1 1 (15)
+ , , -
(16)
, (17)
Wstępne porównanie otrzymanych wyników pozwala na stwierdzenie, że prowadzą one do otrzymania różnych prędkości po zakończeniu zderzenia. W szczególności różnice widoczne są w prędkości kuli 3, która w podej- ściu symultanicznym nie zależy w ogóle od współczynni- ka restytucji R12. Uwagę zwraca również prędkość kuli 1, która w podejściu sekwencyjnym nie zależy od masy kuli 3. Oba te spostrzeżenia pozwalają stwierdzić, że zarówno podejście sekwencyjne, jak i symultaniczne prowadzi do rezultatów, które nie do końca są zgodnie z oczekiwaniami bazującymi na logice, ponieważ należało- by przypuszczać, że współczynnik restytucji dla zderze- nia kuli 1 z kulą 2 wpłynie na prędkość kuli 3 (w związ-
ku z tym, że w zależności od wartości tego współczynni- ka mniej lub więcej energii zderzenia ulegnie dyssypacji) oraz, że masa kuli 3 będzie miała wpływ na prędkość kuli 1 po zakończeniu zderzenia. Zatem oba podejścia mają wady. Aby ocenić, które z nich daje wyniki bliższe rzeczywistości, zbudowano model, który zderzenie w układzie przedstawionym na rys. 1 opisuje w czasie, i wykorzystano go jako referencję.
3. ZDERZENIE –MODEL W DZIEDZINIE CZASU
Wykorzystanie mechaniki klasycznej w modelowaniu zderzenia nie pozwala na wyznaczenie sił będących jego rezultatem. Aby uzupełnić tę lukę, wykorzystano modele znane w mechanice kontaktu. Pozwalają one na wyraże- nie siły działającej na ciała w funkcji ich wzajemnej deformacji. Aby było to możliwe, zderzające się ciała, które w mechanice klasycznej uważane są za idealnie sztywne, postrzega się za odkształcalne w niewielkim obszarze, w którym dochodzi do kontaktu pomiędzy nimi. Najbardziej rozpowszechnionym modelem jest model Hertza, który podejście zaproponowane dla sta- tycznego kontaktu adaptuje do dynamicznego zjawiska zderzenia. Niemniej jednak w literaturze zaproponowano kilka różniących się podejść [1]. W związku z tym, że celem tworzonego modelu jest odniesienie wyników otrzymanych za jego pomocą do rezultatów otrzymanych z podejścia sekwencyjnego i symultanicznego, zależności opisującej siłę zderzenia w funkcji odkształcenia lokalne- go postawiono dwa wymagania:
1. Powinna ona umożliwiać modelowanie dyssypa- cji energii, zachodzącej w trakcie zderzenia.
2. Zależność powinna umożliwiać wyrażenie stop- nia dyssypacji energii poprzez współczynnik re- stytucji.
Po wstępnej selekcji wybrano dwie zależności, które spełniają to wymaganie. Pierwsza, zaproponowana w pracy [7], dana jest relacją (18) i bazuje na modelu Hertza-Stajermana:
. /01231 , 41 567 18 9: (18) gdzie:
F – siła zderzenia kH – współczynnik Hertza
Ψ – lokalna deformacja zderzających się ciał R – współczynnik restytucji
p – wykładnik zależny od stopnia szczelności przylegania powierzchni zderzających się ciał w otoczeniu punktu zderzenia, dla powierzchni drugiego rzędu, jaką jest powierzchnia kuli, wynosi on 1.5 [3]
Schematycznie siłę zderzenia w funkcji lokalnej deform cji zderzających się ciał dla zależności (18) przedstawi no na rys. 2. Druga z wyselekcjonowanych zależności została zaproponowana w pracy [5] i opisuje siłę zde nia następującą zależnością (19):
. ;1 <18 gdzie:
; == >>!?@=ABC?>"
< D1
μ FG H , @ABC
+?= ?>- '+?= ?>-
β ; == >>
Na rys. 3 przedstawiono schematycznie
zderzenia w funkcji odkształcenia lokalnego dla zależn ści danej wzorem (19), aby zobrazować różnice pomiędzy obiema relacjami.
Rys. 2 Wykres zależności siły od odkształcenia lokalnego dla modelu (18)
Rys. 3 Wykres zależności siły od odkształcenia lokalnego dla modelu (19)
Schematycznie siłę zderzenia w funkcji lokalnej deforma- cji zderzających się ciał dla zależności (18) przedstawio- Druga z wyselekcjonowanych zależności
i opisuje siłę zderze-
(19)
(20)
D1 (21)
ABC
- J @ABC(KL (22) (23) Na rys. 3 przedstawiono schematycznie wykres siły zderzenia w funkcji odkształcenia lokalnego dla zależno-
aby zobrazować różnice pomiędzy
ałcenia lokalnego dla
ałcenia lokalnego dla
Po przeanalizowaniu zalet i wad obu zależności zdec dowano się wykorzystać zależność pierwszą, daną ró naniem (18). Czynnikiem decydującym był fakt ogran czenia stosowalności zależności (19) jedynie do przypa ków, w których wartości współczynnika restytucji są większe od 0,75 [5].
Ponieważ siły działające w trakcie zderzenia osiągają znaczne wartości, a czas symulacji ograniczono jedynie do minimum wymaganego do zasymulowania zderzenia w modelu pominięte zostały pozo
by działać na kule, takie jak np. siły tarcia. Bazując na tych założeniach upraszczających
ruchu dla układu kul przedstawionych na rys. 1 można zapisać w postaci:
# MN /01 !1 , 41
# MN /01 !1 , 41 567
, 41 567+18 -9" O
# MN /01 !1 , 41 567+
1 M M
1 M M
18 M8 M8 18 M8 M8 OP 1 6QR 1PS 0
0 6QR 1PT 0 , V 1
Model układu przedstawionego na rys. 1, opisany ró naniami (24) – (31), zaimplementowany został z wyk rzystaniem języka Python oraz bibliotek dostępnych jako wolne oprogramowanie na licencji GNU GPL.
Wykorzystano następujące biblioteki:
- numpy - scipy - matplotlib - pylab
Rezultaty otrzymane przy wykorzystaniu stworzonej symulacji zaprezentowano w kolejnym rozdziale.
4. ANALIZA OTRZYMANYCH WYNIKÓW
W celu przeprowadzenia analizy wyników otrzymyw nych z modelu w dziedzinie czasu oraz w
sekwencyjnym i symultanicznym przyjęto różne zestawy parametrów. W niniejszym rozdziale przedstawiony zostanie przykładowy zestaw:
m1 = 11 kg – masa kuli 1 m2 = 7,1 kg – masa kuli 2
niu zalet i wad obu zależności zdecy- dowano się wykorzystać zależność pierwszą, daną rów- naniem (18). Czynnikiem decydującym był fakt ograni- czenia stosowalności zależności (19) jedynie do przypad- których wartości współczynnika restytucji są
Ponieważ siły działające w trakcie zderzenia osiągają a czas symulacji ograniczono jedynie do minimum wymaganego do zasymulowania zderzenia, w modelu pominięte zostały pozostałe siły, które mogły-
jak np. siły tarcia. Bazując na tych założeniach upraszczających, dynamiczne równania ruchu dla układu kul przedstawionych na rys. 1 można
41 567 18 9" O 0(24) 567+18 -9" O /01 !1
9 0 (25)
+18 -9" O 0 (26) (27) (28) (29) (30)
1,2 (31)
Model układu przedstawionego na rys. 1, opisany rów- zaimplementowany został z wyko- rzystaniem języka Python oraz bibliotek dostępnych jako wolne oprogramowanie na licencji GNU GPL.
Wykorzystano następujące biblioteki:
Rezultaty otrzymane przy wykorzystaniu stworzonej symulacji zaprezentowano w kolejnym rozdziale.
ANALIZA OTRZYMANYCH
W celu przeprowadzenia analizy wyników otrzymywa- nych z modelu w dziedzinie czasu oraz w podejściu
tanicznym przyjęto różne zestawy parametrów. W niniejszym rozdziale przedstawiony
m3 = 32,9 kg – masa kuli 3
v10 = 4 m/s – początkowa prędkość bijaka przed zderze- niem z grotem
v20 = v30 = 0 m/s – prędkość grota i bryły przed zderze- niem
E2 = E3 = 2,05·1011 Pa – moduł Younga materiału z jakiego został wykonany bijak i grot (stal)
r2 = 0,06 m – promień kuli 2 r3 = 0,1 m – promień kuli 3
R12 = 0,4 współczynnik restytucji dla zderzenia kuli 1 z kulą 2
R23 = 0,55 – współczynnik restytucji dla zderzenia kuli 2 z kulą 3
W przyjętych parametrach nie uwzględniono materiału oraz promienia kuli 1. Oba te parametry są konieczne w celu obliczenia współczynnika sprężystości Hertza.
Współczynnik ten występuje jednak jedynie w modelu w dziedzinie czasu, nie ma wpływu na rezultaty otrzymy- wane w podejściu sekwencyjnym i symultanicznym.
Można zatem oczekiwać, że w zależności od wzajemnej relacji pomiędzy współczynnikami Hertza (w niniejszym artykule oznaczonych jako k1H oraz k2H) model w dzie- dzinie czasu będzie generował inne wyniki, a tym samym będzie wpływał na rezultaty porównania z wynikami otrzymanymi metodą sekwencyjną i symultaniczną. Aby zbadać wpływ tego czynnika, postanowiono rozważyć trzy przypadki:
- k1H>>k2H
- k1H = k2H
- k1H<< k2H
Przeprowadzając kolejne symulacje, współczynnik k2H
obliczano na podstawie własności materiałowych i promieni kul. Współczynnik k1H wyznaczany był w odpowiedniej relacji do k2H, dlatego nie przyjmowano promienia i materiału kuli 1 (możliwe jest takie dobranie tych parametrów, aby spełnić postawione wymagania, w praktyce będą one narzucone, w celu poznawczym, stawianym w niniejszym artykule; jest to problem drugorzędny, dla ułatwienia interpretacji wyników przyjęto zatem opisane uproszczenie).
Otrzymane rezultaty zostały przedstawione w tab. 1, tab. 2 oraz tab. 3.
Tab. 1 Porównanie prędkości kul otrzymanych z podejścia sekwencyjnego, symultanicznego i czasowego dla k1H>> k2H
/0>>/0 (kY =100·kY) Podejście sekwencyjne
v12 = 1,8 [m/s]
v22 = -0,94 [m/s]
v32 = 0,94 [m/s]
Podejście symultaniczne
v12 = -0,39 [m/s]
v22 = 0,61 [m/s]
v32 = 1,34 [m/s]
Podejście „czasowe”
v12 = 0,13 [m/s]
v22 = 0,12 [m/s]
v32 = 1,23 [m/s]
Tab. 2 Porównanie prędkości kul otrzymanych z podej- ścia sekwencyjnego, symultanicznego i czasowego dla k1H= k2H
/0= /0 (kY =kY) Podejście sekwencyjne
v12 = 1,8 [m/s]
v22 = -0,94 [m/s]
v32 = 0,94 [m/s]
Podejście symultaniczne
v12 = -0,39 [m/s]
v22 = 0,61 [m/s]
v32 = 1,34 [m/s]
Podejście „czasowe”
v12 = -0,5 [m/s]
v22 = 0,59 [m/s]
v32 = 1,31 [m/s]
Tab. 3 Porównanie prędkości kul otrzymanych z podej- ścia sekwencyjnego, symultanicznego i czasowego dla k1H<< k2H
/0<</0 (kY =0,01·kY) Podejście sekwencyjne
v12 = 1,8 [m/s]
v22 = -0,94 [m/s]
v32 = 0,94 [m/s]
Podejście symultanicz- ne
v12 = -0,39 [m/s]
v22 = 0,61 [m/s]
v32 = 1,34 [m/s]
Podejście „czasowe”
v12 = -0,5 [m/s]
v22 = 1,03 [m/s]
v32 = 1,16 [m/s]
5. WNIOSKI
Wyniki zaprezentowane w tab. 1 do 3
pozostałe, przeprowadzone symulacje i porównania pozwalają zwrócić uwagę na kilka aspektów związanych z porównywanymi podejściami. Obliczenia bazujące na mechanice klasycznej i opierające się na założeniu, że zderzające się ciała są idealnie sztywne (a zatem czas zderzenia jest równy 0), w przypadku zderzeń zachodz cych w układach wielobryłowych (ang.
pomiędzy którymi narzucone są więzy
błędem. Podejście sekwencyjne daje gorsze rezultaty niż podejście symultaniczne, niemniej jednak warto zwr uwagę, że porównywanie wyników otrzymanych w tym podejściu może być problematyczne, ponieważ otrzym wane prędkości często będą mieć takie wartości, że powodować będą kolejne, wtórne zderzenia. Rezultaty otrzymywane w podejściu symultanicznym dają tym lepsze wyniki, im bardziej zderzenie inicjujące jest długotrwałe w odniesieniu do pozostałych. Wniosek wydaje się być logiczny, ponieważ „miękkie”, długotrw łe zderzenie rozpoczynające serię zderzeń w układzie wielobryłowym powoduje, że pozostałe zderz
Literatura
1. Gilardi G. and Sharf I.: Literature survey of contact dynamics modeling.
2002, X, 37, p.213-1239.
2. Goldsmith W.: Impact. The theory and physical
3. Gryboś R.: Teoria uderzenia w dyskretnych układach mechanicznych 4. Khulief Y. A.: Modeling of impact in multibody systems: an overview.
Nonlinear Dynamics" 2013, 8, 2, 021012.
5. Khulief Y. A. and Shabana A.: A continuous force model for the impact analysis of flexible multibody systems. "Mech. Mach. Theory" 1987,
6. Michalczyk J.: Analysis of collision between axle set of a rail
"Archiwum Budowy Maszyn" 1991, II, 38
7. Michalczyk J.: Phenomenon of force impulse restitution in collision modelling.
Applied Mechanics" 2008, IV, 46, p. 897
8. Shabana A. A.: Flexible multibody dynamics: review of past and recent developments.
Dynamics" 1997, 1, 2, p. 189–222.
9. Zhang Ding-Guo and Angeles J.: Impact dynamics of flexible 83, 1, p. 25–33.
Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.
http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl 1 do 3, jak również przeprowadzone symulacje i porównania pozwalają zwrócić uwagę na kilka aspektów związanych z porównywanymi podejściami. Obliczenia bazujące na mechanice klasycznej i opierające się na założeniu, że zderzające się ciała są idealnie sztywne (a zatem czas erzenia jest równy 0), w przypadku zderzeń zachodzą- cych w układach wielobryłowych (ang. multibody), pomiędzy którymi narzucone są więzy, obarczone są błędem. Podejście sekwencyjne daje gorsze rezultaty niż podejście symultaniczne, niemniej jednak warto zwrócić uwagę, że porównywanie wyników otrzymanych w tym podejściu może być problematyczne, ponieważ otrzymy- wane prędkości często będą mieć takie wartości, że powodować będą kolejne, wtórne zderzenia. Rezultaty icznym dają tym im bardziej zderzenie inicjujące jest esieniu do pozostałych. Wniosek ten wydaje się być logiczny, ponieważ „miękkie”, długotrwa- łe zderzenie rozpoczynające serię zderzeń w układzie wielobryłowym powoduje, że pozostałe zderzenia będą
zachodzić jeszcze w trakcie jego trwania, a zatem zał żenie czynione w podejściu symultanicznym, dotyczące równoczesności zachodzenia zderzeń
rzeczywistości. Konkludując, w sytuacjach, które zam delować można układem przedstawiony
artykule, wykorzystanie metody symultanicznej powinno prowadzić do otrzymania wyników bardziej zbliżonych do rzeczywistości.
Zasadnicze wydaje się porównanie wyników otrzym nych za pomocą badanych modeli z rezultatami obliczań wykonanych z zastosowaniem m
czonych. Porównanie takie uznać można za możliwe i jednocześnie ciekawe z punktu widzenia badawczo naukowego. Przedstawione modele rozszerzyć można do układów o dowolnej liczbie ciał. Warto jednak zwrócić uwagę, że wraz ze wzrostem liczby
jednoczesności zderzeń, czynione w podejściu symult nicznym, będzie obarczone coraz większym błędem.
Pracę wykonano w ramach Badań Statutowych prow dzonych w Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie Wydziale Inżynierii Mechanicznej i Robotyki, 11.11.130.174
Literature survey of contact dynamics modeling. "Mechanism and Machine Theory
Impact. The theory and physical behaviour of colliding solids. London: E. Arnold, 1960.
Teoria uderzenia w dyskretnych układach mechanicznych. Warszawa: PWN, 1969.
Modeling of impact in multibody systems: an overview. "Journal of Computational and 021012.
A continuous force model for the impact analysis of flexible multibody
" 1987, 22, 3, p. 213-224.
Analysis of collision between axle set of a rail-vehicle & vertical unevenness of a track.
, II, 38, p. 63-73.
Phenomenon of force impulse restitution in collision modelling. "Journal of Theoretical and IV, 46, p. 897-908.
Flexible multibody dynamics: review of past and recent developments. "Multibody System
Impact dynamics of flexible-joint robots. "Computers and Structures" 2005,
Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.
http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl
zachodzić jeszcze w trakcie jego trwania, a zatem zało- żenie czynione w podejściu symultanicznym, dotyczące
wnoczesności zachodzenia zderzeń, będzie bliższe rzeczywistości. Konkludując, w sytuacjach, które zamo- delować można układem przedstawionym w niniejszym artykule, wykorzystanie metody symultanicznej powinno prowadzić do otrzymania wyników bardziej zbliżonych
wydaje się porównanie wyników otrzyma- badanych modeli z rezultatami obliczań zastosowaniem metody elementów skoń- czonych. Porównanie takie uznać można za możliwe i jednocześnie ciekawe z punktu widzenia badawczo- naukowego. Przedstawione modele rozszerzyć można do układów o dowolnej liczbie ciał. Warto jednak zwrócić liczby ciał założenie o jednoczesności zderzeń, czynione w podejściu symulta- nicznym, będzie obarczone coraz większym błędem.
Pracę wykonano w ramach Badań Statutowych prowa- Hutniczej w Krakowie na Wydziale Inżynierii Mechanicznej i Robotyki, nr
Mechanism and Machine Theory"
E. Arnold, 1960.
Warszawa: PWN, 1969.
Journal of Computational and
A continuous force model for the impact analysis of flexible multibody
hicle & vertical unevenness of a track.
Journal of Theoretical and
Multibody System
Computers and Structures" 2005,
Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.
