Bilinear forms

Bilinear forms

Karol Kołodziej Institute of Physics University of Silesia, Katowice

http://kk.us.edu.pl

Karol Kołodziej Bilinear forms 1/14

Równanie Diraca

W ramach kursu Mechaniki Kwantowej pokazaliśmy relatywistyczną współzmienniczość równania Diraca

(i γ^µ∂µ− m) ψ(x) = 0,

gdzie macierze Diraca spełniają relacje antykomutacyjne {γ^µ, γ^ν} = γ^µγ^ν + γ^νγ^µ= 2g^µνI, µ, ν = 0, 1, 2, 3,

wraz z własnościami hermitowskości

γ^{0 †}= γ⁰, γ^{i †}= −γⁱ ⇒ γ^{µ †}= γ⁰γ^µγ⁰.

Karol Kołodziej Bilinear forms 2/14

Równanie Diraca

W ramach kursu Mechaniki Kwantowej pokazaliśmy relatywistyczną współzmienniczość równania Diraca

(i γ^µ∂µ− m) ψ(x) = 0,

gdzie macierze Diraca spełniają relacje antykomutacyjne {γ^µ, γ^ν} = γ^µγ^ν + γ^νγ^µ= 2g^µνI, µ, ν = 0, 1, 2, 3, wraz z własnościami hermitowskości

γ^{0 †}= γ⁰, γ^{i †}= −γⁱ

⇒ γ^{µ †}= γ⁰γ^µγ⁰.

Karol Kołodziej Bilinear forms 2/14

Równanie Diraca

W ramach kursu Mechaniki Kwantowej pokazaliśmy relatywistyczną współzmienniczość równania Diraca

(i γ^µ∂µ− m) ψ(x) = 0,

gdzie macierze Diraca spełniają relacje antykomutacyjne {γ^µ, γ^ν} = γ^µγ^ν + γ^νγ^µ= 2g^µνI, µ, ν = 0, 1, 2, 3, wraz z własnościami hermitowskości

γ^{0 †}= γ⁰, γ^{i †}= −γⁱ ⇒ γ^{µ †}= γ⁰γ^µγ⁰.

Karol Kołodziej Bilinear forms 2/14

Równanie Diraca

W ramach kursu Mechaniki Kwantowej pokazaliśmy relatywistyczną współzmienniczość równania Diraca

(i γ^µ∂µ− m) ψ(x) = 0,

gdzie macierze Diraca spełniają relacje antykomutacyjne {γ^µ, γ^ν} = γ^µγ^ν + γ^νγ^µ= 2g^µνI, µ, ν = 0, 1, 2, 3, wraz z własnościami hermitowskości

γ^{0 †}= γ⁰, γ^{i †}= −γⁱ ⇒ γ^{µ †}= γ⁰γ^µγ⁰.

Karol Kołodziej Bilinear forms 2/14

Relatywistyczna współzmienniczość

Przez relatywistyczną współzmienniczość rozumiemy niezmienniczość względem translacji czasoprzestrzennych i współzmienniczość względem transformacji Lorentza,czyli niejednorodnych transformacji z grupy Poincare’go:

x^µ → x^0µ= Λ^µ_νx^ν + a^µ,

gdzie Λ^µ_ν jest elementem macierzy transformacji Lorentza, która nie zmienia iloczynu skalarnego czterowektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego:

x → x⁰ = Λx , przy x⁰· y⁰ = x · y .

Karol Kołodziej Bilinear forms 3/14

Relatywistyczna współzmienniczość

Przez relatywistyczną współzmienniczość rozumiemy niezmienniczość względem translacji czasoprzestrzennych i współzmienniczość względem transformacji Lorentza,czyli niejednorodnych transformacji z grupy Poincare’go:

x^µ → x^0µ= Λ^µ_νx^ν + a^µ,

gdzie Λ^µ_ν jest elementem macierzy transformacji Lorentza, która nie zmienia iloczynu skalarnego czterowektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego:

x → x⁰ = Λx , przy x⁰· y⁰ = x · y .

Karol Kołodziej Bilinear forms 3/14

Relatywistyczna współzmienniczość

Przez relatywistyczną współzmienniczość rozumiemy niezmienniczość względem translacji czasoprzestrzennych i współzmienniczość względem transformacji Lorentza,czyli niejednorodnych transformacji z grupy Poincare’go:

x^µ → x^0µ= Λ^µ_νx^ν + a^µ,

gdzie Λ^µ_ν jest elementem macierzy transformacji Lorentza, która nie zmienia iloczynu skalarnego czterowektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego:

x → x⁰ = Λx , przy x⁰· y⁰ = x · y .

Karol Kołodziej Bilinear forms 3/14

Relatywistyczna współzmienniczość

Przez relatywistyczną współzmienniczość rozumiemy niezmienniczość względem translacji czasoprzestrzennych i współzmienniczość względem transformacji Lorentza,czyli niejednorodnych transformacji z grupy Poincare’go:

x^µ → x^0µ= Λ^µ_νx^ν + a^µ,

gdzie Λ^µ_ν jest elementem macierzy transformacji Lorentza, która nie zmienia iloczynu skalarnego czterowektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego:

x → x⁰ = Λx , przy x⁰· y⁰ = x · y .

Karol Kołodziej Bilinear forms 3/14

Relatywistyczna współzmienniczość

Iloczyn skalarny czterowektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego pozostanie niezmieniony jeśli

g_{µ ν}Λ^µ_ρΛ^ν_σ = g_{ρ σ}, albo w formie macierzowej

Λ^TΛ = I .

Skąd obliczając obustronnie wyznacznik dostaniemy

det^Λ^TΛ^= det (I ) ⇒ [det (Λ)]² = 1 ⇒ det (Λ) = ±1 det (Λ) = 1 ⇒ transformacjewłaściwe, det (Λ) = −1 ⇒ transformacjeniewłaściwe.

Transformację niewłaściwą możemy zrealizować przez złożenie transformacji właściwej i odbicia przestrzennego lub czasowego.

Karol Kołodziej Bilinear forms 4/14

Relatywistyczna współzmienniczość

Iloczyn skalarny czterowektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego pozostanie niezmieniony jeśli

g_{µ ν}Λ^µ_ρΛ^ν_σ = g_{ρ σ}, albo w formie macierzowej

Λ^TΛ = I .

Skąd obliczając obustronnie wyznacznik dostaniemy det^Λ^TΛ^= det (I )

⇒ [det (Λ)]² = 1 ⇒ det (Λ) = ±1 det (Λ) = 1 ⇒ transformacjewłaściwe, det (Λ) = −1 ⇒ transformacjeniewłaściwe.

Transformację niewłaściwą możemy zrealizować przez złożenie transformacji właściwej i odbicia przestrzennego lub czasowego.

Karol Kołodziej Bilinear forms 4/14

Relatywistyczna współzmienniczość

Iloczyn skalarny czterowektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego pozostanie niezmieniony jeśli

g_{µ ν}Λ^µ_ρΛ^ν_σ = g_{ρ σ}, albo w formie macierzowej

Λ^TΛ = I .

Skąd obliczając obustronnie wyznacznik dostaniemy det^Λ^TΛ^= det (I ) ⇒ [det (Λ)]² = 1

⇒ det (Λ) = ±1 det (Λ) = 1 ⇒ transformacjewłaściwe, det (Λ) = −1 ⇒ transformacjeniewłaściwe.

Transformację niewłaściwą możemy zrealizować przez złożenie transformacji właściwej i odbicia przestrzennego lub czasowego.

Karol Kołodziej Bilinear forms 4/14

Relatywistyczna współzmienniczość

Iloczyn skalarny czterowektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego pozostanie niezmieniony jeśli

g_{µ ν}Λ^µ_ρΛ^ν_σ = g_{ρ σ}, albo w formie macierzowej

Λ^TΛ = I .

Skąd obliczając obustronnie wyznacznik dostaniemy

det^Λ^TΛ^= det (I ) ⇒ [det (Λ)]² = 1 ⇒ det (Λ) = ±1

det (Λ) = 1 ⇒ transformacjewłaściwe, det (Λ) = −1 ⇒ transformacjeniewłaściwe.

Transformację niewłaściwą możemy zrealizować przez złożenie transformacji właściwej i odbicia przestrzennego lub czasowego.

Karol Kołodziej Bilinear forms 4/14

Relatywistyczna współzmienniczość

Iloczyn skalarny czterowektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego pozostanie niezmieniony jeśli

g_{µ ν}Λ^µ_ρΛ^ν_σ = g_{ρ σ}, albo w formie macierzowej

Λ^TΛ = I .

Skąd obliczając obustronnie wyznacznik dostaniemy

det^Λ^TΛ^= det (I ) ⇒ [det (Λ)]² = 1 ⇒ det (Λ) = ±1 det (Λ) = 1 ⇒ transformacjewłaściwe,

det (Λ) = −1 ⇒ transformacjeniewłaściwe.

Transformację niewłaściwą możemy zrealizować przez złożenie transformacji właściwej i odbicia przestrzennego lub czasowego.

Karol Kołodziej Bilinear forms 4/14

Relatywistyczna współzmienniczość

Iloczyn skalarny czterowektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego pozostanie niezmieniony jeśli

g_{µ ν}Λ^µ_ρΛ^ν_σ = g_{ρ σ}, albo w formie macierzowej

Λ^TΛ = I .

Skąd obliczając obustronnie wyznacznik dostaniemy

det^Λ^TΛ^= det (I ) ⇒ [det (Λ)]² = 1 ⇒ det (Λ) = ±1 det (Λ) = 1 ⇒ transformacjewłaściwe, det (Λ) = −1 ⇒ transformacjeniewłaściwe.

Transformację niewłaściwą możemy zrealizować przez złożenie transformacji właściwej i odbicia przestrzennego lub czasowego.

Karol Kołodziej Bilinear forms 4/14

Relatywistyczna współzmienniczość

Iloczyn skalarny czterowektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego pozostanie niezmieniony jeśli

g_{µ ν}Λ^µ_ρΛ^ν_σ = g_{ρ σ}, albo w formie macierzowej

Λ^TΛ = I .

Skąd obliczając obustronnie wyznacznik dostaniemy

det^Λ^TΛ^= det (I ) ⇒ [det (Λ)]² = 1 ⇒ det (Λ) = ±1 det (Λ) = 1 ⇒ transformacjewłaściwe, det (Λ) = −1 ⇒ transformacjeniewłaściwe.

Transformację niewłaściwą możemy zrealizować przez złożenie transformacji właściwej i odbicia przestrzennego lub czasowego.

Karol Kołodziej Bilinear forms 4/14

Relatywistyczna współzmienniczość

Iloczyn skalarny czterowektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego pozostanie niezmieniony jeśli

g_{µ ν}Λ^µ_ρΛ^ν_σ = g_{ρ σ}, albo w formie macierzowej

Λ^TΛ = I .

Skąd obliczając obustronnie wyznacznik dostaniemy

det^Λ^TΛ^= det (I ) ⇒ [det (Λ)]² = 1 ⇒ det (Λ) = ±1 det (Λ) = 1 ⇒ transformacjewłaściwe, det (Λ) = −1 ⇒ transformacjeniewłaściwe.

Transformację niewłaściwą możemy zrealizować przez złożenie transformacji właściwej i odbicia przestrzennego lub czasowego.

Karol Kołodziej Bilinear forms 4/14

Spinory Diraca

Obiekt, który przy transformacjach Lorentzax → x⁰ = Λx transformuje się wg prawa

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ),

gdzie nieosobliwa macierz S (Λ) spełnia warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν, µ = 0, 1, 2, 3, nazywamyspinorem Diraca.

Pokazaliśmy, że dla właściwej (ciągłej) transformacji Lorentza macierz S (Λ) ma postać:

S (Λ) = e^{−4iσαβωαβ}, gdzie macierze σαβ mają postać:

σ_αβ = i

2[γ_α, γ_β] .

Karol Kołodziej Bilinear forms 5/14

Spinory Diraca

Obiekt, który przy transformacjach Lorentzax → x⁰ = Λx transformuje się wg prawa

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ), gdzie nieosobliwa macierz S (Λ) spełnia warunek

S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν, µ = 0, 1, 2, 3,

nazywamyspinorem Diraca.

Pokazaliśmy, że dla właściwej (ciągłej) transformacji Lorentza macierz S (Λ) ma postać:

S (Λ) = e^{−4iσαβωαβ}, gdzie macierze σαβ mają postać:

σ_αβ = i

2[γ_α, γ_β] .

Karol Kołodziej Bilinear forms 5/14

Spinory Diraca

Obiekt, który przy transformacjach Lorentzax → x⁰ = Λx transformuje się wg prawa

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ), gdzie nieosobliwa macierz S (Λ) spełnia warunek

S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν, µ = 0, 1, 2, 3, nazywamyspinorem Diraca.

Pokazaliśmy, że dla właściwej (ciągłej) transformacji Lorentza macierz S (Λ) ma postać:

S (Λ) = e^{−4iσαβωαβ}, gdzie macierze σαβ mają postać:

σ_αβ = i

2[γ_α, γ_β] .

Karol Kołodziej Bilinear forms 5/14

Spinory Diraca

Obiekt, który przy transformacjach Lorentzax → x⁰ = Λx transformuje się wg prawa

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ), gdzie nieosobliwa macierz S (Λ) spełnia warunek

S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν, µ = 0, 1, 2, 3, nazywamyspinorem Diraca.

Pokazaliśmy, że dla właściwej (ciągłej) transformacji Lorentza macierz S (Λ) ma postać:

S (Λ) = e^{−4iσαβωαβ}, gdzie macierze σαβ mają postać:

σαβ = i

2[γα, γβ] .

Karol Kołodziej Bilinear forms 5/14

Spinory Diraca

Obiekt, który przy transformacjach Lorentzax → x⁰ = Λx transformuje się wg prawa

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ), gdzie nieosobliwa macierz S (Λ) spełnia warunek

S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν, µ = 0, 1, 2, 3, nazywamyspinorem Diraca.

Pokazaliśmy, że dla właściwej (ciągłej) transformacji Lorentza macierz S (Λ) ma postać:

S (Λ) = e^{−4iσαβωαβ}, gdzie macierze σαβ mają postać:

σαβ = i

2[γα, γβ] .

Karol Kołodziej Bilinear forms 5/14

Spinory Diraca

Pokazaliśmy również, że naturalne jest założenie, żespinor Diraca ma postać

ψ(x ) = ξ(x ) η(x )

! ,

a prawo transformacyjne przybiera postać następującą ψ(x ) → ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ) = e^{ϕ·~ ~σ2+i ~θ·~σ2} 0

0 e^{−~ϕ·~σ2+i ~θ·~σ2}

! ξ(x ) η(x )

! ,

gdzie dwuskładnikowe spinory Pauliego ξ(x ) i η(x ) przy obrotach o dowolny kąt~θi pchnięciach lorentzowskich opisywanych 3

parametramiϕ,~ przy czymthϕ = β = ^v_c,transformują się następująco

ξ(x ) → ξ⁰(x⁰) = e^{ϕ·~ ~σ2+i ~θ·~σ2}ξ(x ) η(x ) → η⁰(x⁰) = e^{−~ϕ·~σ2+i ~θ·~σ2}η(x ).

Karol Kołodziej Bilinear forms 6/14

Spinory Pauliego

Mówimy przy tym, żereprezentacja grupy Lorentza dla spinu ¹₂,a dokładnie jejgrupy nakrywającej SL(2, C), jest przywiedlna (redukowalna) do sumy jej dwóch nierównoważnych reprezentacji (¹₂, 0) ⊕ (0,¹₂). Dlatego spinor Diraca często nazywany jest bispinorem.

Więcej na ten temat można znaleźć np. w § 2.3 podręcznika L.H. Ryder Quantum Field Theory.

Spinory Pauliegoξ i η identyfikujemy odpowiednio ze spinorami prawymilewym, o których będzie mowa w dalszej części kursu,

ξ → ˜ϕ_R, η → ˜ϕ_L.

Zadanie. Pokazać, że przy czystym pchnięciu lorentzowskim, dla którego ~θ = 0, spinor ϕ_R(x ) transformuje się następująco

˜

ϕ_R(x ) → e^{ϕ·~ ~σ2}ϕ˜_R(x ) =

 ch

ϕ 2



+ ~σ · ˆk sh

ϕ 2



˜ ϕ_R(x ), gdzie ˆk = ^~k

|~k| jest wektorem jednostkowym w kierunku pchnięcia.

Karol Kołodziej Bilinear forms 7/14

Spinory Pauliego

Mówimy przy tym, żereprezentacja grupy Lorentza dla spinu ¹₂,a dokładnie jejgrupy nakrywającej SL(2, C), jest przywiedlna (redukowalna) do sumy jej dwóch nierównoważnych reprezentacji (¹₂, 0) ⊕ (0,¹₂). Dlatego spinor Diraca często nazywany jest bispinorem.Więcej na ten temat można znaleźć np. w § 2.3 podręcznika L.H. Ryder Quantum Field Theory.

Spinory Pauliegoξ i η identyfikujemy odpowiednio ze spinorami prawymilewym, o których będzie mowa w dalszej części kursu,

ξ → ˜ϕ_R, η → ˜ϕ_L.

Zadanie. Pokazać, że przy czystym pchnięciu lorentzowskim, dla którego ~θ = 0, spinor ϕ_R(x ) transformuje się następująco

˜

ϕ_R(x ) → e^{ϕ·~ ~σ2}ϕ˜_R(x ) =

 ch

ϕ 2



+ ~σ · ˆk sh

ϕ 2



˜ ϕ_R(x ), gdzie ˆk = ^~k

|~k| jest wektorem jednostkowym w kierunku pchnięcia.

Karol Kołodziej Bilinear forms 7/14

Spinory Pauliego

Mówimy przy tym, żereprezentacja grupy Lorentza dla spinu ¹₂,a dokładnie jejgrupy nakrywającej SL(2, C), jest przywiedlna (redukowalna) do sumy jej dwóch nierównoważnych reprezentacji (¹₂, 0) ⊕ (0,¹₂). Dlatego spinor Diraca często nazywany jest bispinorem. Więcej na ten temat można znaleźć np. w § 2.3 podręcznika L.H. Ryder Quantum Field Theory.

Spinory Pauliegoξ i η identyfikujemy odpowiednio ze spinorami prawymilewym, o których będzie mowa w dalszej części kursu,

ξ → ˜ϕ_R, η → ˜ϕ_L.

Zadanie. Pokazać, że przy czystym pchnięciu lorentzowskim, dla którego ~θ = 0, spinor ϕ_R(x ) transformuje się następująco

˜

ϕ_R(x ) → e^{ϕ·~ ~σ2}ϕ˜_R(x ) =

 ch

ϕ 2



+ ~σ · ˆk sh

ϕ 2



˜ ϕ_R(x ), gdzie ˆk = ^~k

|~k| jest wektorem jednostkowym w kierunku pchnięcia.

Karol Kołodziej Bilinear forms 7/14

Spinory Pauliego

Mówimy przy tym, żereprezentacja grupy Lorentza dla spinu ¹₂,a dokładnie jejgrupy nakrywającej SL(2, C), jest przywiedlna (redukowalna) do sumy jej dwóch nierównoważnych reprezentacji (¹₂, 0) ⊕ (0,¹₂). Dlatego spinor Diraca często nazywany jest bispinorem. Więcej na ten temat można znaleźć np. w § 2.3 podręcznika L.H. Ryder Quantum Field Theory.

Spinory Pauliegoξ i η identyfikujemy odpowiednio ze spinorami prawymilewym, o których będzie mowa w dalszej części kursu,

ξ → ˜ϕ_R, η → ˜ϕ_L.

Zadanie. Pokazać, że przy czystym pchnięciu lorentzowskim, dla którego ~θ = 0, spinor ϕ_R(x ) transformuje się następująco

˜

ϕ_R(x ) → e^{ϕ·~ ~σ2}ϕ˜_R(x ) =

 ch

ϕ 2



+ ~σ · ˆk sh

ϕ 2



˜ ϕ_R(x ), gdzie ˆk = ^~k

|~k| jest wektorem jednostkowym w kierunku pchnięcia.

Karol Kołodziej Bilinear forms 7/14

Spinory Diraca

Pokazaliśmy również jak transformuje się barowany spinor Diraca.

Dla spinora ψ(x ) zachodzi

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ).

Dokonajmy sprzężenia diracowskiego

ψ¯⁰(x⁰) = ψ⁰(x⁰)^†γ⁰= ψ^†(x )S^†(Λ)γ⁰ = ψ^†(x )γ⁰γ⁰S^†(Λ)γ⁰

= ψ(x )γ¯ ⁰S^†(Λ)γ⁰.

Dla ciągłej transformacji Lorentza mamy γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = γ^0e^{−4iσαβωαβ†}γ⁰ = γ⁰e^4iσ

† αβω^αβ

γ⁰ =e^4iγ0σ

† αβγ⁰ω^αβ

.

Karol Kołodziej Bilinear forms 8/14

Spinory Diraca

Pokazaliśmy również jak transformuje się barowany spinor Diraca.

Dla spinora ψ(x ) zachodzi

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ).

Dokonajmy sprzężenia diracowskiego ψ¯⁰(x⁰)

= ψ⁰(x⁰)^†γ⁰= ψ^†(x )S^†(Λ)γ⁰ = ψ^†(x )γ⁰γ⁰S^†(Λ)γ⁰

= ψ(x )γ¯ ⁰S^†(Λ)γ⁰.

Dla ciągłej transformacji Lorentza mamy γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = γ^0e^{−4iσαβωαβ†}γ⁰ = γ⁰e^4iσ

† αβω^αβ

γ⁰ =e^4iγ0σ

† αβγ⁰ω^αβ

.

Karol Kołodziej Bilinear forms 8/14

Spinory Diraca

Pokazaliśmy również jak transformuje się barowany spinor Diraca.

Dla spinora ψ(x ) zachodzi

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ).

Dokonajmy sprzężenia diracowskiego ψ¯⁰(x⁰) =

ψ⁰(x⁰)^†γ⁰= ψ^†(x )S^†(Λ)γ⁰ = ψ^†(x )γ⁰γ⁰S^†(Λ)γ⁰

= ψ(x )γ¯ ⁰S^†(Λ)γ⁰.

Dla ciągłej transformacji Lorentza mamy γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = γ^0e^{−4iσαβωαβ†}γ⁰ = γ⁰e^4iσ

† αβω^αβ

γ⁰ =e^4iγ0σ

† αβγ⁰ω^αβ

.

Karol Kołodziej Bilinear forms 8/14

Spinory Diraca

Pokazaliśmy również jak transformuje się barowany spinor Diraca.

Dla spinora ψ(x ) zachodzi

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ).

Dokonajmy sprzężenia diracowskiego ψ¯⁰(x⁰) = ψ⁰(x⁰)^†γ⁰

= ψ^†(x )S^†(Λ)γ⁰ = ψ^†(x )γ⁰γ⁰S^†(Λ)γ⁰

= ψ(x )γ¯ ⁰S^†(Λ)γ⁰.

Dla ciągłej transformacji Lorentza mamy γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = γ^0e^{−4iσαβωαβ†}γ⁰ = γ⁰e^4iσ

† αβω^αβ

γ⁰ =e^4iγ0σ

† αβγ⁰ω^αβ

.

Karol Kołodziej Bilinear forms 8/14

Spinory Diraca

Pokazaliśmy również jak transformuje się barowany spinor Diraca.

Dla spinora ψ(x ) zachodzi

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ).

Dokonajmy sprzężenia diracowskiego ψ¯⁰(x⁰) = ψ⁰(x⁰)^†γ⁰= ψ^†(x )S^†(Λ)γ⁰

= ψ^†(x )γ⁰γ⁰S^†(Λ)γ⁰

= ψ(x )γ¯ ⁰S^†(Λ)γ⁰.

Dla ciągłej transformacji Lorentza mamy γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = γ^0e^{−4iσαβωαβ†}γ⁰ = γ⁰e^4iσ

† αβω^αβ

γ⁰ =e^4iγ0σ

† αβγ⁰ω^αβ

.

Karol Kołodziej Bilinear forms 8/14

Spinory Diraca

Pokazaliśmy również jak transformuje się barowany spinor Diraca.

Dla spinora ψ(x ) zachodzi

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ).

Dokonajmy sprzężenia diracowskiego

ψ¯⁰(x⁰) = ψ⁰(x⁰)^†γ⁰= ψ^†(x )S^†(Λ)γ⁰ = ψ^†(x )γ⁰γ⁰S^†(Λ)γ⁰

= ψ(x )γ¯ ⁰S^†(Λ)γ⁰.

Dla ciągłej transformacji Lorentza mamy γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = γ^0e^{−4iσαβωαβ†}γ⁰ = γ⁰e^4iσ

† αβω^αβ

γ⁰ =e^4iγ0σ

† αβγ⁰ω^αβ

.

Karol Kołodziej Bilinear forms 8/14

Spinory Diraca

Pokazaliśmy również jak transformuje się barowany spinor Diraca.

Dla spinora ψ(x ) zachodzi

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ).

Dokonajmy sprzężenia diracowskiego

ψ¯⁰(x⁰) = ψ⁰(x⁰)^†γ⁰= ψ^†(x )S^†(Λ)γ⁰ = ψ^†(x )γ⁰γ⁰S^†(Λ)γ⁰

=

ψ(x )γ¯ ⁰S^†(Λ)γ⁰.

Dla ciągłej transformacji Lorentza mamy γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = γ^0e^{−4iσαβωαβ†}γ⁰ = γ⁰e^4iσ

† αβω^αβ

γ⁰ =e^4iγ0σ

† αβγ⁰ω^αβ

.

Karol Kołodziej Bilinear forms 8/14

Spinory Diraca

Pokazaliśmy również jak transformuje się barowany spinor Diraca.

Dla spinora ψ(x ) zachodzi

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ).

Dokonajmy sprzężenia diracowskiego

ψ¯⁰(x⁰) = ψ⁰(x⁰)^†γ⁰= ψ^†(x )S^†(Λ)γ⁰ = ψ^†(x )γ⁰γ⁰S^†(Λ)γ⁰

= ψ(x )γ¯ ⁰S^†(Λ)γ⁰.

Dla ciągłej transformacji Lorentza mamy γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = γ^0e^{−4iσαβωαβ†}γ⁰ = γ⁰e^4iσ

† αβω^αβ

γ⁰ =e^4iγ0σ

† αβγ⁰ω^αβ

.

Karol Kołodziej Bilinear forms 8/14

Spinory Diraca

Pokazaliśmy również jak transformuje się barowany spinor Diraca.

Dla spinora ψ(x ) zachodzi

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ).

Dokonajmy sprzężenia diracowskiego

ψ¯⁰(x⁰) = ψ⁰(x⁰)^†γ⁰= ψ^†(x )S^†(Λ)γ⁰ = ψ^†(x )γ⁰γ⁰S^†(Λ)γ⁰

= ψ(x )γ¯ ⁰S^†(Λ)γ⁰.

Dla ciągłej transformacji Lorentza mamy γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = γ^0e^{−4iσαβωαβ†}γ⁰ =

γ⁰e^4iσ

† αβω^αβ

γ⁰ =e^4iγ0σ

† αβγ⁰ω^αβ

.

Karol Kołodziej Bilinear forms 8/14

Spinory Diraca

Pokazaliśmy również jak transformuje się barowany spinor Diraca.

Dla spinora ψ(x ) zachodzi

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ).

Dokonajmy sprzężenia diracowskiego

ψ¯⁰(x⁰) = ψ⁰(x⁰)^†γ⁰= ψ^†(x )S^†(Λ)γ⁰ = ψ^†(x )γ⁰γ⁰S^†(Λ)γ⁰

= ψ(x )γ¯ ⁰S^†(Λ)γ⁰.

Dla ciągłej transformacji Lorentza mamy γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = γ^0e^{−4iσαβωαβ†}γ⁰ =γ⁰e^4iσ

† αβω^αβ

γ⁰ =

e^4iγ0σ

† αβγ⁰ω^αβ

.

Karol Kołodziej Bilinear forms 8/14

Spinory Diraca

Pokazaliśmy również jak transformuje się barowany spinor Diraca.

Dla spinora ψ(x ) zachodzi

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ).

Dokonajmy sprzężenia diracowskiego

ψ¯⁰(x⁰) = ψ⁰(x⁰)^†γ⁰= ψ^†(x )S^†(Λ)γ⁰ = ψ^†(x )γ⁰γ⁰S^†(Λ)γ⁰

= ψ(x )γ¯ ⁰S^†(Λ)γ⁰.

Dla ciągłej transformacji Lorentza mamy γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = γ^0e^{−4iσαβωαβ†}γ⁰ = γ⁰e^4iσ

† αβω^αβ

γ⁰ =e^4iγ0σ

† αβγ⁰ω^αβ

.

Karol Kołodziej Bilinear forms 8/14

Spinory Diraca

Pokazaliśmy również jak transformuje się barowany spinor Diraca.

Dla spinora ψ(x ) zachodzi

ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ).

Dokonajmy sprzężenia diracowskiego

ψ¯⁰(x⁰) = ψ⁰(x⁰)^†γ⁰= ψ^†(x )S^†(Λ)γ⁰ = ψ^†(x )γ⁰γ⁰S^†(Λ)γ⁰

= ψ(x )γ¯ ⁰S^†(Λ)γ⁰.

Dla ciągłej transformacji Lorentza mamy γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = γ^0e^{−4iσαβωαβ†}γ⁰ = γ⁰e^4iσ

† αβω^αβ

γ⁰ =e^4iγ0σ

† αβγ⁰ω^αβ

.

Karol Kołodziej Bilinear forms 8/14

Spinory Diraca

Obliczmy wyrażenie w wykładniku γ⁰σ^†_αβγ⁰ =

γ⁰

i

2[γ_α, γ_β]

†

γ⁰ = − i

2γ⁰(γ_αγ_β− γ_βγ_α)^†γ⁰

= − i

2γ^0γ^†_βγ_α^† − γ_α^†γ_β^†γ⁰. ale γ^†_µ= γ⁰γµγ⁰, więc

γ⁰σ^†_αβγ⁰ = −i

2γ^0γ⁰γβγ⁰γ⁰γαγ⁰− γ⁰γαγ⁰γ⁰γβγ^0γ⁰

= i

2[γ_α, γ_β] =σ_αβ.

W takim razie dla ciągłej transformacji Lorentza zachodzi γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = e^{+4iσαβωαβ} = S⁻¹(Λ).

Karol Kołodziej Bilinear forms 9/14

Spinory Diraca

Obliczmy wyrażenie w wykładniku γ⁰σ^†_αβγ⁰ = γ⁰

i

2[γ_α, γ_β]

†

γ⁰ =

− i

2γ⁰(γ_αγ_β− γ_βγ_α)^†γ⁰

= − i

2γ^0γ^†_βγ_α^† − γ_α^†γ_β^†γ⁰. ale γ^†_µ= γ⁰γµγ⁰, więc

γ⁰σ^†_αβγ⁰ = −i

2γ^0γ⁰γβγ⁰γ⁰γαγ⁰− γ⁰γαγ⁰γ⁰γβγ^0γ⁰

= i

2[γ_α, γ_β] =σ_αβ.

W takim razie dla ciągłej transformacji Lorentza zachodzi γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = e^{+4iσαβωαβ} = S⁻¹(Λ).

Karol Kołodziej Bilinear forms 9/14

Spinory Diraca

Obliczmy wyrażenie w wykładniku γ⁰σ^†_αβγ⁰ = γ⁰

i

2[γ_α, γ_β]

†

γ⁰ = − i

2γ⁰(γ_αγ_β − γ_βγ_α)^†γ⁰

= − i

2γ^0γ^†_βγ_α^† − γ_α^†γ_β^†γ⁰. ale γ^†_µ= γ⁰γµγ⁰, więc

γ⁰σ^†_αβγ⁰ = −i

2γ^0γ⁰γβγ⁰γ⁰γαγ⁰− γ⁰γαγ⁰γ⁰γβγ^0γ⁰

= i

2[γ_α, γ_β] =σ_αβ.

W takim razie dla ciągłej transformacji Lorentza zachodzi γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = e^{+4iσαβωαβ} = S⁻¹(Λ).

Karol Kołodziej Bilinear forms 9/14

Spinory Diraca

Obliczmy wyrażenie w wykładniku γ⁰σ^†_αβγ⁰ = γ⁰

i

2[γ_α, γ_β]

†

γ⁰ = − i

2γ⁰(γ_αγ_β − γ_βγ_α)^†γ⁰

=

− i

2γ^0γ^†_βγ_α^† − γ_α^†γ_β^†γ⁰. ale γ^†_µ= γ⁰γµγ⁰, więc

γ⁰σ^†_αβγ⁰ = −i

2γ^0γ⁰γβγ⁰γ⁰γαγ⁰− γ⁰γαγ⁰γ⁰γβγ^0γ⁰

= i

2[γ_α, γ_β] =σ_αβ.

W takim razie dla ciągłej transformacji Lorentza zachodzi γ⁰S^†(Λ)γ⁰ = e^{+4iσαβωαβ} = S⁻¹(Λ).

Karol Kołodziej Bilinear forms 9/14