Algorytmy aproksymacyjne część II
1. (Algorytmy zachłanne dla problemu plecakowego) Rozważ 3 strategie zachłanne dla problemu plecakowego, tzn. wybieramy przedmioty w kolejności a) malejących cen, b) rosnących rozmiarów, c) malejących ilorazów cena / rozmiar. Pokaż, że żadna z tych strategii nie daje stałego współczynnika aproksymacji.
2. (Algorytm 2-aproksymacyjny dla problemu plecakowego) Rozważmy algo- rytm c) z poprzedniego zadania. Załóżmy, że algorytm wybrał kolejno przedmioty a1, . . . , ak−1, natomiast kolejny przedmiot akjuż się nie zmieścił (zakładamy, że każdy przedmiot osobno mieści się w plecaku). Na końcu algorytmu wybieramy lepsze z dwóch rozwiązań: {a1, . . . , ak−1} lub {ak}. Pokaż, że tak zmodyfikowany algorytm ma współczynnik aproksymacji 2.
3. Podaj wielomianowy schemat aproksymacyjny (PTAS) dla problemu plecakowego.
(Zadanie rozwiązywane z pomocą prowadzącego, który zdefiniuje PTAS i FPTAS.) 4. Rozważmy następujący algorytm dla problemu (ważonego) pokrycia wierzchołkowego:
rozwiąż poniższy program i zwróć wszystkie wierzchołki v takie że xv > 0.
min P
v∈V xv
xu+ xv ≥ 1 dla każdego uv ∈ E xv ≥ 0 dla każdego v ∈ V ,
Pokaż, że wierzchołki wielościanu tego programu liniowego są półcałkowitoliczbowe, tzn. zmienne mają wartości 0, 12 lub 1. Jaki jest współczynnik aproksymacji tego algorytmu?
5. (Opcjonalne) Orientacją grafu nieskierowanego G = (V, E) nazywamy dowolny graf skierowany G0, który możemy otrzymać z G zastępując każdą z jego krawędzi uv krawędzią skierowaną (u, v) lub (v, u).
Rozważmy następujący problem. Dany jest graf nieskierowany G = (V, E). Dla każ- dego wierzchołka v ∈ V określone są dwie liczby całkowite: in(v) i out(v). Należy znaleźć największy (pod względem liczby krawędzi) podgraf H grafu G i jego orien- tację H0 taką, żeby dla każdego wierzchołka v w H0 było co najwyżej in(v) krawędzi wchodzących i co najwyżej out(v) krawędzi wychodzących.
(a) Napisz program liniowy całkowitoliczbowy, który modeluje problem optymaliza- cyjny opisany w zadaniu.
(b) Podaj algorytm 1/2-aproksymacyjny dla tego problemu oparty o zaokrąglanie rozwiązania optymalnego programu liniowego.
