NETHERLANDS
GEODETIC
COMMISSION
PUBLICATIONS ON GEODESY
rssN 0165 1706
NEW SERIES NUMBER 39
SPHERICAL
HARMONIC ANALYSIS OF
FREDERICA MIGGLIACCIO FAUSTO SACERDOTE
SATELLITE GRADIOMETRY
REINERRUMMEL FERNANDO SANSO
MARTIN VAN GELDEREN MARIA BROVELLI
RADBOUD KOOP ERNST SCHRAMA
DELFT UNIVERSITY OF TECHNOLOGY POLITECNICO DI MILANO
FACULTYOFGEODETICENGINEERING DIPARTIMENTODIINGEGNERIAIDRAULICA,
AMBIENTALE E DEL RILEVAMENTO
CIP-DATA KONINKLIJKE BIBLIOTHEEK. DEN HAAG Spherical
Spherical harmonic analysis of satellite gradiometry / Reiner Rummel ... [et al.]. -Delft : Nederlandse Commissie voor Geodesie. - I11.
-(Publications on geodesy. New series, ISSN 0165-1706 ; nr. 39) With ref.
rsBN 90-6132-247-2
TABLE OF CONTENTS F o r e w o r d . 1 . I n t r o d u c t i o n . 2 . S p a c e w i s e A p p r o a c h . 2 . I . I s i t p o s s i b l e t o u s e s a t e l l i t e o b s e r v a t i o n s page 1 . 1
2 . r
i n a b o u n d a r y 2 . 1 , 2 . 1 1 2 . 1 . 7 2 . 2 7 2 . 3 2 ' s : e x a m p l e s . 2 . 3 7 2 . 5 0 v a l u e p r o b l e m a p p r o a c h ? 2 . 2 . T h e o b s e r v a t i o n a l m o d e l f o r s p e c t r a l e s t i m a t i o n f r o m b l o c k a v e r a g e s . 2 . 3 . T h e l e a s t s q u a r e s a p p r o a c h . 2 . 4 . T h e q u a d r a t u r e f o r m u l a s a p p r o a c h . 2 . 5 . F r o m b . v . p . ' s t o q u a d r a t u r e f o r m u l a s . 2 . 6 . T h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f g r a d i o m e t r i c b . v . p . 2 . 7 . H o w t o d e a l w i t h t h e o v e r d e t e r m i n e d b . v . p . ' s . 3 . T i m e w i s e A p p r o a c h . 3 . 1 . P r i n c i p l e s o f t i m e w i s e m e t h o d . 3 . 2 . L u m p e d c o e f f i c i e n t m e t h o d . 3 . 3 . E r r o r a n a l y s i s o f g r a d i o m e t r i c m i s s i o n s c e n a r i o s . 3 . 4 . C a s e s t u d i e s o f g r a d i o m e t r i c e r r o r p r o p a g a t i o n . 3 . 4 . 1 . B a n d w i d t h l i m i t a t i o n . 3 . 4 . 2 . N o n - p o l a r o r b i t . 4 . S p a c e w i s e V e r s u s T i m e w i s e - A C o m p a r i s o n . A p p e n d i c e s . C o o r d i n a t e s y s t e m s . L e g e n d r e r e c u r s i o n s . I n c l i n a t i o n f u n c t i o n s . A - 3 . 1 . A n e x p l i c i t e x p r e s s i o n f o r i n c l i n a t i o n f u n c t i o n s . A - 3 . 2 . R e l a t e d i n c l i n a t i o n f u n c t i o n s A - 3 . 3 . C o m p u t a t i o n o f i n c l i n a t i o n f u n c t i o n s . A - 1 . A - 2 . A - 3 . 3 . 1 3 . 2 3 . 1 2 3 . 1 5 3 . 1 9 3 . 1 9 3 . 2 3 4 . 1 . A - i . 1 A - 2 . 1 , A - 3 . 1 A - 3 . 1 A - 3 . 7 A - 3 . 9 R . 1 R e f e r e n c e s .FOREWORD.
I n L 9 8 8 t h e E u r o p e a n S p a c e A g e n c y s t a r t e d with a series of studies with t h e g o a l t o p r e p a r e t h e g e o d e t i c u s e r c o m m u n i t y for a dedicated gravity f i e l d m i s s i o n a n d s t i m u l a t e c o o p e r a t i o n a m o n g v a r i o u s g r o u p s . Thereby it was left o p e n w h e t h e r t h e p l a n n e d mission s h o u l d b e b a s e d o n t h e p r i n c i p l e o f s a t e l l i t e - t o - s a t e l l i t e t r a c k i n g , o n s a t e l - I i t e g r a d i o m e t r y o r o n a c o m b i n a t i o n o f t h e s e t w o m e t h o d s . I n t h e c o u r s e of these studies it turned out that the g r o u p of the dipartimento d i i n g e g n e r i a i d r a u l i c a , a m b i e n t a l e e d e l r i l e v a -m e n t o o f t h e p o l i t e c n i c o d i M i l a n o a n d t h a t o f t h e f a c u l t y o f g e o d e t i c e n g i n e e r i n g o f t h e D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y w o r k e d m u c h a l o n g t h e same l i n e . A t v a r i o u s o c c a s i o n s v e r y e x c i t i n g a n d s t i m u l a t i n g e x c h a n g e o f i d e a s t o o k p l a c e b e t w e e n t h e s e t w o g r o u p s . In 1,991, it w a s t h e r e f o r e d e c i d e d t o p u b l i s h t h e m a i n l i n e o f t h e i r d e v e l o p m e n t i n g r a d i o m e t r y a n a l y s i s , t h e s o - c a l l e d t i n e w i s e a n d s p a c e w i s e a p p r o a c h , i n a j o i n t r e p o r t . C o m p a r e d w i t h t h e b e n e f i t i t w o u l d h a v e b e e n r a t h e r cumbersome to try to h o m o g e n i z e t h e a d o p t e d s t y l e o f p r e s e n t a t i o n a n d n o t a t i o n o f t h e t w o g r o u p s . T h u s l i t t l e e f f o r t w a s s p e n t o n t h i s a s p e c t . We hope that this does not hamper r e a d i n g .
T h e a u t h o r s l i k e t o t h a n k t h e E u r o p e a n S p a c e A g e n c y f o r its s u p p o r t o f t h e C I G A R - s t u d i e s a n d t h e N e t h e r l a n d s Geodetic Commission for publishing t h i s r e p o r t .
D e l f t , a p r i I 1 9 9 3 , R e i n e r R u m m e I .
1. INTRODUCTION. A I t o u r c u r r e n t k n o w l e d g e o f t h e g l o b a l g r a v i t a t i o n a l f i e l d o f t h e e a r t h i s d e r i v e d f r o m a n a n a l y s i s o f t h e m o t i o n o f a r t i f i c i a l s a t e l l i t e s . W h i l e i n t h e p i o n e e r i n g d a y s o n l y t h e o b l a t e n e s s c o e f f i c i e n t J 2 a n d t h e r e a f t e r J 3 c o u l d b e d e t e r m i n e d , s u b s e q u e n t l y c o m p l e t e s e t s o f s p h e r i c a l h a r m o n i c c o e f f i c i e n t s u p t o d e g r e e / a n d o r d e r m 3 6 c o u l d b e c o m p u t e d . V e r y a d v a n c e d l a s e r a n d r a d i o t r a c k i n g t e c h n i q u e s , m o r e a n d m o r e s a t e l l i t e s w i t h a l a r g e v a r i e t y i n o r b i t c h a r a c t e r i s t i c s , a n i n c r e a s i n g n u m b e r o f g r o u n d s t a t i o n s a n d l a s t b u t n o t l e a s t m o r e s o p h i s t i c a t e d c o m p u t e r s a n d c o m p u t a t i o n a l m o d e l s m a d e t h i s d e v e l o p m e n t p o s s i b l e . H o w e v e r t h e r e e x i s t n a t u r a l l i m i t s f o r f u r t h e r i m p r o v e m e n t . W h e r e a s , f o r e x a n p l e , t h e s t i l l e x i s t i n g i n d e t e r m i n a n c y o f i n d i v i d u a l s p h e r i c a l h a r m o n i c c o e f f i c i e n t s f a r a w a y f r o m t h e r e s o n a n c e b a n d s o f t h e s a t e l l i t e s c a n p r o b a b l y b e o v e r c o m e i n t h e n e a r f u t u r e t h r o u g h a l m o s t c o n t i n u o u s s p a c e - b o r n e t r a c k i n g o f l o w f l y i n g s p a c e c r a f t s , t h e a t t e n u a t i o n o f t h e g r a v i t a t i o n a l f i e l d w i t h i n c r e a s i n g a l t i t u d e r e p r e s e n t s a n a t u r a l b a r r i e r . T h e o n l y w a y o u t o f t h i s d i l e m m a i s s a t e l l i t e g r a d i o m e t r y , t h e m e a s u r e m e n t o f s e c o n d d e r i v a t i v e s o f t h e g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l V . W h e n e x p r e s s e d i n a s p h e r i c a l h a r m o n i c s e r i e s , d o u b l e d i f f e r e n t i a t i o n r o u g h l y r e s u l t s i n a n a m p l i f i c a t i o n o f t h e c o e f f i c i e n t s r e p r e s e n t i n g t h e g r a v i t y f i e l d b y a f a c t o r 1 2 ( w i t h l ' t h e d e g r e e o f t h e e x p a n s i o n ) . T h i s w a y t h e a t t e n u a t i o n e f f e c t , w h i c h i s a p p r o x i m a t e l y - 1 - X - 1 / ,H + n c a n b e c o m p e n s a t e d ( R is t h e e a r t h ' s m e a n r a d i u s , h t h e a l t i t u d e o f t h e s a t e l l i t e ) . T h i s i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e L . F i g u r e 1 s h o w s t h e s i g n a l d e g r e e -o r d e r v a r i a n c e s o f t h e u n k n o w n p a r t o f t h e g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l , t h e d i s t u r b a n c e p o t e n t i a l T , a t t h e e a r t h ' s s u r f a c e ( a l t i t u d e 0 k m ) a n d a t 2 0 0 k m . F o r t h e h i g h e s t d e g r e e ( 2 4 O ) the attenuation e f f e c t i s t h r e e o r d e r s o f m a g n i -t u d e . T h e s e c o n d r a d i a l d e r i v a t i v e o f T , T . . , h a s a m u c h f l a t t e r s p e c t r u m a t t h e e a r t h ' s s u r f a c e t h a n T . T h e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s p a t i a l d e t a i l s o f t h e f i e l d i s m u c h m o r e p r o n o u n c e d . T h u s , T = = a t 2 O O k m a l t i t u d e s t i l l c o n t a i n s c o n s i d e r a b l e i n f o r m a t i o n a t h i g h s p h e r i c a l h a r m o n i c d e g r e e s .
\ . ' . - T . 0 k m - - - - T . 2 0 0 k m T " " , 0 k m T"", 2oO km 120 d e g r e e F i g u r e 1 : A l t i t u d e a t t e n u a t i o n e f f e c t o f t h e d i s t u r b a n c e p o t e n t i a l T c a n t o a l a r g e e x t e n t b e c o m p e n s a t e d b y d e a l i n g w i t h t h e s e c o n d r a d i a l d e r i v a t i v e T . . ( d e g r e e - o r d e r v a r i a n c e s b a s e d o n O S U 8 6 F , a l I q u a n t i -t i e s d i m e n s i o n l e s s : T / ( G l 4 / R ) ; T z z / ( 2 G M / R 3 ) ) . A s a t e l l i t e g r a d i o m e t e r m e a s u r e s a t m a x i m u m a } l n i n e c o m p o n e n t s o f t h e g r a v i t a t i o n a l t e n s o r f i J = # , ( w i t h V g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l ) o r c e r t a i n l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e s e c o m p o n e n t s . G r a d i o m e t e r s a r e e i t h e r b a s e d o n t h e p r i n c i p l e o f d i f f e r e n t i a l a c c e l e r o n e t r y o r o n t h a t o f t o r s i o n m e a s u r e m e n t . T h e c o m p o n e n t s m a y b e g i v e n i n a s p a c e f i x e d c o o r d i n a t e t r i a d , i n c a s e o f a s p a c e -s t a b l e o r i e n t a t i o n o f t h e i n s t r u m e n t i n t h e s p a c e c r a f t , o r i n s o m e l o c a l , e . g . r o t a t i n g , t r i a d . I n t h e l a t t e r c a s e t h e m e a s u r e d e l e m e n t s c o n t a i n c o m p o n e n t s o f i n e r t i a l m o t i o n a s w e l l . A I I t h e s e p o i n t s a n d n a n y r e l a t e d a s p e c t s a r e l e f t a s i d e h e r e . F o r a d i s c u s s i o n o f t h e i n s t r u m e n t a t i o n r e f e r t o ( W e l l s , 1 9 8 3 ) , ( P a i k & R i c h a r d , 1 9 3 6 ) , ( R e i n h a r d t e t d f . , 7 9 8 2 ) ; f o r a t r e a t m e n t o f t h e g r a d i o m e t e r p r i n c i p l e s r e f e r t o ( R u m m e l , 1 9 8 6 ) . H e r e w e a s s u m e a n i d e a l s i t u a t i o n , w h e r e t h e g r a d i o n e t e r c o m p o n e n t s a r e g i v e n i n k n o w n o r i e n t a t i o n , a l o n g p e r f e c t l y a l i g n e d a x e s a n d w h e r e t h e o n l y s i g n a l s o u r c e i s t h e g r a v i t a t i o n a l f i e l d o f t h e e a r t h . N o d i s t u r b i n g a c c e l e r a t i o n e x i s t s . T h e a 0 a q c o t t 6 ! e ! l o ' I U O t U I
g r a d i e n t c o m p o n e n t s a r e p r o v i d e d i n e i t h e r t h e l o c a l o r t h o n o r m a l , s p h e r i c a l t r i a d g i , i = I , 2 , 3 ( w i t h 9 r = e x d i r e c t i n g n o r t h , e 2 = € y d i r e c t i n g e a s t , a n d e 3 = e z r a d i a l l y o u t w a r d s ) o r t h e o r b i t t r i a d 9 0 , 0 - 1 , 2 , 3 ( w i t h € 1 = q a a l o n g t r a c k , 9 2 = 9 " c r o s s t r a c k , p e r p e n d i c u l a r t o t h e o r b i t p l - a n e , a n d e 3 = e t r a d i a l l y o u t w a r d s ) . E a c h c o m p o n e n t i s m e a s u r e d i n d e p e n d e n t l y o f a I I o t h e r s w i t h a c e r t a i n m e a s u r e m e n t e r r o r . T h e p u r p o s e o f t h i s r e p o r t i s a d i s c u s s i o n o f a l t e r n a t i v e w a y s o f d e t e r -m i n i n g a n a p p r o x i m a t i o n o f t h e e a r t h ' s g r a v i t a t i o n a l f i e l d f r o m s a t e l l i t e g r a d i o m e t r y w i t h t h e f i e l d e x p r e s s e d i n a s e r i e s o f s p h e r i c a l h a r m o n i c s . E r r o r p r o p a g a t i o n a n d l i n e a r p a r a m e t e r e s t i m a t i o n s h a l l b e a n a l y z e d . T h e s u b j e c t i s n o t n e w . F r o m t h e d a y s s a t e l l i t e g r a d i o m e t r y i s u n d e r c o n s i d e r a t i o n , r e p r e s e n t a t i o n a n d a n a l y s i s o f i t s r e s u l t s i n t e r m s o f s p h e r i c a l h a r m o n i c s h a s b e e n c o n s i d e r e d , s e e e . g . ( K 6 h n l e i n , 7 9 6 7 ) , ( G l a s e r & S h e r r y , 1 9 7 1 ) o r R e e d ' s d i s s e r t a t i o n o f 1 , 9 7 3 . N o w , h o w e v e r w i t h a c t u a l n i s s i o n p l a n s f o r t h e g r a d i o m e t r i c s a t e l l i t e A R I S T O T E L E S g r o w i n g m o r e a n d m o r e c o n c r e t e , a r e v i s i o n s e e m s a p p r o p r i a t e a n d t i m e l y . I t i s r e n a r k a b l e t o o b s e r v e t h a t d y n a m i c s a t e l l i t e g e o d e s y a n d p h y s i c a l g e o d e s y , a l t h o u g h s t r o n g l y b e n e f i t t i n g f r o m e a c h o t h e r , d e v e l o p e d a s t w o r a t h e r i n d e p e n d e n t b r a n c h e s o f g e o d e s y . N o s e r i o u s a t t e m p t f o r a u n i f i e d t h e o r y o f g r a v i t y f i e l d d e t e r m i n a t i o n h a s b e e n u n d e r t a k e n . T h e f o r m e r a d d r e s s e s g r a v i t a t i o n a l f i e l d e s t i m a t i o n f r o m t h e s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n , t h e l a t t e r s o L v e s g r a v i t a t i o n a l f i e l d a n d s h a p e o f t h e e a r t h i n t h e f o r m o f a b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m r e l a t e d t o t h e e a r t h ' s s u r f a c e . G r a d i o m e t e r m e a s u r e m e n t s a r e i d e a l l y s u i t e d f o r a s t u d y o f t h e s i m i l a r i t i e s a n d d i f f e r e n c e s o f t h e s e t w o a p p r o a c h e s . C o n s i d e r f i r s t t h e s a t e l l i t e a s a c a r r i e r o f a n i n s t r u m e n t t h a t d e l i v e r s t h e g r a v i t a t i o n a l t e n s o r c o m p o n e n t = f i j a t r e g u J . a r i n t e r v a l s . A t e a c h t i m e t h e p o s i t i o n o f t h e i n s t r u m e n t i s e x p r e s s e d b y t h e c o o r d i n a t e t r i p l e { g , t r , r } , r e p r e s e n t i n g t h e p o s i t i o n o f t h e s a t e l l i t e ' s c e n t e r o f m a s s , w h i c h i s u s u a l l y k n o w n o n l y a p p r o x i m a t e l y . W i t h e a c h r e v o l u t i o n o f t h e s p a c e c r a f t a n e w c i r c l e o f d e n s e l y s p a c e d m e a s u r e m e n t s i s d e l i v e r e d . D e p e n d i n g o n t h e c h o i c e o f t h e o r b i t , i n p a r t i c u l a r o f t h e i n c l i n a t i o n I a n d p r e c e s s i o n r a t e o f i t s n o d e , n , a n a l m o s t a r b i t r a r i l y d e n s e , g l o b a l c o v e r a g e o f t h e s p h e r e c a n b e a c h i e v e d . W i t h f i ; ( 9 , t r , r ) - o r b y a p p r o x i m a t i o n f i . , ( g , t r ) , i f t h e h e i g h t v a r i a t i o n o f t h e s a t e l l i t e c a n b e
n e g l e c t e d o r a I I o b s e r v a t i o n s a r e r e d u c e d t o o n e s p h e r e , o ( 0 , r ) - e a c h t e n s o r c o m p o n e n t r e p r e s e n t s a g r a v i t y r e l a t e d f u n c t i o n a l , g i v e n o n a k n o w n ( o r u n k n o w n ) b o u n d a r y s u r f a c e . T h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e g l o b a l g r a v i t y f i e l d i n t e r m s o f s p h e r i c a l h a r m o n i c s f r o m s u c h a f u n c t i o n a l i s c a r r i e d o u t b y q u a d r a t u r e t e c h n i q u e s o r t h e s o l u t i o n o f a g e o d e t i c b o u n d a r y v a L u e p r o b l e m ( g . b . v . p . ) . A s t h e m e a s u r e m e n t s a r e c o n s i d e r e d a f u n c t i o n o f p o s i t i o n o n l y , t h i s v i e w i s d e n o t e d t h e s p a c e w i s e a p p r o a c h . I t f u l l y c o i n c i d e s w i t h t h e t e c h n i q u e s w e l l e s t a b l i s h e d i n t h e f i e l d o f p h y s i c a l g e o d e s y . T h i s v i e w s h a l l b e t r e a t e d i n c h a p t e r t w o . E q u a l I y w e l I t h e m e a s u r e d s e q u e n c e o f t e n s o r c o m p o n e n t s m a y b e v i e w e d a s a d i s c r e t e t i m e s e r i e s , f i j ( t ) , i d e a l l y s p a n n i n g t h e e n t i r e m i s s i o n l e n g t h w i t h o u t i n t e r r u p t i o n I n t h i s c a s e t h e d e t e r m i n a t i o n o f s p h e r i c a l h a r m o n i c s b e c o m e s p o s s i b l e o n l y a f t e r c o n n e c t i n g t h e s p h e r i c a l h a r m o n i c r e p r e s e n t a t i o n g i v e n i n a n e a r t h f i x e d c o o r d i n a t e s y s t e m w i t h t h e t i m e s e r i e s p r o v i d e d a l o n g t h e i n c l i n e d , s J . o w l y p r e c e s s i n g o r b i t a l p l a n e . V a r i o u s w a y s a r e c o n c e i v a b l e f o r t h i s c o n n e c t i o n a n d f o r t h e p a r a m e t r i z a t i o n o f t h e t i m e s e r i e s , b u t t h e i n t i n a t e r e l a t i o n t o s a t e l l i t e p e r t u r b a t i o n t h e o r y i s e v i d e n t . W e d e n o t e t h i s t h e t i m e w i s e a p p r o a c h t o b e t r e a t e d i n c h a p t e r 3 . I t i s p a r t i c u l a r s u i t e d f o r s t u d i e s o f t h e i n f l u e n c e o f t h e c h o i c e o f t h e o r b i t p a r a m e t e r s o n g r a v i t y f i e l d r e c o v e r y a n d , a s m e a s u r e m e n t s a m p l i n g i s a c t u a l l y a t i m e p r o c e s s , f o r a n a l y s i s o f r e a l i s t i c a l i n s t r u m e n t e r r o r m o d e l s . T h e c l o s e c o n n e c t i o n o f t h e t i m e w i s e a p p r o a c h w i t h o r b i t p e r t u r b a t i o n a n a l y s i s , a s u s u a l l y a p p l i e d i n d y n a m i c s a t e l l i t e g e o d e s y , b e c o m e s e v e n m o r e p r o n o u n c e d i f w e L o o k a t a m e a s u r e d t e n s o r c o m p o n e n t f r o m a sJ.ightIy different a n g l e . I n d i f f e r e n t i a l a c c e l e r o n e t r y , a s i t h a s t o b e a p p l i e d w i t h i n t h e A R I S T O T E L E S m i s s i o n , a n a r b i t r a r y t e n s o r c o m p o n e n t i s m e a s u r e d b y p r o h i b i t i n g t w o n e i g h b o r i n g t e s t m a s s e s f r o m t h e i r f r e e m o t i o n ( f a I I ) i n o r b i t a n d b y c o n s t r a i n i n g t h e m t o a f i x e d l e v i t a t e d p o s i t i o n i n s i d e t h e i n s t r u m e n t b y m e a n s o f a f e e d b a c k m e c h a n i s m . T h e f e e d b a c k s i g n a l s u i t a b l y d i f f e r e n t i a t e d i s t r a n s l a t e d i n t o t h e g r a d i e n t m e a s u r e . I t p e r m i t s t h e r e c o n s t r u c t i o n - o r i s e q u i v a l e n t t o t h e m e a s u r e n e n t - o f t h e r e l a t i v e a c c e l e r a t i o n b e t w e e n t w o a d j a c e n t t e s t m a s s e s i n f r e e f a l l a t k n o w n d i s t a n c e , a s d i s c u s s e d i n ( M i s n e r , T h o r n e & W h e e l e r , t 9 7 1 . ) . H e n c e t h e s i g n a l c o u l d b e m o d e l l e d b y m e a n s o f p e r t u r b a t i o n t h e o r y o f t w o n e i g h b o u r i n g s p a c e t r a j e c t o r i e s . A s t h e t w o
t r a j e c t o r i e s a r e h i g h l y s i m i l a r , t h e i r a b s o l u t e s h a p e a n d l o c a t i o n i s o f I e s s e r i m p o r t a n c e . T h e g r a d i o m e t r i c i n f o r m a t i o n i s c o n c e a l e d i n t h e i r r e l a t i v e d i f f e r e n c e s ( R u m n e l , 1 9 7 8 , S c h n e i d e r , 1 9 8 4 ) .
2. SPACEWISE APPROACH. I n t h e p r e s e n t c h a p t e r t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e s p h e r i c a l h a r m o n i c c o e f f i -c i e n t s o f t h e g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l , s t a r t i n g f r o m o b s e r v a t i o n s a s s i g n e d t o w e l l d e f i n e d p o i n t s o n a s u r f a c e o r a v e r a g e d o v e r s u i t a b l y c h o s e n r e g i o n s ( u s a l l y r e c t a n g u l a r b l o c k s ) , i s i l l u s t r a t e d . A p r e l i m i n a r y d i s c u s s i o n c o n c e r n i n g t h e c h o i c e o f t h e o r b i t , i n o r d e r t o o b t a i n a c o m p l e t e c o v e r a g e o f t h e e a r t h , b y d a t a d i s t r i b u t e d i n a v e r y t h i n s h e l l , i s p r e s e n t e d i n s e c t i o n 1 . T h e e r r o r i n t r o d u c e d b y s h i f t i n g t h e d a t a t o a s i n g l e s u r f a c e i s e x p l i c i t l y e s t i m a t e d , a n d i s p r o v e d t o b e o f t h e s a m e o r d e r a s t h e i n s t r u m e n t a l e r r o r f o r g r a v i t y g r a d i e n t m e a s u r e m e n t s . T h e o b s e r v a t i o n a l m o d e l i s i n t r o d u c e d i n s e c t i o n 2 . T h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n e x p e c t e d f o r m e a s u r e m e n t s d u r i n g t h e w h o l e m i s s i o n , a n d t h e i r b l o c k - a v e r a g i n g p r o c e d u r e a r e d e s c r i b e d ; t h e u s e o f W i e n e r m e a s u r e s f o r t h e t r e a t m e n t o f n o i s y d a t a d e f i n e d i n a c o n t i n u u m i s i 1 l u -s t r a t e d . S e c t i o n 3 d e a l -s w i t h t h e l e a -s t - -s q u a r e -s a p p r o a c h f o r t h e e -s t i m a t i o n o f a f i n i t e n u m b e r o f c o e f f i c i e n t s f r o m d i s c r e t e d a t a . T h e p a r t i c u l a r s t r u c t u r e o f t h e n o r m a l m a t r i x i s a n a l y s e d , i n o r d e r t o i l l u s t r a t e t h e n u m e r i c a l p r o b J . e m s a r i s i n g i n t h e s o l u t i o n o f t h e n o r m a l - s y s t e m . T h e p r e s e n c e o f a l i a s i n g a n d i t s m a i n f e a t u r e s a r e d i s c u s s e d . T h e d e t e r m i n a t i o n o f p o t e n t i a l c o e f f i c i e n t s b y q u a d r a t u r e f o r m u l a s i s t h e t o p i c o f s e c t i o n 4 ; i n p a r t i c u l a r , t h e d i s c r e t i z a t i o n e r r o r i s e v a l u a t e d b y s u i t a b l e s i m u l a t i o n s . T h e g e n e r a l s t r u c t u r e o f b o u n d a r y o p e r a t o r s i s a n a l y s e d i n s e c t i o n 5 ; t h e p r o c e d u r e s t o e s t i m a t e f u n c t i o n a l s o f t h e s o l u t i o n , a n d i n p a r t i c u l a r s p h e r i c a l h a r m o n i c c o e f f i c i e n t s , f r o m a b o u n d a r y c o n d i t i o n e x p r e s s e d a s a n o p e r a t o r a c t i n g o n t h e u n k n o w n f u n c t i o n , a r e i l l u s t r a t e d . S u c h p r o c e d u r e s a r e a p p J . i e d i n s e c t i o n 6 t o p a r t i c u l a r c a s e s o f d i f f e r e n t g r a v i t y g r a d i e n t c o m p o n e n t s ; f i n a l l y , t h e s i m u l t a n e o u s u s e o f d i f f e r e n t k i n d s o f d a t a ( f o r e x a m p l e , d i f f e r e n t c o m p o n e n t s o f t h e g r a v i t y g r a d i e n t ) i n a n o v e r d e t e r m i n e d p r o b l e m a p p r o a c h i s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 7 . 2 . 1 . I s i t p o s s i b l e t o u s e s a t e l l i t e o b s e r v a t i o n s i n a b o u n d a r v v a l u e p r o b l e m a P P r o a c h ? O u r o b j e c t i v e I i t e o b s e r v a t i o n s , d e s i g n a r e f e r e n c e i s t o d e t e r m i n e t h e t o a c o n s i d e r a b l e o r b i t : g r a v i t y f i e l d o f t h e e a r t h f r o m s a t e l -d e g r e e o f r e s o l u t i o n . T o t h i s a i m , w e
o as low as possible i n o r d e r t o d e c r e a s e t h e e x p o n e n t i a l d a m p i n g o f t h e h a r m o n i c c o e f f i c i e n t s o f t h e p o t e n t i a l , t h e l i m i t b e i n g i m p o s e d b y t h e d r a g e f f e c t s o n t h e s a t e l l i t e o f t h e u p p e r I a y e r s o f t h e a t m o s p h e r e , o w i t h a p o l a r i n c l i n a t i o n , s o t h a t a I I t h e f l u c t u a t i o n s o f t h e p o t e n t i a l a r e e x p l o r e d , w i t h o u t n e g l e c t i n g p o l a r c a p s , o w i t h a m e a n m o t i o n h a v i n g a s u i t a b l e r a t e t o t h e e a r t h ' s a n g u l a r v e l o c i t y , s o t h a t s a t e l l i t e s u b t r a c k s , a s s e e n f r o m t h e g r o u n d , t e n d t o d i s t r i b u t e i n l o n g i t u d e w i t h o u t r e p e t i t i o n s , a n d o w i t h a n e c c e n t r i c i t y a s s m a L l a s p o s s i b l e , s o t h a t t h e s a t e l l i t e i s s a m p l i n g a p o t e n t i a l w h i c h h a s a l w a y s t h e s a m e s p e c t r u m , as a function of g and tr. A m o n g m a n y p o s s i b l e s o l u t i o n s , i n o r d e r t o p e r f o r m a s p e c t r a l a n a l y s i s of the o b s e r v a t i o n s a l o n g t h e o r b i t ( t i m e w i s e F o u r i e r a p p r o a c h ) a p o s s i b l e o r b i t h a s b e e n i d e n t i f i e d , w h i c h i s o f g r e a t i n t e r e s t b e c a u s e i t i s f r o z e n i n i n e r t i a l s p a c e ; i t i s k n o w n a s C o o k ' s o r b i t a n d i s d e s c r i b e d i n d e t a i l i n ( C o 1 o m b o , 1 9 9 4 ) . A n o t h e r p o s s i b l e e l e m e n t a r y c h o i c e i s t o h a v e , a s c L o s e l y a s p o s s i b l e , a p u r e l y c i r c u l a r o r b i t ; s o , b y u s i n g a s u i t a b l e m e a s u r i n g r a t e a n d a s u i t a b l e r a t e o f t h e s a t e l l i t e ' s t o t h e e a r t h ' s p e r i o d , o n e r e a l i z e s t h a t t h e m e a s u r e m e n t p o i n t s , a s s e e n f r o m t h e e a r t h , t e n d t o d i s t r i b u t e i n a n i r r e g u l a r f a s h i o n , h o w e v e r a p p r o a c h i n g m o r e a n d m o r e t h e c o n d i t i o n o f a c o n t i n u o u s d i s t r i b u t i o n , i . e . S u p I n f d ( p i , p . ; ) = 0 r J j = 1 , . . . N ) o v e r t h e s p h e r e o f r a d i u s r e q u a l W e s h a l l c o m e b a c k , I a t e r o n , w a y a n d t o t h e e f f e c t s i t h a s c i e n t s . Q . 1 . ) t o t h e o r b i t ' s r a d i u s . t o t h e l i m i t d i s t r i b u t i o n o b t a i n e d i n t h i s o n t h e e s t i m a t i o n o f t h e p o t e n t i a l c o e f f i -I i m N+co ( i , W e j u s t w a n t t o s t r e s s h e r e t h a t t h i s r a t h e r s i m p l i s t i c c h o i c e h a s a t I e a s t o n e g o o d p o i n t f r o m t h e p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w : t h e p r e s e n c e o f a r e l e v a n t d r a g e f f e c t t e n d s b y i t s e l f t o c i r c u l a r i z e t h e o r b i t , i . e . t o d e c r e a s e t h e e c c e n t r i c i t y e , s o t h a t i t w o u l d b e a w a s t e o f f u e l t o t r y t o k e e p e c o n s t a n t . T h i s c a n b e s e e n f o r i n s t a n c e f r o m t h e L a g r a n g e d y n a m i c a l e q u a t i o n s in
t e r m s o f K e p l e r ' s e l e m e n t s . L e t ' s r e m o d e l t h e d r a g p e r t u r b a t i o n b y a s i m p l e f o r c e - f u n c t i o n l i k e ( c f . Kaula, 7966, I 3)
r = * - - D a Mza
a = s e n i m a j o r a x i s
p = G M = 3 . 9 8 6 1 0 1 4 m 3 s e c - 2
D = drag force, assumed to be constant M = mean anomaly,
Q . 2 )
d e s c r i b i n g e s s e n t i a l l y a s a t e l l i t e m o v i n g u n d e r t h e c e n t r a l f i e l d t r r . / r w i t h i n a constant density atmosphere causing a constant tangential effeca
I *{ - -D, o p p o s i t e t o t h e d i r e c t i o n o f m o t i o n . W i t h t h i s f o r c e f u n c t i o n L a g r a n g e equations read d e ( 1 - e 2 ) - = - - D dt nae
: T = f o
r t p * D M ) = ' * ? e v
( 2 . 3 )$ i = o
( 1 = pL/z a-3/2 = mean motion).
These equations already describe the main effects of drag, which does not a f f e c t o , i , O a n d g i v e s r i s e t o a d e c a y o f a , r e l a t e d t o t h e l a w o f e n e r g y , a decrease of e and an lncrease in the angular veloclty t't aue to the necesslty o f b a l a n c i n g t h e s t r o n g e r a t t r a c t i o n i m p l i e d b y t h e d e c r e a s e o f a . da 2D = -d t n
$ f = o
$ f = o
S o t h e s a t e l l i t e w l l l s p i r a l d o w n , t o w a r d s t h e e a r t h ' s s u r f a c e , p r e s e r v i n g a n o s c u l a t i n g m o t i o n o f a l m o s t c i r c u l a r t y p e ; a f t e r a c e r t a l n t l m e , f o r i n s t a n c e a f e w h o u r s , t h e o r i g i n a l s t a t e l s r e s t o r e d b y f i r i n g t h e r o c k e t s a n d s u i t a b l y m a n o e u v e r i n g t h e s a t e l l i t e .
W e s h a I I a s s u n e ( s e e e . g . ( R u m m e l & Colombo, 1985)) that these control o p e r a t i o n s a r e s u i t a b l e t o k e e p t h e s a t e l l i t e i n a l a y e r o f r a d i a l d i s t a n c e varying t5 km around a mean value. Already at that point, the lnage of the mission we are designing suggests the idea of applying some boundary value problem technique to determlne the unknown anomalous potential; in general this can be pursued, on condition that the data we have are expressed in terms o f p o i n t - w i s e f u n c t i o n a l s o f t h e a n o m a l o u s p o t e n t i a l T . T h i s c a n b e v e r y d i f f i c u l t i f o u r d a t a a r e d e r l v e d f r o m s o m e t y p e o f t r a c k i n g , b e c a u s e t h e o r b i t a n o m a l y v e c t o r ( i . e . t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e a c t u a l p o s i t i o n o f t h e s a t e l l i t e a n d t h a t c a l c u l a t e d f r o m a m o d e l g r a v i t y b y o r b i t i n t e g r a t i o n ) i s a n o n - I o c a l f u n c t i o n a l o f T ; o n t h e o t h e r h a n d g r a d i o m e t r i c m e a s u r e m e n t s a r e l o c a l b y t h e i r v e r y n a t u r e a n d s o t h e y l e n d t h e m s e l v e s t o b e e a s i l y h a n d l e d i n a b . v . p . m o d e . T o t h i s a i m i t i s m u c h s i m p l e r t o t r e a t d a t a t h a t a r e a s c r i b e d t o p o i n t s o n a v e r y s i m p l e s u r f a c e , l i k e a s p h e r e ; i f w e w a n t t o h a v e t h a t p i o p e r t y fulfilled w e n e e d t h e r e f o r e t o m o v e t h e o b s e r v a t i o n p o i n t s t o a m e a n s p h e r e . T h e r e m i g h t b e s o m e o b j e c t i o n t o t h i s a p p r o a c h , b e c a u s e i t i s v e r y m u c h i n t h e s p i r i t o f m o d e r n g e o d e s y t o a v o i d " r e d u c t i o n s " ; a f t e r a I I i t h a s b e e n t h i s c o n c e p t t o p u s h f o r M o l o d e n s k i i ' s t h e o r y a n d , I a t e r o D , f o r t h e f o u n d a t i o n o f c o l l o c a t i o n t h e o r y . O n t h e o t h e r h a n d w e s h o u l d t a k e i n t o a c c o u n t t h a t i n o u r c a s e t h e o b s e r v a t i o n p o i n t w i l l m o v e i r r , r . " , r , r t 1 , a v o i d i n g errors due to the unknown mass density, and that we make computations within the harmonicity domain where our functions are in any way smoothed2.
1' I t i s e a s y t o v e r i f y t h a t t h e v a r i a t i o n s o f d e n s i t y d u e t o t h e r e s i d u a l a t m o s p h e r e i n a l a y e r o f a f e w k i l o m e t e r s , a r e i n m a t e r i a l f o r t h e c o m p u t a t i o n o f t h e Z n d o r d e r g r a d i e n t . 2 T n . t r a n s f o r m a t i o n o f t h e s p e c t r u m o f a s e c o n d d e r i v a t i v e , g o i n g from the e a r t h ' s s u r f a c e t o t h e l e v e l o f t h e s a t e l l i t e , i s g o v e r n e d b y t h e a p p r o x i m a t e t r a n s f e r f u n c t i ' o n ( f - h ' { + e R : ) - - " ( f r = s a t e l l i t e ' s h e i g h t , R = e a r t h ' s m e a n r a d i u s ) w h i c h a s s u m e s t h e v a l u e s O , 2 o r 0 , 0 4 o r O , O O Z f o r 0 = 5 0 o r 1 O O o r
T o m o v e t h e g r a v i t y g r a d i e n t c o m p o n e n t s r a d i a l l y w e n e e d t h e i r derivatives: since every component of f = tUff[rl i., the degree L s p h e r i c a l h a r m o n i c r e p r e s e n t a t i o n i s a l s o a h o m o g e n e o u s function o f - ( 2 + 3 ) , we can write (note that f, as well .= F,r, are 3 x 3 matrices),
r a d i a l o f t h e degree J u s t t o f i x t h e i d e a s , w e s h a l l think of n e n t s . T h e n i t i s ( 2 . 4 )
f^ as one of the V.. harmonic
compo-o
E
' { n t = - - ( 0 + 3 ) -l r ' 0 .(r{,)..
- t#l
F o r m u l a ( 2 . 4 ) i s u s e f u l i n t h e Iinearized eouation I - ( r s , g , t r ) = 2 t f t ( r s , g , t r ) = X , X * t o r Y { ' . (9 ' t r ) a 0 r ( . o , g , l ) = u : , n ( o + 3 ) f o , * ( r ' 9 ' I ) ( L + I ) ( L + 2 ) -_--E-2-[:J"'
( 2 .
s )
( 2 . 6 )=
, l ^
r o o ' ( r ' 9 ' ) t )
_ 6 r rw h e r e t h e c o r r e c t i o n i s e x p r e s s e d i n t e r m s of the "observed" harmonic compo-n e compo-n t s f o { r ( . , 9 , t r ) a n d o f t h e r a d i a l s h i f t 6 r = r o - r . T h e s u m m a t i o n i n Q . O i s o v e r m ( l t l : L ) , a n d { ( L = O , ! , 2 , . . . ) ; w e j u s t a s k o u r s e l . v e s w h a t i s t h e e r r o r w e w o u l d c o m m i t , if we computed the second term in the right hand side o f Q . 6 ) b y c o n s i d e r i n g o n l y t h e t e r m s f o , o , o a n d f o , 2 , o a s g i v e n ( i . e . t h e p o i n t m a s s a n d t h e J 2 - d i p o l e t e r m s ) . R e f e r r i n g t o t h e ( r r ) - d e r i v a t i v e a n d ? s e t t i n g " 2 O O a t t h e h e i g h t o f 2 0 0 k m . 3 P 1 . . " . n o t e t h a t w i t h t h e s a m e n o t a t i o n u , i n s h a l l m e a n t h e n o r m a l p o t e n t i a l , w h i l e 6 u c u s t o m a r y T t o m e a n the anomalous potential.
s l i g h t l y d i f f e r e n t c o n t e x t s , w e w i l l b e r e p l a c e d b y t h e more
I
t
w e g e to 2 ( r ) = : 9 P z n e . + s ) 2 6 2 ( 6 r r . )
=
[ 1 + J , u r , o P 2 ( s i n 9 ) J ( 2 . 7 ) ( 2 . 8 ) a s s u m e d t h a t t h e " o r b i t d i s c r e p a n c y " 6 r t h e g e o g r a p h i c a l p o s i t i o n ( g , t r ) 4 , s o t h a t d u = u [ : ) 't9
( 6 1 " ) a m n r By assuming thec r t G )
= 1 . . 6
a n d n o t i n g t h a t f i n d = ( 6 u ) , r r [ m= :g* z n(r.+3),
(r.*z)z
(r.*r,,
[#J
'[:J 'n. u
,r,"u.,7*,
.
I n Q . 8 ) w e h a v e i m p l i c i t l y d i s t r i b u t e d i n d e p e n d e n t l y f r o mt
E { 6 r 2 ( E 6 u , Y o ) z ) = , m c m c m - L 1 S T. = (612> _!,n 6"?,n = <6r2>oZ(6u) Q . e )( 2 . ro )
a f t e r n e g l e c t i n g s o m e m i n o r t e r m s , w e s i m p l e 1 . 0 - 1 0 -F-P/R3 = K a u l a r u l e , i . e . 1 . 5 1 0 - 5 s e c - 2o z ( r )
=
+ 2 e . z )
( q = f E ' l ' = 0 , e 4 )
' [ r ] o r d e r t o u s e ( 2 . 1 . I ) , < 6 1 2 > and we have totO-ro X0 e.+1.) e.+D (/+3)q{*3
r o - r 2 ( 1 . 6 ) I n o n ( 2 . 1 7 ) t o o b t a i n a r o u g h e s t i n a t e o f t h e e r r o r w e m u s t d e c i d e e s t i m a t e t h e s u n M o r e p r e c i s e l y w e s h a l l a g r e e t h a t 6 r i s u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d i n r e t 5 k m a n d t h a t w e w o u l d f i n d t h e s a m e d i s t r i b u t i o n o f 6 r e v e n i f w e r o t a t e d t h e u n d e r l y i n g a n o m a l o u s g r a v i t y f i e l d .
f ( q ) = ( 2 + 7 ) Q . + 2 ) ( e + 3 ) q * ! + 3 = a 3 , * : L + g 3 4 ,
a q s t i z q
- q - q '
= o. {# ,*{, - 6 - zuql
2t
3 q As i s f o r t h e f i r s t p r o b l e m , we stipulate t h a t u n i f o r m . T h i s i s i n r e a s o n a b l e a g r e e m e n t Q . 1 2 ) t h e d i s t r i b u t i o n o f 6 r i n r t 5 k m w i t h t h e l a w ( 2 . 3 ) . I n t h i s c a s e ( 6 1 2 > = 1 5 d x = 8 . 3 k m 2 . { r " ' and < 6 1 2 > - . ^ ,- t
= 1.9 10-7
A s f o r ( 2 . 9 ) a r o u g h c o m p u t a t i o n s h o w s t h a t Q . L 3 ) f ( q ) = 3 . 9 1 0 s S u m m a r i z i n g f r o m ( 2 . I I ) , ( 2 . 1 2 ) , ( 2 . 1 3 ) , ( 2 . 1 4 ) w e o b t a i n ( 2 . 1 4 ) c ( f ) - 5 . 1 7 0 - 1 2 s e c - Z = 5 . 1 1 0 - 3 E Q . L s )T h e e s t i m a t e ( 2 . 1 5 ) s a y s t h a t w i t h a r e a l i s t i c g r a d i o m e t e r the measuring error w i I I i n a n y w a y d o m i n a t e t h e e r r o r c o m m i t t e d b y m o v i n g t h e m e a s u r e p o i n t t o a f i x e d s p h e r e , w h i l e u s i n g t " # o n l y t h e ( O , O ) a n d ( 2 . 0 ) t e r m s . E v e n i n c a s e w e a v a i l o u r s e l v e s o f a v e r y a c c u r a t e i n s t r u m e n t , s a y w i t h a n r . m . s . e r r o r o f L 0 - 3 E , w e c a n e a s i l y u n d e r s t a n d t h a t , b y a c c e p t i n g a c e r t a i n b i a s ( s a y 1 O % o f t h e c o e f f i c i e n t s ) i n a f i r s t i t e r a t i o n , o n e c a n e x p l o i t a m u c h b e t t e r m o d e l t o c o m p u t e t h e r e d u c t i o n * a . , s o t h a t a s e c o n d i t e r a t i o n o r i s c e r t a i n l y n o t n e e d e d . A t t h i s p o i n t w 3 c a n a l r e a d y s a y t h a t , a f t e r s o m e m a n i p u l a t i o n s , o u r d a t a a r e g i v e n a t p o i n t s o n a s p h e r e o f r a d i u s R + h ( w h e r e e . g . h = 2 0 0 k m ) a n d w e c a n p r o c e e d a l m o s t s t r a i g h t f o r w a r d l y t o f o r m a f i e l d
of mean block values, as customary in geodesy, after defining for instance a s u i t a b l e g r i d o f e g u i a n g u l a r b l o c k s ; e . g . i n t h e s e q u e l w e s h a l l u s e s y s t e n a -t i c a l l y a 1 0 x 1 0 g e o g r a p h i c a l g r l d .
The last point to be discussed, before we can reason only in an earth-f i x e d c o o r d i n a t e s y s t e m ( e . g . i n r a d i a l c o o r d i n a t e s r , g , l ) , i s h o w t o r e l a t e t h e g r a d i o m e t r i c t e n s o r , w h i c h b y i t s v e r y n a t u r e i s n e a s u r e d i n a s a t e l l i t e - f i x e d f r a m e , t o t h e s a m e t e n s o r i n a l o c a l f r a m e r e f e r r e d t o t h e (g,., 9y, e.) unit vectors. The transformatlon from the instrument frane to an o r b i t f r a m e w h e r e z p o i n t s i n t h e r a d i a l d i r e c t i o n , u i s t a n g e n t ( a l o n g t r a c k ) a n d v o u t o f p l a n e ( c r o s s - t r a c k ) , i s a m a t t e r o f i d e n t i f y i n g t h e a t t i t u d e e i t h e r b y s o m e e x t r a d e v i c e ( s t a r - t r a c k e r ) o r b y e x p l o i t i n g t h e o b s e r v a t i o n s t h e m s e l v e s ; a s p o i n t e d o u t w e s h a l l n o t d e a l w i t h t h i s p r o b l e m h e r e . Y e t i t r e m a i n s t o r o t a t e f r o m t h e o r b i t - r e l a t e d ( u , v , z ) s y s t e m t o t h e l o c a l s y s t e m ( x , y , z ) w h e r e x p o i n t s t o n o r t h , y t o e a s t a n d z t o t h e z e n i t h o f t h e s a t e l l i t e . T h e i n t e r e s t i n g p o i n t here is that there is an asymmetric behavior b e t w e e n t h e a s c e n d i n g a n d d e s c e n d i n g a r c s , a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 2 . 1 . . F i g u r e 2 . 1 : T h e g e o m e t r y o f a s c e n d i n g a n d d e s c e n d i n g o r b i t - r e l a t e d s y s t e m s . T h e a z i m u t h A i s g i v e n by the ratio o f t h e e a r t h ' s v e l o c i t y e t o t h e s a t e l l i t e ' s v e l o c i t y , i . e . d i s r e g a r d i n g t h e s i g n , e . o = g u a n -n w i t h a s a t e l l i t e o f 1 . 5 w h e r e i t i s m a x i m a l , w e
( 2 . 1 s
)
h o u r s p e r i o d a n d c o n s i d e r i n g a l o c a l e q u a t o r i a l f r a m e , f i n d A s 3 . 5 o .N o w t h e r o t a t i o n c a n b e f i r s t o f a I l t h a t t h e z
. a z T component
6;! do"= not need
a c c o m p l i s h e d r a t h e r e a s i l y a x i s r e m a i n s i n v a r i a n t s o
to be changed, and that
if we take into account t h a t f o r i n s t a n c e t h e ( 2 . 1 6 ) t w o c o m p o n e n t s o f t h e t e n s o r , t h a t d o m e a s u r i n g , b e c a u s e t h e y i n v o l v e o n l y i s t h e m o s t d i s t u r b e d b y t h e i r r e g u -( 2 . 1 , 7 ) s i g n , c o n v e y s o n l y c o s A - ' 1 , s i n A o n e c a n w r i t e A 2 T ^ ^ - I " ' o x o y ( 2 . t 8 ) I i t t l e i n f o r m a -i s r a t h e r s m a I I Q . L e )
a
_ = - q t n dv. s l n - c o s W i t h t h e s e t w o o p e r a t o r s w e c a n f i n d t h e d e p e n d o n t h e o r i e n t a t i o n b u t a r e w o r t h c h a n n e l s o r t h o g o n a l t o t h e u - a x i s , w h i c h I a r d r a g e f f e c t s . N a m e l y w e c a n w r i t e azT 0vulz azT 0v602 w h i c h , c o m b i n e d , g i v e A : _ d x n . -o x- " o = e 1
oy T h e o r t h o g o n a l c o m b i n a t i o n , w i t h t h e m i n u s t i o n c o m p a r e d w i t h ( 2 . 1 , 8 ) , b e c a u s e , w h i l e ( < 6 1 0 - 2 ) . A s f o r t h e s e c o n d d e r i v a t i v e s^ a
n ; -o y o - = dva t , a 2 T , ' a v ^ a z a 2 Taiz
=
d a z T a z T = -SIn A ;---=- - COS A =--=-oxoz oyoz a z T a z T = SIn A ;----;- - COS A :----=-o x :----=-o z o y o z a 2 T a z T + ;---J = -COS A ;----=-o v d ;----=-o z o y o z{ i = s i n 2 A
# .
c o s z A
# . 2 s i n A
s i n 2 A f : * c o s 2 A f J - 2 s i n A c o s A 2 ' T ^ d x - o y - o x o y a n d a g a i n c o m b i n i n g t h e t w o i n a s u m , A 2 T c o s 2 A 3 o y ' 1 :( # . f f i t = s i n 2 A # .
a d ( 2 . 2 0 )T a k i n g a d v a n t a g e o f t h e h a r m o n i c i t y o f T , w e e a s i l y r e d u c e ( 2 . 2 O ) t o t h e f o r m t , o 2 T
; ' a i z
. f f i 1 + s i n 2
A # = ( c o s 2 A - s i n 2
o r i f r +
d Q . 2 I ) ( 2 . 2 2 ) I n t h i s r e l a t i o n t h e f i r s t m e m b e r c a n b e c o n s i d e r e d a s a n o b s e r v a b l e a n d w e g e t i n t h i s w a y a f u n c t i o n a l r e l a t i o . , t o S , n a t u r a l l y t h i s c r e a t e s a c o r r e -I a t i o n w i t h t h e ^ L ^ ^ - " ^ L ' ^ a z T o y ' o b s e r v a b l . # , b u t s i n c e s i n z A < 3 . 7 1 0 3 , t h i s c o r r e -l a t i o n i s s m a -l -l a n d w e s h a -l -l n e g -l e c t i t i n t h e f u r t h e r t r e a t m e n t o f t h e d a t a . C o n c l u d i n g a n d s u m m a r i z i n g w e c a n s a y t h a t a f t e r t h e r a d i a l c o r r e c t i o n , a f t e r t h e b l o c k a v e r a g i n g a n d a f t e r c r e a t i n g t h e c o m b i n a t i o n s ( 2 . 7 8 ) a n d ( 2 . 2 I ) , w e c a n a s s u m e t h a t o b s e r v a t i o n e q u a t i o n s a r e g i v e n a t t h e c e n t e r s o f t h e b l o c k s , w h i c h e x p r e s s e d i n t e r m s o f s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s , r e a d A 2 T L z z - 6 7 2 - 1 A 2 T 1 . ' =Y = r c o s g A r a I - f J c o s l , - t A z T _ L g g 0 T I vv : rz-coge 6Xz - -Tz- dQ O I a I L O L + = -r o -r I t i s t h e t a s k o f t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m a p p r o a c h t o a n a l y z e t h e s e a s b o u n d a r y r e l a t i o n s f o r T , t o i n d i c a t e t h e m o r e o r l e s s o p t i m a l m e t h o d s t o d e r i v e f r o m t h e s e a s u i t a b l e s o L u t i o n a n d d e m o n s t r a t e h o w t h e t h e o r e t i c a l r e c i p e s c a n b e i m p l e m e n t e d b y p r a c t i c a l n u m e r i c a l m e t h o d s . A s a v e r y l a s t r e m a r k w e w a n t t o s t r e s s t h a t t h e i n f o r m a t i o n c o m i n g f r o m s a t e l l i t e o b s e r v a t i o n s a n d e l a b o r a t e d i n t h e f o r m o f a b . v . p . w i I I s u p p l y u s i n t h e e n d w i t h a s o l u t i o n w h i c h r e p r e s e n t s t h e a n o m a l o u s p o t e n t i a l T a t t h e s a t e l l i t e ' s a l t i t u d e ; i t i s t h e n a n o p e n q u e s t i o n h o w t h i s m o d e l c a n b e b a c k w a r d c o n t i n u e d , d o w n t o t h e e a r t h ' s s u r f a c e . W e w i l l n o t t a c k l e t h i s d i f f i c u l t p r o b l e m h e r e , b u t w e w i l l c o n f i n e o u r s e L v e s t o m e n t i o n t h a t t h e e a s i e s t w a y o f d o i n g i t i s j u s t t o r e p r e s e n t T i n a s p h e r i c a l h a r m o n i c e x p a n s i o n a n d t h e n t r u n c a t e i t t o a m a x i m u m d e g r e e N : t h e t r u n c a t e d m o d e l t h e n a u t o m a t i c a l l y g i v e s a r e p r e s e n t a t i o n o f T a t t h e g r o u n d l e v e l . N a t u r a l l y , t h e c h o i c e o f N i s a c r u c i a l p o i n t , b e c a u s e w e w o u l d n o t I i k e t o a m p l i f y a n d p r o p a g a t e t o o m u c h n o i s e i n o u r m o d e l ; t h e c r i t e r i o n f o r t h e c h o i c e o f N w i l lb e d i s c u s s e d i n t h e n e x t p a r a g r a p h . I t i s a l s o w o r t h m e n t i o n i n g t h a t b y t h e w a y o u r s e r i e s w i l l n o t r e a l l y c o n v e r g e o n t h e e a r t h s u r f a c e , b u t f o r t u n a t e l y t h e d e g r e e a t w h i c h a d d i n g n e w t e r m s t o t h e s u m g i v e s a w o r s e r a t h e r t h a n a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n , i s s o h i g h t h a t w e w i I I n o t b e a b l e t o c o m e c l o s e t o s u c h a r e s o l u t i o n ( M o r i t z , 1 9 8 0 ) . H e n c e f o r t h w e c l o s e t h e p a r a g r a p h b y s a y i n g t h a t o u r a i m i s t o s o l v e a b . v . p . w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 . 2 2 ) , i n t h e s e n s e t h a t w e w a n t t o e s t i m a t e t h e c o e f f i c i e n t s 6 u ^ o f t h e e x p a n s i o n o f T i n a s p h e r i c a l h a r m o n i c s e r i e s o n t h e e a r t h ' s s p h e r e ( r = R ) , u p t o s o m e m a x i m a l d e g r e e N t o b e s p e c i f i e d l a t e r . 2 . 2 . T h e o b s e r v a t i o n a l m o d e l f o r s p e c t r a l e s t i m a t i o n f r o m b l o c k a v e r a g e s . I n t h i s p a r a g r a p h we consider the problem of deriving e s t i m a t e s o f t h e h a r m o n i c c o e f f i c i e t t " t { n , o f a f u n c t i o n u d e f i n e d o n t h e u n i t s p h e r e s o that + @ L u ( P ) = 2 n t u n Y , ( P ) f , " m ( m { m o - L ( 2 . 2 3 ) ( 2 . 2 s ) e . 2 6 ) A s i n p u t d a t a w e s h a l l c o n s i d e r t h e v a l u e s o f u o n a s e t o f p o i n t s { P r t i = 1 , . . . , { n . * ) d i s t r i b u t e d i n s o m e w a y o n t h e s p h e r e ; s i n c e t h i s i s f o r u s t h e m o s t i m p o r t a n t c a s e , w e s h a I I m a i n l y c o n s i d e r P i a s t h e c e n t e r s o f a r e g u l a r g e o g r a p h i c a l g r i d , d i v i d i n g m e r i d i a n s i n N e q u a l i n t e r v a l s a n d p a r a l . I e l s i n 2 N e q u a l i n t e r v a l s , s o t h a t 4 n " * = 2 N 2 ( f o r i n s t a n c e i f N = 1 8 0 , h . * = 6 4 8 0 0 , c o r r e s p o n d i n g t o a g r i d o f L o * 1 0 b l o c k s ) . F u r t h e r m o r e w e s h a l l a s s u m e t h a t t h e a v a i l a b l e v a l u e s o f u ( P 1 ) c o m e f r o m o b s e r v a t i o n s i n c l u d i n g m e a s u r e m e n t e r r o r s , i . e . m o d e l l e d b y t h e e q u a t i o n u 6 ( P 1 ) = u ( P i ) + v i ( 2 . 2 4 ) i f w e a s s u m e a s t o c h a s t i c m o d e l f o r u i , f o r i n s t a n c e E { u i } = O E { u i u ; } = 0 2 d , , V i
w e c a n f o r m u l a t e o u r p r o b l e m a s t o d e r i v e e s t i m a t e s f o r t , , n f r o m ( 2 . 2 3 ) , ( 2 . 2 4 ) ( 2 . 2 5 ) , Q . 2 6 ) w h e n u e ( P i ) a r e g i v e n . S t a t e d i n t h i s w a y , i t i s a p u r e p r o b l e m o f s p e c t r a l e s t i m a t i o n o n t h e s p h e r e a n d w e u s e i t a s a p r e p a r a t i o n t o t r e a t t h e m o r e c o m p l i c a t e d b . v . p . ' s , w h i c h h o w e v e r f a I I i n a c l a s s o f p r o b l e m s v e r y c l o s e t o t h i s w h e n e v e r t h e b o u n d a r y o p e r a t o r h a s d i a g o n a l r e p r e s e n t a t i o n i n t e r m s o f s p h e r i c a l h a r m o n i c s . T h i s p r o b l e m h a s n a t u r a l l y r e c e i v e d m u c h a t t e n t i o n f r o m g e o d e s i s t s a n d w e j u s t mention some authors for reference, without any pretension of complete-n e s s : ( C o l o m b o , 1 9 8 1 ) , ( M a r s h e t d 1 . , 1 9 8 8 ) , ( M o r i t z , 1 ' 9 7 6 ) , ( P a v l i s , 1 9 8 8 ) , ( R a p p a n d C r u z , 1 9 8 6 ) , ( R u m m e l , T e u n i s s e n , a n d V a n G e l d e r e n , 1 9 8 9 ) , ( S a n s d , 1 9 9 0 ) . T h e r e a r e e s s e n t i a l l y t w o w a y s i n w h i c h t h i s p r o b l e m c a n b e a p p r o a c h e d : o n e i s t o r e d u c e t h e s o l u t i o n s p a c e b y t r u n c a t i n g t h e s e r i e s ( a t m o s t ) a t t h e d e g r e e N , s o t h a t t h e n u m b e r o f u n k n o w n s , ( N + 1 ) 2 , b e c o m e s s m a L L e r t h a n t h e n u m b e r o f o b s e r v a t i o n s 2 N 2 ( t h i s h a p p e n s a t l e a s t i f N : 3 ) a n d t h e n a s i m p l e l e a s t s q u a r e s a p p r o a c h c a n b e a p p l i e d , w i t h o r w i t h o u t p r i o r i n f o r m a t i o n ; t h e o t h e r o n e i s t o c o n s i d e r f i r s t t h e d a t a a s a c o n t i n u u m , a p p l y t h e v e r y d e f i n i t i o n o f u r , n b y a q u a d r a t u r e f o r m u l a , i . e . u s ( P ) Y & ( P ) d o ( 2 . 2 7 ) a n d t h e n t r y t o a p p r o x i m a t e t h i s i n t e r m s o f t h e d i s c r e t e a v a i l a b l e d a t a . A I s o i n t h i s s e c o n d c a s e , a s f o r t h e f i r s t o n e , t h e r e i s a n a t u r a l l i m i t o v e r w h i c h a n y d i s c r e t i z a t i o n o f ( 2 . 2 7 ) w o u l d L o o s e i t s m e a n i n g n a m e l y 0 = N . I n f a c t i t i s j u s t e n o u g h t o c o n s i d e r u ( P 1 ) a l o n g p a r a l l e l s a n d o b s e r v e t h a t f o r e a c h p a r a l l e l o n e h a s 2 N o b s e r v a t i o n s , s o t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g m a x i m u m f r e q u e n c y , a b o v e w h i c h t h e s p e c t r u m s t a r t s f o l d i n g a n d t h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n v a l u e s a n d c o e f f i c i e n t s i s l o s t ( i . e . t h e s o - c a l l e d N y q u i s t f r e q u e n c y ) , i s e x a c t l y N . B e f o r e w e c o m e , i n t h e n e x t p a r a g r a p h , t o d e s c r i b e t h e e r r o r p r o p a g a t i o n w e c a n e x p e c t b y f o l l o w i n g o n e o r t h e o t h e r a p p r o a c h , w e m u s t g i v e s o m e t h o u g h t t o t h e c o v a r i a n c e s t r u c t u r e ( 2 . 2 6 ) and see w h e t h e r a n d h o w i t i s v e r i f i e d u n d e r t h e t h e o r e t i c a L h y p o t h e s i s o f a n i n s t r u m e n t o r b i t i n g o n a p o l a r c i r c u l a r o r b i t a n d m e a s u r i n g a t a c o n s t a n t r a t e o f 7 / s H z , e . g . 1 m e a s u r e m e n t e v e r y s = 4 s e c o n d s . A s a f i r s t c o m p u t a t i o n , I e t
o ^ = h r
u s s t a r t b y d i s r e g a r d i n g t h e e f f e c t o f t h e r o t a t i o n o f t h e e a r t h o n a n y s i n g l e o r b i t ; s i n c e t h e a n g u l a r v e l o c i t y o f t h e s a t e l l i t e i s c o n s t a n t a n d e q u a l t o n ( m e a n m o t i o n ) , t h e s a t e l l i t e s p e n d s a t i m e r = L : t o c r o s s a b e l t o f a m p l i t u d e n A g i n l a t i t u d e , t a k i n g r / s = L g / n s o b s e r v a t i o n s ; m o r e o v e r i f t h e n o d e s t e n d t o d i s t r i b u t e u n i f o r m l y a l o n g t h e e q u a t o r , a s f o r a m i s s i o n o f d u r a t i o n T t h e r e . . n T n T a r e N " - - = f r c y c l e s , i . e . 2 N " = l r - g p 6 s s i n g s o f t h e e q u a t o r , w e e x p e c t t h a t N A d N . = : - : N c o f t h e m w i l - l f a ] l i n a s e c t o r o f w i d t h A ) , . T h e r e f o r e i f w e h a v e a b l o c k o f 6 0 x 6 0 w e f i n d i n i t a b o u t o b s e r v a t i o n s . F o r a m i s s i o n o f a e x p e c t 6 O o b s e r v a t i o n s p e r b l o c k d i f f e r e n t t r a c k s . ( 2 . 2 8 ) d u r a t i o n o f 6 m o n t h s a n d a 1 0 x L o b l o c k , d i s t r i b u t e d a s a l m o s t 4 o b s e r v a t i o n s a l o n g A<PAtr ns = Znz-6 2 T S 6 4 8 0 0 s we T 6 F i g u r e 2 . 2 : D i s t r i b u t i o n o f o b s e r v a t i o n p o i n t s . A s w e c a n s e e t h i s d i s t r i b u t i o n d o e s n o t d e p e n d o n I , s o t h a t , i f w e a l l o w t h e e a r t h t o r o t a t e u n d e r i t i n t h e a v e r a g e w e m u s t e x p e c t t h e s a m e n u m b e r o f o b s e r v a t i o n s p e r b l o c k . I f w e a s s u m e t h a t e a c h o b s e r v a t i o n h a s a n i n d e p e n d e n t e r r o r u w i t h t h e s a m e v a r i a n c e c 2 , w e c a n a l s o s a y t h a t b y a v e r a g i n g t h e o b s e r v e d u 6 v a l u e s o v e r t . h e p o i n t s P 1 - ; 1 fa l l i n g i n t o t h e b L o c k B i j = { i 6 = I = ( i + 1 ) 6 ; j 6 = ^ = ( j + 1 ) 6 } , i . e . , b y f o r m i n g
u o ( P r j ) u e ( P i i 1 ) w e s h o u l d f i n d a q u a n t i t y a f f e c t e d b y i n d e p e n d e n t r a n d o m n o i s e 1 n os
- " o i u
1 n o,ro-
?*
( 2 . 2 e ) ( 2 . 3 0 ) i r s i s n o t t h e o n l y e r r o r w e c o m m i t b y t h e b l o c k B 1 i t h r o u g h ( 2 . 2 9 ) , b e c a u s e t h e r e f o r m u l a i t J = w i t h v a r i a n c e e x p r e s s i n g t h e i s a s w e I I t h e u i j t o.2 ^ v o,2 = --j-. Indeed o n o a v e r a g e o f u o v e r b i a s , g i v e n b y t h e b ( P r J ) = u ( P i . ; ) u ( P i ; 1 ) ( 2 . 3 7 ) T h i s e r r o r d e p e n d s o n t h e s p e c i f i c s h a p e o f u a n d o n t h e e x a c t l o c a t i o n o f P i J r . A b i g e f f o r t h a s b e e n d e v o t e d t o t h e r e d u c t i o n o f b ; t h e s i m p l e s t s o l u t i o n i s p r o b a b l y t o n o t e t h a t t h e s e c o n d t e r m i n t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 2 . 3 7 ) r e p r e s e n t s s o m e k i n d o f a v e r a g e o f u o v e r t h e b l o c k B i . 1 , s o t h a t w e c a n e x p e c t m o r e c l o s e l y b ( P i J ) 1 n o* ?
-1 n o - :r. r r o 1 '). = -B i i J u ( P ) d c p -B i J u ( P i ; 1 ) = 0 ( 2 . 3 2 ) f o r w a r d , i f w e t o o k i t a s q u a r e b l o c k i s c o m p l i a u t h o r s a c c e p t t h e a p p r o -c i r -c u l a r c a p C o f r a d i u s B a t t h e e q u a t o r , i . € . , F o r m u l a ( 2 . 3 2 ) w o u l d n o t b e s u c h a g o o d s t e p r i g o r o u s l y , b e c a u s e t h e a c t i o n o f a v e r a g i n g u o v e r c a t e d w h e n e x p r e s s e d i n s p e c t r a l t e r m s ; h o w e v e r m o s t x i n a t i o n o f c o n s i d e r i n g ( 2 . 3 2 ) a s a n a v e r a g e o v e r a { o s u c h t h a t t h e a r e a o f C e q u a l s t h e a r e a o f Tt2 Z n I I - C o S t / O J = N 2 . I n t h i s w a y t h e i n t e g r a l o p e r a t o r i n ( 2 . 3 2 ) b e c o m e s a s i m p l e m o v i n g a v e r a g e , o f w h i c h i t i s e a s y t o v e r i f y t h e r e p r e s e n t a t i o n u ( Q ) d o q = [ ( P ) = x , - B u r _ Y r _ ( P ) f , , m t m L m ( 2 . 3 3 ) w h e r e [ 3 n a r e t h e f a m o u s P e l l i n e n c o e f f i c i e n t s1 1
e c
F 2Ws)
=
1 - c o s Vo u . j P , ( c o s /)sin t/ dt/ ( 2 . 3 4 ) ( 2 . 3 s ) F r o m ( 2 . 3 3 ) w e s e e t h a t o u r p r o b l e m h a s j u s t b e e n c h a n g e d f r o m t h e e s t i m a t i o n o f r U . f r o m u s ( P i J ) , t o t h e e s t i m a t i o n o f [ r , = B L r , . n f r o m u e ( P r J ) . A s w e h a v e c l a r i f i e d , t h e s t o c h a s t i c s t r u c t u r e o f t h e e r r o r s D r i i s t h a t o f a z e r o a v e r a g e w h i t e n o i s e o f u n i f o r m v a r i a n c u o 3 = c z / n o . T h i s i s v e r i f i e d i f w e a r e r i g h t i n c l a i m i n g t h a t t h e r e s i d u a l b i a s i m p l i e d b y t h e v a r i o u s a p p r o x i m a t i o n s i s n e g l i g i b l e a s c o m p a r e d t o t h e n o i s e ; a d e e p e r d i s c u s s i o n o n t h e r e p r e s e n t a t i o n o f b l o c k a v e r a g i n g i n s p e c t r a l t e r m s , w i t h m o r e r e f e r e n c e s , c a n b e f o u n d f o r i n s t a n c e i n ( R a p p , 1 9 8 9 ) . B e f o r e c l o s i n g t h i s p a r a g r a p h w e w a n t t o d i s c u s s t h e s t o c h a s t i c m o d e l w e w o u l d o b t a i n b y l e t t i n g t h e s i d e o f o u r s q u a r e b l o c k s t e n d t o z e r o . W e f i r s t n o t e t h a t b y u s i n g ( 2 . 2 8 ) a n d ( 2 . 3 0 ) , w h e r e w e s e t N 6 = J / s = t o t a l n u m b e r o f t h e o b s e r v a t i o n s , w e c a n w r i t e f o r a n y p a i r o f b l o c k s , i d e n t i -f i e d b y t h e c o o r d i n a t e s ( g i , t r J ) , ( e I , \ y ) o -f t h e i r c e n t e r s , N o w w e o b s e r v e t h a t t h e a r e a o f a b l o c k i s g i v e n b y A o i j = c o s g i A g A ) \ , s o t h a t a f t e r i n t r o d u c i n g t h e f i e l d o f m e a s u r e sdpij = Dry aory
f o r t h e n o m e n t d e f i n e d o n l y o n o u r f a m i l y o f b l o c k s , w e g e t
E { t ' ' i!.) = 6,/ 6i . "i #^
2 n 2 c 2 E { d p . i d t r U x } = 6 i l 6 i - - # " o . 9 , A o , , ( 2 . 3 6 ) C o n s e q u e n t l y f o r a n y p a i r o f s e t s A , B c o n s t i t u t e d b y a n u m b e r o f b l o c k s , w e d i s c o v e r t h a t Zttzc2 v J c o s g d o A A B E { p ( A ) p ( B ) } = No ( 2 . 3 7 )Now if A and B are o f m u l t i b l o c k s e t s , any A E { P ( A ) } = O a n y m e a s u r a b l e s e t s o v e r o , b y c o n s i d e r i n g t h e n a s l i m i t s w e s e e t h a t Q . 3 7 ) c o n t i n u e s t o h o l d ; s i n c e i t i s a l s o f o r t h a t t h e y a r e the measurement ( 2 . 3 8 ) w e s e e t h a t o u r f i e l d o f s t o c h a s t i c m e a s u r e s , e x t e n d e d i n t h i s w a y , i s i n f a c t a f i e t d o f W i e n e r r " " " , r r . = 5 , w i t h d e n s i t y ' #
c o s 9; the relevance of such
r r o m e a s u r e s t o b . v . p . ' s i s i l l u s t r a t e d i n ( S a n s d , 1 9 8 8 ) . T h e m o s t i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n o f s u c h a m e a s u r e i s t h e d e f i n i t i o n , a s a l i m i t i n t h e m e a n s q u a r e s e n s e , o f t h e c o r r e s p o n d i n g i n t e g r a l o f a n y s q u a r e i n t e g r a b l e f u n c t i o n f I r = J f ( P ) d p ( P ) ( 2 . 3 e ) w h i c h i s i n d e e d a r a n d o m f u n c t i o n b e l o n g i n g t o t h e l i n e a r s p a c e s p a n n e d b y i d p ( P ) ) . N o t a b l y f o r s u c h i n t e g r a l s , t h e W i e n e r r u l e s h o l d E { I r } = E { J f ( P ) d p ( P ) } = 0 ( 2 . 4 0 ) E { I r I q ) = E i J J r ( P ) e ( Q ) d p ( P ) d p ( P ) } = 2nzc2
=
- J
J f ( P ) e ( P ) c o s
s d o
( 2 . 4 1 . )
T h e s e f o r m u l a s w i l l b e o f f u n d a m e n t a l i m p o r t a n c e f o r t h e c o m p u t a t i o n o f e r r o r m o d e l s i n t h e b . v . p . a p p r o a c h . q " T h e o t h e r c h a r a c t e r i s t i c o f W i e n e r m e a s u r e s , i . e . t h e f a c t n o r m a l r a n d o m v a r i a b l e s , i s p l a u s i b l e i n t h i s c a s e w i t h n o i s e .2 . 3 . T h e l e a s t s s u a r e s a p p r o a c h . F r o m t h e d i s c u s s i o n d e v e l o p e d i n t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h w e r e c e i v e t h e f o l l o w i n g p r o b l e m ; b y d e f i n i n g a f u n c t i o n { : : : , L , m , u {Jtr l l / u ( P ) = : , t u , Y , ( P ) O a _ L ^ c m f , m u , Y , ( P ) l^ (m L n Q . 4 2 ) ( 2 . 4 3 ) ( 2 . 4 4 ) ( 2 . 4 s ) o f w h i c h w e h a v e o b s e r v e d v a l u e s a t t h e c e n t e r s o f a r e g u J . a r g r i d , l o { R , r ) = [ ( e , r ) * i t i w i t h a n o i s e c h a r a c t e r i z e d b y t h e s t o c h a s t i c b e h a v i o u r L l U i ; , = U E { t . . i n . ) = 5 . " 6 . c ? i j L k i L j k o w e w a n t t o e s t i m a t e i r , r i . S t a t e d i n t h i s w a y t h e p r o b l e m i s n a t u r a l - l y u n d e r d e t e r m i n a t e d ( 2 N 2 o b s e r v a t i o n s f o r a s e t o f i n f i n i t e u n k n o w n s ) , h o w e v e r s i n c e w e k n o w t h a t w e c a n n o t f i n d a n y s o l u t i o n w i t h a r e s o l u t i o n h i g h e r t h a t t h a t i m p l i e d b y t h e m a x i m u m d e g r e e N , w e j u s t s u b s t i t u t e ( 2 . 4 2 ) b y t h e t r u n c a t e d f o r m u l a w i t h ( N + 1 ) 2 u n k n o w n p a r a m e t e r s , s o t h a t t h e p r o b l e m b e c o m e s o v e r d e t e r m i n e d a n d w e c a n a p p l y t o i t a l e a s t s q u a r e s c r i t e r i o n . L e t u s s e e h o w d o e s i t w o r k i n t h i s c a s e . B y f o r m i n g t h e n o r n a l s y s t e m w e g e t t , { : Y ( P ) Y , ( P ) } [ , = ! Y ( P ) u - ( P ) ( 2 . 4 6 ) ( , m i . i n k i j { m i j L m i , j n k i j O i j ( / = H )
t h a t w e s h a l l d i v i d e b y 2 N 2 , j u s t f o r c o n v e n i e n c e i n f u r t h e r c o m p u t a t i o n s . S o ( 2 . 4 6 ) i s a c l a s s i c a l n o r m a l s y s t e n w i t h t h e v e c t o r o f u n k n o w n s x = { [ , ; l m l . L , 0 = N ] , w i t h n o r m a l m a t r i x L m 1 i v = { 2 y z x i , i Y . , n ( t , , ) t / ' ( P ' ' ) } a n d w i t h k n o w n n o r m a l i z e d t e r n
o
= { # E r , J Y , , u ( t r r ) [ o ( P '
' ) ]
( 2 . 4 7 ) ( 2 . 4 8 ) h a v e t w o i n d i c e s , t h e i n d i c e s . B u t i t i s e a s y t h e s o l u t i o n o f ( 2 . 4 6 ) f o r t h e r e g u l a r p a t t e r n a p p l y f o r m u l a ( 2 . a 7 ) b y i n d e x j { t r ; = j 6 , j = o r t h o g o n a l i t y r e l a t i o n s N a t u r a l I y s i n c e t h e c o m p o n e n t s o f o u r u n k n o w n v e c t o r s a m e i s t r u e f o r L 9 , w h i l e t h e e l e m e n t s o f N h a v e f o u r t o u n d e r s t a n d h o w t o v e c t o r i z e i t . T h e c o n p u t a t i o n o f w o u l d b e c o m e a h a r d t e s t w h e n e v e r N > 1 0 0 , w a s i t n o t o f t h e g r i d p o i n t s P i 1 . I n f a c t , a s p o i n t e d o u t b y C o l o m b o ( 1 9 8 1 ) , i f w e s u m m i n g f i r s t a l o n g t h e p a r a l l e l s , i . e . o v e r t h e 0 , 1 , . . . 2 N - 1 i, w e c a n t a k e a d v a n t a $ e o f t h e u s u a l h o l d i n g f o r f i n i t e F o u r i e r t r a n s f o r m s , i . e . 2 N - 1 : j o sin mtr.; cos mtr; { s i n k t r ; c o s k } . i } = N 6 r u { :, : ..,"I
( 2 . 4 e ) ( 2 . s 0 ) A c c o r d i n g l y t h e e l e m e n t s o f t h e n o r m a l m a t r i x i / b e c o m ei l , k ,
z , "
= ! 9 #
u , " u
| ,
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( e ,
' u n
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( ' , )
F o r m u l a ( 2 . 5 0 ) i m p l i e s t h a t b y r e o r d e r i n g t h e u n k n o w n s a s w e l l a s t h e n o r m a l . m a t r i x f i r s t b y d e g r e e s a n d t h e n b y o r d e r s ( s e e f i g u r e 2 . 3 ) w e f i n d t h a t / V h a s a b l o c k d i a g o n a l s t r u c t u r e w i t h m a x i m u m b l o c k d i m e n s i o n N + 1 .N + 1 )
0
' h - l t t t - | t t -m - - l h - N l t t t - t t ^ - N lt t - l t m : - N n : N F i g u r e 2 . 3 : S t r u c t u r e o f t h e n o r m a l m a t r i x a f t e r s u i t a b l e o r d e r i n g of the unknowns.T h e i n v e r s i o n o f s u c h a n a t r i x p o s e s no problem from the numerical point of v i e w . S o w e c a n find o u r l e a s t s q u a r e s s o l u t i o n a n d w e k n o w t h a t i t i s e f f i c i e n t , i . e . o f m i n i m u m v a r i a n c e i n t h e c l a s s o f l i n e a r e s t i m a t o r s . T h i s n i c e p r o p e r t y , h o w e v e r , h o l d s o n l y i f t h e d e t e r m i n i s t i c m o d e l i s c o r r e c t , i . e . i f t h e r e a r e n o b i a s e s , s i n c e , as we know, the least squares approach is very s e n s i t i v e t o b i a s e s . T h e m e t h o d i n t e r p r e t s t h e b i a s e s a s a d d i t i v e n o i s e a n d s p r e a d s t h e m a m o n g t h e residuals o f a l l t h e o b s e r v a t i o n s i n a n e f f o r t o f r e d u c i n g t h e i r a m p l i t u d e . T h i s i s i n d e e d o u r c a s e s i n c e w e c a n w r i t e f o r t h e k n o w n n o r m a l t e r m : 0
1
Nl
Ni
N n : r - ^ = t # : . . Y . ( P . . ) t u . . ( p . . ) + i . . + u N ( p ) 1 ) o z t \ ' i j n k i j N i j i j i j - L + L + L N N Ywhere we can put
