imi¦ i nazwisko: numer indeksu:
Egzamin z analizy matematycznej 1
Rozwi¡zania nale»y pisa¢ na poni»szym arkuszu. W razie potrzeby nale»y prosi¢ o dodatkowe kartki egzaminatorów.
Podczas egzaminu niedozwolone jest korzystanie z notatek i urz¡dze« elektronicznych.
Przypadki niesamodzielnej lub nieuczciwej pracy b¦d¡ zgªaszane Dziekanowi WPPT. Zgodnie z 6 i 19 regulaminu studiów za naruszenie przepisów student mo»e zosta¢ skre±lony z listy studentów.
(podpis studenta)
1. (a) Sformuªuj twierdzenie o trzech ci¡gach (albo o trzech funkcjach).(1p)
(b) Oblicz granic¦ ci¡gu (an)danego wzorem an= √n
2n+ 1.(2p)
2. (a) Podaj de nicj¦ (sam wzór) pochodnej funkcji f w punkcie a.(1p)
(b) Oblicz z de nicji (i nie korzystaj¡c z reguªy de l'Hospitala) pochodn¡ funkcji f(x) = x1 w punkcie −1.(2p)
3. Korzystaj¡c z reguªy de l'Hospitala, oblicz granic¦ lim
x→0(cos x)ctg2x.(3p)
4. (a) Sformuªuj wzór na caªkowanie przez podstawienie.(1p)
(b) Sformuªuj wzór na caªkowanie przez cz¦±ci.(1p)
(c) Oblicz caªk¦ Z
x3sin(x2)dx.(3p)
(d) Oblicz caªk¦Z 0
−π4
1 − cos x sin x dx.(3p)
5. (a) Sformuªuj wzór na pochodn¡ zªo»enia g ◦ f.(1p)
(b) Oblicz pochodn¡ funkcji h(x) = cos(arctg x).(2p)
(c) Wylicz, »e h(x) = 1
√
1 + x2. Wykorzystaj w tym celu wzór 1 + tg2x = 1 cos2x.(2p)
(d) Oblicz jeszcze raz pochodn¡ funkcji h(x), tym razem wykorzystuj¡c wzór z poprzedniego podpunktu.(2p)
(e) Znajd¹ warto±¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ (o ile istniej¡) funkcji h oraz sup
x∈R
h(x)i inf
x∈Rh(x).(3p)
6. (a) Podaj dwie de nicje ci¡gªo±ci funkcji f w punkcie a.(2p)
(b) Sformuªuj twierdzenie Darboux (o warto±ci po±redniej).(1p)
(c) Udowodnij, »e je±li f : [0, ∞) → R jest funkcj¡ ci¡gª¡ nieograniczon¡ z góry i z doªu, to dla dowolnego c ∈ R równanie f(x) = c ma niesko«czenie wiele rozwi¡za«.(6p)
(d) Podaj przykªad funkcji f speªniaj¡cej zaªo»enia poprzedniego podpunktu.(1p)
(e) Udowodnij, »e twierdzenie z podpunktu (c) nie zachodzi, gdy przedziaª [0, ∞) zast¡pi¢ przedziaªem (0, ∞).(2p)
