Zestaw zada´n nr. 5

Krak´ow 8.11.2011

Zestaw zada´ n nr. 5

• Zadanie 1

Wyka˙z, ˙ze zachodzi

n k

!

= n − 1 k − 1

!

+ n − 1 k

!

u˙zywaja_‘c interpretacji kombinatorycznej i rekurencji.

• Zadanie 2

Zdefiniuj rekurencyjnie:

– n!

– n-ta

‘ liczbe

‘ Fibonaciego.

• Zadanie 3

Podaj algorytm znajduja

‘cy maksymalna

‘ liczbe

‘ z n-elementowej tablicy przy pomocy – iteracji

– rekurencji

• Zadanie 4 Uporza

‘dkuj podane ni˙zej funkcje wg. asymptotycznego stopnia z lo˙zono´sci tak, aby ka˙zda funkcja by la asymptotycznie mniejsza od naste_‘puja_‘cych po niej:

51n+101, _7lgⁿ³⁷_n, ⁿ_lgn²⁺², (√

n+ 1)³, ^lgn_n , _lgnⁿ ,^Pn_k=0k√ k.

• Zadanie 5

Korzystaja_‘c z twierdzenia o rekursji uniwersalnej oszacuj rza_‘d wielko´sci funkcji T zadanej r´ownaniem rekurencyjnym:

– T(n) = 4T (ⁿ₂) + n – T(n) = 4T (ⁿ₂) + n² – T(n) = 4T (ⁿ₂) + n²lg2n – T(n) = 4T (ⁿ₂) + n³ – T(n) = T (ⁿ₂) + c

• Zadanie 6

Udowodnij przez indukcje_‘, ˙ze dla n ≥ 1 zachodzi: (ⁿe)ⁿ≤ n! ≤ (ⁿe)ⁿ√ ne

1