Instytut Fizyki
RUCH FALOWY
Włodzimierz Salejda
Notatki do wykładów z fizyki dla studentów Wydziału PPT PWr
Rok ak. 2005/2006, semestr letni.
Notatki są opublikowane w Internecie na stronie domowej autora http://www.if.pwr.wroc.pl/˜wsalejda,
z której można pobrać skompresowane pliki fale−ps.zip lub fale−pdf.zip z notatkami zapisanymi w formatach PS lub PDF.
Pliki rozpakować należy za pomocą programów: pkunzip, InfoZip, WinZip itp.
Bezpłatne przeglądarki do plików postscriptowych (o rozszerzeniu .ps) oraz zapisanych w formacie Portable Document File (o rozszerzeniu .pdf ) są dostępne w Internecie na stro- nie z notatkami.
Wrocław, luty 2006
Spis treści
1. Wprowadzenie 3
2. Fale sprężyste 5
2.1. Prędkości stowarzyszone z ruchem falowym . . . . 8
3. Równanie fali monochromatycznej 9 3.1. Prędkość fazowa fali monochromatycznej . . . 10
3.2. Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w dowolnym kierunku . . . 12
4. Równanie falowe 13 4.1. Proste wyprowadzenie . . . 13
4.2. Liniowe równanie falowe . . . 14
4.3. Prędkość impulsu poprzecznego w strunie . . . 16
4.4. Jednowymiarowa fala podłużna w pręcie . . . 17
4.5. Dodatek I . . . 20
5. Energia fali sprężystej 21 5.1. Dodatek II . . . 25
5.2. Przechodzenie fal sprężystych przez granicę ośrodków . . . 25
6. Fale akustyczne 29 6.1. Wzór Laplace’a . . . 30
6.2. Zależności fazowe w fali głosowej . . . 31
6.3. Średnia wartość kwadratu ciśnienia akustycznego . . . 35
6.4. Przenoszenie pędu przez fale akustyczne . . . 37
6.5. Akustyczny efekt Dopplera . . . 38
7. Interferencja fal 39 7.1. Interferencja fal monochromatycznych . . . 39
7.2. Fale stojące na strunie . . . 40
7.3. Źródła dźwięków . . . 42
7.4. Dudnienia . . . 43
7.5. Rezonans . . . 44
8. Prędkość grupowa i modulacja fal 44 8.1. Modulacja amplitudowa fal radiowych . . . 46
8.2. O przekazie obrazu telewizyjnego . . . 47
8.3. Prędkość grupowa a prędkość fazowa – dyspersja fal . . . 48
9. Fale nieliniowe 49 9.1. Fale uderzeniowe . . . 49
9.2. Solitony . . . 51
Rzeczywistość to nie cecha, którą można wykryć papierkiem lakmusowym.
Stephen W. Hawking1
1. Wprowadzenie
Wszechświat, w tym także ta jego część, w którym istnieje cywilizacja ziemska, wypeł- niają różnego typu fale. Przestrzeń kosmiczną wypełnia między innymi promieniowanie relik- towe, będące swego rodzaju echem okrzyku nowonarodzonego Wszechświata, który wydał tenże w momencie, gdy był jeszcze bardzo bardzo młodym bo miał zaledwie 105 lat2.
Atmosferę ziemską wypełnia promieniowanie elektromagnetyczne (tj. fale elektromagne- tyczne o różnych długościach) emitowane przez Słońce, anteny radiowe, telewizyjne i nadaj- niki satelitarne umieszczone na orbitach okołoziemskich. Ogólnoświatowa sieć komputerowa Internet, zapis dźwięku i obrazów na dyskach kompaktowych, urządzenia audiowizualne oraz multimedialne, telekomunikacja (naziemna i satelitarna) – wszystko to funkcjonuje dzięki okre- ślonym procesom falowym.
Skorupę ziemską od czasu do czasu nawiedzają trzesienia. Powierzchnię mórz i oceanów pokrywają fale morskie wzbudzane wiatrem3. Przedmiot, który wrzucono do spokojnego jeziora lub stawu (albo rozlewiska w dorzeczu Odry podczas powodzi tysiąclecia z lipcu 1997 roku) jest żródłem fal rozchodzących się koliście po powierzchni wody.
Specyficzny typ zjawiska falowego, które pozwalam sobie nazwać fan–falą można obserwować na stadionach. Publiczność tam zgromadzona4 wzbudza fan–falę wstając z krzeseł i siadając na nie w odpowiednich chwilach czasu5. W tym przypadku mamy do czynienia z impulsem falowym biegnącym w ośrodku, którym jest publiczność.
Sala wykładowa, w której się obecnie znajdujemy jest wypełniona falami akustycznymi, których źrodłem jest, m.in. wykładowca. Każdy z obecnych tutaj słuchaczy staje się także źródłem fali akustycznej, jeśli zadaje pytanie lub rozpoczyna pogawędkę z sąsiadką lub sąsia- dem. Powiem więcej, jeśli nawet żadna z obecnych na tej sali osób chwilowo nie rozmawia, to i tak jest ona źródłem promieniowania cieplnego, ponieważ każde ciało o temperaturze bez- względnej większej od zera absolutnego emituje promieniowanie cieplne (tj. promieniowanie elektromagnetyczne).
Innym rodzajem ruchu falowego jest fala materii6, która towarzyszy zgodnie z hipotezę de Broglie’a (dualizm falowo-korposkularny) każdemu ciału o pędzie p 6= 0, a jej długość λmaterii wynosi7 λmaterii = h/p, gdzie h = 6,62 · 10−34 J·s jest stałą Plancka.
Stephen Hawking8 w swej wersji kosmologii kwantowej, dotyczącej Wielkiego Wybuch, po- sługuje się funkcją falową Wszechświata9.
1Cytat pochodzi z książki: S.W. Hawking, R. Penrose, Natura czasu i przestrzeni, Wydawnictwo Zysk i S-ka, Poznań 1996.
2Wiek Wszechświata jest szacowany na od 1010do 2.0 · 1010 lat.)
3Fale morskie wzbudzane przez trzęsienia ziemskie noszą nazwę tsunami.
4Widzowie, to w zdecydowanej większości fani danej dziedziny sportu. Stąd też wywodzi się stosowana przeze mnie nazwa fan–fali.
5Jak oszacować prędkość fan–fali?
6Nazywana jest także falą prawdopodobieństwa.
7Na szczęście Matka Natura nie wyposażyła człowieka w narządy, za pomocą których widzialne byłoby promieniowanie cieplne lub też fala materii stowarzyszona z człowiekiem lub innymi obiektami. Nie jest to niezbędne do podtrzymywania podstawowych funkcji organizmów żywych.
8Patrz rozdział 5 książki cytowanej w pierwszej stopce.
9W tym sensie, być może sami jesteśmy pewną formą ruchu falowego?
Przykłady ruchu falowego i zjawisk mających charakter falowy można by tutaj mnożyć i wyliczać dalej10. My zajmiemy się podstawowymi właściwościami ruchu falowego (fali), które z punktu widzenia nauk inżynierskich i fizyki są najistotniejsze.
Fala to pojęcie abstrakcyjne. Pod pojęciem fali będziemy rozumieli dalej rozchodzenie się za- burzenia ośrodka (lub pola) od jednego do innego punktu ośrodka (pola). Precyzyjne określenie fali podamy w dalszym ciągu wykładu. Rozchodzeniu się zaburzenia towarzyszy przekazywanie ruchu11 w jaki wprawiane są cząsteczki ośrodka, do których fala dociera. W tym kontekscie, znane typy ruchów falowych przyjęto dzielić na dwie duże grupy, którymi są:
I. Fale sprężyste (patrz rozdział 2) zwane także falami mechanicznymi – fale te będą przedmiotem naszego szczególnego zainteresowania;
II. Fale elektromagnetyczne – tym falom poświęcimy nieco uwagi po zapoznaniu się z równaniami Maxwella.
Fale sprężyste swoją nazwę zawdzięczają temu, że rozchodzą się, tj. istnieją tylko w ośrod- kach sprężstych, natomiast fale elektromagnetyczne mogą się rozchodzić także w próżni. Pro- pagacja fal elektromagnetycznych (grawitacyjnych) jest związana z rozchodzeniem się zaburzeń pola elektromagnetycznego (grawitacyjnego). W tym sensie do rozchodzenia się fal elektroma- gnetycznych (grawitacyjnych) nie jest wymagane istnienie ośrodka sprężystego12.
Dobrym przykładem ruchu falowego z pierwszej grupy jest dźwięk (fale akustyczne). Na- tomiast do drugiej grupy zaliczamy, m.in., światło, fale radiowe i telewizyjne, promieniowanie X.
Dodajmy, że fale rozchodzą się ze skończoną prędkością i że towarzyszy im przekaz energii oraz pędu (patrz rozdział 5).
Ruch falowy jest działem fizyki, w którym manifestuje się wyraźnie jedność i uniwersalność praw przyrody, ponieważ do opisu fal będziemy:
stosowali dynamikę Newtona (patrz rozdział 4),
odwoływali się do własności sprężystych ciał (patrz rozważania dotyczące rozchodzenia się fal sprężystych w rozdziale 4),
posługiwali się termodynamiką (patrz rozdziały 6 dotyczące wzoru Laplace’a i fal uderze- niowych (patrz rozdział 9.2)).
Będziemy mówili głównie o falach liniowych, które spełniają zasadę superpozycji (patrz podrozdział Interferencja fal) . Omówimy także krótko fale nieliniowe, których dobrym repre- zentantem są solitony (patrz rozdział 9.2).
10Nie jest ruchem falowym tzw. fala w wojsku.
11Zazwyczaj jest to ruch harmoniczny tłumiony.
12Zagadnienie to ma swoją długą historię związaną z postulatem istnienia hipotetycznego eteru, tj. wyima- ginowanego ośrodka, w którym rozchodzą się fale elektromagnetyczne. Tego typu problemy były rozpatrywane i szeroko dyskutowane na przełomie XIX i XX wieku. Sformułowanie przez Einsteina szczególnej teorii względ- ności położyło kres tego typu spekulacjom. Jednakże pojęcia próżni nie należy utożsamiać z absolutnie pustą przestrzenią będącą tutaj synonimem absolutnie niczego, ponieważ próżnia z punktu widzenia fizyki kwantowej ma swoją wewnętrzną strukturę (jest to przecież fragment czterowymiarowej czasoprzestrzeni), którą przyjdzie nam jeszcze dokładnie poznać. Zamiast próżni, mówimy w tym przypadku o polu jako o ośrodku, w którym propagują się fale.
W miarę jak odkrywamy kolejne fundamentalne zasady fizyki, okazuje się, że mają one coraz mniej wspólnego z naszym ży- ciem.
Steven Weinberg13
2. Fale sprężyste
Wszystkie rodzaje fal sprężystych rozchodzą się (mówimy, że propagują się) w ośrodku wy- kazującym sprężystość objętości lub sprężystość postaci (kształtu). Wymienione tutaj rodzaje sprężystości wykazują gazy, ciecze i ciała stałe14. Płyny wykazują jedynie sprężystość objętości natomiast ciała stałe sprężystość objętości i sprężystość postaci15.
Zadanie 1. Wyjaśnić własności sprężystości płynów i ciał stałych.
Z właściwością tą mamy do czynienia wówczas, gdy próbujemy zmienić objętość płynu lub ciała stałego albo też kształt ciała stałego. Czynimy to zazwyczaj w określony sposób, tj.
ściskamy płyn lub ciało stałe lub odkształcamy ciało stałe (rozciągając, ściskając, skręcając lub zginając je). Wtedy to zaczynają odgrywać rolę przyciągające lub odpychające oddziaływania między cząsteczkami ośrodka, które przeciwdziałają jego odkształceniu. Po ustaniu działania zewnętrznej siły powodującej odkształcenie, ośrodek powraca do początkowej objętości lub kształtu. Właściwość tę przyjęto nazywać sprężystością ośrodka16.
Istnieją odpowiednie charakterystyki ilościowe opisujące sprężystość, które krótko przedsta- wiamy poniżej.
Jeśli miara σ zewnętrznego oddziaływania na dany układ fizyczny jest dostatecznie mała, to wartość odkształcenia ε ośrodka sprężystego jest proporcjonlna do σ, tj.
ε = κ · σ, (1)
gdzie κ — współczynnik sprężystości ośrodka — jest miarą właściwości sprężystych danego ośrodka. Miarą oddziaływania zewnętrznego σ jest zazwyczaj naprężenie (zwane, w przypadku płynów, ciśnieniem), zaś miarą odkształcenia ośrodka sprężystego ε jest względna deformacja (wielkość bezwymiarowa).
Ośrodek sprężysty spełniający (1) będziemy określali mianem liniowego.
Zadanie 2. Jaki jest wymiar współczynnika κ?
Ostatnią zależność stosuje się zazwyczaj w następującej postaci:
σ = 1
κ · ε = K · ε, (2)
gdzie K jest modułem sprężystości17, który będąc odwrotnością współczynnika sprężystości jest także miarą właściwości sprężystych ośrodka.
Zadanie 3. Jaki jest wymiar współczynnika K?
Zastanówmy się, jak powiązać sprężystość ciał z falami sprężystymi. W tym celu odwołajmy się do doświadczeń myślowych.
13Cytat pochodzi z książki: Steven Weinberg, Sen o teorii ostatecznej, Wydawnictwo Alkazar Sp z.o.o., Warszawa 1994.
14Przypomnijmy, że gazy i ciecze przyjęto, w naukach inżynierskich, nazywać płynami. Natomiast w fizyce ciecze i ciała stałego (takie jak: ciała amorficzne (szkła, stopy, polikryształy), kryształy (np. kryształek soli kuchennej lub kwarcu, ciekłe kryształy) przyjęto określać mianem materii skondensowanej.
15Termin sprężystość oznacza tutaj właściwość fizyczną polegającą na dążeniu danego ośrodka do zachowania swej początkowej objętości lub postaci (kształtu) po ustaniu działania powodującego odkształcenie.
16Zauważmy, że można w tym kontekscie mówić o pewnego rodzaju pamięci dotyczącej kształtu lub objętości rozpatrywanego ośrodka.
17Dobrym tego przykładem jest prawo Hooke’a: ∆l l0
= σ
E = F
E · S, gdzie E – moduł Younga, F – wartość zewnętrznej siły przyłożonej do pręta o długości początkowej l0i polu przekroju poprzecznego S, ∆l – wydłużenie pręta pod działaniem F .
1. Wyobraźmy sobie metalowy pręt o długości L, masie M i polu przekroju poprzecznego S0, którego prawy koniec jest zamocowany natomiast lewy nie. Abstrahując od efektów związanych z polem grawitacyjnym (tj. zaniedbujemy strzałkę ugięcia swobodnego końca), stan równo- wagi pręta odpowiada idealnie poziomemu położeniu zamocowanego jednostronnie pręta. Po- dzielmy nasz pręt na N identycznych części (fragmentów) każda o długości ∆x = L/N i ma- sie ∆m = M/N . Jeśli początek osi OX umieścimy w nieruchomionym lewym końcu pręta, to położenie Xn środka masy n–tego fragmentu określa związek Xn = (n − 1/2) · ∆x, gdzie n = 1, 2, 3, . . ., N (dlaczego?). Jeśli stan równowagi zaburzymy przez energiczne uderzenie me- talowym młotkiem w niezamocowany koniec pręta w kierunku równoległym do jego osi, to spo- wodujemy lokalne odkształcenie objętości pierwszego fragmentu pręta (o masie ∆m i objętości
∆V = ∆x · S0), którego środek jest położony w odległości X1 = ∆x/2 od lewego końca pręta.
Po uderzeniu odkształcony fragment pręta powraca do stanu równowagi, ponieważ działają, wspomniane wcześniej, siły oddziaływań międzycząsteczkowych odpowiedzialne za własności sprężyste materiału pręta. Rozszerzający się pierwszy fragment pręta ściska sąsiadujący z nim po prawej stronie identyczny fragment położony w odległości X2 = 3·∆x/2 od jego lewego końca.
Ten z kolei, będąc ośrodkiem sprężystym, rozszerzając się odkształca następny fragment pręta położony w odległości X3= 5 · ∆x/2 od jego lewego końca. W ten sposób zostaje odkształcony trzeci fragment pręta, który rozszerzając się odkształca czwarty itd. W efekcie otrzymujemy roz- chodzenie się odkształcenia (zaburzenia) stanu równowagi wzdłuż pręta, które nazywamy falą sprężystą. Dodajmy jeszcze, że z propagacją odkształcenia wzdłuż pręta związany jest przekaz energii mechanicznej oraz pędu pomiędzy różnymi punktami pręta. W czasie uderzenia młot- kiem lewego końca pręta zostaje mu przekazana określona ilość energii mechanicznej, na którą składa się energia kinetyczna (w ruch drgający wprawiona została masa zawarta w pierwszym fragmencie pręta) oraz energia potencjalna (objętość pierwszego fragmentu została odkształ- cona). Ta porcja (kwant) energii mechanicznej propaguje się wzdłuż pręta w miarę tego jak (w opisany wyżej sposób) są odkształcane jego kolejne fragmenty.
2. Wyobraźmy sobie nieskończenie długi poziomy sznur, którego prawy koniec jest zamocowany na stałe, zaś lewy początkowo spoczywa nieruchomo. Stan ten jest stanem równowagi sznurka.
Jeśli teraz jego swobodny koniec zostanie wprawienie w ruch harmoniczny prosty, to lokalne zaburzenie położenia fragmentów sznurka znajdujących się w pobliżu jego lewego końca zacznie się propagować wzdłuż sznurka (ośrodka) w postaci ciągu garbów i dolin. To co zaobserwujemy jest jednowymiarową falą sprężystą biegnącej wzdłuż sznurka, której żródło znajduje się na jednym z jego końców. Podobnie jak poprzednio warto zauważyć, że z propagacją lokalnego zaburzenia związany jest przekaz energii mechanicznej (i pędu) pomiędzy różnymi fragmentami sznurka.
3. Weźmy pod uwagę tekturowy poziomy cylinder o długości L, wypełniony powietrzem i otwarty na obu końcach. W stanie równowagi ciśnienie powietrza w każdym punkcie wewnątrz cylin- dra jest takie samo. W celu przeanalizowania ruchu falowego w rozpatrywanym przypadku podzielmy objętość cylindra na N identycznych fragmentów o długości ∆x = L/N . Jeśli (tak jak poprzednio) początek osi OX umieścimy w lewym końcu cylindra, to położenie Xn środka n–tego fragmentu określa związek Xn = (n − 1/2) · ∆x, gdzie n = 1, 2, 3, . . ., N . Zaburzmy teraz stan równowagi powietrza w cylindrze przez przysunięcie jego lewego końca do kamertonu i krótkie uderzenie w jego widełki (ten sam efekt uzyskamy przysuwając lewy koniec cylindra do ust i wydając krótki dźwięk). Źródło dźwięku spowoduje lokalną zmianę objętości pierw- szego fragmentu ∆V = ∆x · S0 objętości cylindra, którego środek jest położony w odległości X1= ∆x/2 od lewego końca cylindra. Odkształcony fragment powietrza jest ośrodkiem spręży- stym więc rozpręża się co powoduje ściśnięcie sąsiadującego z nim po prawej stronie fragmentu objętości położonego w odległości X2 = 3·∆x/2 od lewego końca cylindra. Ten z kolei rozszerza- jąc się odkształca następny fragment objętości powietrza położony w odległości X3 = 5 · ∆x/2 od jego lewego cylindra. W ten sposób zostaje odkształcony trzeci fragment objętości, który rozprężając się spręża czwarty fragment objętości itd. W efekcie otrzymujemy rozchodzenie się odkształcenia objętości powietrza znajdującego się wewnątrz tekturowego cylindra, które nazy- wamy falą akustyczną (lub krócej dźwiękiem). Z propagacją odkształcenia objętości wzdłuż osi
cylindra związany jest przekaz energii mechanicznej pomiędzy różnymi punktami powietrza wy- pełniającego cylinder. W czasie wydawania dźwięku pierwszemu fragmentowi powietrza zostaje przekazana określona ilość energii mechanicznej, na którą składa się energia kinetyczna (w ruch drgający wprawiona została masa powietrza zawarta w pierwszym fragmencie) oraz energia potencjalna (objętość powietrza pierwszego fragmentu została ściśnięta). Ta porcja energii me- chanicznej (i jak zobaczymy także pędu) propaguje się wzdłuż osi cylindra w miarę tego jak są odkształcane (sprężane i rozprężane) kolejne fragmenty objętości powietrza wewnątrz cylindra.
W ten sposób rozchodzą się fale dźwiękowe w sali wykładowej. Drgania strun głosowych wykła- dowcy powodują lokalne (tj. w punktach znajdujących się w pobliżu wykładowcy) zaburzenia równowagowego ciśnienia atmosferycznego powietrza w sali wykładowej. Dzięki sprężystości ob- jętości zaburzenia to rozchodzą się od punktów ośrodka położonych w pobliżu osoby mówiącej do punktów coraz bardziej od niej odległych.
Na podstawie tych przykładów widzimy, że propagacja fal sprężystych wymaga:
(1) Istnienia materialnego ośrodka sprężystego, którego stan równowagi podlega zaburzeniu.
(2) Źródła zaburzenia będącego źródłem fali.
(3) Fizycznego mechanizmu, za pomocą którego sąsiadujące ze sobą części ośrodka mogą oddziaływać na siebie. W naszym przypadku jest to sprężystość ośrodka.
Przytoczone wyżej przykłady miały na celu zilustrowanie podstawowych właściwości fal sprężystych, które składają się na dość abstrakcyjne pojęcie fali w sensie jaki używany jest w naukach inżynierskich oraz w fizyce.
Po tym obszernym wprowadzeniu podajemy definicję fali sprężystej.
—————————————————————————————————- Definicja fali sprężystej18
Falą sprężystą nazywamy proces rozchodzenie się w ośrodku sprężystym zaburzenia stanu równowagi tego ośrodka, któremu towarzyszy przekazy- wanie energii pomiędzy różnymi punktami ośrodka.
—————————————————————————————————-
Stan równowagi ośrodka, o którym mowa w powyższej definicji, oznacza tutaj taki stan ośrodka sprężystego, w którym nie obserwuje się żadnych przepływów jakiejkolwiek wielkości fizycznej (np. masy, ładunku, energii, pędu) pomiędzy dwoma różnymi punktami tego ośrodka19. Fale sprężyste dzieli się na fale podłużne i poprzeczne. Podstawą tej klasyfikacji jest geometryczna relacja w jakiej pozostają do siebie kierunek rozchodzenia się fali oraz kierunek drgań cząsteczek (fragmentów) ośrodka sprężystego. Jeśli więc kierunki te są prostopadłe, to mówimy, że fala jest poprzeczna. Fale elektromagnetyczne są tego typu. Szarpnięta struna jest ośrodkiem, w którym rozchodzą się fale poprzeczne. Innym przykładem są fale torsyjne w pręcie.
Jeśli kierunki te są równoległe, to mówimy, że fala jest podłużna. Takimi są fale głosowe, z którymi związane są lokalne zgęszczenia i rozrzedzenia powietrza. Towarzyszą temu lokalne zmiany ciśnienia powietrza. Falą podłużną są także lokalne zgęszczenie odległości pomiędzy zwojami rozciągniętej sprężyny propagujące się wzdłuż osi sprężyny.
W ciałach stałych mogą się rozchodzić oba typy fal. Natomiast w płynach tylko fale po- dłużne.
Zadanie 4. Uzasadnić prawdziwość dwóch ostatnich zdań.
18Inna definicja posługującą się pojęciem pola fizycznego jest następująca: Falą nazywamy propagujące się ze skończoną prędkością zaburzenie pola fizycznego (rozumianego jako wielkość fizyczna charakteryzująca stan równowagi ośrodka), któremu towarzyszy transport energii.
19W gazach, z uwagi na ustawiczny ruch cieplny molekuł, w stanach równowagi obserwujemy stały prze- pływ jego cząsteczek wzdłuż dowolnego kierunku. Tym niemniej wypadkowa liczba cząsteczek przepływających tam i z powrotem w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię ustawioną prostopadle do danego kierunku jest równa zeru.
Niektóre fale występujące w naturze nie są ani poprzeczne ani podłużne. Przykładem służą fale rozchodzące się po powierzchni dostatecznie głębokiej wody. Torem ruchu cząsteczek wody znajdujących się na powierzchni jest okrąg.
Innym rodzajem fal są tzw. paczki falowe oraz impulsy falowe (czego dobrym przykładem jest pojedynczy impuls rozchodzący się wzdłuż naciągniętego sznurka).
2.1. Prędkości stowarzyszone z ruchem falowym
Rozpatrując ruch biegnącej fali monochromatycznej powinniśmy zdawać sobie sprawę z tego, że poszczególne fragmenty ośrodka sprężystego, które podlegają odkształceniom, drgają (zazwy- czaj harmonicznie)20wokół swoich ustalonych położeń równowagi i nie propagują się razem z falą biegnącą w ośrodku! To co my obserwujemy jako falę stanowi relacje w jakich pozostają ze sobą fazy drgań poszczególnych części ośrodka sprężystego.
Z każdą falą sprężystej stowarzyszone są trzy rodzaje prędkości. Są one powiązane ze sobą określonymi zależnościami matematycznymi i odnoszą się do całkowicie odmiennych zjawisk fizycznych towarzyszących propagacji fali sprężystej.
1. Prędkość cząstek – jest to prędkość chwilowa v (np. drgań harmonicznych) ruchu cząsteczek (punktów) ośrodka sprężystego wokół ustalonych położeń równowagi; źródłem tego ruchu jest rozchodząca się fala.
2. Prędkość fazowa (falowa) – jest to prędkość c z jaką przemieszcza się w ośrodku powierzchnia stałej fazy (np. garby lub doliny fali biegnącej w sznurku z przykładu 2) drgań cząsteczek ośrodka.
Pod pojęciem powierzchni fazowej rozumiemy tutaj miejsce geometryczne punk- tów ośrodka sprężystego, w których faza drgań cząstek ośrodka jest taka sama.
Pojęcie to omawiamy szczegółowo w dalszej części wykładu.
Powierzchnia stałej fazy może przyjmować różne kształty. My będziemy się dalej zaj- mowali sprężystymi falami płaskimi, tj. takimi dla których powierzchnia stałej fazy jest płaszczyzną. Jeśli obserwujemy ruch falowy w postaci rozchodzącego się ciągu garbów i dolin, to w rzeczywistości obserwujemy ruch oddzielnych oscylatorów harmonicznych (cząstek) ośrodka i w szczególności wszystkich tych oscylatorów leżących w jednej płasz- czyżnie ośrodka, które w danym momencie obserwacji mają tę samą wartość fazy (innymi słowy, wychylenie punktów ośrodka, należących do tej płaszczyzny, z położeń równo- wagi jest takie samo). Dobrym przykładem fali płaskiej może służyć powierzchnia wody z umieszczonym na niej długim poziomym prętem wykonującycm ruch harmoniczny pro- sty. Pręt, będąc źródlęm fali wytwarza, na powierzchni wody fale płaskie biegnące od pręta po całej powierzchni wody w naczyniu. Punkty leżące jednocześnie na powierzchni wody i płaszczyźnie pionowej do powierzchni wody i równoległej do pręta tworzą w danej chwili płaszczyznę fazową, ponieważ cząstki ośrodka (na powierzchni wody) mają takie samo wychylenie, tj. fazę drgań.
3. Prędkość grupowa – jest to prędkość vgr pakietu (grupy, paczki) fal (patrz poniżej).
Ma ona duże znaczenie dla ruchu falowego ponieważ jest to prędkość z jaką przenoszona jest przez falę sprężystą energia. Fale z jakimi mamy zazwyczaj do czynienia są złożone z fal monochromatycznych, które są najprostrzym typem fal płaskich (patrz następny podrozdział).
20Dobrym tego przykładem jest nieskończony naciągnięty sznur opisany wyżej, w którym falę wzbudza źródło umieszczone na jednym z jego końców.
Mówiąc w ogromnym, zapewne nieco mylącym skrócie, uwa- żam, iż to nieznajomość fundamentalnych praw fizyki unie- możliwia nam zrozumienie pojęcia umysłu w kategorich fizycz- nych i logicznych.
Roger Penrose21
3. Równanie fali monochromatycznej
Rozpatrzmy jednowymiarową poprzeczną falę płaską rozchodzącą się w nieskończonej stru- nie (tj. sprężystej nici) położonej wzdłuż dodatniego kierunku osi OX. Źródło fali, umieszczone w początku układu odniesienia, wykonuje drgania harmoniczne proste
y(x = 0, t) = A cos(ω · t + α0), (3)
gdzie y – wychylenie punktów struny w pobliżu x = 0, A – amplituda drgań, ω = 2π
T – częstość kołowa drgań, T – okres drgań, α0 – faza początkowa drgań. Wielkość Φ = ω · t + α0 będziemy dalej nazywali fazą drgań.
Zapytajmy o wartość wychylenie y(x, t) punktów ośrodka odległych od źródła fali o x w chwili czasu t. Aby odpowiedzieć na to pytanie załóżmy, że powierzchnia stałej fazy bie- gnie wzdłuż nici z prędkością fazową 0hch∞22. Cząstki ośrodka odległe o x od źródła zaczną drgać po upływie czasu t1 = x
c potrzebnym do tego, aby fala (płaszczyzna fazowa) przebyła odległość x. Zatem szukane wychylenie wynosi
y(x, t) = A cos(ω(t − t1) + α0) = A cos [ω(t − x/c) + α0] , (4) gdzie założono, że w ośrodku nie występuje pochłanianie energii przenoszonej przez falę (am- plituda A nie ulega zmianie). Otrzymany wzór nosi nazwę równania fali monochromatycznej.
Jego interpretacja jest następująca: zależność (4) określa wartość wychylenia punktów ośrodka znajdujących się w punkcie odległym o x od źródła w chwili czasu t.
Dodajmy, że wychylenie y(x, t) jest spowodowane dotarciem do tego punktu fali.
Równaniu (4) zazwyczaj nadaje się inną równoważną postać:
y(x, t) = A cos2π
T (t − x/c) + α0. (5)
Wprowadzimy obecnie ważne dla ruchu falowego wielkości.
Długością λ fali23 nazywamy odległość między dwoma różnymi i najbliższymi punktami ośrodka drgającymi (w tej samej chwili czasu) z fazami różniącymi się o 2π.
Częstością kołową ω fali nazywamy wielkość ω = 2π
T . (6)
Liczbą falową k fali o długości fali λ nazywamy wielkość k = 2π
λ . (7)
21Cytat pochodzi z książki: Roger Penrose, Nowy umysł cesarza, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995.
22Oznacza to, że prędkość ta jest skończona.
23Inna definicja ma postać: Długością fali nazywamy odległość λ, którą przebywa fala w ośrodku sprężystym w czasie T .
Częstotliwością fali f o okresie T nazywamy wielkość f = 1
T. (8)
Jednostką częstotliwości jest Hz, którego wymiar jest równy s−1. Zadanie 5. Wyznaczyć wymiary ω, k, f.
Jak wynika bezpośrednio z tej definicji różnica faz pomiędzy dwoma punktami ośrodka powinna spełniać związek
2π = 2π
T (t − x1/c) + α0− 2π
T (t − x2/c) + α0 = 2π(x2− x1) T · c skąd
x2− x1 T · c = λ
T · c, (9)
zatem
λ= c · T, (10)
czego należało oczekiwać zgodnie z alternatywną definicją wielkości λ.
Zadanie 6. Pokazać, że wielkość c := λ
T zwana prędkością fazową fali (patrz poniżej) wynosi c= ω
k.
Za pomocą długości fali λ równaniu fali (5) można nadać inne postacie:
y(x, t) = A cos2πt
T − x T · c
+ α0
, (11)
y(x, t) = A cos2πt T − x
λ
+ α0
, (12)
y(x, t) = A cos [ω · t − k · x + α0] , (13)
gdzie posłużono się wielkością k = 2π λ = ω
c, zwaną liczbą falową, która określa liczbę długości fali mieszczących się na odcinku o długości 2π.
Zadanie 7. Zweryfikować poprawność ostatniej relacji.
Zadanie 8. Kosinusosidalna fala rozchodzi się wzdłuż osi OX. Jej amplituda wynosi A = 0, 01 m, długość λ = 0, 4 m, a częstotliwość f = 8 Hz. Poprzeczne wychylenie punktów ośrodka sprężystego dla t = 0 i x = 0 wynosi 0, 01 m. Wyznaczyć wektor falowy k, okres T , częstość kołową ω i prędkość c tej fali. Określić wartość α0 oraz podać równanie fali.
3.1. Prędkość fazowa fali monochromatycznej
Faza Φ fali monochromatycznej (13) wynosi
Φ= ω · t − k · x + α0. (14)
Prędkość fazowa c jest zdefinicji równa pochodnej c= dx
dt. (15)
Jej wartość wyznaczamy z warunku
Φ(x, t) = ω · t − k · x + α0 = const,
skąd, po obliczeniu różniczki zupełnej obu stron, otrzymujemy
dΦ= d(const) = 0 = ω · dt − k · dx. (16)
Zatem
c:= dx dt = ω
k = λ
T . (17)
Warto zauważyć, że obliczana w ten sposób wartość c jest dodatnia. Interpretujemy to jako falę rozchodzącą się w dodatnim kierunku osi OX.
Równanie fali
y(x, t) = A cos [ω · t + k · x + α0] , (18)
jak łatwo się o tym przekonać bezpośrednim rachunkiem, opisuje falę rozchodzącą się w ujem- nym kierunku osi OX, ponieważ jej prędkość falowa c = −ω
kh0.
Zadanie 9. Sprawdzić ostatni wynik samodzielnie.
Zadanie 10. Wyznaczyć prędkość poprzeczną vy = ∂y
∂t oraz przyspieszenie ay = ∂2y
∂t2 cząste- czek ośrodka dla x = const fali (13). Ile wynoszą wartości maksymalne wyznaczonych wielkości?
Dla jakich chwil czasu vy oraz ay przyjmują wartości ekstremalne? Czy spełniona jest relacja:
ay = −ω2y
Zadanie 11. Fala biegnąca w sznurze ma postać y(x, t) = 0, 35m sin(10πt − 3πx + π/4). Ile wynosi prędkość c i jaki jest kierunek rozchodzenia się tej fali? Jakie jest wychylenie punktów ośrodka dla t = 0 i x = 0, 10 m? Ile wynosi długość i częstość tej fali? Ile wynosi maksymalna wartość prędkości poprzecznej?
Na zakończenie tego podrozdziału podamy jeszcze kilka użytecznych wyrażeń.
Równanie jednowymiarowej fali płaskiej tłumionej ma postać
y(x, t) = A0exp(−γt) cos(ωt − kx + α0), (19)
gdzie γ – współczynnik pochłaniania fali przez ośrodek sprężysty. Podane wyrażenie uwzględnia tłumienie fali monochromatycznej, za które odpowiada rozpraszanie (mówimy także dysypacja) energii fali (patrz dalej) w ośrodku sprężystym. Zmiejszanie się energii płaskiej fali monochro- matycznej – co przejawia się jako malenie amplitudy drgań fali – jest spowodowane pochłania- niem przez cząsteczki ośrodka energii fali oraz innymi procesami termodynamicznymi, którym towarzyszy zamiana energii fali w ciepło.
Równanie fali sferycznej (bez uwzględniania pochłaniania), nazywanej tak z uwagi na sfe- ryczny kształt powierzchni fazowych, ma postać
u(r, t) = A(r) cos(ωt − kr + α0) = A0
r cos(ωt − kr + α0). (20)
Przytoczoną tutaj zależność A(r) amplitudy od odległości jest stosunkowo łatwo zrozumieć, jeśli zauważyć, że całkowita moc energii przechodzącej przez jednostkę powierzchni ustawionej w odległości r od źródło fali sferycznej jest proporcjonalna do A2(r). Całkowita moc fali emito- wanej przez źródło fali sferycznej nie zależy od r i w odległości r od źródła jest proporcjonalna do A2· 4πr2. Ponieważ A2· 4πr2 = const, więc A(r) ∼ 1
r. Innym rodzajem równania fali może być zależność typu
y(x, t) = A
(B · x − D · t)2+ E, (21)
gdzie A, B, C, D stałe i dodatnie współczynniki liczbowe (jakie są ich wymiary?), które opisuje propagowanie się (w prawo) pojedynczego impulsu (garbu) w ośrodku sprężystym, o czym możemy się przekonać sporządzając wykresy zależności y(x, t) dla kolejnych chwil czasu (np.
dla t = 0, 1, 2, . . .). Dodajmy, że y ma wymiar metra.
Zadanie 12. Narysować wykres (21) jako funkcji x dla wybranych chwil czasu. Co przedsta- wiają otrzymane wykresy?
Zadanie 13. Wyznaczyć wymiary wielkośći A, B, D, E występujących w (21) Zadanie 14. Wyznaczyć prędkość rozchodzenia się impulsu (21).
Zadanie 15. Jaki obiekt falowy opisuje równanie
y(x, t) = A
(B · x + D · t)2+ E. (22)
3.2. Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w dowolnym kierunku
Znajdziemy obecnie równanie fali płaskiej rozchodzącej się w dowolnym kierunku, tj. której kierunek propagacji tworzy kąty (α, β, γ) odpowiednio z osiami OX, OY, OZ kartezjanskiego układu współrzędnych.
Niechaj źródłem fali będzie wykonująca ruch harmoniczny prosty u0 = A cos(ω · t + α0) płaszczyzna P0 przechodząca przez początek układu współrzędnych. Rozpatrzmy płaską po- wierzchnię P1 stałej fazy odległą od źródła o d. Drgania punktów tej płaszczyzny są opóźnione w czasie o τ = l/c w stosunku do drgań punktów płaszczyzny P0. Zatem zależność od czasu wychylenia tych punktów opisuje równanie
u= A cos[ω(t − d/c) + α0] = A cos(ω · t − k · l + α0).
Wyrazimy teraz odległość l za pomocą współrzędnych punktów należących do płaszczyzny P1. Wprowadźmy w tym celu jednostkowy wektor ˆn, który jest prostopadły do płaszczyzny P1. Z rysunku widać, że iloczyn skalarny wektora wodzącego r dowolnego punktu płaszczyzny P1 oraz wektora ˆn wynosi
r · ˆn = r cos(φ) = l.
Po podstawieniu tego wyniku do przedostatniego wyrażenia otrzymujemy
u= A cos(ω · t − k · ˆn · r + α0). (23)
Wektor ˆn · k ma długość równą 2π
λ . Jest więc liczbą falową k i jest jednocześnie prostopadły do płaszczyzny stałej fazy P1. Dlatego nazywany jest wektorem falowym. Zatem
u(r, t) = A cos(ω · t − k · r + α0) (24)
opisuje zależność wychylenia z położenia równowagi dowolnego punktu odległego od początku układu o r i należącego do płaszczyzny P1 w chwili czasu t. Jest więc poszukiwanym przez nas równaniem fali płaskiej rozchodzącej się w dowolnym kierunku wyznaczonym przez wektor falowy k. Ponieważ iloczyn skalarny k · r = kxx+ kyy+ kzz, więc
u(r, t) = A cos(ω · t − kxx− kyy− kzz+ α0), (25) gdzie
kx = 2π
λ cos(α), ky = 2π
λ cos(β), kz = 2π
λ cos(γ).
Relacja (25) określa zależność wychylenia z położenia równowagi dowolnego punktu o współ- rzędnych (x, y, z) należącego do płaszczyzny P1 w chwili czasu t.
Zauważmy, że dla kx = k, ky = kz = 0 otrzymane wyniki opisują propagację fali płaskiej wzdłuż osi OX (patrz równanie (13) w poprzednim rozdziale).
Równanie fali często zapisujemy w postaci zespolonej
u= ℜ [A exp[i(ω · t − k · r + α0)]] , (26)
symbol ℜ oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej A exp[i(ω · t − k · r + α0)] = A cos(ω · t − k · r + α0) + i · A · sin(ω · t − k · r + α0), gdzie skorzystano z wzoru Eulera
exp(iz) = cos(z) + i sin(z). (27)
Jeśli wprowadzić zespoloną amplitudę ˆA = A · exp(iα0), to równanie fali płskiej można zapisać w postaci
u= ℜhAˆexp[i(ω · t − k · r)]i. (28)
Fraktal jest sposobem widzenia nieskończoności okiem duszy.
James Gleick24
4. Równanie falowe
Równanie fali (13) jest rozwiązaniem pewnego równania zwanego równaniem falowym.
Przystąpimy obecnie do jego wyprowadzenia. Najpierw przedstawimy bardzo uproszczony spo- sób otrzymywania tego równania posługująć się równaniem (13). Następnie wyprowadzimy je w kilku prostych przypadkach posłygując się drugą zasadą dynamiki.
4.1. Proste wyprowadzenie
W celu wyprowadzenia równania falowego wyznaczymy odpowiednie pochodne cząst- kowe rówania płaskiej fali monochromatycznej (25) i następnie wskażemy na pewne zależności pomiędzy nimi.
Różniczkujemy dwukrotnie wyrażenie (25) względem zmiennych x, y, z oraz t. W rezultacie otrzymujemy
∂2u
∂x2 = −kx2Acos[ω · t − k · r + α0] = −kx2u,
∂2u
∂y2 = −ky2Acos[ω · t − k · r + α0] = −ky2u,
∂2u
∂z2 = −kz2Acos[ω · t − k · r + α0] = −kz2u,
∂2u
∂t2 = −ω2Acos[ω · t − k · r + α0] = −ω2u.
Dodajmy stronami pochodne cząstkowe względem zmiennych przestrzennych. Wtedy
∂2u
∂x2 + ∂2u
∂y2 +∂2u
∂z2 = △u = −(kx2+ ky2+ kz2) · u = −k2· u, (29) gdzie wprowadzono operator Laplace’a, zwany krótko laplasjanem
△u = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2.
Zauważmy ponadto, że wyrażenie na pochodną cząstkową względem czasu u= − 1
ω2
∂2u
∂t2.
Po podstawieniu tego wyrażenia do (29) otrzymujemy poszukiwaną postać równania falowego
△ u = ∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2 + ∂2u
∂z2 = −k2· − 1 ω2
∂2u
∂t2
!
= 1 c2
∂2u
∂t2, (30)
gdzie wykorzystano związek c = ω k.
Zadanie 16. Pokazać, że ((6) ÷ (8)) spełniają jednowymiarowe równanie falowe (30), w któ- rym k = kx, ky = kz = 0 i c = ω/k.
24Cytat pochodzi z książki: James Gleick, Chaos, Wydawnictwo Zysk i S–ka Wydawnictwo, Poznań 1996.
4.2. Liniowe równanie falowe
Wyprowadzimy obecnie równanie jednowymiarowej fali poprzecznej (dla takiej fali kx 6=
0, ky = kz = 0) poruszającej się wzdłuż struny.
Niechaj struna poddana będzie działaniu stałej siły naciągu N = const. Liniowa gęstość ρl = m
l = const (o wymiarze kg/m) masy struny, gdzie m i l są masą i długością struny.
Jeden (lewy) koniec struny umieszczono w początku układu odniesienia, którego oś OY jest równoległa do kierunku wychyleń z położenia równowagi punktów struny.
Rozpatrzmy równanie ruchu masy ∆m struny położonej pomiędzy punktami struny o współ- rzędnych x i x + ∆x, długości ∆s =
s
1 +∆y
∆x
2
∆x ≃ ∆x25 i masie ∆m = ρl· ∆x26. Niechaj y(x, t) będzie wychyleniem tak wybranego fragmentu masy struny z położenia równowagi wy- wołanego rozchodzeniem się fali. Sformułujemy obecnie równanie ruchu masy ∆m. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że
∆m · ay = ρl∆x∂2u
∂t2 = Fy, (31)
gdzie ay jest y–kową składową przyspieszenia masy ∆m, a Fy jest składową wypadkowej siły w kierunku OY. Wartość siły Fy wynosi (patrz rysunek)
Fy = F (x + ∆x) − F (x) = N sin[Θ(x + ∆x, t)] − F sin[Θ(x, t)] ≃
≃ N tan[Θ(x + ∆x, t)] − N tan[Θ(x, t)]
Fy ≃ N
∂y
∂x
x+∆x −
∂y
∂x
x
≃ N · ∆x∂2y
∂x2.
Ostatnia równość została otrzymana w wyniki rozwinięcia pochodnej ∂y
∂x
x+∆x w punkcie x+ ∆x, co prowadzi do
∂y
∂x
x+∆x ≃
∂y
∂x
x
+ ∂2y
∂x2
!
x
∆x + O(∆x)2.
Dodajmy, że nasze rozważania przeprowadziliśmy przy założeniu o małości odkształceń ∆y poprzecznych struny, co pozwala stosować przybliżenia typu
Θ(x, t) ≃ sin[Θ(x, t)] ≃ tan[Θ(x, t)] = ∂y
∂x.
Po podstawieniu przedostatniego związku do (31) otrzymujemy ρl∆x ·∂2y
∂t2 = N · ∂2y
∂x2
Temu rezultatowi nadamy obecnie postać poszukiwanego jednowymiarowego równania falowego
∂2y
∂x2 = 1
N ρl
∂2y
∂t2 =1 c
2 ∂2y
∂t2, (32)
gdzie c =
sN ρl
jest prędkością fazową jednowymiarowej fali poprzecznej rozchodzącej się wzdłuż struny.
Zadanie 17. Pokazać, że wymiarem N ρl
jest m2/s2.
Jak widzimy równanie falowe (32) wiąże ze sobą przyspiesznie oscylatora harmonicznego∂2y
∂t2 z drugą pochodną przemieszczenia, tj. ∂2y
∂x2. Współczynnikiem proporcjonalności jest czynnik c2. Po której ze stron równania falowego on występuje łatwo ustalić za pomocą analizy wymiarowej.
25Zakładamy więc, że ∆y ≪ ∆x.
26Zauważmy, że symbol △ oznacza laplasjan, a ∆ jest literą grecką stosowaną tutaj do oznaczenia małych wielkości lub ich przyrostów.
Przedstawione wyprowadzenie równania falowego pozwala wyznaczyć bezpośrednim rachun- kiem wartość prędkości c fazowej fali. Nie jest to możliwe w podejściu zaprezentowanym w trak- cie prostego wyprowadzenia równania falowego. Jak widzimy prędkość fali c zależy jedynie od właściwości ośrodka sprężystego.
Zadanie 18. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że równanie fali kosinusoidalnej y(x, t) = Acos[ωt − kx], gdzie ω/c = k = 2π/λ jest rozwiązaniem (32).
Na przykładzie fali (13) z φ = 0 można prześledzić wszystkie podstawowe właściwości ruchu falowego.
1. Prędkość fazowa jest równa c = ω/k, co pozostawiam do samodzielnego obliczenia.
2. Prędkość cząstek ośrodka w punkcie x i chwili czasu t wynosi v(x, t) = ∂y/∂t = −Aω sin(ωt − kx).
3. Jak pokażemy, dalej względne odkształcenie ε(x) elementu ośrodka o długości ∆x w punk- cie x zależy od x i od t i wynosi (dla ∆x → 0)
ε(x, t) = ∂y
∂x = Ak sin(ωt − kx).
Zadanie 19. Pokazać, że ε(x, t) jest wielkością bezwymiarową.
Zatem
v = ∂y
∂t = −ω k
∂y
∂x = −c∂y
∂x = −cε(x, t),
co oznacza, że prędkość cząsteczek ośrodka v jest proporcjonalna do wartości ε(x, t).
4. Cząstki ośrodka nie przemieszczają się wraz z falą. Drgają one wokół swoich położeń równowagi. Łatwo się o tym przekonać licząc wartość średnią hv(x)i prędkości v(x, t) po czasie t = T , gdzie T jest okresem fali. Wtedy hv(x)i = 1
T
Z T
0 −Aω sin(ωt − kx)dt = 0, ponieważ obliczamy w ten sposób całkę z funkcji okresowej po przedziale równym jej okresowi.
Zadanie 20. Pokazać bezpośrednim rachunkiem, że hv(x)i = 1 T
Z T
0 −Aω sin(ωt − kx)dt = 0.
Zadanie 21. Narysować na jednym rysunku, dla ustalonego t = const, następujące zależności:
(1) y(x, t); (2) v(x, t); (3) ε(x, t); (4) Wartości poprzecznej siły −N∂y(x, t)
∂x pochodzącej od fali i działającej na cząstki ośrodka położone w pobliżu punktu x, jeśli y(x, t) = A cos[ωt − kx].
Jeśli zamiast struny ośrodkiem, w którym rozchodzi się jednowymiarowa fala poprzeczna byłby pręt o polu przekroju poprzecznego S i trójwymiarowej gęstości masy ρ (o wymiarze kg/m3), to analogiczne do przedstawionego wyżej rozumowanie prowadzi do rówania falowego
∂2y
∂x2 = 1
N Sρ
∂2y
∂t2 =1 c
2 ∂2y
∂t2, (33)
gdzie c =
sN
Sρ jest prędkością fazową jednowymiarowej fali poprzecznej rozchodzącej się wzdłuż pręta. Jak widzimy uwzględnienie skończonej grubości pręta prowadzi do prostej zamiany ρl → ρ· S (porównaj (32) i (33)) co jest konsekwencją tego, że w przypadku pręta ∆m = ρ · S · ∆x.
Rozwiązaniem równania falowego (32) jest każda funkcja27 f postaci f(−)(x, t) = f(x − c · t),
lub
f(+)(x, t) = f(x + c · t).
27Dostatecznie regularna, tj. posiadająca pochodne cząstkowe drugiego rzędu względem zmiennej czasowej i przestrzennej
Zadanie 22. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że funkcje f(±) są rozwiązaniami jedno- wymiarowego równania falowego (32).
Zadanie 23. Pokazać, że wyprowadzone wcześniej przez nas postacie równania fali (patrz równania (6÷8)) są także rozwiązaniami równania falowego (32).
Zadanie 24. Pokazać, że jeśli zastąpimy funkcję cos występującą w wyprowadzonych wcze- śniej równaniach fali (6÷8)) przez funkcję sin, to tak otrzymana funkcja jest także rozwiązaniem równania falowego (32).
Zadanie 25. Do pionowej ściany przymocowany jest za jeden koniec cienki sznurek, na którego drugim końcu przewieszonym przez bloczek wisi ciężarek o masie mc = 20kg. Długość sznurka l = 5 m, a jego masa msz = 0.2 kg. Wyznaczyć prędkość c fali poprzecznej w tym sznurku.
Zadanie 26. Czy można wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego g w warunkach z za- dania poprzedniego, jeśli znamy: czas τ przelotu fali poprzecznej od początku do końca sznurka, l, msz i mc?
Zadanie 27. Pokazać, że funkcje: (A) y(x, t) = ln[b(x − ct)], (B) y(x, t) = exp[b(x − ct)], (C) y(x, t) = x2 + c2t2, (D) y(x, t) = sin(x) cos(ωt) są rozwiązaniami równania falowego. Czy funkcje (C) i (D) są postaci f(x + ct) + g(x − ct)28?
4.3. Prędkość impulsu poprzecznego w strunie
Wyprowadzenie prędkości fali zaprezentowane powyżej można nieco uprościć. Przedsta- wiamy to poniżej dla poprzecznego impulsu rozchodzącego się wzdłuż struny.
Niechaj, tak jak poprzednio, mały odcinek struny o długości ∆l tworzy, pod wpływem biegnącego w ośrodku impulsu falowego, wycinek koła o promieniu R (patrz rysunek). W ukła- dzie odniesienia poruszającym się z impulsem (jego prędkość jest stała) odcinek ∆l poru- sza się pod wpływem siły wypadkowej Fwyp = 2F sin(Θ) ≃ 2F Θ. Mały segment ma masę
∆m = ρl· ∆l ≃ 2ρlRΘ (patrz rysunek). Zgodnie z drugą zasadą dynamiki wartość siły dośrod- kowej
Fd= ∆mc2
R = 2ρlRΘc2
R = 2F Θ. (34)
Rozwiązanie tego równania względem c daje c=
sF ρl
. (35)
Jest to więc ten sam wynik, ale otrzymany bez założenia o jakimkolwiek kształcie impulsu rozchodzącego się w ośrodku.
Zadanie 28. Dwa impulsy, rozchodzące się po tej samej strunie, są opisywane równaniami y1(x, t) = 0.05
(30x − 45t)2+ 2, y2(x, t) = −0.05
(30x + 45t − 33)2 + 2.
W którym kierunku porusza się każdy z nich? Po upływie jakiego czasu oba impulsy zniosą się wzajemnie (możemy mówić o anihilacji impulsów)? W którym miejscu ośrodka to się zdarzy?
Zadanie 29. Falę poruszająca się wzdłuż osi OX opisuje równanie y(x, t) = 2, 0 exp[−(x + 10t)2],
gdzie y, x w metrach, a t w sekundach. Określić kierunek rozchodzenia się fali oraz jej prędkość c.
28W przypadku (C) mamy y(x, t) = (1/2)[(x + ct)2+ (x − ct)2]. W przypadku (D) należy zauważyć, że jeśli ma być spełniona równość 1/2 sin(x) cos(ωt) = (1/2)[sin[(a + b)/2] cos[(a − b)/2] = sin(a) + cos(b), to powinny zachodzić związki x = (a + b)/2 i ct = (a − b)/2 skąd wyznaczamy a = x + ct oraz b = x − ct
4.4. Jednowymiarowa fala podłużna w pręcie
Niechaj wzdłuż jednorodnego pręta o długości L, powierzchni przekroju poprzecznego S i gęstości ρ = const (bo pręt z założenia jest jednorodny) rozchodzi się fala podłużna równolegle do osi poziomo ułożonego pręta.
Jeden (lewy) koniec pręta umieszczono w początku układu odniesienia. Oś pręta jest rów- noległa do osi OX. Przesunięcie u(x, t) (równolegle do osi pręta i osi OX) fragmentu masy
∆m = ρS∆x pręta położonego wokół punktu o współrzędnej x zależy od czasu t oraz x (bo jest ono wywołane rozchodzeniem się fali podłużnej). Jeśli punkty pręta o współrzędnej x mają w chwili t wychylenia określone za pomocą u(x, t), to punkty pręta znajdujące się w położeniu x+ ∆x mają wychylenia u(x + ∆x, t) 6= u(x, t), przy czym u(x + ∆x, t) ≃ u(x, t) + ∆u. Ozna- cza to, że objętość fragmentu masy ∆m doznaje odkształcenia sprężystego, którego wartość bezwzględna wynosi ∆u zaś względne wydłużenie ε jest równe ε = ∆u
∆x. Zauważmy, że wartość ε jest funkcją czasu oraz współrzędnej przestrzennej x, ponieważ od tych wielkości zależy ∆u.
Dla dostatecznie małych wartości ∆x możemy przyjąć, że ε(x, t) = ∂u(x, t)
∂x . (36)
Jak wiemy względna deformacja ε(x, t) 6= 0 świadczy o tym, że w punkcie pręta o współ- rzędnej x działa naprężenie σ(x, t), którego wartość jest związana z ε(x, t) prawem Hooke’a
σ(x, t) = Eε = E∂u(x, t)
∂x , (37)
gdzie E jest modułem Younga materiału pręta.
Zauważmy w tym miejscu, że jeśli u(x, t) = u0cos(ωt − kx + α0) (zakładamy, że biegnąca fala podłużna ma postać monochromatycznej fali płaskiej, zwanej także falą sinusoidalna albo kosinusoidalną), to ε = ∂u
∂x = −ku0sin(ωt − kx + α0). Oznacza to, że w danej chwili czasu t względne odkształcenie ε(x, t) oraz naprężenie σ(x, t) zależą od x. W punktach ośrodka, dla których wychylenia u(x, t) są ekstremalne mamy ε0(x, t) = σ0(x, t) = 0 (dlaczego?). Tam gdzie wychylenia u(x, t) są równe zeru obserwujemy maksymalne wartości bezwzlędne odkształceń εmax,min(x, t) i naprężeń σmax,min(x, t) (dlaczego?). Przy czym dodatnie (rozciąganie) i ujemne (ściskanie) wartości odkształceń εmax oraz εmin występują na przemian. Swiadczy to o tym, że poprzecna fala składa się z ciągu zgęszczeń i rozrzedzeń ośrodka w którym się rozchodzi.
Napiszemy obecnie równanie ruchu fragmentu ∆m pręta położonego w pobliżu punktu x poruszającego się pod wpływem rozchodzącej się w pręcie fali. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki
∆m · ∂2u
∂t2 = ρ · S · ∆x · ∂2u
∂t2 = S · [σ(x + ∆x + u + ∆u) − σ(x + u)] , (38) gdzie σ(x + ∆x + u + ∆u) i σ(x + u) są wartościami naprężeń w odpowiednich punktach pręta określonych argumentami funkcji σ.
W celu uproszczenia dalszego zapisu i toku rozumowania przyjmiemy dodatkowe założenia:
σ(x + ∆x + u + ∆) ≃ σ(x + ∆x), σ(x + u) ≃ σ(x) (39)
które – jak to pokazujemy w podrozdziale następnym – nie wpływają na końcowy wynik29. Wtedy
σ(x + ∆x + u + ∆u) − σ(x + u) ≃ σ(x + ∆x) − σ(x) (40) oraz zgodnie z prawem Hooke’a (37)
σ(x) = E∂u
∂x
x
. (41)
29Jest to spowodowane tym, że w odpowiednie wyrażenia wchodzi różnica σ(x + ∆x + u + ∆) − σ(x + u) oraz spełniona jest nierówność u(x, t) ≪ ∆x.
Równanie ruchu (38) przyjmuje obecnie postać ρ∆x · S · ∂2u
∂t2 = S · (σ(x + ∆x) − σ(x)). (42)
Ostatnią równość, po uwzględnieniu (41), zapiszemy w następujący sposób
ρ· S · ∂2u
∂t2 = S · lim
∆x→0
E
∂u
∂x
x+∆x−
∂u
∂x
x
∆x
= S ∂
∂x
E∂u
∂x
= S · E ·∂2u
∂x2, które po stosownych uproszczeniach30 jest równaniem falowym dla poprzecznej fali w pręcie
∂2u
∂x2 = ρ E
∂2u
∂t2. (43)
Jak wynika z postaci tego równania prędkość fal podłużnych w pręcie wynosi c(||) =
sE
ρ. (44)
Poniżej w tabeli podajemy wartości c(||) w prętach dla wybranych materiałów.
Materiał c(||) Materiał c(||)
m/s m/s
Pb 1200 Cyna 2730
Mosiądz 3300 Cu 3710
Cynk 3810 Szkło flint 4000
Ni 4780 Al 5040
Fe 5100 kwarc topiony 5370
Bardzo podobne rozważania można przeprowadzić w przypadku propagowania się wzdłuż rozpatrywanego pręta skręcenia (fal torsyjnych). Jeśli oznaczymy przez φ(x, t) kąt skręcenia przekroju znajdującego się w położeniu x w chwili czasu t, to równanie falowe opisujące propa- gację poprzecznej fali odkształceń φ(x, t) ma postać
∂2φ
∂x2 = ρ G
∂2φ
∂t2. (45)
Jak stąd wynika prędkość fal poprzecznych w pręcie wynosi c(⊥)=
sG
ρ, (46)
gdzie G jest modułem skręcania (ścinania lub sztywności)31. Moduły G oraz E są ze sobą związane relacją
G = E
2(1 + µ), (47)
gdzie µ jest współczynnikiem Poissona. Jeśli pręt o średnicy d poddany jest rozciąganiu (ści- skaniu), to jego długość początkowa l zmienia się o ∆l, zaś d o ∆d. Współczynnik Poissona określa związek:
µ=
∆d
∆ld l
. (48)
Pokazuje się, że współczynnik Poissona spełnia nierówność
0hµh0, 5. (49)
30Założyliśmy jednorodność pręta więc E nie może zależeć od x lub t.
31Jeśli do górnej płaszczyzny ciała stałego w kształcie sześcianu przyłożymy stycznie do tej ściany naprężenie σ||, to górna płaszczyzna zostanie odchylona od pionu o kąt γ, taki że γ = χ · σ, gdzie χ jest współczynnikiem ścinania, skręcania lub sztywności. Modułe ścinania G = 1/χ
Zatem GhE.
Zadanie 30. Uzasadnić ostatnią nierówność.
Poniższa tabela podaje wartości odpowiednich współczynników, które omówiliśmy wcze- śniej.
Ciało E G µ
1012 N/m2 1012 N/m2
Al 0,071 0,027 0,34
Pb 0,017 0,006 0,45
Cu 0,100 0,048 0,34
Mosiądz 0,100 0,035 0,33
Stal 0,217 0,083 0,30
Szkło 0,05÷0,083 0,027 0,30
Al 0,071 0,027 0,34
Wyprowadzone powyżej równania falowe mogą być zastosowane do rozchodzenia się fal poprzecznych i podłużnych w ciałach stałych. Odpowiednie równania falowe wyprowadza się rozpatrując fragment ośrodka sprężystego (ciała stałego) w kształcie walca i dalsze rozważania są analogiczne do przeprowadzonych tutaj dla przypadku fal rozchodzących się wzdłuż pręta.
Poniżej podajemy wartości prędkości fal sprężystych w cialćh stałych:
Prędkość fali podłużnej w ciele stałym (w nieskończonym ośrodku) c(||) =
v u u
t E(1 − µ)
ρ(1 + µ)(1 − 2µ). (50)
Prędkość fali poprzecznej w ciele stałym (w nieskończonym ośrodku) c(⊥)=
sG ρ =
s E
2ρ(1 + µ). (51)
Jak widzimy c(||) ≥ c(⊥) oraz c(||) = c(⊥)
s 1 − µ 1 − 2µ.
Zadanie 31. Wyprowadzić ostatnią równość korzystając z podanych wcześnie związków.
Przedstawione zależności obserwuje się m.in. podczas trzęsień Ziemi, kiedy to sejsmografy rejestrują najpierw dobiegające doń z epicentrum fale podłużne (tzw. primary waves), a po nich dopiero docierają fale poprzeczne (tzw. secondary waves). Różnica pomiędzy czasami odbioru przez sejsmografy obu typów fal służy do określenia odległości od sejsmografu do epicentrum.
Zadanie 32. Wyjaśnij poprawność takiego rozumowania.
Analiza rozchodzenia się fal w objętości Ziemi pokazała, że fale poprzeczne nie przenikają przez jądro Ziemi. Świadczy to o tym, że wnętrze Ziemi (jego jądro) jest płynne.
Zadanie 33. Wyznaczyć prędkość dźwięku w rtęci, dla której moduł ściśliwości objętościowej jest równy 2, 8 · 1010 N/m2 i gęstość 13.600 kg/m3.
Zadanie 34. Gęstość aluminium wynosi ρAl = 2, 7 · 103 kg/m3, a prędkość fali podłużnej v = 5100 m/s. Ile wynosi moduł Younga dla aluminium?
Zadanie 35. Poprzeczna fala biegnie z prędkością v = 30 m/s w strunie poddanej naprężeniu N = 10 N. Dla jakiej wartości N prędkość tej fali będzie równa 60 m/s?
Zadanie 36. Wahadło matematyczne składa się z kulki o masie M wiszącej na cienkim sztywnym pręcie masy m ≪ M i długości L. Wyznaczyć prędkość poprzecznych fal w pręcie wahadła, jeśli jego okres drgań wynosi T .
Zadanie 37. Stalowy drut o długości Ls jest połączony z miedzianym drutem o długości Lm. Oba tworzą jeden pręt o długości L = Ls+ Lm. Przekrój każdego drutu jest taki sam, a jego powierzchnia jest równa S. Druty rozciąga siła N. Jak długo biegnie podłużna (poprzeczna) fala sprężysta od jednego do drugiego końca drutu?
