Trojaka natura matematyki: idee głębokie, formy powierzchniowe, modele formalne

R O C Z N IK I P O L S K IE G O T O W A R Z Y S T W A M A T E M A T Y C Z N E G O S E R IA V: D Y D A K T Y K A M A T E M A T Y K I 24(2002)

Zbigniew Semadeni

Uniwersytet Warszawski

Trojaka natura matematyki:

idee głębokie, formy powierzchniowe,

modele formalne

1. W s t ę p . Zaczniemy od zarysowania istoty zagadnień, które są przed­ miotem tej pracy*. Jej celem jest zaproponowanie pewnej teoretycznej kon­ cepcji dotyczącej n a t u r y matematyki. Wyróżnimy mianowicie i opiszemy tu

1° i d e e g ł ę b o k i e pojęć i innych tworów, którymi zajmują się matematycy, 2° ich formy p o w i e r z c h n i o w e oraz 3° ich m o d e l e f o r m a l n e . Jest to rozwinięcie koncepcji naszkicowanych przez Thoma (1974b) i Skempa (1982); będzie o nich mowa poniżej w 4.4, w części 5 i w 6.3. W pewnych sytuacjach idee głębokie są tym, co matematycy nieraz określają jako i n t u i c j ę ; słowo to obejmuje zarówno idee głębokie, jak i intuicje w innych znaczeniach, w tym intuicje w sensie Fischbeina (1987), omówione w 12.6.

Z punktu widzenia czysto poznawczego koncepcja ta jest próbą wyjaśnienia pewnych a n o m a l i i e p i s t e m o l o g i c z n y c h , których nie da się zadowala­ jąco wyjaśnić na gruncie logiki matematycznej. Będziemy śledzić rozbieżności i iędzy oficjalnymi deklaracjami dotyr ą< ymi n t u r y i atematyki a praktyką. Okazuje s i ., ._c pewne : o . b i t. ś „ i ią ..i ■ su wal ne , bo tkwią w sa­ mej naturze przedmiotu, w szczególności można je znaleźć w autorytatywnych tekstach, opublikowanych przez wybitnych matematyków.

Praca ta jest próbą zbadania, do jakiego stopnia można odejść od jed­ nostronnego, formalistycznego ujmowania matematyki, tak jednak, aby n ie z a t r a c i ć tego, co jest jej i s t o t ą . Jest też próbą ustalenia, jaki jest n o r ­ m a l n y zakres o d c h y l e ń od j e d n o z n a c z n o ś c i pojęć i ich oznaczeń. Pośrednio wyznacza to pewne g r a n i c e ś c i s ł o ś c i , poza które dalsze zwięk­ szanie precyzji definicji i wysłowień jest zbędne. Celowi temu służy m. in. roz­ ważanie (w części 8) formalnych m o d e l i idei głębokich, a także ukazanie

(w części 1 1), jak różnorodne są typy pojęć z ł o ż o n y c h (wprowadzamy na­ zwy: dublet, agregat, konglomerat).

Zarazem przedstawiana tu koncepcja jest próbą przesunięcia akcentów w poglądach filozoficznych (dominujących w XX wieku) dotyczących tego, czym jest matematyka. Wprawdzie poglądy te nie miały istotnego wpływu na badania naukowe z tej dziedziny (Bernays, 1935, s. 309; Mostowski, 1972, s. 82), które rozwijano, nie dbając w praktyce o kwestię tzw. „kryzysu pod­ staw” (antynomie z przełomu wieków, twierdzenie Godła), ale negatywnie wpływały i nadal wpływają na edukację matematyczną.

2. O b ra z m a tem a ty k i a je j nauczanie. Jak to wielokrotnie podkreś­ lano, rozpowszechnione poglądy i stereotypy dotyczące tego, czym jest mate­ matyka, jaki jest jej charakter, jej natura, jej istota — wszystko to wpływa na o b r a z matematyki przekazywany n a u c z y c i e l o m przez osoby ich kształ­ cące oraz przez autorów programów i podręczników. Obraz ten z kolei wywiera bardzo istotny wpływ na nauczanie.

Problem, co jest przedmiotem matematyki, był roztrząsany wielokrotnie przez filozofów, metodologów matematyki i matematyków. Poglądy na tę sprawę nie są jednolite. W szczególności różnią się one odbijającymi się w nich założeniami filozoficznymi dotyczącymi stosunku matematyki do doświadczenia i materialnego świata. (...) Niemniej, jako dydaktycy ma­ tematyki, musimy w jakiś prowizoryczny, choćby bardzo powierzchowny sposób to zagadnienie rozważyć i jakąś orientacyjną postawę wobec niego z punktu widzenia problemów nauczania zająć (Krygowska, 1977, s. 14; por. Krygowska, 1982, s. 29).

(...) każda choćby trochę sensowna pedagogika matematyczna opiera się na pewnej filozofii matematyki (Thom, 1974b, s. 138; por. Mason i Way wood, 1996, s. 1056).

Obraz matematyki również wpływa na nauczanie matematyki (Freu- denthal, 1991, s. 131).

T r o j a k a n a t u r a m a t e m a t y k i 43 właściwszą nazwą tego przedmiotu byłby: „Wstęp do teorii mnogości i lo­ giki matematycznej” ). Studentom na rozmaitych zajęciach często wpaja się formalistyczne przekonanie, że cała t r e ś ć pojęcia ogranicza się do jego d e ­ f i n i c j i wyrażonej w języku wywodzącym się z owego „Wstępu” . Gdy na to nałożymy zbyt zaawansowane ujęcie materiału, u słabszych studentów bloku­ je się dochodzenie do głębokiego rozumienia pojęć, co przecież — obok pre­ zentowania struktur formalnych — jest równie ważnym (jeśli nie najważniej­ szym) składnikiem kształcenia nauczycieli. Nauczyciele wykształceni w takim „nowoczesnym” duchu nie bardzo wiedzą, jak można rozwijać logiczne myśle­ nie u uczniów, jeśli nie mają do dyspozycji rachunku zdań i k wanty fi katorów (pokazuje to m. in. dyskusja w czasopiśmie Matematyka, 5/2002, s. 313-315).

Oczywiście zjawisko nadmiernie formalnego kształcenia nauczycieli nie ogranicza się do Polski; jest to zjawisko rozpowszechnione.

Matematyka jest teorią dedukcyjną, rozpoczynającą się od pojęć pier­ wotnych i aksjomatów; wydaje się, że nikt w środowisku matematycz­ nym tego nie kwestionuje. (...) w ten sposób zazwyczaj matematyka jest prezentowana w podręcznikach matematyki wyższej i w matematycznych czasopismach (...) To może mieć wpływ na sposób nauczania matematyki, zanim nawet zacznie się myśleć o właściwej dydaktyce. Tak więc nauczy­ ciele matematyki mogą w klasie ułożyć ciąg definicji, twierdzeń i dowodów jako szkielet ich kursu. (...) Pojęcia są przyswajane głównie poprzez ich definicje (...) Definicje powinny być minimalne; rozumiemy przez to, że definicje nie powinny zawierać niczego, co mogłoby być wydedukowane z pozostałych części definicji (Vinner, 1991).

2.2. Formalistyczne poglądy na nauczanie matematyki cechuje przekona­ nie, że na to, aby uczniowie należycie rozumieli pojęcia, zależności i procedu­ ry, których się uczą, niezbędne jest dedukcyjne tego uzasadnianie, oparte na aksjomatach i definicjach. Oto przykłady typowych sformułowań, w których wyraźnie widać takie nastawienie.

W matematyce mamy do czynienia z takimi obiektami, których własności są całkowicie wyznaczone przez aksjomaty i definicje (...) uczeń ma się nauczyć rozumieć i używać matematycznych pojęć w absolutnej zgodzie

z odpowiadającymi aksjomatami i definicjami (Fischbein, 1987, p. 206).

(...) aby przezwyciężyć takie błędy [był wcześniej przykład błędnego upraszczania ułamków algebraicznych], uczeń (...) musi rozumieć, moim zdaniem, ich formalną bazę (definicje i twierdzenia), która uzasadnia algorytm (Fischbein, 1994, p. 242).

Edukacja matematyczna jest na ogół redukowana do instrumentalne­

go uczenia się i rozumienia. Nie wymaga się, w zasadzie, relacyjnego typu

aksjomaty, twierdzenia, definicje, ogólne pojęcia i własności sterują in­ terpretacją i użyciem bardziej specjalnych pojęć i procedur (Fischbein i Muzicant, 2002, s. 51).

2.3. Przedstawiony tu obraz byłby niepełny, gdybyśmy nie wspomnieli o drugim, przeciwstawnym, jeszcze groźniejszym trendzie: postmodernistycz­ nego ultmrelatywizmu w dydaktyce matematyki. Jak wiadomo, relatywizm po­

znawczy to pogląd głoszący względność i subiektywność poznania. Pod wpły­

wem błędnie rozumianego twierdzenia Godła o niezupełności bogatszych syste­ mów aksjomatycznych, wygłaszane są rozmaite, sugestywne, choć często naiw­ ne sądy o matematyce. Oto fragment krytycznego opisu tego zjawiska:

(...) pojęcie matematycznej prawdziwości, niefortunne lekceważenie tego w dydaktyce matematyki w ostatnich czasach, i będąca następstwem tego rosnąca przepaść pomiędzy dziedzinami: matematyką i dydaktyką mate­ matyki. (...)

Modne, kontestujące trendy intelektualne, które wpływały na bada­ nia z dydaktyki matematyki w ostatnich dwóch dekadach są ultrarela-

tywistyczne. Takie poglądy są ideologiczne (w tym sensie, że są niefal-

syfikowalne), gdyż kontrargument jest uważany jedynie za alternatywny punkt widzenia. Obejmują one: radykalny konstruktywizm, radykalny społeczny konstruktywizm, warianty postmodernizmu, z których każdy na swój sposób zaprzecza możliwości obiektywnej wiedzy, prawdziwości, czy prawomocności, co z góry odrzuca główną podstawę badań matema­ tycznych (...) Ostatnio pojawiły się pretensjonalne głosy, że matematyka składa się całkowicie z „pojęciowych metafor” (Lakoff i Nunez, 2000), co zgodnie z oczekiwaniami spotyka się z przychylną reakcją u części bada­ czy w dydaktyce matematyki. Są tylko pojęcia, nie ma błędnych pojęć (Goldin, 2002, s. 163, 165).

3. P ie rw sze p rz y b liż e n ie p ro p o n o w a n e j k o n ce p cji. Będziemy używać pomocniczego terminu twór matematyczny, który obejmuje rozmaitego typu twory będące przedmiotem rozważań matematyków: pojęcia (liczby, punkty, zbiory, relacje), zdania, formy zdaniowe, fakty jednostkowe (takie jak 5 < 7 ) , twierdzenia, dowody, standardowe fragmenty wnioskowań, struktury, proce­ dury (w tym algorytmy, które cechuje jednoznaczność wszystkich kroków).

3.1. Oto wstępny opis trzech wspomnianych wyżej koncepcji; dokładniej będą one stopniowo przybliżane czytelnikowi w dalszych częściach tej pracy.

Formy powierzchniowe jakiegoś pojęcia lub innego tworu matematycznego

T r o j a k a n a t u r a m a t e m a t y k i

45

na ekranie komputera, w tym wszelkiego typu symbole matematyczne, wyrazy języka polskiego i gotowe rysunki) i na d z i e j ą c e s i ę w c z a s i e (np. akt po­

wstawania rysunku pomocniczego, liczenie przedmiotów, gesty takie jak ruch palca pokazujący linię śrubową).

Formy powierzchniowe tworów matematycznych służą różnorodnym celom:

1) mogą być n a z w a m i , umożliwiającymi powstawanie pojęć; 2) są n a r z ę ­ d z i a m i , bez których praktycznie niemożliwe jest zajmowanie się matematy­ ką, niezbędne są bowiem przy wykonywaniu obliczeń, rozwiązywaniu zadań, dowodzeniu twierdzeń, a nieraz (jak symbole algebry, ^ i / ) umożliwiają nowy sposób rozumowań); 3) służą jako ś r o d e k k o m u n i k o w a n i a się w kwe­ stiach dotyczących matematyki i jej zastosowań. Formy te są zapewne iden­ tyczne z Darstellungen, czyli z reprezentacjami zewnętrznymi w sensie Meiss­ nera (2002). Tekst definicji jakiegoś pojęcia, tekst twierdzenia — to formy powierzchniowe.

Modele formalne pojęć i innych tworów matematycznych to ich odpowied­

niki w t e o r i a c h a k s j o m a t y c z n y c h (szerzej omawiamy je w części 8). 3.2. Najtrudniejsza do objaśnienia jest idea głęboka jakiegoś pojęcia lub innego tworu matematycznego. Określimy ją wstępnie jako i d e ę tego tworu, jego (szeroko interpretowany) s e n s — taki, jaki przypisują mu o s o b y , u któ­ rych ten twór jest wystarczająco ukształtowany (to znaczy nie jest chwiejny ani uzależniony od konkretu) — oraz cel , dla którego ów twór się rozważa. Trudność opisu idei głębokich wynika z tego, że znajdują się one w umyśle i można o nich wnioskować jedynie p o ś r e d n i o , gdy ujawniają się poprzez formy powierzchniowe. Ponadto trudność sprawia określenie, czym jest sens w matematyce oraz czym jest rozumienie tego sensu. Również cel (lub cele) związany z danym tworem (jego znaczenie celowe, objaśnione w Semadeni, 2002c, 4.6) jest trudny do zdefiniowania, jakkolwiek niewątpliwie odgrywa podstawową rolę w rozważaniach matematyków. W dalszej części pracy, dobie­ rając odpowiednie przykłady i komentując je, będziemy stopniowo przybliżać proponowaną tu koncepcję idei głębokich i opisywać ich własności.

Pr z y k ł a d 1. Zapis 8 • 4 = 32 jest formą powierzchniową; jest to przedsta­ wienie pewnego faktu za pomocą znaków: „8” , „4” , „3”, „2” , „ = ” . Odpo­ wiada mu idea głęboka: rozumienie, co ten zapis z n a c z y . W zapisie 8*4 = 32 mieści się bogata treść (są to przeróżne aspekty, matematyczne i pozamate- matyczne, tej równości). Znanych jest kilka modeli formalnych tej równości; są to odpowiednie zdania prawdziwe w arytmetyce Peano i w innych teoriach

dukcyjnych, obejmujących arytmetykę, np. w arytmetyce liczb rzeczywistych lub w teorii mnogości). Tak więc ten sam zapis ma trojaką interpretację: po­ wierzchniową, głęboką i formalną, zależnie od punktu widzenia. Można również trojako traktować każdy z symboli „8”, „32”, „ = ” z osobna.

3.3. Dla uproszczenia wysłowień będziemy nieraz używać skróconych zwro­ tów typu: idea głęboka A (gdzie A jest jakąś nazwą lub symbolem; A może oznaczać np. „trójkąt równoboczny” , „8-4 = 32”, „7r jest liczbą niewymierną”, „algorytm dzielenia wielomianu przez wielomian” ), rozumiejąc przez to ideę głęboką tworu oznaczonego symbolem A.

Typowy twór matematyczny A ma więc trzy zasadnicze i n t e r p r e t a c j e . Są to: 1) jego idea głęboka, 2) jego formy powierzchniowe, 3) jego modele for­ malne. W pracy tej będziemy analizować rozmaite związki między tymi trzema interpretacjami. Kwestię, czym jest idea głęboka, będziemy bliżej wyjaśniać w częściach 12-14.

3.4. W przykładzie 1 ujawnia się pełna harmonia między trzema interpre­ tacjami: głęboką, powierzchowną i formalną równości 8 • 4 = 32. Gdyby tak było zawsze, całe to trychotomiczne rozróżnianie nie byłoby istotne. Okazuje się jednak, że w pewnych p o d s t a w o w y c h dla matematyki sytuacjach p o ­ j a w i a j ą się d y s o n a n s e , niezgodności pomiędzy tymi interpretacjami i te

właśnie sytuacje są najbardziej interesujące, ukazują bowiem w nowym świetle rozmaite problemy.

PRZYKŁAD 2. Ideę głęboką „ para uporządkowana (a:,y)” można poglądowo opisać słowami: „para, w której element x jest na pierwszym miejscu, a ele­ ment y na drugim miejscu” lub „pewien obiekt matematyczny, jednoznacznie wyznaczony przez x i y, mający swoje pierwsze i drugie miejsce oraz mający

x na na pierwszym miejscu i y na drugim miejscu; pary przy tym mają speł­

niać warunek: ( x, y) = {z, u) wtedy i tylko wtedy, gdy x = z i y = u ” . Takie rozumienie pary w zupełności wystarcza, aby zajmować się matematyką (i to bardzo zaawansowaną); z wyjątkiem pewnych specjalnych teorii, żadna defini­ cja podająca sposób wyrażania pary uporządkowanej w języku teorii mnogości nie jest konieczna.

T r o j a k a n a t u r a m a t e m a t y k i 47 kwencje, przemilczenia oraz związane z tym n i e u s u w a l n e trudności epi- stemologiczne. Cała ta sprawa jest dokładnie omówiona w (Semadeni, 20()2b, 2.3); tutaj przytoczymy tylko główną konkluzję. Parę (x , y ) można zdefinio­ wać w języku teorii mnogości na wiele nierównoważnych sposobów, z których większość ma tylko znaczenie historyczne, a pozostały do dziś dwa:

(!) ( z ,2/)para = { { ^ } , 2 /}} oraz ( z ,y ) c i ąg = { { ! , { ! , & } } , {2, {2, y } } } .

Te dwie definicje pary, f o r m a l n i e wprowadzone i r ó w n o c z e ś n i e obowią­ zujące w aksjomatycznej teorii mnogości, prowadzą do dwóch r ó ż n y c h defi­ nicji iloczynu kartezjańskiego A x B ; choć iloczyn A x B w pierwszym sensie jest różny od iloczynu A x B w drugim sensie, traktuje się je, jak gdyby były rów­ ne, odstępując od powszechnie przyjętych rygorów ścisłości. Interpretujemy to następująco: matematykom ta niezgodność nie przeszkadza, bowiem — wbrew słownym deklaracjom — w swych rozumowaniach używają n ie d e f i n i c j i , lecz opisanej powyżej idei głębokiej (a wielu z nich podaje studentom obie definicje, nie zdając sobie nawet sprawy z istnienia tej niezgodności). Jednej idei głębokiej „para uporządkowana (z, y ) n odpowiadają dwa modele formalne:

{ x , y )para 1 ( z , 2/)ciąg, ale mamy tu sytuację w y j ą t k o w ą , inną niż w przykła­ dzie 1, bowiem obie te formy pochodzą z te j s a m e j teorii aksjomatycznej.

W niemal wszystkich przypadkach, gdy jakaś idea głęboka ma dwa mode­ le formalne, wystarczy po prostu wybrać jeden z tych modeli, a z drugiego zrezygnować (tak jak np. w przypadku liczby ir w przykładzie 6); wówczas niejednoznaczność znika. Tutaj ta niejednoznaczność jest nieusuwalna. Mamy tu swoiste, jedyne w swoim rodzaju, z a p ę t l e n i e si ę modeli idei głębokiej „para uporządkowana” — anomalię, z którą trzeba się pogodzić.

Dopóki ktoś zajmuje się wyłącznie aksjomatyczną teorią mnogości, nie ma potrzeby utożsamiania zbiorów (x ,y )para i {x,y)ciągJ nie jest to niezbędne do dedukcji, a znaczenie pojęć nie jest brane pod uwagę. W zwykłej działalności matematyka też nie odgrywa to istotnej roli, bowiem w p r a k t y c e korzysta się bądź z idei głębokiej, bądź z pary rozumianej jako ciąg dwuwyrazowy.

Ujawnia się tu wyraźnie bardzo ważna, kluczowa własność idei głębokich: • w przypadku d y s o n a n s u p o j ę c i o w e g o , pomiędzy ideą głęboką a mo­ delem formalnym, g ó r ę b i e r z e idea g ł ę b o k a , o ile tylko nie prowadzi to do nieusuwalnej sprzeczności lub nieusuwalnego błędnego koła.

kim sukcesem matematyki XIX wieku było pokazanie możliwości zastąpie­ nia nieprecyzyjnych, intuicyjnych rozumowań dotyczących granic przekształ­ caniem odpowiednich nierówności, a tym samym sprowadzenia tych rozumo­

wań do odpowiedniego przekształcania form powierzchniowych. Pozwoliło to na

zasadnicze podniesienie standardów ścisłości.

Jednakże miało to swoje negatywne konsekwencje. Jeśli u studenta nie ukształtuje się należycie idea głęboka granicy, to zamiast rozumowania uczy się on manipulowania symbolami. Konsekwencją formalistycznego ujmowa­ nia matematyki jest wymóg posługiwania się w y ł ą c z n i e definicją pojęcia; uważa się, że reszta to „intuicja” , która może być myląca i nie powinna mieć wpływu na dedukcję. W praktyce degeneruje się to niejednokrotnie do za­ pamiętywania przez studenta jedynie takich form powierzchniowych, jak owe Ve > 0 3N . . .; co gorsza, jest to później przenoszone do szkół, zgodnie z obra­ zem, jaki nauczyciel wyniósł ze studiów.

Pr z y k ł a d 4. Ideami głębokimi są: sens pojęcia „liczba pierwsza” , sens

wzoru na pole koła, sens prawa wielkich liczb Bernouliego, sens algorytmu Euklidesa, idea dowodu, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Te idee głębokie dotyczą sensu, znaczenia, jakie przypisujemy określonym poję­ ciom, związkom między pojęciami, twierdzeniom, dowodom, procedurom.

W częściach 7-11 tej pracy podamy wiele innych przykładów; wykorzysta­ my je do opisu różnych zjawisk związanych z rozważanymi koncepcjami.

4. Id e e g łę b o k ie a fo rm a listy czn e p o d e jś c ie d o m a tem a tyk i. W po­ niższym przeglądzie zwrócimy uwagę na ważne, choć niedoceniane zjawisko: istnieją dwa różne obrazy matematyki. 1

1 i. Jeden obraz, w y i d e a l i z o w a n y , a zarazem stereotypowy, przedsta­ wia t at jmatykę jako dyscypliny nauuow,., którą cechuje niedościgniony ideał precyzji definicji oraz absolutna pewność i ścisłość prowad. onych rozumowań, opartych na perfekcyjnej dedukcji.

T r o j a k a n a t u r a m a t e m a t y k i 49 które można w sposób formalny wydedukować z aksjomatów, a same aksjo­ maty mogą być dowolnie przyjęte; jedynym ograniczeniem jest niesprzeczność systemu .

4.2. Drugi obraz przedstawia matematykę w innym świetle, b o g a t s z y m i zarazem znacznie trudniejszym do adekwatnego opisu. Oto kilka cytatów, ilustrujących to zagadnienie.

Matematyka, dawniej rozumiana jako nauka o liczbach i figurach geome­ trycznych, obecnie łamie ramy wszelkich definicji wytyczających przed­ miot jej badań. Nie udało się dotąd znaleźć określenia, które charakte­ ryzowałoby matematykę w pełni i zadowalało choćby samych matematy­ ków. (...) Matematyka posługuje się w zasadzie metodą dedukcyjną (...) (Hartman i Ryll-Nardzewski, 1966).

W powyższym cytacie na szczególną uwagę zasługują słowa „w zasadzie” , głęboko niezgodne z formalistycznym nastawieniem większości matematyków w owych latach, kiedy przeważał pogląd, że aby rozumowanie w matematy­ ce było zaakceptowane jako poprawne, musi być czysto dedukcyjne (a reszta to niepewna „intuicja” ). Również daleka od panującego wówczas formalizmu była wypowiedź Andrzeja Mostowskiego, jednego z największych autorytetów w dziedzinie l o g i k i matematycznej:

Twierdzenie Godła rozwiało te złudzenia (...) Skąd zatem bierze się na­ sze głębokie przekonanie o rozróżnialności prawdy i fałszu, nawet tylko w odniesieniu do zdań matematycznych? Musimy przyznać otwarcie, że nie wiemy.

Godeł porównuje oczywistość niektórych praw matematycznych z oczywistością opartą na postrzeganiu zmysłowym, a Post pisze, że „...nie­ unikniony jest przynajmniej częściowy odwrót od całego aksjomatyczne- go prądu z końca XIX i początku XX wieku oraz powrót do pojęć zna­

czenia i prawdy, będących istotą matematyki” (Mostowski, 1948, s. 373;

por. Mostowski, 1972, s. 84).

Powtórzmy: znaczenie i prawda to istota matematyki. Słowo „prawda” dotyczy rozumowania, dowodzenia; słowo „znaczenie” można interpretować jako idee głębokie. „Aksjomatyczne prądy” to uznawanie jedynie modeli formalnych za pełnoprawną matematykę. Porównanie Godła „oczywistości niektórych praw *

50

matematycznych” do „oczywistości opartej na postrzeganiu zmysłowym” od­ nosi się do oczywistości pewnych idei głębokich.

Poniższe mocne, antyformalistyczne stwierdzenia pochodzą od Richarda Couranta i są szczególnie godne uwagi, bowiem był on uczniem i współpra­ cownikiem Hilberta, a tekst ten pisany był w 1941 roku. Słowo „logika” znaczy tu: dedukcja, słowo „intuicja” można interpretować — przynajmniej częściowo — jako idee głębokie.

Jej [matematyki] podstawowymi elementami są: logika i intuicja, analiza i forma, uogólnianie i indywidualizowanie. Różne tradycje podkreślały różne spośród tych aspektów, jednak tylko gra tych przeciwstawnych sił, walka o ich syntezę stanowi o żywotności, użyteczności i ogromnym zna­ czeniu matematyki (Courant i Robbins, 1962, s. 11).

Na początku XX wieku wielkim przeciwnikiem nadmiernej formalizacji był wielki matematyk francuski Henri Poincare; w poniższym tekście słowa „owo nieuchwytne coś” to idea głęboka danego dowodu.

Kiedy logik rozłoży każdy dowód na mnóstwo działań elementarnych, z których każde będzie poprawne, nie będzie on jeszcze w posiadaniu ca­ łej rzeczywistości; owo nieuchwytne coś, które nadaje jedność dowodowi, wymknie się z jego sieci (Poincare, 1911, s. 94).

4.3. Niniejsza praca zainspirowana została ważnym artykułem Mostow­ skiego, który trzy lata przed śmiercią sformułował takie oto myśli:

Przekonanie, że sformalizowana nowoczesna logika jest podstawą mate­ matyki, przyjęło się wśród pedagogów, i ono częściowo jest przyczyną powstania pewnycłi kierunków w matematyce szkolnej.

Ale oficjalna wiara to jedno, a życie i temperament to drugie. Wpraw­ dzie często mówimy, że matematykę można przedstawić w postaci for­ malnego systemu i zbudować ją na gruncie logiki, wzbogaconej niewielką liczbą aksjomatów’, ale n a p r a wd ę tego wcale nie robimy. Przeciwnie, przeważająca część matematyków stroni od formalnych dowodów i jak dawniej rozumuje tylko na gruncie intuicji. (...)

Próby budowania systemów formalnych stworzyły oczywiście pewien ideał ścisłości dowodów’ matematycznych. (...) Jak wspomniałem już jed­ nak, ten ideał nie daje się praktycznie zrealizować (...) Umysł ludzki pracuje najwyraźniej w świecie inaczej niż maszyna. Toteż nie należy twierdzić, że dowód jest tym lepszy, im bardziej zbliża się do dowodu sformalizowanego. (...)

T r o j a k a n a t u r a m a t e m a t y k i 51 uwagę na ścisłość rozumowania i precyzję definicji, a mniejszą na ciekawo fakty matematyczne. Moim zdaniem jest to zjawisko godne pożałowania.

(...)

Szkoda, że z arsenału nowoczesnej matematyki wybrano dla wielu szkolnych programów właśnie ten trochę beznadziejny kierunek. (...) Lo­ gika powinna przyjść na końcu nauki, w ostatniej klasie liceum, jako refleksja nad użytymi w poprzednio poznanym materiale środkami do­ wodowymi (Mostowski, 1972, s. 81-84).

4.4. Bezpośredni wpływ na dobór podstawowych pojęć tej pracy miały następujące uwagi Rene Thoma:

(...) nasza analiza rozwoju myśli ujawnia jedynie najgrubsze wiązanie procesu rozumowania, zaniedbując subtelne wzajemne oddziaływanie wy­ nikające z sensu, znaczenia, które z trudem daje się wyrazić czy sforma­ lizować. Te grube wiązania są właściwą dziedziną logiki, rachunku zdań. Odpowiada to strukturze „powierzchniowej”, jak to się mówi w lingwis­ tyce* . W języku potocznym jest ona stale zachwiana, załamywana przez wymogi „głębokich” struktur znaczeniowych (Thom, 1974b, s. 134).

Innymi słowy, aby móc stosować prawa logiki do pojęć matematycznych, trze­ ba je najpierw przełożyć z idei głębokich na powierzchniowe.

5. S tru k tu ry g łę b o k ie w opisie Skem pa. Cytowany powyżej Thom zwrócił uwagę na istotę stosunku logiki do struktur głębokich. Oprócz niego, o strukturach głębokich w kontekście matematyki pisał również Skemp (1982), w pracy opublikowanej w specjalnym zeszycie pisma Visible Language, zaty­ tułowanym „Rozumienie symbolizmu matematyki”. Jego podejście wyraźnie akcentuje aspekt p r z e k a z y w a n i a idei matematycznych.

Rozróżnia się struktury powierzchniowe (składnię) systemu symboli ma­ tematycznych [mathematical symbol-systems] od struktur głębokich (se­ mantyki) schematów matematycznych [mathematical schemas]. Znacze­ nie matematycznej wiadomości [77ie meaning of a mathematical com­

munication] leży w strukturach głębokich [lies in the deep structures]

— w samych ideach matematycznych i w ich związkach. Jednakże zna­ czenie to może jedynie być przekazane i odebrane pośrednio, poprzez

52

Zb i g n i e w Se m a d e n i struktury powierzchniowe; odpowiedniość między strukturami głębokimi a powierzchniowymi jest tylko częściowa.

(...) Te idee [matematyczne] są obiektami czysto umysłowymi: niewi­ doczne, niesłyszalne i nie łatwo osiągalne nawet dla ich posiadacza. Za­ nim je przekażemy, idee muszą być przypisane do symboli. Symbole mają podwójny status: są tworami [objects] umysłowymi, o których i za pomo­ cą których możemy myśleć, ale są też obiektami fizycznymi — znakami na papierze, dźwiękami — które możemy widzieć lub słyszeć. Służą też jako etykietki i jako „uchwyty” przekazywanych pojęć, którym są przy­ pisane. Symbole to łącznik między wewnętrznym światem naszych myśli a zewnętrznym światem fizycznym.

(...) Tym, co próbujemy przekazać, są struktury pojęciowe [concep­

tual]. Sposobem, w jaki to przekazujemy lub próbujemy przekazać, jest

pisanie lub wymawianie symboli. Te pierwsze są najważniejsze. Tworzą

głęboką stwkturę matematyki (Skemp, 1982, s. 281).

Skemp podaje, że np. znaki liczb 1, 2, 3, . . . są na poziomie struktur po­ wierzchniowych, a odpowiadające im pojęcia liczb są na poziomie struktur głę­ bokich. Pewne związki między symbolami reprezentują związki między poję­ ciami (np. kolejność wypisywania liczb 1,2,3 odpowiada relacji „jest mniejszy niż” ; układ przestrzenny typu 572 pokazuje, że chodzi tu o uwzględnienie 102, 10 1, 10° i sumy ich iloczynów przez 5, 7 i 2).

Możliwe środki przedstawienia związków między symbolami są dość ogra­ niczone; w grę wchodzą: ich kolejność na papierze (typu: lewy/prawy, po­ wyżej/poniżej, szyk prostokątny [two dimensional array] symboli w macierzy itp.), ich kolejność w czasie, gdy są one wymawiane.

Następnie Skemp rozwija te wątki w ramach swojego modelu inteligencji, nadal koncentrując się na problemie komunikowania i odbioru idei matema­ tycznych. Zwraca także uwagę na znany fakt, że dzieci nie mające ukształto­ wanych odpowiednich pojęć w strukturach głębokich uczą się manipulowania obiektami zastępczymi: pustymi symbolami, uchwytami nie doczepionymi do niczego, etykietkami bez zawartości.

Do Skempa nawiązuje Turnau (1986, s. 163-166), rozpatrując przykład roz­ wiązywania nierówności (x + 2)(z — 3) < 0 dwoma sposobami: 1) rozumowo, w płaszczyźnie struktur głębokich, 2) w płaszczyźnie struktur powierzchnio­ wych, przez mechaniczne stosowanie pewnych schematów.

T r o j a k a n a t u r a m a t e m a t y k i 53 bez nich nie da się uprawiać matematyki. Modele formalne służą systematy­ zacji teorii, weryfikacji ich poprawności i lepszemu poznaniu ich struktury, ich zakresu i ograniczeń. Godna uwagi jest następująca opinia:

(...) formalizacja była dla Hilberta tylko zabiegiem metodycznym, na­ rzędziem mającym służyć realizacji programu ugruntowania matematyki klasycznej. Hilbert nigdy nie twierdził, że matematyka jest systemem sformalizowanym. Dla niego była to tyko rekonstrukcja istniejącej mate­ matyki dokonywana w pewnym określonym celu (Murawski, 1993, s. 57).

6.1. Te trzy podstawowe aspekty tworów matematycznych są ze sobą nie­ rozerwalnie powiązane i jakkolwiek każdy z nich ma swoje specyficzne cechy, które będziemy analizować, nie da się ich rozseparować. Nie występują na ogół w „czystej” postaci; to, jak je wyodrębnimy, jest wyrazem naszej i n t e r p r e ­ t a c j i danej sytuacji.

Poglądowo tę koncepcję można ująć w postaci t r ó j k ą t a o wierzchołkach G, P, F; wówczas rozpatrywane sytuacje lokują się w obrębie tego trójkąta, gdzieś wewnątrz niego, bliżej lub dalej od poszczególnych wierzchołków. Zmia­ na interpretacji — to przemieszczenie tej sytuacji w tym trójkącie.

Oczywiście te trzy aspekty G, P, F dają tylko częściowy obraz matematyki, obejmują jedynie z n a n ą już jej część i nie uwzględniają myślenia twórczego, heurystyki, rozwiązywania problemów, procesu matematyzacji itp.

Jądrem tej pracy jest opis koncepcji idei głębokich oraz omówienie ich stosunku do ich modeli formalnych. Kwestią wzajemnego stosunku form głę­ bokich do form powierzchniowych zajmujemy się jedynie w takim zakresie, w jakim jest to potrzebne przy analizie tych pierwszych. W szczególności nie rozpatrujemy tu kłopotów związanych z symboliką matematyczną.

6.2. W historycznym rozwoju matematyki na ogół najwcześniej pojawiała się (mniej lub bardziej ukształtowana) idea głęboka danego pojęcia, później potrafiono to wyrazić za pomocą form powierzchniowych, a jeszcze później bu­ dowano odpowiednie modele formalne. Idee głębokie, a także odpowiadające im formy powierzchniowe i modele, ulegały nieraz mniejszym lub większym przeobrażeniom, często jedne pod wpływem drugich. Na ogół te przeobrażenia nie były zasadnicze i możemy mówić o pewnej t o ż s a m o ś c i rozwijającego się pojęcia (np. pojęcia pola figury od czasów greckich po dzisiejsze).

W XX wieku coraz częściej zdarzało się, że nowe idee głębokie niemal na­ tychmiast włączano w jakąś teorię i prezentowano je w postaci modeli formal­ nych. Być może to właśnie było przyczyną, dla której podejście formalistyczne ogromnie się rozpowszechniło i stało się normalnym sposobem akademickiego myślenia o matematyce, co spowodowało najpierw zmianę stylu prezentowania prac badawczych, potem zmianę profilu wykładów uniwersyteckich, aż wresz­ cie — jako „nowa matematyka” — weszło do szkół.

6.3. Ujęcie przedstawione w tej pracy różni się od ujęcia Skempa dwoma istotnymi elementami. 1° Dualistyczny opis Skempa w kategoriach: „struktury głębokie - struktury powierzchniowe” uzupełniamy o niezbędny trzeci człon — modele formalne. 2° Nie ograniczamy się do problemów komunikowania i od­ bioru komunikatów matematycznych, lecz rozszerzamy ich zakres, włączając problemy dotyczące pojęć matematycznych i prowadzonych rozumowań*.

7. F orm y p o w ie rzch n io w e . Opiszemy nieco dokładniej drugą z trzech wymienionych we wstępie koncepcji.

7.1. Formy powierzchniowe to zmysłowo postrzegalne z n a k i (głównie wi­

zualne lub akustyczne), reprezentujące twory matematyczne. Formami takimi są symbole matematyczne, słowa dowolnego języka, ciągi zerowo-jedynkowe, rysunki figur geometrycznych, wykresy funkcji, programy komputerowe, ru­ chy ciała, którymi chce ktoś przekazać coś o tych tworach etc. Formy po­ wierzchniowe dzielimy (por. Polański, 1993, s. 645) na k o n w e n c j o n a l n e , w których symbole i ich składnia są ustalone przez ściśle określone reguły, przyjęte przez osoby ich używające oraz n a t u r a l n e (gesty, nieformalne ry­ sunki), których interpretacja jest spontaniczna, a związek z reprezentowanym tworem jest albo domyślny, albo wyjaśniany na poczekaniu. Symbole mate­ matyczne stanowią najważniejszy składnik form powierzchniowych konwen­ cjonalnych, podlegają przy tym pewnym regułom s y n t a k t y c z n y m (skład­ niowym). Reguły te opisują, jakie układy symboli są dozwolone w ramach danego systemu.

T r o j a k a n a t u r a m a t e m a t y k i

7.2. Formy powierzchniowe uważamy za synonimiczne, gdy znaczą to sa­ mo, a zamiana jednej na drugą wymaga jedynie uwzględnienia reguł składnio­ wych. Formy takie uważamy za w pełni synonimiczne, gdy znaczą dokładnie to samo, a różnica między nimi dotyczy jedynie konwencji notacyjnycłi .

Pr z y k ł a d 5. Wyrażenie ([a -I- b)]2 jest syntaktycznie nieakceptowalne, bowiem ma niepoprawnie napisane nawiasy (taki błąd potrafiłby zidentyfiko­ wać komputer). Formy powierzchniowe „(ab) -I- c” i „ab -1- c” są synonimicz­ ne, ich równość wynika z reguły opuszczania nawiasów. Natomiast „5 -I- 3” i „8” nie są synonimiczne, bowiem ich znaczenie jest różne; jest to szczegółowo omawiane w (Semadeni, 2002a, 7.2). Wyrażenia

n

(2) a\+ . . . -F an i ^ a,j

j=i

są w pełni synonimiczne, podobnie jak (sinrr) 2 i sin2 z. Wyrażeń (a ł b)2

oraz a2 + 2ab 4- b2 nie uznamy tu za synonimiczne, bowiem ich równość nie wynika z samych reguł składniowych, lecz jest konsekwencją przemienności działania ab. Jednakże pojęcie synonimiczności nie jest absolutne; zależy od tego, co zaliczymy do reguł składniowych i można by włączyć do nich tę prze- mienność.

7.3. Zdarza się, że jakieś pojęcie jest początkowo określone za pomocą form powierzchniowych, a przeliczenia, wyprowadzenia wzorów itp. są wy­ konywane wyłącznie przez przetwarzanie form powierzchniowych. Po jakimś czasie, w rezultacie zbierania doświadczeń, refleksji, interpretowania wyników, po poznaniu i zrozumieniu rozmaitych związków, pojęcie to może stopniowo stać się ideą głęboką.

Cytowaną w 4.4 uwagę Thoma można wyrazić następująco: właściwą dzie­

dziną l o g i k i i rachunku zdań są formy powierzchniowe. Im bardziej formalnie

traktujemy jakąś teorię, tym większe są wymagania dotyczące precyzji języka i zakresu dopuszczalnych wyrażeń. Logika matematyczna — ze swojej natury — odnosi się głównie do j ę z y k a , do tego, co jest poprawnie przedstawione w języku jakiegoś systemu, a więc do form p o w i e r z c h n i o w y c h .

8. M o d e le form a ln e tw o ró w m a tem a ty czn y ch . Pewne cechy idei głę­ bokich ujawniają się przy badaniu ich związków z modelami formalnymi. Mo­ dele te — to odpowiednie f r a g m e n t y (termy, zdania, definicje, dowody itp.), wzięte z adekwatnych teorii a k s j o m a t y c z n y c h . Większość ważnych *

* Synonimiczności form powierzchniowych nie należy mylić z zupełnie innym pojęciem:

56

Zb i g n i e w Se m a d e n i idei głębokich ma co najmniej jeden, powszechnie znany model.

PRZYKŁAD 6. Oznaczmy symbolem n o liczbę n wyrażoną w języku teorii liczb rzeczywistych Dedekinda; jest to odpowiedni przekrój Dedekinda, czyli pewna para zbiorów liczb wymiernych. Z kolei symbolem n c oznaczmy liczbę n w teorii Cantora; jest to klasa równoważności pewnych ciągów liczb wymier­ nych (ciągów Cauchy’ego). Oczywiście n o ^ nc- Można więc spytać: Który z tych zbiorów (n o czy n c) jest „prawdziwą” liczbą 7r? Ponieważ żadnej z obu teorii: Dedekinda i Cantora nie można uznać za jedyną dopuszczalną alterna­ tywę (lub choćby za teorię mającą zdecydowaną przewagę nad drugą), można rzec, że żaden ze zbiorów n o i n c nie jest „lepszy” od drugiego. W tej sytu­ acji jedynym wnioskiem jest, że ż a d e n twór w teorii mnogości nie może być uznany za „prawdziwą” liczbę n. Formalista uzna powyższe pytanie za bez­ przedmiotowe; powie, że nie ma niczego takiego, jak „prawdziwa” liczba n. Jeśli ktoś jest zadeklarowanym platonikiem, może uznać, że jest nią idea pla­ tońska liczby 7T (por. notkę w 8.5). W pracy tej przyjmujemy, że istotą rzeczy jest, tu i d e a g ł ę b o k a „liczba n'\ a zbiory n o i n c to jej m o d e l e w od­

powiednich teoriach. Przykład ten pokazuje, że

• jedna idea głęboka może mieć modele w różnych teoriach, przy czym idea ta jest innym bytem epistemologicznym niż jej modele.

8.1. Każdy model formalny musi odnosić się do jakichś idei głębokich, do związków między nimi i do twierdzeń dowodzonych l o k a l n i e . Przejście od idei głębokich do ich modeli formalnych to formalizacja; przejście odwrotne — od modeli do idei — to interpretacja, która powinna być zgodna z ich intuicyjnym sensem.

Przyporządkowanie idea-model jest na ogół wzajemnie jednoznaczne (przy ustalonej teorii aksjomatycznej). Nieraz jednak ujawniają się przypadki roz­ szczepień lub sklejeń, których przykłady omawiamy w tej pracy. Jeśli w takim modelu nie ujawniają się żadne trudności pojęciowe, uznajemy go za model

zwyczajny i nie zajmujemy się nim. Koncentrujemy natomiast uwagę na ta­

kich przypadkach, których analiza ujawnia jakieś swoiste trudności lub inte­ resujące zjawiska. Najważniejsze są dla nas te przykłady, które pozwalają na sformułowanie jakiejś ogólniejszej myśli.

Bardzo ważną cechą teorii aksjomatycznych jest to, że — w ramach ta­ kiej teorii — jej abstrakcyjnym pojęciom nie przypisuje się żadnego znaczenia, a znaczeniem twierdzenia może być tylko 1 lub 0, prawda lub fałsz. Również wszystkie kroki dedukcyjne w takiej teorii muszą być wolne od przypisywania im jakiegokolwiek znaczenia. Znaczenie nadaje tym formalnym obiektom ich interpretacja w ideach głębokich.

T r o j a k a n a t u r a m a t e m a t y k i

57

idei głębokich. Wymienimy niektóre z nich: dwa modele idei głębokiej „kwa­ drat” (przykład 15), dwa modele idei głębokiej „cosinus” (przykład 19), dwa modele idei głębokiej „miejsce zerowe” (Semadeni, 2002c, przykład 4).

8.2. Jedną z cech specyficznych „nowej matematyki” w szkole średniej było to, że wiele pojęć, które uprzednio traktowano jako idee głębokie, zastąpiono ich modelami formalnymi. Na przykład, idee głębokie „funkcja” i „ciąg” za­ stąpiono ich modelami w teorii mnogości, a pewne idee głębokie w geometrii zastąpiono ich modelami w arytmetyce lub algebrze. Miało to poprawić nau­ czanie, ale okazało się iluzją, bowiem bez odpowiednich idei głębokich pojęcia te pozbawione były interpretacji, były „uchwytami” nie doczepionymi do ni­ czego, jak to określił cytowany już Skemp (1982).

9. P r z y k ła d y idei g łę b o k ich w a ry tm e ty ce . Poniższe przykłady 7-14 pozwalają uwypuklić pewne własności idei głębokich.

9.1. Zaczynamy od przeglądu idei głębokich odpowiadających podstawo­ wym p o j ę c i o m (w 9.3 zajmiemy się sądami). Podział pojęcia sądy nie jest, tu tak ostry jak w logice, bowiem w idei głębokiej pojęcia tkwią pewne jego związki z innymi pojęciami, a te związki mają charakter sądów.

Pr z y k ł a d 7. Liczby i działania. Do najwcześniejszych idei głębokich, ja­

kie kształtują się w umyśle dziecka, należą poszczególne, niewielkie liczby 1, 2, 3 , . . . i ich kolejność. Później pojawia się liczba zero, dziecko poznaje co­ raz większe liczby, kształtuje się świadomość układu dziesiętnego, opanowuje ono działania arytmetyczne itd. Każde ze związanych z tym pojęć, jeżeli się należycie ukształtuje w umyśle danej osoby, staje się ideą głęboką.

• Poszczególne idee głębokie kształtują się długo, stopniowo, aż staną się sta­ bilne, trwałe, wykorzystywane w rozmaitych sytuacjach i w rozmaitych zależ­ nościach; później, wprawdzie związane z tym pojęcia dalej jeszcze dojrzewają, wzbogacają się ich z n a c z e n i a (w sensie opisanym w Semadeni, 2002c), ale od pewnego momentu można mówić o tożsamości tych pojęć.

PRZYKŁAD 8. Liczba naturalna jest pewną s y n t e z ą wielu aspektów: licz­ by kardynalnej, (zbioru skończonego), liczby porządkowej, liczby przypisanej miarom wielkości, liczby będącej elementem systemu arytmetyki (Freudenthal, 1973, s. 170-199; Turnau, 1990, s. 120-124). Znane i ważne są trzy podstawowe typy modeli formalnych tego pojęcia.

(Mostow-ski, 1948, s. 172-186) oraz, jeszcze później, przez aksjomatyczne ujęcie pojęcia liczby kardynalnej w (Kuratowski i Mostowski, 1952, s. 97 i 99).

Drugi typ modelu formalnego „liczba naturalna” to aksjomatyczna teo­ ria Peano (Mostowski, 1948, s. 174; Grzegorczyk, 1971). W systemie takim nie objaśnia się w ogóle znaczenia słowa liczba, nie wiąże się tego z równolicznością zbiorów, postuluje się tylko, że liczby spełniają pewne aksjomaty.

Trzeci typ modelu to konstruowanie liczb naturalnych jako pewnych wy­ myślnych z b i o r ó w , a mianowicie najbardziej obecnie popularna (w aksjo- matycznej teorii mnogości) definicja von Neumanna (Kuratowski i Mostowski, 1978, s. 99). Zdarza się nieraz, że student nie odróżnia pewnych pojęć od ich modeli w teorii mnogości; wiara, że zbiór {0, {0}, {0, {0} } , {0, {0}, {0, {0} } } } („cztery” w ujęciu von Neumanna) to „ścisła”, „prawdziwa” liczba 4, jest równie naiwna, jaką np. byłaby wiara, że ciąg dwójkowy 1001 (na papierze

lub w pamięci komputera) to „ścisła” liczba 9.

Wymienione wyżej modele formalne różnią się wieloma szczegółami, za­ łożeniami, zakresem stosowalności. Podstawowym przy tym warunkiem, sta­ wianym wszelkim formalnym teoriom liczb naturalnych, jest ich z g o d n o ś ć z i d e ą g ł ę b o k ą , z intuicjami, jakie matematyk wiąże z pojęciem liczby naturalnej. Pokazuje to n a d r z ę d n o ś ć idei głębokich nad formalizmami.

Quine komentował istniejącą różnorodność sposobów formalizowania po­ jęcia liczby naturalnej w sposób następujący:

Redukowanie tego, co mentalne, do tego, co fizyczne, a w istocie tak­ że redukowanie arytmetyki do teorii zbiorów, można charakteryzować w jeden z dwu sposobów: bądź jako w y j a ś n i a n i e , bądź jako p o z b y w a n i e s i ę .

Różnicy właściwie nie ma, ale pierwszy zwrot brzmi delikatniej. (...) Dla Fregego dwanaście było (z grubsza biorąc) klasą wszystkich tuzi­ nów; dla von Neumanna — klasą pierwszych dwunastu liczb naturalnych, od zera do jedenastu. Nie może być ono jednym i drugim. Problem ten można rozwiązać, nie identyfikując dwunastu ani z jednym ani z drugim. Możemy obejść się bez liczb naturalnych; ich funkcję mogą pełnić bądź klasy Fregego, bądź, równie dobrze, klasy von Neumanna. Posługując się pierwszym lub drugim — albo jakimś trzecim — zbiorem surogatów, sto­ sujemy do tych surogatów, dla wygody, wakujące dotąd nazwy liczbowe. Unikamy kłopotu, mówiąc raczej o a l t e r n a t y w n y c h s p o s o b a c h e l i m i n a c j i

niż o w z a j e m n i e n i e z g o d n y c h w y j a ś n i e n i a c h . Nie ma jednak rzeczywistej

różnicy między tymi charakterystykami (Quine, 1998, s. 127-128).

T r o j a k a n a t u r a m a t e m a t y k i

59

liczbowej (np. jako pewnej klasy równoważności), w której stara struktura liczbowa n ie j e s t z a w a r t a , lecz jedynie jest i z o m o r f i c z n a z pewną jej częścią (np. liczbę naturalną n można utożsamić z ułamkiem y). Sugerował, aby — w duchu n a i w n e g o p l a t o n i z m u — nie zmieniać (ani nawet nie dyskutować) dotychczasowego pojęcia liczby, lecz ujmować to tak, jak gdyby wszystkie te rodzaje liczb istniały od początku, a uczniowie stopniowo, w trak­ cie kolejnych lat nauki, poznają ich coraz więcej. Ten, jak najbardziej słuszny pogląd można wyrazić inaczej, nie odwołując się do platonizmu: przy rozsze­

rzaniu pojęcia liczby należy zachowywać dotychczasowe idee głębokie. Oczywi­

ście z czasem poprzednie idee zostaną wzbogacone, przeobrażone, ale nadal zachowają swoją tożsamość (w sensie 14.1).

9.3. Przejdziemy do omawiania przykładów sądów — tych, z którymi wiążą się jakieś trudności epistemologiczne.

P RZ Y KŁ AD 9. Stałość liczby kardynalnej. Jako ważny przykład idei głębo­

kiej wymienimy niezmienniczość liczby kardynalnej zbioru przy zachowaniu tożsamości jego elementów, przejawiającą się jako świadomość tego, że liczeb­ ność zbioru konkretnych przedmiotów (takich jak np. guziki) nie zależy od ich przestrzennego ułożenia, tzn. nie zmieni się, gdy przedmioty te przemieści­ my (np. rozsuniemy je lub zsuniemy) bez zabierania lub dokładania czegokol­ wiek. Przy takim przemieszczeniu pojawia się d y s o n a n s między p e r c e p ­ c j ą (wzrokowo wydaje się, że jest więcej) a f a k t e m, że nie dołożono ani nie zabrano żadnego przedmiotu. Jak wiadomo (Piaget, 1977; Turnau, 1990, s. 1 2 0), niezmienniczość ta (tzw. konserwacja) nie jest u człowieka wrodzo­ na, kształtuje się u dziecka w wieku ok. 6-7 lat. U przedszkolaka górę bierze percepcja; starsze zaś dziecko jest odporne na złudzenia związane z wyglą­ dem układu przedmiotów — górę bierze przekonanie, że liczba przedmiotów się nie może się zmienić. Ideą głęboką staje się ta niezmienniczość później (orientacyjnie: pod koniec szkoły podstawowej), gdy jest już w pełni stabil­ na i rozciągnięta na szeroką klasę możliwych sytuacji, niezależna od użytego konkretu i od kontekstu, w jakim problem się pojawia.

W przykładzie tym ujawniają się charakterystyczne cechy, które (nieraz w zmodyfikowanej formie) można wykryć w wielu innych ideach głębokich:

• traktowanie tej niezmienniczości jako czegoś oczywistego i pewnego, • zdziwienie, gdy ktoś pyta, czy po przekształceniu nadal będzie tyle samo elementów,

Te cechy warto porównać z pojęciem z r o z u m i e n i a u Thoma: (...) gdy mówimy, że „zrozumieliśmy” pewną sytuację, znaczy to, że dal­ sze badanie tej sytuacji nie zmieni naszego stanu myślowego („zrozumieć” to „uodpornić się” ) (Thom, 1974a, s. 124).

To u o d p o r n i e n i e się można uznać za bardzo ważną cechę charakterystycz­ ną idei głębokich. Nie znaczy to bynajmniej, że dane pojęcie nie ulega żadnym zmianom; owszem, ulega ono pewnym przeobrażeniom, jego znaczenie (zwłasz­ cza szerokokontekstowe) rozszerza się, obejmuje nowe sytuacje, w których po­ jęcie to jest stosowane, a ponadto może być ono ujmowane z innej perspektywy. Uodpornienie się znaczy jednak, że pojęcie to jest już na tyle ukształtowane, że zachowuje — pomimo dalszej ewolucji — swoją tożsamość.

Uodpornienie się idei głębokiej przypomina akcentowaną przez Fischbei- na (1987) uporczywość intuicji (omówioną w 12.6); różnica polega na tym, że w większości podawanych tam przykładów uporczywość ta była cechą ne­ gatywną, utrudniającą zmodyfikowanie niewłaściwej intuicji, stanowiła nieraz przeszkodę epistemologiczną. Natomiast w przypadku idei głębokich jest to zdecydowanie cecha pozytywna.

• Jakkolwiek osoba, u której stałość liczby kardynalnej jest już ukształtowa­ na, jest w pełni przekonana o słuszności swych sądów, nie musi być w stanie naukowo objaśnić, dlaczego jest tego pewna.

• Stałości liczby kardynalnej nie da się udowodnić drogą dedukcji. Dotyczy ona bowiem przedmiotów istniejących w zewnętrznym świecie. Modelem for­ malnym tej stałości jest niezmienniczość liczby kardynalnej zbioru względem bijekcji, ale wykorzystanie tego modelu do uzasadnienia stałości liczby prze­ mieszczanych guzików wymagałoby udowodnienia adekwatności modelu, a taki dowód opierałby się na stałości liczby, a więc mielibyśmy petitio principii.

Stałość liczby kardynalnej jest przykładem idei głębokiej, która na ogół kształtuje się samoistnie u dziecka, bez wyraźnego udziału dorosłych. W prze­ ciwieństwie do wielu innych przykładów, do ukształtowania stałości liczby nie jest potrzebne jakiekolwiek jej n a z w a n i e , ani też oznaczanie jej jakimś sym­ bolem. Wszystkie pojęcia wymienione w przykładzie 8 i wielu innych, kształ­ tują się z aktywnym udziałem osób dorosłych (nauczycieli); przykłady 9 i 10 są pod tym względem mniej typowe.

Pr z y k ł a d 10. Do idei głębokich należy świadomość przechodniości rela­

cji porównywania liczb i wielkości, np. przekonanie, że jeśli przedmiot P jest dłuższy niż Q oraz Q jest dłuższy niż R, to P jest dłuższy niż R.

T r o j a k a n a t u r a m a t e m a t y k i 61 Należycie ukształtowaną przechodniość relacji < zaliczamy do idei głębo­ kich nawet wtedy, gdy nie jest explicite werbalizowana. Wystarczy (podobnie jak przy stałości liczby kardynalnej), że dana osoba jest w pełni przekonana, że taki wniosek na pewno można wyciągnąć w konkretnych, dostępnych jej sytu­ acjach; nie ma potrzeby, by umiała to sformułować symbolicznie (np. w języku algebry jako „jeżeli a < b i b < c, to a < c ” ).

Pr z y k ł a d 11. Do idei głębokich należą: (a) sąd orzekający, że dla każdej liczby istnieje na pewno liczba od niej większa (nieskończoność potencjalna), (b) pojęcie zbioru N w s z y s t k i c h liczb naturalnych (nieskończoność aktu­

alna). (a) jest powszechne u starszych uczniów, choć może nie być przez nich werbalizowane. Przejście od (a) do (b) to ogromny skok pojęciowy, od zbio­ rów skończonych do nieskończonych; (b) było kwestionowane przez Poincarego i niektórych innych matematyków z przyczyn natury filozoficznej.

Pr z y k ł a d 12. Idea głęboka „ciąg" (skończony lub nie) ma swe źródło

w poczuciu następstwa kolejnych elementów i w tym, że mowa, czytanie i pi­ sanie są powiązane z n a s t ę p s t w e m c z a s o w y m . Tekst (książki itp.) — to ciąg zdań; zdanie to ciąg wyrazów; wyraz to ciąg liter (Hausdorff, 1914, s. 32). Ponadto w życiu codziennym mamy niezliczoną ilość przykładów przedmiotów wyraźnie uszeregowanych w jakiś sposób, przy czym w wielu przypadkach ta kolejność jest czymś znaczącym. Pojęcie ciągu skończonego dowolnych elemen­ tów ma więc naturalną podstawę psychologiczną. Uogólnienie na ciągi nieskoń­ czone ma swój pierwowzór w ciągu liczb naturalnych. Modelem idei głębokiej „ciąg” w teorii mnogości jest funkcja określona na na zbiorze {1,2, . . . , n} lub na zbiorze N (por. przykład 12).

PRZYKŁAD 13. Do idei głębokich należą też rozmaite typowe analogie, np. to, że (w określonych, k o n k r e t n y c h sytuacjach) pewne rozumowania moż­ na przenieść z R3 do R " , bo to „musi” być tak samo, a także analogie w ro­ zumowaniach rekurencyjnych, gdy pisze się „itd.” (na przykład w określeniu: „ 7l = 7 , 72 = 7-7, 73 = 7-7-7, 74 = 7-7*7-7 itd.” ) lub gdy używa się wielokrop­

ka „ . . . ” (np. w lewej części wzoru (2) w przykładzie 5). Pokazuje to, że • do idei głębokich zaliczamy również takie sądy, które nie mają jednoznacz­ nych, jasno określonych odpowiedników formalnych. Warunkiem jednak jest adekwatność i trwałość takiego sądu i jego odporność na dysonanse poznawcze.

PRZYKŁAD 14. Idei głębokiej „ zasada indukcji” odpowiadają różne mode­ le formalne: reguła wnioskowania w arytmetyce pierwszego rzędu i aksjomat indukcji w arytmetyce drugiego rzędu (Grzegorczyk, 1971, s. 8 i 60). Warto tu dodać, że Poincare (1911, s. 113 i 139) uważał zasadę indukcji za sąd syn­

bardzo f o r m a l n e rozumowanie) należy odróżnić od rekurencji którą jest m. in. uchwycenie reguły postępowania dla kolejnych liczb naturalnych.

10. P r z y k ła d y idei g łę b o k ich w g eom etrii. Oddzielenie poniższych przykładów 15-20 od arytmetyki uzasadnione jest inną ich naturą.

10.1. F ig u ry g e o m e try cz n e . Określeniom takim jak „punkt” , „prosta” , „odcinek” , „kwadrat” odpowiadają idee głębokie. Uwagę skoncentrujemy na pewnych niejednoznacznościach, które tu się pojawiają.

P R Z Y KŁ A D 15. „Kwadrat” (domknięty, tj. wraz z brzegiem) uważamy za

jedną ideę głęboką. „Wnętrze kwadratu” jest już inną ideą głęboką, „brzeg kwadratu” jest jeszcze inną.

Jednakże idea głęboka „kwadrat” odpowiada rozmaitym formom powierz­ chniowym, reprezentującym różne modele formalne z nierównoważnymi defini­ cjami, w tym: (a) zbiór wszystkich punktów kwadratu, (b) ten sam zbiór z wy­ różnionymi atendentami widocznymi: wierzchołkami, bokami (Hejny, 1997, s. 25), co w modelach formalnych można np. interpretować jako kompleks geo­

metryczny (Borsuk, 1950, s. 94), (c) kwadrat można uważać za „wnętrze plus

brzeg” . W podobny sposób Freudenthal (1991, s. 20), objaśniając swą kon­ cepcję rozróżniania struktur bogatych i struktur ubogich, pokazywał bogactwo rozmaitych ujęć pojęcia „czworościan”. Idea głęboka „kwadrat” jest istotnie bogatsza niż „zbiór punktów kwadratu” , bowiem szerokokontekstowe znacze­ nie słowa „kwadrat” obejmuje rozmaite związki metryczne, afiniczne, symetrie itp. Idea głęboka „kwadrat” jest jednak przez to mniej jednoznaczna. Przykład ten pokazuje, że

• odpowiedniość między modelami formalnymi w jednej teorii a ideami głę­ bokimi nie musi być wzajemnie jednoznaczna. Należy to odróżnić od uwagi po przykładzie 6, dotyczącym 7rp i n c (była tam mowa o różnych teoriach),

a także od przykładu 2, w którym mieliśmy do czynienia z anomalią. Natomiast rozszczepienie pojęcia „kwadrat” jest zjawiskiem normalnym.

P R Z Y K Ł A D 16. Niech r będzie krzywą zamkniętą na płaszczyźnie z daną

T r o j a k a n a t u r a m a t e m a t y k i 63 • Pojęcie indeksu jest intuicyjne w sensie 1) i 2) opisanym w 12.3, w sensie powszechnie przyjętym u matematyków. Zaliczamy „indeks” do idei głębokich, gdyż istnieje model formalny indeksu w topologii.

10.2. K ą ty . W roku 1968, podczas dyskusji nad zmodernizowanym nau­ czaniem geometrii, wielu matematyków pracujących na polskich uniwersyte­ tach uświadomiło sobie ze zdziwieniem, że nie znają definicji kąta. Byli w stanie sformułować jakieś propozycje, ale każda z nich miała jakieś istotne wady. Okazało się, że brak definicji kąta nie przeszkadzał im zajmować się czynnie matematyką i używać kątów w rozmaitych rozumowaniach.

• Matematyk może obyć się bez definicji używanego pojęcia, jeśli ma jasno ukształtowaną ideę głęboką i nie napotyka trudności pojęciowych.

W rzeczywistości wspólna nazwa „kąt” określa wiele rozmaitych idei głę­ bokich. Kąty można klasyfikować według różnych kryteriów.

Przede wszystkim kąty dzielimy na skierowane (czyli zorientowane) i nie-

skierowane (niezorientowane).

Drugim kryterium podziału jest wymiar rozpatrywanych figur geometrycz­ nych. Wyróżniamy kąty w rozmaitych sytuacjach dwuwymiarowych (na płasz­ czyźnie), kilka możliwości w sytuacjach trójwymiarowych, w tym kąt dwu- ścienny oraz bardzo ważny dla mechaniki i optyki kąt między (zakrzywionym) lukiem a (zakrzywioną) powierzchnią, a także rozmaite kąty w przestrzeniach o większej (skończonej lub nieskończonej) liczbie wymiarów.

Wszystkie podane powyżej przykłady, wliczając w to kąt dwuścienny, mają tę wspólną cechę, że ich miara, czyli miara rozwarcia, wyraża się poprzez d ł u g o ś ć odpowiednio skonstruowanej c z ę ś c i o k r ę g u (a więc są to kąty „miarowo jednowymiarowe” ).

Trzeci wreszcie podział kątów to: 1° kąty będące figurami geometrycznymi lub rodzinami figur (pisze o tym m. in. Turnau, 1990, s. 227) oraz 2° kąty określające miary rozwarcia w rozmaitych sytuacjach geometrycznych (jeśli wyrazi się je w radianach, są liczbami rzeczywistymi). Te pierwsze nazwiemy

kątami postaciowymi, a te drugie kątami miarowymi.

Postaciowe rozumienie kąta jest niezbędne, gdy chcemy mówić np. o dwu­ siecznej kąta lub o zbiorze rozwiązań układu dwóch nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi x , y. Stosując definicję postaciową, odróżniamy kąt od jego miary. Natomiast przy miarowej interpretacji kąt jest od razu określo­ ny jako liczba. Gdy rozpatrujemy pewne, bardziej zaawansowane zagadnienia, nie jest potrzebne zaczynanie od jakiejś definicji postaciowej i konsekwentne rozróżnianie kątów od ich miar.

64

Zb i g n i e w Se m a d e n i jeszcze innym ideom głębokim; miara kąta bryłowego wyraża się poprzez p o l e odpowiedniej części sfery.

Pr z y k ł a d 17. Przez kąt płaski możemy rozumieć ideę głęboką, okreś­

loną enigmatycznie w niektórych podręcznikach jako „część płaszczyzny K wyciętą przez parę półprostych P\, P2 o wspólnym początku w r a z z tymi

półprostymi” . Enigmatyczność dotyczy tego, jak rozumieć słowo „wraz” , które można formalizować jako sumę mnogościową P\ U K U P2 tych trzech figur

lub jako rodzinę {P i,/C , P{\ (lub jeszcze inaczej, np. {P i U X U P2, 0 } , gdzie O jest wierzchołkiem). Na ogół za kąt uważa się figurę Pi U PT U P2; nieste­ ty takie określenie ma jedną drobną, ale istotną wadę: przy tej definicji kąt półpełny nie ma wierzchołka (lub ma ich nieskończenie wiele). Jeżeli chcemy, by każdemu kątowi była jednoznacznie przyporządkowana para jego ramion oraz wierzchołek, określenie Pi U K U P2 nie jest zadowalające.

Widać więc, że zależnie od sytuacji, kąt płaski traktujemy raz jako obszar Pi U A' U P2, a innym razem wydzielamy z niego wierzchołek i ramiona. Co więcej, matematycy często nie są świadomi, że używają — nieraz w tym samym toku rozumowania — pojęć odpowiadających nierównoważnym modelom for­ malnym. Wynika stąd, że kąt płaski (postaciowy) można uznać za d u b l e t pojęciowy (określony poniżej w 1 1.1).

W latach siedemdziesiątych w polskich szkołach zaczęto kłaść nacisk na staranne rozróżnianie pojęć: kąta i miary kąta. Wcześniej pojęć tych często używano zamiennie (a na uniwersytecie zdarza się to też obecnie, zwłaszcza na wykładach związanych z analizą matematyczną).

Prześledźmy, jak te problemy terminologiczne zostały rozwiązane w auto­ rytatywnych podręcznikach. Zacznijmy od uwagi, że możliwe są takie sformu­ łowania. z których nie da się wywnioskować, czy kąt rozumiany jest postaciowo czy miarowo:

Pochodna funkcji równa się tangensowi kąta, jaki styczna do wykresu tworzy z dodatnim kierunkiem osi. (...) druga krzywa przecina pierwszą

pod kątem (...) (Leja, 1969, III.3).

Z drugiej strony, można też znaleźć sformułowania, z których wynika wyłącznie interpretacja miarowa:

Kątem między wektorami x i y nazywamy liczbę y> = arc cos tj. przyjmujemy cosy? = 0 ^ y> ^ n (Gelfand, 1974, s. 25).

T r o j a k a n a t u r a m a t e m a t y k i 65

Pr z y k ł a d 18. Jest jeszcze jedno, bardzo ważne pojęcie głębokie: kąt ob­

rotu. Jest to kąt miarowy, przyjmujący jako wartości wszystkie liczby rze­

czywiste. Obrót rozumiemy tu w sensie f i z y k i , jako obrót figury związany z upływem c z a s u ; różni się od obrotu w sensie przekształcenia geometrycz­ nego, w którym interesuje nas tylko położenie początkowe figury i jej położenie końcowe. Tak więc, gdyby ograniczyć się do przekształcenia geometrycznego, kąt obrotu można by utożsamić z kątem skierowanym, którego miara należy do przedziału [0, 2ir). Jednakże kąt z [0,27r) nie wystarcza, gdy trzeba rozpa­ trywać zagadnienia takie, jak np. obliczanie długości liny przechodzącej przez wielokrążek lub obliczanie kątów obrotu pozazębianych trybów o różnej licz­ bie zębów, nie wystarcza też do opisu parametrycznego figur geometrycznych takich, jak epicykloidy, dla których kąt obrotu jest oczywistym parametrem. Kąt obrotu większy niż 27r można łatwo określić jako kąt miarowy (natomiast, gdyby chcieć go określić jako kąt postaciowy, zachowując podstawowe intuicje geometryczne, można by to zrobić na powierzchni Riemanna funkcji log z). Na zbiorze kątów obrotu mamy więc dwie naturalne relacje: równość i d e n - t y c z n o ś c i o w ą oraz równość r ó w n o w a ż n o ś c i o w ą w sensie omawianym w (Semadeni, 2 0 0 2a, 5.1 i 5.4); przy tej drugiej kąty różniące się o 2n uważa się za równe. Przykład ten pokazuje, że

• do idei głębokich (matematycznych) zaliczamy też pewne pojęcia, które konwencjonalnie zalicza się do fizyki, w tym ruch sztywny figury (rozumiany jako ruch w czasie, a nie jedynie jako przekształcenie geometryczne).

Pr z y k ł a d 19. Staranne odróżnianie kątów postaciowych od ich miar nie

usuwa trudności. Nieunikniona jest p o d w ó j n a rola funkcji trygonometrycz­

nych, takich jak cosinus lub tangens, które — zależnie od potrzeby — można

uważać za funkcje zmiennej rzeczywistej lub za funkcje, których argumentami są kąty, np. w Encyklopedii Szkolnej (1997), w haśle „kąt płaski” , kąt określony jest postaciowo jako pewna część płaszczyzny, a więc jako figura geometrycz­

na (jakkolwiek w ramach hasła „przestrzeń euklidesowa” kąt wektorów określa się wyłącznie miarowo). W haśle „kąt przecięcia wykresów funkcji” mówi się 0 kątach a i /?, jakie styczne do wykresów tworzą z dodatnim kierunkiem osi x, 1 podaje się wzór na tg </?, gdzie <p = (3 — a. Konsekwencją tego jest wyodrębnie­

nie dwóch osobnych haseł: (a) „funkcje trygonometryczne kąta skierowanego” i (b) „funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej” .

66

Zb i g n i e w Se m a d e n i powyższe przypadki (a) i (b); wybór którejś z nich zależy od kontekstu. Funkcję cosinus, podobnie jak inne funkcje trygonometryczne, również można zaliczyć do d u b l e t ó w pojęciowych (por. 1 1.1).

Pr z y k ł a d 20. Rozpatrzmy typowy rysunek: . Dwukrotne napi­

sanie a na rysunku symbolizuje, że oba kąty są równe. Zdarza się często, że matematyk korzysta z tej równości w jakichś rozumowaniach, chociaż nie jest świadomy definicji kąta, ani nie zna żadnego dowodu tej równości w teorii ak­ sjomaty cznej. Wytłumaczeniem tego jest, że równość kątów wierzchołkowych jest ideą głęboką. Z kolei fakt, że ten sam symbol a przypisany jest do dwóch kątów, świadczy o tym, że o: nie może tu być symbolem kąta rozumianego postaciowo; o: jest albo symbolem klasy równoważności kątów równych, albo jest, symbolem miary kąta.

1 1. P o ję c ia je d n o lite i z ło ż o n e . Przez pojęcie jednolite będziemy rozu­ mieć pojęcie o „nierozgałęzionym” znaczeniu, takie, które powstaje w wyniku r o s n ą c e g o c i ą g u u o g ó l n i e ń , bez sklejania znaczeń* **. Warunek ten speł­ niają takie pojęcia, jak „liczba” , „punkt” , „prosta”, „parabola” , „przestrzeń euklidesowa” , „ciąg” , „całka Lebesgue’a” .

Określenie to nie jest wystarczająco precyzyjne, ale jego sens stanie się jaśniejszy przez opozycję do przykładów pojęć złożonych, do których należą określone poniżej dublety pojęciowe, dublety rozszczepione, agregaty i konglo­

meraty. Podział na pojęcie jednolite i złożone nie jest ostry, ale mimo to jest

użyteczny, pozwala lepiej wniknąć w pewne kwestie semantyczne i dydaktycz­ ne, związane z danym pojęciem.

1 1.1. D u b le ty . Nazwy dublet pojęciowy będziemy używać na określenie p a r y pojęć, bardzo bliskich znaczeniowo, odpowiadających różnym mode­ lom formalnym, reprezentowanych przez jedną tylko formę powierzchniową . Zakładamy przy tym, że to rozszczepienie pojęcia na dwa modele b y w a ni e- za u w a ż a n e przez matematyków, bowiem zamiany jednej składowej dubletu na drugą dokonują oni elastycznie, w razie potrzeby, często nie są przy tym

* Słowo u o g ó ln ie n i e rozumiemy tu trojako: (a) jako rozszerzenie (w sensie C ) klasy rozpa­ trywanych obiektów (np. trójkąty —» wielokąty), (b) uogólnienie struktur (np. przestrzenie metryczne —> przestrzenie topologiczne), (c) zanurzenie z przejściem do klas równoważności (np. liczby naturalne —> liczby wymierne).