Składanie ruchów Składanie ruchów

Składanie ruchów Składanie ruchów

rzut poziomy, ukośny rzut poziomy, ukośny

i ruch po okręgu i ruch po okręgu

Grzegorz Karwasz Grzegorz Karwasz

Współpraca: K. Fedus, A. Karbowski, W. Krychowiak Współpraca: K. Fedus, A. Karbowski, W. Krychowiak

Zakład Dydaktyki Fizyki Zakład Dydaktyki Fizyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Dydaktyka Fizyki: Kinematyka (3)

Składanie ruchu (jednostajnego) w Składanie ruchu (jednostajnego) w

dwóch kierunkach to np.

dwóch kierunkach to np.

wznoszenie się jumbo-jeta (nad Tokyo) wznoszenie się jumbo-jeta (nad Tokyo)

V

V

„ „ Arystoteles” (tak naprawdę nie on): Arystoteles” (tak naprawdę nie on):

Wystrzelona strzała leci w górę, a kiedy straci „rozpęd”, spada w dół Wystrzelona strzała leci w górę, a kiedy straci „rozpęd”, spada w dół

https://en.wikipedia.org/wiki/Battle_of_Agincourt

https://en.wikipedia.org/wiki/Battle_of_Cr%C3%A9cy Bitwa pod Crecy (1346)

Gdyby tak rozumowali angielscy łucznicy pod Agincourt (1415), to by przegrali bitwę

Six hundred years ago today, on the morning of 25th of October 1415, a small band of English

archers commanded by Henry V won a great military victory in France in Hundred Years War

Długie angielskie łuki:

Długie angielskie łuki:

Dlaczego każdy z nich trzyma łuk pod innym kątem Dlaczego każdy z nich trzyma łuk pod innym kątem ? ?

https://en.wikipedia.org/wiki/English_longbow https://www.disneyclips.com/imagesnewb/images/robin-hood.png Added by Ekreture Posted in Yeoman archersUser blog:Ekreture/Ashigaru vs Yeoman ArcherUser blog:MilenHD/Yeo

Długie łuki znaleziono w wykopaliskach z 2500 lat p.n.e.

Długie łuki znaleziono w wykopaliskach z 2500 lat p.n.e.

6 feet (1.8 m) long, with a 3-foot (910 mm) arrow: 400–490 newtons, 300-350 m

Arystoteles natomiast zaproponował:

Arystoteles natomiast zaproponował:

Rozważać oddzielnie różne rodzaje ruchu Rozważać oddzielnie różne rodzaje ruchu

Fizyka, str. 302

Teraz z kolei trzeba przystąpić do wykazania, iż może

istnieć ruch nieskończony, jeden i ciągły, i że ruchem

tym jest ruch kołowy. Wszystko, co się porusza ruchem

przestrzennym, porusza się po kole, albo po linii prostej,

albo wreszcie ruchem mieszanym. Jeżeli zatem jeden z

tych ruchów nie jest ciągły, to nie będzie też ciągły i ten,

który powstanie z połączenia obydwóch.

Jean Buridian (1300-1361) Jean Buridian (1300-1361)

https://en.wikipedia.org/wiki/Jean_Buridan GK Science & Humanities, work in progress

Ren Ren é é Descartes (1596-1648): X↔Y Descartes (1596-1648): X↔Y

X: x(t) = v t (ruch jednostajny) Y: y(t) = - ½ g t ²

t = x / v → y (x) = - ½ (g / v ² ) x ² trajektoria = parabola

X

Y

Zrzut ze stołu Zrzut ze stołu

X: x(t) = v ₀ t (ruch jednostajny) Y: y(t) = h - ½ g t ²

upadnie gdy y(t) = 0 → t = √(2h/g) zasięg z = v ₀ √(2h/g)

H X H

*

Y

Rzut ukośny Rzut ukośny

X: x(t) = v ₀ t cosα (ruch jednostajny)

Y: y(t) = v ₀ t sinα - ½ g t ² (rzut w górę z v ₀ sinα) Czas lotu: gdy y(t) = 0 → t ₁ = 0, t ₂ = (2v ₀ sinα)/g zasięg z = (v ₀ cosα) (2v ₀ sinα) /g = v ₀ ² (2sinα cosα)/g

α

X: v

= v

cosα

Y: v

= v

sinα - gt

Angielscy łucznicy: rozwiązanie Angielscy łucznicy: rozwiązanie

Zasięg z = v ₀ ² (2sinα cosα)/g = (v ₀ ² /g) sin(2α)

Innymi słowy: z = (2E/mg) sin(2α) - potrzebny długi łuk Maksymalny zasięg, gdy sin(2α) = 1, czyli α = 45º

http://www.theinfinitecurve.com/tag/agincourt/

Nowy pomysł na artylerię:

Nowy pomysł na artylerię:

Zasięg z = = (v

/g) sin(2α); 0≤α≤90º

http://www.muzeumwp.pl/emwpaedia/lekkie-haubice-polowe-le-f-h-18-i-le-f-h-18m.php 120_mm_mortar_in_Togliatti_Technical_museum.jpg

sin (2α)

haubica

moździerz

Możemy to sprawdzić Możemy to sprawdzić

https://phet.colorado.edu/sims/html/projectile-motion/latest/projectile-motion_en.html

Colorado Phet

Strzał do małpy Strzał do małpy

Physics 101: The Hunter – monkey problem https://www.youtube.com/watch?v=G25Y3MJBR-0

Jaką prędkość musi mieć pocisk, i pod jakim kątem musi być wystrzelony,

aby trafił w małpę?

Jak to rozwiązać?

Jak to rozwiązać?

1. Wybrać układ współrzędnych (dogodny dla dalszych obliczeń)

Jeśli ten wybrany nie będzie dogodny – zmienimy.

4. Teraz już tylko wyrazić cosθ i sinθ przez h i d i rozwiązać (znaleźć t) 3. Małpa: x

(t) = d; y

(t) = h – ½ gt

(spada pionowo)

Kula x

(t)= v t cos θ ; y

(t) = v t sinθ – ½ gt

(leci po paraboli) Jeśli kula ma trafić, to istnieje takie t, że x

=x

oraz y

=y

2, Piszemy równania ruchu małpy i

kuli w tym układzie współrzędnych

(przydługi) strzał do małpy (przydługi) strzał do małpy

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a9/The_monkey_and_the_hunter_SMIL.svg The Hunter and he (poor) monkey https://www.youtube.com/watch?v=BXq-2qMfqxw

Trajektoria to krzywa, jaką zakreśla w Trajektoria to krzywa, jaką zakreśla w

przestrzeni poruszające się ciało przestrzeni poruszające się ciało

Lot dwóch sond Voyager, na krańcach Układu Słonecznego Lot dwóch sond Voyager, na krańcach Układu Słonecznego

https://voyager.jpl.nasa.gov

Oczywiście, układ współrzędnych Oczywiście, układ współrzędnych kartezjańskich nie jest dobry do opisu kartezjańskich nie jest dobry do opisu

ani orbit planet ani trajektorii Voyagerów ani orbit planet ani trajektorii Voyagerów

https://www.youtube.com/watch?v=cTIGOe5ckj0

https://www.youtube.com/watch?v=C0c9DRZQZ0U

Mówiliśmy już o innym układzie Mówiliśmy już o innym układzie

współrzędnych – pająka:

współrzędnych – pająka:

wystarczy określić odległość od środka i na wystarczy określić odległość od środka i na

której nici (pod jakim kątem) jest mucha której nici (pod jakim kątem) jest mucha

https://www.countryliving.com/uk/homes-interiors/interiors/how-to/a56/how-to-keep-spiders-out-of-your-house-the-natural-way

(x, y) → (r, φ)

Pająk ma 8 nóg:

„uwaga! mucha na nici między 2º a 3º”

Umiemy zapisać trajektorię paraboliczną Umiemy zapisać trajektorię paraboliczną

X Y

H H

*

„zwykła” parabola jest jeszcze prostsza:

x(t) = t y(t) = at ²

Taki zapis nazywamy „parametrycznym” – t jest parametrem

Umiemy zapisać okrąg w postaci Umiemy zapisać okrąg w postaci

parametrycznej parametrycznej

r (t) = r ₀ φ(t) = ωt

r (t) = 1

φ (t) = t, 0≤ t ≤ 2π

Ziemia: r (t) = 1 φ (t) = 2π t,

[r] = j.a. , [t] = rok

Jowisz: r (t) = 5 φ (t) = 2πt /12 (5 j.a. i 12 lat)

By derivative work: Pbroks13 (talk)Circle_r=1.PNG: User Mets501 on en.wikipedia - Circle_r=1.PNG, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4342238

Umiemy też zapisać trajektorię Voyagera Umiemy też zapisać trajektorię Voyagera

By derivative work: Pbroks13 (talk)Circle_r=1.PNG: User Mets501 on en.wikipedia - Circle_r=1.PNG, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4342238

One arm of an Archimedean spiral with equation r (φ) = φ / 2π for 0 < φ < 6π

„Spirala Archimedesa: - promień rośnie wraz z kątem

A teraz okręg w postaci parametrycznej, A teraz okręg w postaci parametrycznej,

ale w układzie kartezjańskim ale w układzie kartezjańskim

r (t) = r ₀ φ(t) = ωt

r (t) = 1

φ (t) = t, 0≤ t ≤ 2π

http://xaktly.com/ParametricEquations.html

x (r,θ) = r cosθ

y (r, θ) = r sinθ , 0≤ θ ≤ 2π

Możemy to sprawdzić na własne oczy Możemy to sprawdzić na własne oczy

x (r,θ) = r cosθ y (r, θ) = r sinθ

Ta kula jest zawieszona na dość długiej sprężynie. Jaj okres drgań to 4s, czyli częstotliwość drgań to ¼ cyklu na sekundę, mniej więcej..

Okres odbijania się tej piłeczki to mniej więcej pół sekundy. Ale tak ma oko okres odbić zmniejsza się, nie jest to więc dobrzy przykład ruchu okresowego.

To natomiast jest ruch okresowy, z którym już się spotkaliście. Ruch tej kuli powtarza z okresem 5 sekund. //

To jest ruch kołowy jednostajny. Ten ruch potraficie opisać kompletnie, znacie nawet równania, które opisują ten ruch.

Ekran komputera to matryca kartezjańska Ekran komputera to matryca kartezjańska

http://www.gnuplotting.org/understand-parametric-plotting/

Potrafimy też napisać równanie toczącego Potrafimy też napisać równanie toczącego

się koła:

się koła:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid

Koło o promieniu r, na osi na wysokości r i kręcące się w prawo:

x (r,θ) = - r cosθ

y (r, θ) = r (1 – sinθ)

Koło tocząc się przesuwa się w prawo, o odległość wycinka: rθ x (r,θ) = - r (θ + cosθ)

y (r, θ) = r (1 – sinθ) Koło kręcące się w lewo x (r,θ) = r cosθ

y (r, θ) = r sinθ

Ta krzywa w matematyce nazywa się Ta krzywa w matematyce nazywa się

cykloidą, cykloidą,

a w fizyce – krzywą najszybszego spadku a w fizyce – krzywą najszybszego spadku

dydaktyka.fizyka.umk.pl/zabawki1/files/mech/faster_big-pl.html

Bitwa pod Agincourt (1415): wielkie zwycięstwo Bitwa pod Agincourt (1415): wielkie zwycięstwo

Zadanie domowe: Jeżeli zasięg wynosił 360 m, jak długo leciała strzała?

Czy łucznik mógł w tym czasie wystrzelić kolejną strzałę?

Niebo czarne od strzał / W. Szekspir: „Henryk V”

https://en.wikipedia.org/wiki/Battle_of_Agincourt

Jak leci strzała z łuku (a jak piłka)?

Jak leci strzała z łuku (a jak piłka)?

Opór powietrza → krzywa balistyczna Efekt Magnusa

By Geek3 - Own work, CC BY 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=35727682 https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion#/media/File:Mplwp_ballistic_trajectories_velocities.svg

https://www.youtube.com/watch?v=NymRLQmtURY

Składanie ruchów: wnioski Składanie ruchów: wnioski

Rozłożenie ruchu na składowe ułatwia analizę Rozłożenie ruchu na składowe ułatwia analizę

Istotny jest właściwy wybór układu współrzędnych Istotny jest właściwy wybór układu współrzędnych

W rzucie ukośnym maksymalny zasięg uzyskuje się dla W rzucie ukośnym maksymalny zasięg uzyskuje się dla kąta 45

kąta 45 º º

Dwa różne kąty („haubicy” i „moździerza”) dają taki sam Dwa różne kąty („haubicy” i „moździerza”) dają taki sam zasięg

zasięg

Małpa nie ma szans, jeśli się puści gałęzi Małpa nie ma szans, jeśli się puści gałęzi Okrąg można zapisać parametrycznie jako Okrąg można zapisać parametrycznie jako y y = sin = sin α α oraz oraz x x = cos = cos α α

Ten ostatni zapis bardzo się przyda przy liczbach Ten ostatni zapis bardzo się przyda przy liczbach zespolonych, a te są niezbędne w automatyce

zespolonych, a te są niezbędne w automatyce

I cykloida i spirala Archimedesa to krzywe Arystotelesa:

I cykloida i spirala Archimedesa to krzywe Arystotelesa:

złożenie prostej i ruchu po okręgu złożenie prostej i ruchu po okręgu

Na wojnę nie wolno wyruszać (ani grać w piłkę), jeśli się Na wojnę nie wolno wyruszać (ani grać w piłkę), jeśli się nie zna fizyki

nie zna fizyki

Dziękuję za uwagę!