ZBIORY ROZMYTE ZBIORY ROZMYTE

1

SYSTEMY

SYSTEMY

ROZMYTE

ROZMYTE

2

ZBIORY ROZMYTE ZBIORY ROZMYTE

I I

WNIOSKOWANIE WNIOSKOWANIE

PRZYBLIŻONE

PRZYBLIŻONE

3

Metoda reprezentacji wiedzy

wyrażonej w języku naturalnym:

• „Temperatura wynosi 29^oC” – informacja liczbowa - naturalna dla systemów komputerowych.

• „Jest dość ciepło” ^– informacja opisowa - naturalna dla człowieka.

1965 – Lotfi A. Zadeh: „Fuzzy sets”

Klasyczna teoria zbiorów: dowolny element należy lub nie należy do danego zbioru.

Teoria zbiorów rozmytych: element może częściowo należeć do pewnego zbioru.

4

sposób rozmyty

A=„młody”

x [lata]

1

0 30

µ

Np.: „młody człowiek”:

Zamiast dwóch wartości logicznych (prawda i fałsz) nieskończenie wiele wartości [0,1].

Umożliwiają formalne określenie pojęć nieprecyzyjnych i wieloznacznych:

- „wysoki hałas”, - „małe zarobki”,

- „niskie zużycie paliwa”.

klasycznie

A=„młody”

x [lata]

1

0 30

0.8

5

Zbiór rozmyty w pewnej przestrzeni (niepustej)

X

zbiór par :

Obszar rozważań

X

Funkcja przynależności – przypisuje każdemu ele- mentowi

x

X

A

{ ^{( ,}

^{( ));} }

A = x µ x x ∈ X ∧

µ

(x)

6

•

µ

(x) = 1

x

rozmytego

A

•

µ

(x) = 0

x

A

• 0 ≤

µ

(x)

1

x

rozmytego

A

Symboliczny zapis zbioru rozmytego o skończonej liczbie elementów:

1 2

1 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

...

A A A n A i

n i i

x x x x

A x x x x

µ µ µ µ

=

= + + + = ∑

suma mnogościowa przyporządkowanie

7

Np. „Ciepła woda na basenie”:

• Obszar rozważań:

X = [20, 21, ..., 29]

• Zbiór rozmyty

A

0.1 0.3 0.4 0.6 0.8 1 0.9 0.8 0.75 0.7 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

A = + + + + + + + + +

Jeśli

X

A

( )

x

A x

x

= ∫ µ

8

Np. „Zbiór liczb bliskich liczbie 7”:

a) 2

( ) 1

1 ( 7)

A

x

µ = x

+ −

2 -1

1 ( - 7)

x

A x

x

⎡ + ⎤

⎣ ⎦

=

∫

⇒

0 1

-1 7 15 x

µ (x )

9

Np. „Zbiór liczb bliskich liczbie 7”:

|x-7|

1 jeżeli 4 10

( )= 3

0 w przeciwnym razie

A

x x µ

⎧ − ≤ ≤

⎪⎨

⎪⎩

0 1

0 7 x 14

µ (x )

10

STANDARDOWE STANDARDOWE

FUNKCJE FUNKCJE

PRZYNALEŻNOŚCI

PRZYNALEŻNOŚCI

11

F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY s

2

2

0 dla

2 - dla

( ; , , ) -

1 2 - dla

-

1 dla

x a

x a b x a

s x a b c c a

x c b x c

c a

x c

⎧ ≤

⎪ ⎛ ⎞

⎪ ⎜ ⎟ ≤ ≤

⎪⎪ ⎝ ⎠

= ⎨⎪ −⎪⎪ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ≤ ≤

⎪⎩ ≥

0 0.5 1

0 x 10

µ (x )

a b c

12

F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY π

(zdef. poprzez klasę s)

( ; - , - / 2, ) dla ( ; , )

1- ( ; , / 2, ) dla

s x c b c b c x a x b c

s x c c b c b x c

π

+ + ≥

⎩

0 0.5 1

0 x 16

µ(x )

c-b c-b/2 c c+b/2 c+b

13

F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY γ

(alternatywa dla s ⁾

1 dla

x a

x a b x a x b

b a

x b γ

⎧ ≤

⎪ −⎪

= ⎨ −⎪ ≤ ≤

⎪⎩ ≥

0 1

0 x 10

µ (x )

a b

0 0.5 1

0 x 10

µ (x )

a b c

14

F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY t

(alternatywa dla π ⁾

0 1

0 x10

µ (x )

a b c

0 dla dla ( ; , , )

dla 1 dla

x a

x a a x b

t x a b c b a

c x b x c

c b

x c

⎧ ≤

⎪ −⎪ ≤ ≤

= ⎨⎪ −⎪ − ≤ ≤

⎪ −⎪ ≥

⎩

0 0.5 1

0 x16

µ (x )

c-b c-b/2 c c+b/2 c+b

15

F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY L

1 dla ( ; , )= - dla

-

0 dla

x a

L x a b b x a x b b a

x b

⎧ ≤

⎪⎪ ≤ ≤

⎨⎪

⎪⎩ ≥

0 1

0 x 10

µ (x )

a b

16

F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY singleton

1 jeżeli ( ) ( - )=

0 jeżeli

A

x x

x x x

x x

µ = δ ^⎧⎨⎩ ≠⁼

0 0.5 1

0 x 10

µ (x )

x '

Singleton

Singleton charakteryzuje charakteryzuje jednoelementowyjednoelementowy zbizbióór rozmyty.r rozmyty.

Funkcja ta jest wykorzystywana g

Funkcja ta jest wykorzystywana głłóównie do operacji wnie do operacji rozmywania w systemach wnioskuj

rozmywania w systemach wnioskująących.cych.

17

1

0.5

40 60 80 x

• Mała prędkość samochodu

(A) –

L

• Średnia prędkość samochodu

(B) –

t

•

(C) –

γ

Np.: prędkość samochodu: X: [0, x_max]

µ_A(x) µ_B(x) µ_C(x)

x_max

x=50 ⇒ µ_A(x) = µ_B(x)=0.5, µ_C(x)=0

18

µ(x)

x

1

0

Baza

Nośnik (baza) zbioru rozmytego

A

zbiór elementów ZR, dla których

µ (x) >0

{ }

supp ; A = x ∈ X µ

( ) 0 x >

19

µ(x)

x

1

0

Baza Jądro

Jądro zbioru rozmytego

A

zbiór elementów ZR, dla których

µ (x) = 1

( ) { :

( ) 1 }

core A = x X ∈ µ x =

20

µ(x)

x

1

0

Baza Jądro α ^{- przekrój} α

α -przekrój zbioru rozmytego

A

zbiór nierozmyty taki, że:

{ ^:

^{( )} } ^{( [0,1]}

A

= x ∈ X µ x ≥ α ∀ ∈ α

21

Np.:

X={1, ..., 10}

A

= X = {1, ..., 10}, A

= {2, 4, 5, 8, 10}, A

= {4, 5, 8, 10},

A

= {5, 8}, A

= {5}.

0.1 0.3 0.7 0.6 0.3

2 4 5 8 10

A = + + + +

22

Wysokość zbioru rozmytego

A:

( ) sup ( )

x A

h A µ x

=

Zbiór normalny:

Normalizacja zbioru:

( ) 1 h A =

( ) ( )

( )

N

A

A x X

x x

h A µ µ

= ∈∧

Np.: - przed normalizacją:

- po normalizacji:

0.2 0.5 0.4

3 5 7

A = + +

0.4 1.0 0.8

3 5 7

AN = + +

23

Inkluzja (zawieranie sie ZR

A

B

µ _A(x)

µ _B(x)

x

µ (x⁾

x

µ (x⁾

x

µ (x⁾

ZR wypukły: ZR wklęsły:

24 x

µ (x⁾

1

0

OPERACJE NA ZBIORACH ROZMYTYCH

µ _B(x)

µ _A(x)

Suma µ_A∨B(x)=min{1, µ_A(x)+µ_B(x)} :

µ _A(x) ∨ µ _B(x)

lub µ_A∨B(x)=max{µ_A(x),µ_B(x)} :

x

µ (x) 1

0

µ _B(x)

µ _A(x)

µ _A(x) ∨ µ _B(x)

25 x

µ (x⁾

1

0

µ _B(x)

µ _A(x)

Iloczyn µ_A∧B(x)=min{µ_A(x),µ_B(x)} :

µ _A(x) ∧ µ _B(x)

lub µ_A∧B(x)=µ_A(x)•µ_B(x) :

x

µ (x⁾

1

0

µ _B(x)

µ _A(x)

µ _A(x) ∧ µ _B(x)

26 x

µ (x) 1

0

µ _A(x) µ _Â(x)

Dopełnienie zbioru rozmytego:

Równość dwu ZR

A

B

A( )x B( ) x x

µ

µ

27 x

µ (x) 1

0 x

1

LICZBY ROZMYTE:

Wymagania:

Zbiory rozmyte, zdefiniowane na osi liczb rzeczywistych.

• zbiór normalny: h(A)=1;

• zbiór wypukły;

• funkcja przynależności przedziałami ciągła.

np.:

28 x

µ (x) 1

0

x

LICZBY ROZMYTE:

• dodatnie

• ujemne;

• ani dodatnie ani ujemne

29

Dodawanie liczb rozmytych:

{ }

A A B

( ) max

µ

µ

µ

x

µ 1

0

x

µ_A+B(x) µ_A(y) µ_B(z)

30 x

µ

0

x

1 µ_A(y) µ_B(z)

Mnożenie liczb rozmytych:

{ }

A A B

( ) min

µ

µ

µ

µ_A•B(x)

31

PRZYBLIŻONE PRZYBLIŻONE

WNIOSKOWANIE

WNIOSKOWANIE

32

REGUŁY WNIOSKOWANIA W LOGICE ROZMYTEJ Reguły, których przesłanki lub wnioski wyrażone są w języku zbiorów rozmytych.

• Reguły pochodzące od ekspertów zwykle wyrażone są w języku nieprecyzyjnym.

• Zbiory rozmyte pozwalają przełożyć ten język na konkretne wartości liczbowe.

Praca systemu decyzyjnego opartego na logice rozmy- tej zależy od definicji reguł rozmytych w bazie reguł.

33

Reguły mają postać IF...AND...THEN. np.:

IF a is A1 AND b is B1 THEN c is C1

IF a is A2 AND b is NOT B2 THEN c is C2 gdzie:

a, b, c – zmienne lingwistyczne, A1, ..., C2 – zbiory rozmyte.

Zmienne lingwistyczne:

zmienne, które przyjmują jako wartości słowa lub zdania wypowiedziane w języku naturalnym.

(również wartości liczbowe).

34

STEROWNIKI STEROWNIKI

ROZMYTE

ROZMYTE

35

• Nie wymagają tworzenia modelu rozważanego procesu (co często jest trudne);

• Należy jedynie sformułować zasady postępowania w postaci rozmytych reguł (IF..THEN).

Np.: Schemat układu klimatyzacji:

czujnik wilgotności STEROWNIK

ROZMYTY

pomieszczenie

czujnik temperatury KLIMATYZATOR

36

– zmierzone wartości wejściowe;

– sygnał sterujący (intensywność chłodzenia).

czujnik wilgotności

STEROWNIK ROZMYTY

pomieszczenie

czujnik temperatury

KLIMATYZATOR

x1 x₂

y

1

,

x x

y

37

Zastosowania praktyczne:

• sprzęt AGD (pralki, lodówki, odkurzacze);

• kamery (autofokus);

• nadzór wentylacji w tunelach;

• sterowanie światłami na wjeździe na autostradę;

• klimatyzacja;

• automatyka przemysłowa;

• sterowanie robotów;

• ...

38

STEROWNIK ROZMYTY:

Baza reguł (model lingwistyczny):

zbiór rozmytych reguł w postaci:

1

1

1 2 2

1 2 2

( ) ( )

( )

k k k

n n

k

m k

k k

m

x A x A x A

y B y B

R

y B

: is is is

is is is

…

…

IF AND AND

THEN AND AND

BLOK

ROZMYWANIA

BLOK

WNIOSKOWANIA

BLOK

WYOSTRZANIA BAZA

REGUŁ

x _{A'⊆X B'} y

39

x1Np. Sterowanie ogrzewaniem:

drogo średnio

tanio

chłodno zimno

mróz

Temperatura Cena

ogrzewania

40

x1Np. Sterowanie ogrzewaniem:

wcale słabo

średnio drogo

słabo średnio

mocno średnio

średnio mocno

mocno tanio

chłodno zimno

mróz

Temperatura Cena

ogrzewania

(1) ( _ )

( )

Temperatura mróz Cena ogrz tanio Grzać mocno

R : is is

is

IF AND

THEN

(2) ( _ )

( )

Temperatura chłodno Cena ogrz drogo Grzać wcal

R

e

: is is

is

IF AND

THEN

41

x

ROZMYWANIE (fuzzyfikacja)

• Przejście od pomiarów (konkretna wartość ) do

funkcji przynależności przez określenie stopni przyna- leżności zmiennych lingwistycznych do każdego ze

zbiorów rozmytych.

T 1

0

µ_chłodno(T)=0.5

Np.: • Temperatura: T =15°C

• Cena_ogrz: p =48zł/MBTU

(3) ( )

( )

_ Temperatura chłodno Cena

R ogrz tanio

Grzać średnio

: is is

is

IF AND

THEN

1

0 p

µ_tanio(p)=0.3

48zł/MBtu 0.3

15°C 0.5

42

T 1

0

µ_chłodno(T)=0.5 ₁

0 p

µ_tanio(p)=0.3

48zł/MBtu 0.3

15°C 0.5

Stopień spełnienia reguły dla wszystkich przesłanek:

( ) min{ ( ),

( )}

całe

x µ

T µ

p

µ =

min{0.5,0 .3} = 0 3 .

=

„poziom zapłonu reguły”

43

µ_średnio(h)

h

1

0

WNIOSKOWANIE

Obliczanie stopnia prawdziwości wniosku:

• Wnioskowanie MIN:

µ_wniosku(h) µ_całe=0.3

min{

, }

wniosku

µ

µ

µ =

44

µ_średnio(h)

h

1

0

• Wnioskowanie ^•:

µ_całe=0.3

śre ca

wniosku

µ

µ

µ = i

µ_wniosku(h)

45 h

1

0

wniosku

µ

AGREGACJA

Jeżeli więcej niż jedna reguła ma niezerowy poziom zapłonu, wyniki (zbiory rozmyte) sumuje się.

is

is

is

Grzać słabo Grzać średnio Grzać mocno THEN

THEN THEN

mocno średnio

słabo

46

WYOSTRZANIE (defuzzyfikacja)

Jeżeli na wyjściu wymagana jest wartość liczbowa, stosuje się jedną z metod wyostrzania:

Metoda pierwszego maksimum:

47

WYOSTRZANIE (defuzzyfikacja)

Jeżeli na wyjściu wymagana jest wartość liczbowa, stosuje się jedną z metod wyostrzania:

Metoda środka maksimum:

48

Metoda środka ciężkości (COG):

WYOSTRZANIE (defuzzyfikacja)

Jeżeli na wyjściu wymagana jest wartość liczbowa, stosuje się jedną z metod wyostrzania:

49

Tu:

h 1

0

wniosku

µ

mocno średnio

słabo

57°

COG

COG dla zbiorów ciągłych: _{i i i}

i

i i i

Ac

h A

µ

=

∑ µ

∑

A

i

µ

i

c

i

50

STEROWNIK ROZMYTY TAKAGI-SUGENO

• Baza reguł sterownika ma charakter rozmyty tylko w części IF.

• W części THEN występują zależności funkcyjne.

Reguły Mamdaniego: wynikiem jest zbiór rozmyty

B

Reguły Takagi-Sugeno: wynikiem jest funkcja

f (x

)

Zwykle są to funkcje liniowe :

IF

x

A

x

A

x

=A

y

B

IF

x

A

x

A

x

=A

y

f (x

, x

,..x

)

f (x

)

y = a

+a

x

+a

x

51

R⁽¹⁾: IF prędkość is niska THEN hamowanie = prędkość

R⁽²⁾: IF prędkość is średnia THEN hamowanie = 4·prędkość R⁽³⁾: IF prędkość is wysoka THEN hamowanie = 8·prędkość

Prędkość

niska średnia wysoka

µ

2 0.3

0.8

0.1

Np.:

R⁽¹⁾: w₁ = 0.3; r₁ = 2 R⁽²⁾: w₂ = 0.8; r₂ = 4·2 R⁽³⁾: w₃ = 0.1; r₃ = 8·2

Hamowanie = ^{i i}

7.12

i

w r w

⋅ =

∑ ∑

52

Indywidualne funkcje Siatka

PROJEKTOWANIE BAZ REGUŁ

Informacja niezbędna do zaprojektowania sterownika:

• numeryczna (ilościowa) – z czujników pomiarowych;

• lingwistyczna (jakościowa) – od eksperta.

Stworzenie bazy wiedzy dla układu rozmytego – zadanie nietrywialne...

53

Siatki:

• proste i skuteczne;

• łączenie danych numerycznych i nienumerycznych poprzez uzupełnianie istniejącej bazy reguł o nowe reguły (na podstawie danych uczących);

• N

k

N

- często słaba aproksymacja.

Funkcje indywidualne:

• dokładniejsze, lepsza aproksymacja, mniej funkcji;

• trudniejsze w implementacji.

54

x₂ 1

0 µ(x₂)

x₁ 1

0 µ(x₁)

1. Określ. zakresu zmienności danych WE i WY

[x

, x

]

x₁^- x₁⁺ x₂^- x₂⁺

y 1

0 µ(y)

y^- y⁺

Zadanie:

Ustalenie reguł rozmytych tak, by sterownik generował właściwe sygnały wyjściowe.

55

2. Podział zakresów na podobszary, np.:

n = 2N+1 M

, ..., M

, S, D

, ..., D

i przyjęcie funkcji przynależności (np. trójkątnej) dla każdego z podobszarów.

x₂ 1

0 µ(x₂)

x₁ 1

0 µ(x₁)

x₁^- x₁⁺ x₂^- x₂⁺

yd 1

0 µ(y)

y^- y⁺

M₃ M₂ M₁ S D₁ D₂ D₃ M₂ M₁ S D₁ D₂

M₂ M₁ S D₁ D₂

56

3. Określenie stopnia przynależności każdego z sygna- łów WE i WY do każdego z podobszarów.

x₂ 1

0 µ(x₂)

x₁ 1

0 µ(x₁)

x₁^- x₁⁺ x₂^- x₂⁺

y 1

0 µ(y)

y^- y⁺

M₃ M₂ M₁ S D₁ D₂ D₃ M₂ M₁ S D₁ D₂

M₂ M₁ S D₁ D₂

x₁(2) x₁(1) x₂(1) x₂(2)

y(1) y(2)

57

x₂ 1

0 µ(x₂)

x₁ 1

0 µ(x₁)

x₁^- x₁⁺ x₂^- x₂⁺

y 1

0 µ(y)

y^- y⁺

M₃ M₂ M₁ S D₁ D₂ D₃ M₂ M₁ S D₁ D₂

M₂ M₁ S D₁ D₂

x₁(2) x₁(1) x₂(1) x₂(2)

y(1) y(2)

tu: - StPrzyn x₁ do D₁ = 0.8, do D₂ = 0.2, do innych = 0;

- x₁ ma największy StPrzyn do D₁, x₂ do M₁

- Dla każdej pary danych uczących można napisać jedną regułę.

58

4. Przyporządkowanie stopni prawdziwości (SP) do każdej reguły.

x₂ 1

0 µ(x₂)

x₁ 1

0 µ(x₁)

x₁^- x₁⁺ x₂^- x₂⁺

y 1

0 µ(y)

y^- y⁺

M₃ M₂ M₁ S D₁ D₂ D₃ M₂ M₁ S D₁ D₂

M₂ M₁ S D₁ D₂

x₁(2) x₁(1) x₂(1) x₂(2)

y(1) y(2)

59

x₂ 1

0 µ(x₂)

x₁ 1

0 µ(x₁)

x₁^- x₁⁺ x₂^- x₂⁺

y 1

0 µ(y)

y^- y⁺

M₃ M₂ M₁ S D₁ D₂ D₃ M₂ M₁ S D₁ D₂

M₂ M₁ S D₁ D₂

x₁(2) x₁(1) x₂(1) x₂(2)

y(1) y(2)

Np. dla reguły: IF (x₁ is A₁ AND x₂ is A₂) THEN y is B

( )

^{( )}

^{( )}

( ) 0.8 0.6 0.9 0.432 SP R = µ x ⋅ µ x ⋅ µ y = ⋅ ⋅ =

( )

^{( )}

^{( )}

( ) 0.7 1 0.7 0.49

SP R = µ x ⋅ µ x ⋅ µ y = ⋅ ⋅ =

60

Jeśli pewne reguły okazują się sprzeczne – wybiera się regułę o największym stopniu prawdziwości.

5. Utworzenie bazy reguł rozmytych na podstawie tablicy:

DD₂₂ DD₁₁

SS MM₁₁

MM₂₂ MM₃₃

MM₂₂ MM₁₁

SS DD₁₁ DD₂₂ DD₃₃

x

x

(1)

1 1 2 1

: ( is x D x is M ) is S

R IF AND THEN y

S