Odwzorowania rozmyte *

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria Ul: MATEMATYKA STOSOWANA XXII (1983)

S t a n i s ł a w H e i l p e r n

Wrocław

Odwzorowania rozmyte *

(Praca wpłynęła do Redakcji 17.11.1980)

1. wsTęp

W pracy rozpatrywana jest rodzina domkniętych, wypukłych, rozmytych podzbiorów metrycznej przestrzeni X . Podzbiory te są interpretowane jako wielkości przybliżone elementów X . Takie podejście stanowi naturalne uogólnienie przedziałowej

interpretacji liczb przybliżonych [5]•

Główna część pracy poświęcona jest odwzorowaniom rozmy- tym, czyli funkcjom przyjmującym wartości w klasie wielkości przybliżonych. Podane są podstawowe własności tych odwzoro- wań oraz związane z nimi pojęcia.

Wielkości przybliżone na prostej rzeczywistej R i fun- kcje rozmyte są treścią osobnego rozdziału. W tym przypadku zostały określone działania algebraiczne i udowodnione pod- stawowe prawa rządzące arytmetyką przybliżoną. Podane zostały też lematy ułatwiające praktyczne operacje na wielkościach przybliżonych i funkcjach rozmytych.

Natomiast końcowy rozdział pracy zawiera twierdzenie o Punkcie stałym, będące uogólnieniem twierdzenia o odwzorowa- niach zwężających, oraz przykład równania rozmytego o niepre-

* W Matematyce Stosowanej

(1980), str.27-38, zamieszczo- no artykuł Autora Wybrane zagadnienia z teorii zbiorów roz-

mytych (przyp.Red.y. “

[ 179 ]

180 S.HEILPERN cyzyjnie określonych. współczynnikach, rozwiązanego metodą iteracyjną podaną w pracy [4].

W dowodach twierdzeń i lematów zawartych w pracy wyko- rzystywane jest często pojęcie <?C —poziomu rozmytego zbioru, podstawowego narzędzia w teorii zbiorów rozmytych.

2. PODSTAWOWE DEFINICJE I WŁASNOŚCI ZBIORÓW ROZMYTYCH

Niech X będzie przestrzenią metryczną z metryką d . Funk- cją przynależności rozmytego podzbioru X nazywamy funkcję określoną na X o wartościach w odcinku [o»l]. V tej pracy będziemy utożsamiać podzbiór rozmyty A z jego funkcją przy- należności A (x) , oraz oznaczać klasę wszystkich podzbiorów rozmytych X symbolem

(x) •

W klasie cF(x) określimy następujące działania:

S u m a : (A u B) (x) = A (x) v B (x) , I l o c z y n : (A n b) (x) = A (x)

B

, I l o c z y n p r z e z

l i c z b ę : (aA) (x) = a*A(x) , gdzie a 6 R , I l o c z y n k a r -

t e z j a ń s k i : (AxB) (x,y) = A (x)

B(y) , D o p e ł n i e n i e : A' (x) = 1 - A (x) ,

gdzie

i

oznaczają min i max odpowiednio, a rozmyty zbiór AXB jest elementem cF"(X*Y) .

DEFINICJA 2.1 . Niech A 6 f(x) i

fo, 1 ] . oc -poziomem zbioru rozmytego A nazywamy podzbiór (zwykły) X o- kreślony w następujący sposób:

{x: A(x)> oc} dla °ce(0,l], Aoc =

{x: A(x) >

dla oc = O , gdzie B oznacza domknięcie zbioru B .

Pojęcie oc —poziomu jest podstaitfowym narzędziem w teorii

zbiorów rozmytych. Dowolny zbiór rozmyty A jest jednoznacz-

nie określony przez swoje oC-poziomy [7]. Zależność ta wyra-

żona jest wzorem:

ODWZOROWANIA ROZMYTE 181

A = ^{cce(o, i]} u \— / A^

DEFINICJA 2.2. Zbiór rozmyty A6^~(x) nazywamy domknię- tym, jeżeli dla każdego oce[0,l] jego

-poziom jest zbiorem domkniętym.

DEFINICJA 2.3* Podzbiór rozmyty nazywamy wypukłym, jeże- li jego oc-poziom jest zbiorem wypukłym dla każdego

cC e [o, i] .

Inaczej mówiąc, A jest domknięty, gdy jego funkcja przy- należności jest półciągła z góry, i wypukły, gdy jest quasi—

-wklęsła, czyli

A

(1 - A) y) ^ A(x)

A (y) dla każdego x,y6X i Ae [

,

] .

Niech, f będzie funkcją określoną na X o wartościach w metrycznej przestrzeni Y . Obraz i przeciwobraz zbioru rozmytego definiujemy w następujący sposób*

f (A) (y) =■

sup A (x) , gdy f"1 (y)

xfef~' (y)

0 , gdy f“1 (y) =

f"1 (B) (x) = B(f (x)) , gdzie Ae

, Be *T(y) , x 6 X,

Y 6 Y.

Powyższe definicje i własności zbiorów rozmytych czytel- nik może znaleźć w pracach [

] » [s]*

3. WIELKOŚCI PRZYBLIŻONE

W klasie tF (x) wyróżnimy pewną podklasę 9i/”(x), której ele- menty będziemy utożsamiać z wielkościami przybliżonymi ele- mentów przestrzeni X .

DEFINICJA 3*1* Podzbiór rozmyty AfecF(X) jest wielkością przybliżoną, jeśli jest domkniętym wypukłym zbiorem rozmytym, spełniającym warunek normalności:

sup A (x) = 1.

xeX

Zauważmy, że dowolny domknięty zbiór wypukły (zwykły) , jak i element przestrzeni X należą do klasy (Uj'(x) • (¥ tym przypadku utożsamiamy funkcję charakterystyczną zwykłego zbio- ru z nim samym). Możemy więc napisać następujący łańcuch in- kluzji:

F(x><a/(x>#(x) => X ,

gdzie S(x) oznacza klasę domkniętych podzbiorów wypukłych X, Niech x będzie dowolnym elementem X , a

takim zbiorem, że

(3.1) A(x) = 1.

Zbiór rozmyty określony powyżej będziemy identyfikować z wiel- kością przybliżoną elementu x . ¥ przypadku gdy Be<yj(x) rów- nież spełnia warunek (3*1) * możemy przy pewnych założeniach

określić relację między A i B , relację mówiącą o dokład- ności przybliżenia danej wielkości.

DEFINICJA 3*2. ¥ielkość przybliżona A jest dokłądniej- sza od wielkości B , czyli A<=B , jeżeli A(x)<B(x) dla każdego x e X .

Jak łatwo zauważyć, relacja c: jest relacją porządku częściowego określoną na CUT(X) .

Następnie zdefiniujemy pojęcia charakteryzujące wzajemne położenie wielkości przybliżonych.

DEFINICJA 3.3.

Niech

oraz

[o,

. Określi- my następujące funkcje:

p (A,B) = inf d(x,y), x6 A^ ,y£Ba

p (A,B)

sup p (A,B),

oc e [0,

1]

ty (ń>B) = dist (A^ łB^) ,

gdzie dist jest uogólnioną odległością Hausdorffa określoną na klasie domkniętych podzbiorów [

],

D (A,B) = sup D^ (A,B).

o c e [0^,1^]

182 S.HEILPERN

ODWZOROWANIA ROZMYTE

Funkcję p będziemy nazywać

-odstępem , p od- stępem, Dcc oc-odległością, a D odległością mię- dzy wielkościami przybliżonymi.

Mając określoną odległość D możemy zdefiniować granicę ciągu wielkości przybliżonych.

DEFINICJA 3.*Ł. Niech An , A€ CUT(X), n« N . Ciąg (An) jest zbieżny do A, jeśli

lim D(An ,A) = 0 . n — ► oo

Oznaczenie: linijj An = A , albo An ■ ^ ■> A . n — ► oo

TWIERDZENIE 3.1. Klasa

(x) jest przestrzenią metryczną z metryką D .

D o w ó d , (i) Niech A ^ e ^ U ) . Jeśli D(A,B) s O , to dla każdego cce[o,l] jest D^ (A,B) = O .

D w (A »B) = dist (A^

B*) .

Z tego, że dist jest metryką w przestrzeni zbiorów domknię- tych, otrzymujemy A^ = B^ . Równość ta zachodzi dla każdego

oc

, co pociąga za sobą równość zbiorów rozmytych A i B . (ii) D (A,B) = sup (dist (Aa , B^)) =

fO, 11

= sup (dist (B^ , A^)) s D(B,A).

*6 [0,1]

= sup (dist (A^ , B^)) + sup (dist (B^ , Cj) =

*6 [0,1] «€[0,1)

= D (A,B) + D(B,C) .

Określone powyżej pojęcia będą wykorzystane w rozdziale 6

dla sformułowania twierdzenia o punkcie stałym.

4. ODWZOROWANIA ROZMYTE

DEFINICJA 4.1. Niech X będzie dowolną przestrzenią, a Y przestrzenią metryczną. Odwzorowaniem rozmytym F nazywamy funkcję określoną na X o wartościach w kla- sie <KT (

) , czyli

F (x) 6 <UT(Y) dla każdego x 6 X .

Odwzorowanie rozmyte F możemy też traktować jako pe- wien rozmyty podzbiór iloczynu kartezjańskiego X*Y , okre- ślając stopień przynależności y€ Y do obrazu x€ X w od- wzorowaniu F jako F(x,y) [4].

DEFINICJA 4.2. Niech A 6 cF(x) , B€ f (

) . Obrazem podzbio- ru rozmytego A w odwzorowaniu rozmytym F będziemy nazywać podzbiór rozmyty F(A)6^F(

)

funkcją przy- należności równą:

(4.1) F (A) (y) = sup (

(x,y)

ACy)) , gdzie y 6 Y . x6X

Przeciwobraz podzbioru B określamy podobnie:

F~^ (B) (

) = sup ^F (x, y)

B (y)) , gdzie x 6 X . y£Y

U w a g a 4.1.Obraz i przeciwobraz wielkości przybliżo- nych nie muszą być wielkościami przybliżonymi.

Podstawowe własności odwzorowań rozmytych podajemy w dwóch lematach:

LEMAT 4.1. Niech F: X — ► W

) . (i) F (A u B) = F (A) u F (B) ,

F (A 0 B) <= F (A) n F (B) , gdzie A,B e JF(x) , (ii) F“1 (Au B) = F”1 (A)

F“1 (B) ,

F~1 (A 0 B)

“1 (A) 0 F"1 (B) , gdzie A,B6 ^(

) . D o w ó d .

(i) F (A u B) (y) = sup (f (x,y) A (a

B (x))) =

x6X *

= SUp (

(

,y)

A (x)) v sup (F(x,y) A E(x)) =

x£X x€X

184 S.HEILPERN

ODWZOROWANIA ROZMYTE 1

= F (A) (y)

F (B) (y) = (f (A)

F (B))(y) . F(A O B) (y) = sup (f (x,y)

F(x,y)

^

x6X

^ sup

(x,y)

sup (f

xex x6X

= F (A)

F (B)

= (f (A)

F (B))

. (ii) Dowód przebiega w analogiczny sposób*

LEMAT 4.2. Niech F: X — ► Wfr)*, A6 j'(X), B € ^ (

).

(F (A))k =,

(AJ , (F-1 (b))* => F;1 (B«) ,

gdzie

jest odwzorowaniem punktowozbiorowym ta- kim, że wartość F^ (x) jest oc -poziomem zbioru roz- mytego F (x) . W przypadku gdy

9lT(x) , B€ ^(Y) , po- wyższe warunki stają się równościami.

D o w ó d . Jeśli y6 (A^) , to istnieje taki x , że x e A ot i y6 F* (x) , czyli A (x) ^

oraz

F (x ,y) > c* . Otrzymujemy więc, że

F (x,y) a A(x) >

, czyli y6 (f(A))^ . Gdy B6f(Y) oraz x6 (

“ 1 (

))^ , wówczas

sup F (x ,y) a B (y

,*

yeY

F^ (x) _{i B^,} są zbiorami domkniętymi, istnieje więc taki y , że

F (x,y) ^

i B(y

czyli y 6 B^ i y^F^ (x). Inaczej mówiąc,

* 6 l£1 ( B J .

W ogólnym przypadku równość nie musi zachodzić, co poka- zuje następujący przykład:

PRZYKŁAD 4.1. Niech X = Y = R ,

= 0,5 ,

186

S.HEILPERN

0 ^dla y e (-co, 1 ^, 5 ^{] u [} 3 ^,+

B (y) = < y - 1 ^{dla ye ( i} »5 ^{, 2] ,} 3 ^{- y dla ye (} 2 ^, 3 ⁾

r° ^dla y e (-ę° , o] [;>,+oo)

F(o) (y) = < _* dla ye (o, 1] ,

i 2 ^{- y} sla ye (1, 2) .

Wtedy

bO,5 = 0 . 5 , 2], F0łS(o) = [0,5 , 1,5], b0,5 n Fo , 5 (o) = *

o z y li

Fqs (bo,5) • Z drugiej strony,

F“1 (B) (0) = sup (

(0,y) A B (y)) = sup ((2-y) A (y- 1)V

yeY ye(i,5 ,

]

= (2 - 1,5)

(1,5 - 1) = 0,5 , czyli 0 6 (

~ 1 (

))0 ^ .

U w a g a 4.2. W dowodzie równości korzysta się tylko z doinkniętości zbiorów A^ i F^(x), -wypukłość nie jest konieczna.

Wprowadzając topologię w przestrzeni X możemy określić ciągłość odwzorowania F .

DEFINICJA 4.3* Odwzorowanie rozmyte F: X — ►

?D'(

) nazy- wamy ciągłym w punkcie x 6 X , jeśli dla każdego cią- gu (xn) elementów X zbieżnego do x 6 X zachodzi warunek

limH F (xn) = F (x) . n — ► oo

5. WIELKOŚCI PRZYBLIŻONE NA PROSTEJ RZECZYWISTEJ R

Zajmiemy się teraz wielkościami przybliżonymi liczb rzeczywis- tych i funkcjami o wartościach w

(R) •

Niech A6 ^(R) ; wtedy jego cc -poziom jest odcinkiem

domkniętym lub półprostą, czyli A = [a . , ,a ,

ot , i

, gdzie

ODWZOROWANIA ROZMYTE 187 a ^ ^ e R u {~oo , +

} , i = 1,2.

W dalszej części pracy, zakładając, że a

. e R, będzie my się zajmowali jedynie przybliżeniami liczb skończonych.

Powyższe założenie nie zmniejszy ogólności naszych rozważań, lecz jedynie wpłynie na przejrzystość dowodów niżej podanych lematów.

Każdy element A6<ll/(R) możemy interpretować jako wiel- kość przybliżoną pewnej liczby

, dla której A(x ) = 1 , a w klasie tylT(R) wprowadzić działania algebraiczne w natural- ny sposób, będący uogólnieniem tych działań w zbiorze liczb rzeczywistych, jak i również w klasie przedziałów domkniętych

W .

DEFINICJA 5.1. Niech f będzie funkcją określoną na R^

w następujący sposób:

f (x,y) = x«y ,

gdzie x , y 6 R , a * oznacza jedno z działań:

+ oraz A,Be^(R) .

Działania na wielkościach przybliżonych określamy na- stępująco:

A * B = f (A*B) , czyli (A * B) (z) = sup (A (x)

B (y)) X*y=z

W przypadku działania : zakładamy, że B (o) = 0 . Zamkniętość klasy

(R) ze względu na wyżej określone działania algebraiczne wynika z następujących lematów.

LEMAT 5.1. Jeżeli A,B6^(x) , to AxB6 <HT(X>‘X) . D o w ó d .

(akb)* = {(x,y) : (AxB) (x,y)^

=

= {(x,y) : A (x) A B (y)

= {(x,y) : A(x)$>* i B(y)^c*} = A^ x B^ .

Jeśli A* i B*, są domknięte , to A^ x również; wy-

bika stąd domkniętość (AxB)ot .

A,B6<Uf(R), istnieją więc takie

i yQ , że A(xQ) = B(yQ) = 1 ,

(A*B) (xo,yQ) = A(xo)A B ( y o) = 1 , czyli A*B jest zbiorem rozmytym normalnym.

Dowód wypukłości A*B podany jest w pracy [i].

LEMAT 5.2. Niech Ae fyJ^R111) i f będzie funkcją rzeczy- wistą ciągłą, określoną na X ; wtedy f(A)e(yT(R).

D o w ó d . Niech y^ € (f (A)}^ dla każdego nfiN , czyli

sup

A (x) > c6 oraz lim y = y n o

xef-1 (yn ) n

Istnieje więc taki ciąg xn e Rm , że A(x ) ^ v n

oraz x 6 f~^ (y ) • n w n'

W przeciwnym przypadku, gdyby dla pewnego n było A(x)<

dla każdego x6 f (y ) , to musiałby istnieć w zbiorze — i

— 1 n

f (y ) ciąg (Zjt) taki, że lim A (z^.) =

• Funkcja f k — ► oo

jest ciągła, co pociąga za sobą domkniętość zbioru f * Gdyby ciąg (z, ) był ograniczony, to można by było wybrać

—

podciąg zbieżny do jakiegoś elementu z f (y ) . Zbiór A^

jest zwarty dla każdego <*e[o,l] , a ciąg (z^) nieograniczo- ny, czyli dla dowolnego 6 > 0 i dostatecznie dużych k

A (zk ) < £ , co przeczy założeniu, że lim A (z^.") = có • k ■»■ oo

Ostatecznie wybraliśmy ciąg (xn) / którego elementy należą do zwartego zbioru A*, . Istnieje więc zbieżny podciąg (x )•

Niech lim x = x ; oczywiście, x 6 A^ . Mamy

k — ► oo ic

y = lira o n — ► oo y - lim n n — oo f (x ) = lim n , k — ► oo f

v n, '

=

188 S.HEILPERŃ

= f(x0),

ODWZOROWANIA ROZMYTE

dlatego

A (x) > A (xQ) >

, czyli

Wykazaliśmy więc, że zbiór (f CA ) ) c c Jest domknięty.

Niech A(x') = 1 i f(x#) = y # ; wówczas f(A)(y')> A(x') = 1 ,

czyli A jest zbiorem rozmytym normalnym.

Dowód wypukłości funkcji f (A) jest podany w pracy [i] • U w a g a 5.1. W dowodzie lematu 5.2 skorzystaliśmy z wyżej podanego założenia o ograniczoności ot—poziomów. W przypadku ogólnym należy osobno rozważyć przypadek, gdy a

, x . = - oo . +

WNIOSEK 5.1. Niech A,B€ ^(R) ; wtedy A^BeWCR).

D o w o d . Funkcja f(x,y) = x*y jest ciągła; z lema- tów 5.1 i 5.2 otrzymujemy tezę.

Własności działań algebraicznych na wielkościach przy- bliżonych:

(a) A + B = B + A , A • B = B • A , (b) A + 0 = A , 1 • A = A ,

(c) (A + B)+ C = A + (B + C) , (A • B) • C = A • (B • C) , (d) a • (A + B) = a • A + a • B , gdzie a ^ R ,

(e) A + (-1) . B =A - B , A » (1 : B) = A : B , (f) A • (B + C) <= A • B + A • C ,

(g) Jeżeli A<=B i C <= D , to A*C <= B*D .

We własnościach (b) , (d) i (e) liczby rzeczywiste trak- towane są jako zbiory rozmyte.

D o w ó d . Dla przykładu podamy dowody tylko niektórych

punktów.

(o) ((A + b) + c)

= sup (A + B)

a C (y) =s w+y=z

= sup (s«P A (x)

B (t))

c _{(y) =}

w+ysz x+t=w

= sup (sup A (x) a B (t)

C (y

= w+y=z x+t=w

=

A

B

C

s

x + y + t = ż

=

(b

C

=

x + w = z t + y = w

= sup A (x) A (B + c) _{(w) =}

x+w=z

a (A + (B + C)) (z) .

W przypadku mnożenia dowód przebiega w podobny sposób.

(d) (a • (A + B))(z) s (A + B) (z/a) a sup A(x)A B(y) =

x + y a z / a

a

A

B

=

x / a + y / a = z / a

= s u p A ( x / a ) A B ( y / a ) = x + y = z

= sup (a*A) (x)

(a*B) (y) = a*A+a*B.

x+y=z

(f) (A*(B + C))(z) = sup A

(B + C) (y) =

x y = z

= s u p /a ( x ) A s u p

(b

x y = z t + u = y

=

(a

B

C

=

x y = z t + u = y

= sup (A

B (t)

A(x)

C

xt+xru=z

< sup (a

B (t)

A (v)

C (u)) s xt+vu=z

= sup ((sup A

(t)) (sup A(v)sC(u))V

w+y=z xt=w vu=y

= sup ((A* B) (w)

(A* C) (y)) = A* B+A* C • w+y=z

190 S.HEILPERN

ODWZOROWANIA ROZMYTE 191

\

Klasa ^ ( R ) z działaniami algebraicznymi nie jest alge- brą, nie są bowiem spełnione następujące własności:

A - A / 0 , A : A / 1 ,

a we własności (f) równość nie musi zachodzić. Pokazują to niżej podane przykłady,

PRZYKŁAD 5.1. Niech A = [2,3] , B = [-1,1] oraz C = [-2,-1] (domknięte odcinki w R), Wtedy

A - A = [-1»l]

A : A = [2/3

3/2] oraz A ' (B + C) = [2,3]-[-3,0] = [-9,0] ,

A-B + A-C = [-3,3] + [-6,-2] = [-9,1].

Na zakończenie powyższych rozważań udowodnimy jeszcze lemat ułatwiający w niektórych przypadkach wykonanie działań algebraicznych na wielkościach przybliżonych,

lemat 5.3. (A*B)ot =■[

z = x*y, i e l 8 , y« B* } =

= A** B*

D o w ó d

z 6 (A*B)^ sup A (x) A B (y) ^

x*y=z

< = > A (xq) ^

i B (yQ) >

dla pewnych x_ i y takich, że x *y = z * o o

<==> x 6 A . , y e ]3 o

oraz x *y = z o o

<• z e

B^ ,

W przypadku prostej rzeczywistej, oprócz wprowadzonego już porządku <= , możemy też określić drugą relację porząd- kującą zbiór ^ (

) ,

DEFINICJA 5.2. Niech A,B©<^(

) . Mówimy, że A jest nie większa niż B (A ^ B) , jeśli a .! ^ f r , . j ł A := 1 » 2 f

dla każdego oc e [

,

] , gdzie A = [a . ,a Ot U Ot- | I f 1 ,

B = [b - .b J •

1 92 S.HEILPERŃ W tym szczególnym przypadku odległość dwóch wielkości przybliżonych wyraża się wzorem

A sprowadza się do zbieżności końców przedziałów dla każdego - poziomu, czyli mamy

W wielu przypadkach wygodnie jest zawęzić klasę liczb przybliżonych do podklasy zwierającej tylko funkcje przynależ- ności określonego typu. Ułatwia to w dużym stopniu wykonywanie;

działań algebraicznych.

Niech S będzie funkcją określoną w następujący sposób:

gdzie a ^ m ^ n ^ b .

Funkcję S(x; a,m,n,b) możemy traktować jako funkcję przynależności zbioru rozmytego S(a,m,n,b) , odpowiadającego wielkości przybliżonej pewnej liczby leżącej "gdzieś między m a n ». V przypadku , gdy a = b , S(x; a,m,n,b) będzie funkcją charakterystyczną jednoeleraentowego zbioru, czyli pun- ktu, a gdy a = m , n = b , będzie to funkcja charakterystyczna na odcinku [m,n] . Natomiast gdy m = n , będziemy używać skróconego zapisu S(x; a, m, b).

Można wykazać ([3]) następujące własności funkcji S : Natomiast zbieżność ciągu wielkości przybliżonych (An) do

f,

dla n ^ x ^ (n+b)/%

dla (n+b) /2 ^ x < b,

S(a,m,n,b) + S(c,p,q,d) = S (a+c,ra+p,n+q,b+d) , f S (lta,km,kn,kb) dla k > 0 , k* S (a,ra,n,b) =-<

)s(kb,kn,km,ka) dla k < 0 , S(a,m,n,b) - S(c,p,q,d) = S(a-d,ra-q,n-p,b-c).

W przypadku mnożenia i dzielenia wynik tych działań nie musi być elementem tej klasy zbiorów rozmytych, jednak może być dość dokładnie aproksymowany przez jej element. Dokład- niejsze wiadomości na ten temat czytelnik może znaleźć w pra- cy [3]« Praca ta rozpatruje również inne postacie funkcji przynależności zbiorów rozmytych na prostej R . Do funkcji S wrócimy jeszcze w następnym rozdziale.

Niech X będzie dowolną przestrzenią metryczną , a F odwzorowaniem rozmytym określonym na X o wartościach w

^UT(r ). Wtedy dla każdego x

= [F< * F * , 2 « h

Funkcja rozmyta F jest więc jednoznacznie wyznaczona przez odwzorowania punktowo-zbiorowe

» określone dla każ- dego

-poziomu, a otrzymane w ten sposób funkcje F

. całkowicie charakteryzują odwzorowanie rozmyte F . Spełniają one dla każdego x€ X oczywisty ciąg nierówności:

(5.-I)

F cCi

(x) , gdzie a , 6 [°»lJ takie, że ot ^

Ciągłość funkcji rozmytej F sprowadza się do ciągłości funkcji F ^ i dla każdego

[

,

] oraz i = 1,2.

DEFINICJA 5.3* Ciąg funkcji rozmytych (Fn) jest zbież- ny punietowo do funkcji rozmytej F , jeśli dla każde- go x e X

liraH Fn (x) = F (x) • n — ► co

Natomiast, jeśli zachodzi warunek lim V d(f (x) , F(x)) = 0 , n — ►

x e X

to mówimy, że ciąg (Fn) jest zbieżny jednostajnie do F.

ODWZOROWANIA ROZMYTE 193

19

^ S.HEILPERN Inaczej mówiąc, ciąg (F ) jest zbieżny punktowo do F, jeśli zachodzi zwylcla zbieżność punktowa ciągu funkcji

(Fn .) do F oc, i oc,x * . , gdzie (F ( ' n l

) V = [Fn . fx) , Fn „ (x)1 ,

,2 -*

Niech F będzie funkcją rzeczywistą określoną na X , której wartości są zależne od parametrów. Może się zdarzyć, że nie będziemy w stanie podać dokładnej wartości parametrów, np. w wyniku niedokładności pomiarów czy subiektywnej oceny danego zjawiska, albo z braku czasu będzie nam zależało na natychmiastowym wyniku. ¥ tym przypadku, w celu obliczenia wartości funkcji F dla danych argumentów, możemy się posłu- żyć niedokładnie określonymi parametrami, czyli zbiorami roz- mytymi. Funkcja F stanie się wtedy funkcją rozmytą. Korzys- tając ze wzoru (4.1) możemy również podać wartość funkcji roz.

mytej F dla przybliżonej wartości jej argumentu.

Najprostszym przykładem funkcji rozmytej jest wielomian o rozmytych współczynnikach.

DEFINICJA Niech A^efy|T(R), gdzie k = 0,1,...,n , x € R . Funkcję rozmytą postaci

¥ (x) = A

+ Aj« x + ... + An X11

będziemy nazywać wielomianem rozmytym stopnia n . Korzystając z własności

(d) możemy przedstawić wielo- mian rozmyty w równoważnej postaci, będącej uogólnieniem schematu Homera

v (x) = A

+ (A1 + (. .. (An-1 + An»x>x)...)»x . 6. TWIERDZENIE 0 PUNKCIE STAŁYM

Zanim sformułujemy twierdzenie, podamy kilka własności odstę- pu 3 odległości między wielkościami przybliżonymi.

LEMAT 6.1. Niech A € <łjT(x) , x e X , a jxo} będzie zbio- rem rozmytym z funkcją przynależności równą 1 dla x = xQ oraz 0 dla pozostałych x e X . jxQ} c: A wtedy i tylko wtedy, gdy pK (

,A) = 0 dla każdego

«

[o.,] .

LEMAT 6.2. p^ (x,A) < d (x,y) + pa (y,A) dla dowolnych

X.

LEMAT 6.3# Jeżeli -fx }■ c A, to p (x ,B) < l O« oc O

(A,B) dla lcaźdego B e <U)'(X) .

Dowody powyższych tematów czytelnik znajdzie w pracy . TWIERDZENIE 6.1. Niech X będzie przestrzenią metryczną

zupełną , a F odwzorowaniem rozmytym X w . (X).

spełniającym następujący warunek:

istnieje takie qe (

,

) , że

d(f(x) , F(y)} ^ qd(x,y) dla każdego x,y

X ; istnieje wtedy taicie x*e X , że {x*} <= F (X*) .

Dowód twierdzenia wykorzystujący lematy 6.1. -

po- dany jest w pracy [*ł].

Podane powyżej twierdzenie jest uogólnieniem twierdzenia o punkcie stałym dla odwzorowania punktowo-zbiorowego ([

], [

]). Jest to naturalne uogólnienie wynikające z jednoznacz- nego przedstawienia zbiorów rozmytych jako sumy (mnogościowej) swoich

-poziomów [

]. Pozwala nam to traktować odwzorowa- nie rozmyte F jako zbiór punlctowo-zbiorowych odwzorowali F określonych dla każdego

-poziomu.

Proces iteracyjny podany w dowodzie twierdzenia pozwala nam w niektórych przypadkach znaleźć rozwiązanie "równania rozmytego”. Równania, w którym występują niezbyt dokładnie określone współczynniki. Obrazuje to poniższy przykład:

PRZYKŁAD 6.1. Dane jest równanie x = Ax^ + B ,

Współczynniki A i B nie są nam w danym konkretnym przypa- dku dokładnie znane, wiemy jedynie, że pierwszy z nich wynosi

"kilkanaście setnych”, a drugi ”mniej więcej połowę”. Chcemy natomiast na podstawie tych danych znaleźć, w miarę dokładnie, Argument x spełniający to równanie.

Określenie ”kilkanaście setnych” możemy traktować jako Podzbiór rozmyty prostej rzeczywistej R (odcinka [

,

]) . Przyporządkujmy mu funkcję przynależności równą

ODWZOROWANIA ROZMYTE

196 S.HEILPERN A(x) = S(x; 0,1 , 0,14 , 0,16 , 0,2).

Podobnie postępując z drugim współczynnikiem, przyjmujemy B(x) = S(xj 0,3 , 0,5 , 0,7).

Poszukiwania x spełniającego powyższe równanie zawęzimy do odcinka [o,i] . Niech F(x) = Ax

+ B. Dla dowolnego

06 e [0,1] , i = 1,2,

F #1 . (x) = ax

+ b , gdzie a e [o

,

,

] ,

F' (x) = 2ax ,

b * [

, 0,7] ,

czyli

(6.4) I*4'* ± (*)l ^ 0,4 dla x

[

,

].

Z twierdzenia o wartości średniej otrzymujemy F * , ± « - = F 'c,i(h) lx-y' dla pewnego h £ (x,y) .

Z (6.4) otrzymujemy

|F « , i w - F « , i c>r)| «

|x-y' -

D«. (F W - F (y>) = iF « , , w ■ F ttilw i v i F t(i2w - - F *,2 (y)l < °»Zł i*-yi •

Zatem funkcja F (x) = Ax + B spełnia założenia twierdzenia

i proces iteracyjny będzie zbieżny niezależnie od wybo- ru xQ . Niech xq = 0,5; wtedy

F(xq) = S(0,325 , 0,535 , 0,5^0 , 0,750). Wybieramy Xl =

,^

i obliczamy

F(Xl) = S (0,3294849, 0,5412788, 0,5471758, 0,7589698).

Dalej,niech x^ = 0,543 , dla którego

F(x2) = S (0,3294849, 0,5412788, 0,5471758 ,

,

).

Widzimy, że x

c F(x_), znaleźliśmy więc rozwiązanie równa-

nia x = Ax + B . Biorąc pod uwagę niezbyt dokładne określe-

nie współczynników, powyższy proces iteracyjny możemy w zasa- dzie przerwać już w drugim kroku, ponieważ x,j zawiera się w F(x^) z dokładnością rzędu tysięcznych części.

U w a g a 6.1. Jak łatwo zauważyć ,

nie jest jedy- nym dobrym rozwiązaniem "równania rozmytego" x =. Ax + B .

BIBLIOGRAFIA

[1] S.L.CIIANG, On Risk and Decision Making in a Fuzzy Environ- ment, Fuzzy Sets and Their Applications to Cognitive and Decision Processes, New York 1975*

[2] M.P.CUEN, M.H.SHIN, Fixed point theorems for point-to- point and point-to-set maps, J.Math.Anal.Appl. 710979).

[

] D.DUBOIS, H.PRADE, Fuzzy real algebra: Some results, J.

Fuzzy Sets and Systems 2 (1979).

[4] S.HEILPERN, Fuzzy mappings and fixed point theorem, J.

Math.Anal.Appl.(w druku).

[

] R.E.MOORE, Interyal Analysis, Englewood Cliffs, 1966.

[6] S.B.NADLER, Jr.

Multi-valued. contractions mappings, Paci- fic J.Math. 30 (1969).

[

] H.T.NGUYEN, A Note on the extension theorems for fuzzy sets, J.Math.Anal.Appl. 6^(1978).

[8] L.A.ZADEH, Fuzzy sets, Information and Control

(

).

ODWZOROWANIA ROZMYTE 197