• Nie Znaleziono Wyników

Zbiory z powtórzeniami

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Zbiory z powtórzeniami"

Copied!
8
0
0

Pełen tekst

(1)

Zbiory z powtórzeniami

1

(2)

Permutacje z powtórzeniami

Elementy zbioru

{k1 · a1, k2 · a2, . . . , km · am} można ustawić w ciąg na

(k1 + k2 + . . . + km)!

k1! · k2! · . . . · km! sposobów.

2

(3)

Przykład: Duża cukiernia

3

(4)

Kombinacje z powtórzeniami (1)

Niech

A = {∞ · a1,∞ · a2, . . . ,∞ · am}.

Liczba k-kombinacji (z powtórzeniami) wynosi

m− 1 + k k

= (m − 1 + k)!

k! · (m − 1)!. Jest to ilość rozwiązań równania

x1 + x2 + . . . + xm = k

w nieujemnych liczbach całkowitych x1, . . . , xm.

4

(5)

Dwuelementowa zasada włączeń i wyłączeń

Przykład. Dla dowolnych zbiorów skończonych A i B

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

5

(6)

Zasada włączeń i wyłączeń

Twierdzenie. Dla dowolnych zbiorów skończonych A1, . . . , An zachodzi wzór

|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An| =

=

i |Ai| −

i<j|Ai ∩ Aj| +

i<j<k|Ai ∩ Aj ∩ Ak| + . . . . . . + (−1)n+1|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An|.

6

(7)
(8)

Mała cukiernia

7

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zdarza się jednak, że zasada włączeń i wyłączeń sprawdza się w przypadku, gdy działaniem gru- powym jest operacja mnożenia: czego przykładem jest poniższe twierdzenie z

3.2 Wśród 500 rodzin w pewnym mieście 300 rodzin ma psa, 150 rodzin ma kota oraz co dziesiąta rodzina ma rybki.. Ponadto co piąta rodzina ma psa i kota, 40 rodzin ma psa i rybki,

Warto zwrócić uwagę, że wprawdzie zasady domknięcia świata i racji niedo- statecznej są niezgodne z zasadą racji dostatecznej na poziomie przedmiotowym (kiedy zakładamy, że

Jeżeli na wyjściu wymagana jest wartość liczbowa, stosuje się jedną z metod wyostrzania:. Metoda

(3) Jeśli w wyznaczonym 2 - elementowym ciągu element prawy jest elementem dodanym lub element prawy jest różny od klucza, nie znaleziono elementu równego kluczowi-zwróć 0,

Ile jest liczb całkowitych dodatnich nie większych niż 10000 podziel- nych przynajmniej przez jedną z liczb 2, 3, 5?. Ile jest permutacji 26 liter alfabetu angielskiego, które

Ile jest permutacji 26 liter alfabetu angielskiego, które nie zawierają jako podciągów kolejnych znaków żadnego z imion JAN, IREK, GUTEK ani TOM?. Na ile sposobów z talii 52

Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego... Definiujemy te