Zbiory z powtórzeniami
1
Permutacje z powtórzeniami
Elementy zbioru
{k1 · a1, k2 · a2, . . . , km · am} można ustawić w ciąg na
(k1 + k2 + . . . + km)!
k1! · k2! · . . . · km! sposobów.
2
Przykład: Duża cukiernia
3
Kombinacje z powtórzeniami (1)
Niech
A = {∞ · a1,∞ · a2, . . . ,∞ · am}.
Liczba k-kombinacji (z powtórzeniami) wynosi
m− 1 + k k
= (m − 1 + k)!
k! · (m − 1)!. Jest to ilość rozwiązań równania
x1 + x2 + . . . + xm = k
w nieujemnych liczbach całkowitych x1, . . . , xm.
4
Dwuelementowa zasada włączeń i wyłączeń
Przykład. Dla dowolnych zbiorów skończonych A i B
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
5
Zasada włączeń i wyłączeń
Twierdzenie. Dla dowolnych zbiorów skończonych A1, . . . , An zachodzi wzór
|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An| =
= �
i |Ai| − �
i<j|Ai ∩ Aj| + �
i<j<k|Ai ∩ Aj ∩ Ak| + . . . . . . + (−1)n+1|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An|.
6
Mała cukiernia
7