Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15.
CAŁKI OZNACZONE
Egzaminy I termin poniedziałek 31.01 14:00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 WE-030
Definicja (podział odcinka)
Podziałem odcinak [ , ]a b na n części, gdzie n nazywamy zbiór:
0 1
{ , , , n} P x x x
Stosowane oznaczenia
xk xk xk1 - długość k-tego odcinak podziału P, gdzie 1 k n
( )P max{xk,1 k n} - średnica podziału P
xk*(xk xk1) - punk pośredni k-tego odcinka podziału P, gdzie 1 k n
Definicja (całka oznaczona Riemanna)
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale [ , ].a b Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale [ , ]a b definiujemy wzorem
* ( ) 0 1
( )
lim
( )b n
k k
P k
a
f x dx f x x
o ile z prawej strony granica jest właściwa oraz nie zależy od sposobu podziału P przedziału [ , ]a b ani od sposobu wyboru punktów pośrednich.
a
a b
Funkcją dla której istnieje całka oznaczona Riemanna na [ , ]a b nazywamy funkcją całkowalną na [ , ].a b INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ
Pole trapezu krzywoliniowego
Niech D oznacza pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem ciągłej nieujemnej funkcji f, a osią OX oraz prostymi x=a, x=b. Pole D trapezu krzywoliniowego jest granicą sum pól prostokątów Dk aproksymujących ten trapez, gdy średnica podziału ( )P 0.
*
( ) 0 1 ( ) 0 1
( ) ( ) .
lim lim
b
k k k
P k P k a
D D f x x f x dx
Gdy wykres funkcji f leży pod osią OX, wtedy przyjmujemy, że pole trapezu D jest ujemne.
Twierdzenie (warunek wystarczający całkowalności funkcji)
Jeżeli f jest ograniczona na przedziale [ , ]a b i ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju (np.: „skok” lub „luka”), to jest na nim całkowalna.
Twierdzenie (Newtona-Leibniza)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [ , ]a b , to
( ) ( ) ( ).
b
a
f x dxF b F a
gdzie funkcja F oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f na tym przedziale.
Przykład
Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć podane całki:
1 4 6
3
1 0
6
a) (x 3x 1)dx, b) tgx dx c, ) sinx dx.
Twierdzenie (o linowości całki oznaczonej) Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na [ , ]a b , to
1) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ;
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
2) ( ) ( ) ,
b b
a a
cf x dxc f x dx
gdzie c .METODY OBLICZANIA CAŁEK OZNACZONYCH Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale [ , ]a b , to
( ) '( ) ( ) '( ) '( ) ( ) .
b b
b a
a a
f x g x dx f x g x f x g x dx
Przykład
Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć podane całki:
3
0 0
a) xarctgxdx, b) xsinx dx.
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli 1) funkcja :[ , ] [ , ]
na
a b ma ciągłą pochodną na przedziale [ , ] , 2)
( )a, ( )
b,3) funkcja f jest ciągła na przedziale [ , ]a b to
( ) ( ( )) '( ) .
b
a
f x dx f t t dt
Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie obliczyć podane całki:
1 2 2 ln 2
0 0 0
a)
x x1dx, b)
x e dxx , c)
ex 1dx.Twierdzenie (addytywność całki względem przedziałów całkowania) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [ , ]a b , oraz c( , )a b to
( ) ( ) ( ) .
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
Definicja (wartość średnia funkcji)
Niech f będzie funkcją całkowalną na przedziale [ , ]a b . Wartością średnią funkcji f na przedziale [ , ]a b nazywamy liczbę
1 ( )
b sr
a
f f x dx
b a
Uwaga
Wartość średnia funkcji f na przedziale [ , ]a b jest wartością prostokąta o podstawie b-a, którego pole jest równe polu trapezu krzywoliniowego ogr. wykresem funkcji f, osią OX i prostymi x=a, x=b
Przykład
Obliczyć wartość średnią funkcji f x( )sinx na przedziale [0, ]
Twierdzenie (całkowe o wartości średniej funkcji) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [ , ]a b , to
( , ) : ( ), tzn. ( ) ( ) ( ).
b sr
a
c a b f f c f x dx b a f c
Fakt (całka funkcji nieparzystej, parzystej)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [ , ]a b , oraz jest
1) nieparzysta, to ( ) 0;
a
a
f x dx
2) parzysta, to
0
( ) 2 ( ) ;
a a
a
f x dx f x dx
Niech f będzie funkcją całkowalną na przedziale [ , ]a b oraz niech c[ , ]a b . Funkcję
( ) ( ) ,
x
c
F x
f t dtgdzie x[ , ]a b nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.
ZASTOSOWANIE CAŁEK NIEOZNACZONYCH W GEOMETRII Fakt (pole trapezu krzywoliniowego)
1) Niech funkcje d i g będą ciągłe na przedziale [ , ]a b oraz niech d x( ) g x( ) dla każdego x[ , ]a b . Wtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji d i g oraz x=a, x=b wyraża się wzorem
[ ( ) ( )] ;
b
a
D
g x d x dx2) Niech funkcje d i g będą ciągłe na przedziale [ , ]p q oraz niech d y( )g y( ) dla każdego [ , ]
y p q . Wtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji d i g oraz y=p, y=q wyraża się wzorem
[ ( ) ( )] .
q
p
D
g y d y dyPrzykład
Obliczyć pole figur geometrycznych ograniczonych podanymi krzywymi:
a) yx26x4, y 3 x, b) y2 ,x y 3 x y, 0.
Fakt (długość krzywej)
Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [ , ]a b . Wtedy długość krzywej {( , ( )) :x f x x [ , ]}a b
wyraża się wzorem
1 ( '( ))2 .
b
a
f x dx
Obliczyć długość łuku krzywej ln cos , 0 . y x x 3
Fakt (objętość bryły obrotowej)
Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła na przedziale [ , ]a b . Ponadto niech T oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f, osią OX oraz prostymi x=a, x=b. Wtedy
1) objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego T wokół osi OX wyraża się wzorem
2( ) .
b
a
V
f x dx2) objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego T wokół osi OY wyraża się wzorem
2 ( ) .
b
a
V
xf x dxPrzykład
Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu podanej figury T wokół wskazanej osi 0 y xex, 0 x 4 wokół osi OX.
Fakt (pole powierzchni obrotowej)
1) Niech funkcja nieujemna f ma ciągłą pochodną na przedziale [ , ]a b . Wtedy pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi OX wyraża się wzorem
2 ( ) 1 ( '( ))2 .
b
a
f x f x dx
2) Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [ , ]a b , gdzie a0. Wtedy pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi OY wyraża się wzorem
2 1 ( '( ))2 .
b
a
x f x dx
