VOLGA i VANNA - współczynniki wrażliwości

(1)

Beata Stolorz

VOLGA i VANNA - współczynniki

wrażliwości

Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania 10, 172-179

(2)

STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 10

BEATA STOLORZ

VOLGA I VANNA - WSPÓŁCZYNNIKI WRAŻLIWOŚCI

Wstęp

Miary wrażliwości, będące jednym z najlepszych narzędzi pomiaru ryzyka opcji, odzwierciedlają wpływ pewnych zmiennych na cenę bądź stopę zwrotu instrumentu finansowego, nazywane często czynnikami ryzyka. Wysoka wraż liwość tych zmiennych na działanie czynników na nie wpływających, świadczy 0 wysokim ryzyku rynkowym instrumentu finansowego. W praktyce najczęściej stosowane są tzw. współczynniki „greckie” ( G r e e k s ) : d e l t a , g a m m a , t h e t a , v e g a

1 r h o 1. Celem pracy jest zaprezentowanie dwóch mniej znanych współczynni

ków: v o l g a i v a n n a europejskiej opcji kupna ( c a l l ) i sprzedaży ( p u t) dla modelu

wyceny Blacka-Scholesa.

Miary wrażliwości

Z punktu widzenia matematycznego miara wrażliwości jest to pochodna cząstkowa funkcji wyrażaj ącej cenę opcji względem wybranego czynnika ryzy- ka1 2. W tej grupie główną rolę pełnią współczynniki: d e l t a , g a m m a , v e g a , t h e t a i r h o , należące do klasy modeli deterministycznych. Element stochastyczny wy

stępuje w podanej metodologii, jednak w postaci końcowej modele te mają po stać niezależną od składnika losowego. Parametr zmienności określony jest jako odchylenie standardowe stóp zwrotu i traktuje się go jako znany. Greckie współczynniki wyrażaj ą wpływ na cenę opcji podstawowych czynników takich jak cena instrumentu bazowego, czas do wygaśnięcia opcji, poziom zmienności instrumentu bazowego, stopa procentowa wolna od ryzyka (krajowa lub

zagra-1 Więcej na ten temat w [3], s. 359-394. 2 Patrz [4], s.125.

(3)

B E A T A S T O L O R Z

Vo l g a i Va n n a - w s p ó ł c z y n n i k i w r ażl i w ośc i 173

niczna3). Współczynniki te wykorzystuje się do tworzenia strategii minimalizu jących ryzyko rynkowe. Wysoka wrażliwość ceny lub stopy zwrotu instrumentu finansowego na działanie czynników na nie wpływających, świadczy o wyso kim ryzyku rynkowym instrumentu finansowego.

Oprócz tradycyjnych współczynników greckich specjaliści analizuj ący opcje określają czasem jeszcze inne współczynniki wrażliwości: 4

1. Współczynnik v o l g a ( v e g a g a m m a , v o m m a ) określa, o ile zmieni się

współczynnik v e g a względem zmiany zmienności ceny instrumentu

bazowego. Jest to druga pochodna ceny opcji względem zmienności ceny instrumentu bazowego.

2. Współczynnik v a n n a określa, o ile zmieni się współczynnik v e g a , gdy

cena instrumentu bazowego zmieni się o jednostkę. Inna równoważna interpretacja mówi nam, że jest to wielkość zmiany współczynnika d e l  t a względem jednostkowej zmiany zmienności ceny instrumentu bazo

wego. Jest to druga pochodna ceny opcji liczona najpierw względem zmienności, a potem względem ceny instrumentu bazowego.

Wybrane współczynniki wrażliwości wraz z ze wzorami je opisuj ącymi są zawarte w tabeli 1.

Volga i vanna w modelu wyceny Blacka-Scholesa

Wartość współczynników wrażliwości jest uzależniona od przyj ętego mo delu wyceny opcji. Najczęściej stosowane są równania modelu Blacka- Scholesa: 5

c = S • N (d1 ) - X • e-r'(T-t ^ N (d2 ), (1)

p = X • e-r(T-t ) • N ( - d2 ) - S • N ( - d1 ),

3 Szerzej na ten temat w [7]. 4Patrz: [5] s. 350, [6] 5 Patrz [8], s.48.

(4)

174

RYNEK KAPITAŁOWY - SKUTECZNE INWESTOWANIE

T abela 1. Wybrane współczynniki wrażliwości

Greeks c a l l p u t d c d p d e l t a d S dS d 2 c d 2 p g a m m a dS2 d S 2 dc d p v e g a da da dc dc dp dp t h e t a dt dx dt dx d c _{d p} r h o d r dr v o l g a d 2c d 2 p da 2 da 2 v a n n a d 2c d 2 p dSda dSda

Źródło: opracowanie własne.

, Hf

) + ( r

4

) ( T - •> d l " o . V T - i , lnf ^ 1 + i r - ^ 1 .(T - 1) = l X ) [ 2 )--- = d i - s ^ / ^ 2 O-yJT-t gdzie:

c - wartość europejskiej opcji kupna, p - wartość europejskiej opcji sprzedaży,

r - stopa procentowa wolna od ryzyka,

o - odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji, S - bieżąca cena akcji, X - cena wykonania opcji, T -termin wygaśnięcia, t - termin bieżący.

(5)

N (x ) we wzorach (1) jest to wartość dystrybuanty standaryzowanego roz kładu normalnego dla argumentu x, określona następująco:

/ \ 1 X - i y 2

N ( x ) = V 5 p i e ' d y .

Czas do wygaśnięcia opcji t można wyrazić za pomocą następującego wzoru:

t = T - 1. (2)

Korzystając ze wzorów (1) i (2) można wyprowadzić wzory na współczynniki wrażliwości europejskiej opcji kupna i sprzedaży (Tabela 2).

Tabela 2. Wybrane współczynniki wrażliwości dla modelu wyceny opcji Blacka- Scholesa M o d e l w y c e n y o p c j i B l a c k a - S c h o l e s a Greeks c a ll I p u t d e lta N (di ) N ( d 1 )- 1 N '(d1 ) g a m m a________________________ SW T37_______________________

J E Ï

v e g a S N '(d 1 ^ T - t = ' e 2

th eta - SN d S - r X e - AT-t]N ( d 2 ) - SN j¿ - í + rXe~’lT-t)N (d 2 )

rh o X ( T - 1)e ~r(T-t)N (d2 ) - X(T - 1)e~r(T-t)N ( - d2 ) v o lg a ^ = S J T - Ó N '(d1 ) d- X aa a dvega N '(d1 )d 2 v a n n a ——— = ---aS a

Wzory służące do obliczenia współczynników v o lg a i v a n n a są takie same dla opcji c a ll i p u t (Tabela 2). Wynika to z faktu, iż wartość parametru v e g a nie zależy od pozycji przyjętej przez inwestora.

Na rys. 1-4 przedstawiono wykresy funkcji opisujących wartości współ czynników v o lg a i v a n n a dla opcji europejskiej w zależności od ceny

(6)

instru-176

R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E I N W E S T O W A N I E

mentu bazowego S i od czasu pozostającego do wygaśnięcia opcji t . Na rys. 1 4 widać, że nawet niewielka zmiana ceny instrumentu bazowego może powo dować bardzo gwałtowne zmiany wartości badanych współczynników, które to z kolei wpływają na kształtowanie się wartości tradycyjnych współczynników „greckich”. Nie bez znaczenia jest również zmiana czasu do wygaśnięcia. Przy czym można zauważyć, że zależność wskaźników v o lg a i v a n n a od ceny S jest regularna, natomiast ich zmiany w zależności od czasu t są silnie uzależnione od relacji ceny wykonania opcji do bieżącej ceny instrumentu bazowego.

R y s . 1. Z a l e ż n o ś c i w s p ó ł c z y n n i k a v o l g a o d c e n y s.

R y s . 2 . Z a l e ż n o ś c i w s p ó ł c z y n n i k a v a n n a o d c e n y s.

R y s . 3 . Z a l e ż n o ś c i w s p ó ł c z y n n i k a v o l g a o d c z a s u t .

Świadczy to o konieczności kontrolowania wartości tych wskaźników przy gwałtownych zmianach cen instrumentu bazowego. Współczynniki te są wyko

(7)

BEATA STOLORZ Vo l g a i Va n n a - w s p ó ł c z y n n i k i w r ażl i w ośc i 177 r z y s t a n e w m e t o d z i e v o lg a -v a n n a s ł u ż ą c e j d o o c e n y r y z y k a i n w e s t o w a n i a w • 6 o p c j e

Rys. 4. Zależności współczynnika vanna od czasu t .

Podsumowanie W p r a k t y c e u w a ż a s i ę , ż e z b a d a n i e w s p ó ł c z y n n i k ó w d elta , g a m m a , th eta , v e g a i rh o j e s t w y s t a r c z a j ą c e d o z a r z ą d z a n i a r y z y k i e m o p c j i . J e d n a k w p r z y p a d k u s t r a t e g i i t w o r z o n y c h w o p a r c i u o t e p a r a m e t r y n a l e ż y p a m i ę t a ć , ż e i c h w a r t o ś ć z m i e n i a s i ę w r a z z e z m i a n ą c e n y i n s t r u m e n t u p o d s t a w o w e g o S o r a z w w y n i k u t z w . „ s t a r z e n i a s i ę ” o p c j i , c z y l i w r a z z u p ł y w e m c z a s u . S t ą d t e ż z a c h o d z i k o n i e c z n o ś ć s t o s o w a n i a w z a a w a n s o w a n y c h a n a l i z a c h r ó w n i e ż i n n y c h m i a r w r a ż l i w o ś c i t a k i c h j a k : v o lg a i v a n n a. W l i t e r a t u r z e w y m i e n i a s i ę j e s z c z e i n n e w s p ó ł c z y n n i k i n p . : beta, ch a rm , c o lo u r, sp ee d ,, d u a l d elta , d u a l g a m m a , d u a l th e ta 7. U m i e j ę t n o ś ć p r a w i d ł o w e j a n a l i z y w s z y s t k i c h w s p ó ł c z y n n i k ó w t e g o t y p u j e s t n i e z b ę d n a p r z y t w o r z e n i u r ó ż n o r o d n y c h s t r a t e g i i , g d y ż i c h s k u t e c z n o ś ć j e s t u z a l e ż n i o n a o d p r a w i d ł o w e g o o d c z y t a n i a w p ł y w u p o s z c z e g ó l n y c h p a r a m e t r ó w n a w a r t o ś ć o p c j i . Literatura

1. Castagna A., Marcurio F., The Vanna -Volga Method for Implied Volatilities, Risk, 2007, nr 1.

6 S z e r z e j n a t e m a t m e t o d y v o lg a - v a n n a w C a s t a g n a A . , M a r c u r i o F . , T h e V a n n a - V o lg a M e t h o d f o r I m p l i e d V o la tilitie s , s . 1 0 6 - 1 1 1 .

(8)

178

R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E I N W E S T O W A N I E

2. Hakala J., Wystup U. [red.], f o r e i g n E x c h a n g e R i s k : M o d e l s , I n s t r u m e n t s a n d S t r a t e g i e s , Risk Books, London 2002.

3. Hull J., K o n t r a k t y t e r m i n o w e i o p c j e . Wprowadzenie, WIG-PRESS, Warszawa

1999.

4. Jajuga K. [red.], M e t o d y e k o n o m e t r y c z n e i s t a t y s t y c z n e w a n a l i z i e r y n k u k a p i t a ł o  w e g o , Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław 2000.

5. Jajuga K., Kuziak K., Markowski P., I n w e s t y c j e f i n a n s o w e , Wydawnictwo Akade

mii Ekonomicznej im Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław 1998.

6. Korona R. M., N i e d o c e n i a n a r e s z t a , Bank, 1999, nr 7.

7. Stolorz B., A n a l i z a w s p ó ł c z y n n i k a r h o w m o d e l u w y c e n y o p c j i G a r m a n a - K o h l h a g e n a , [w:] Tarczyński W. [red.], Rynek Kapitałowy. Skuteczne Inwesto

wanie, część II, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin 2007.

8. Wilmott P., Howison S., Dewynne J., T h e M a t h e m a t i c s o f F i n a n c i a l D e r i v a t i v e s ,

Cambridge University Press 1999.

STRESZCZENIE

W praktyce uważa się, że zbadanie współczynników d e l t a , g a m m a , t h e t a , v e g a i r h o jest wystarczające do zarządzania ryzykiem opcji. Jednak w przypadku strategii

tworzonych w oparciu o te parametry należy pamiętać, że ich wartość zmienia się wraz ze zmianą ceny instrumentu podstawowego S oraz w wyniku tzw. „starzenia się” opcji,

czyli wraz z upływem czasu. Stąd też zachodzi konieczność stosowania w zaawanso wanych analizach również innych miar wrażliwości. Celem pracy jest zaprezentowanie dwóch mniej znanych współczynników wrażliwości opcji: v o l g a i v a n n a europejskiej

opcji kupna ( c a l l ) i sprzedaży ( p u t ) dla modelu wyceny Blacka-Scholesa.

VOLGA AND VANNA - SENSITIVITY MEASURES

SUMMARY

In practice it is claimed that studying parameters: delta, gamma, theta, vega and rho is sufficient to manage option risk. However in case of strategies created on the basis of these parameters one should remember that their value changes with the change of price of underlying instrument S and also due to the so called “ageing” of option, meaning the change with time. Hence, there is a need to apply in advanced analyses

(9)

other sensitivity measures. The aim of this study is to present two less known sensitivity parameters: volga and vanna of European call option and put option for the model of pricing of Black - Scholes.

T r a n s l a t e d b y B . S t o l o r z

D r B e a t a S t o l o r z

Uniwersytet Szczeciński stolorz@interia.pl