Ontologiczne i poznawcze założenia teorii mnogości Georga Cantora Cz. 1

Jerzy Dadaczyński

Ontologiczne i poznawcze założenia

teorii mnogości Georga Cantora Cz. 1

R

O

Z

P

R

A

W

Y

S tu d ia P h ilo so p h iae C h ristian ae U K S W

________ 39(2003)1

J E R Z Y D A D A C Z Y Ń S K I

ONTOLOGICZNE I POZNAWCZE ZAŁOŻENIA TEORII MNOGOŚCI GEORGA CANTORA

C Z Ę Ś Ć I

1. Z ało żen ia ontologiczne. 1.1. W ątek spinozjańsko-fichteański. 1.1.1. Platoni- zująca in terp re tacja ontologii Spinozy. 1.1.2. M onizm substancjalny? M iędzy r e ­ alizm em a idealizm em . 1.1.3. D ualizm : sfery intra- i transsubiektyw na. 1.1.4. Para- lelizm sfer intra- i transsubiektyw nej. 1.1.5. Inteligibilność porządku poznaw cze­ go? 1.2. W ątek platoński. 1.2.1. O gólna akceptacja ontologii P latona. 1.2.2. P ro ­ blem uniw ersaliów. 1.2.2.1. Język a rzeczywistość pozajęzykowa. 1.2.2.2. Skrajny realizm pojęciowy. 1.2.2.3. Z b ió r - idea - byt abstrakcyjny. 1.3. N ieścisłości dwu- w ątkow ej ontologii. 2. Im plikacje założeń ontologicznych. 2.1. G łów ne kierunki oddziaływania. 2.2. O ntologia a definicja liczb kardynalnych.

Czy o pow staniu teorii mnogości zadecydowały tylko czynniki natury m atem atycznej i intuicje m etam atem atyczne C antora? A na­ lizując kontekst odkrycia tej teorii, wypada uwzględnić eksponow a­ ne przez niego przekonania filozoficzne. D latego celem niniejszej pracy będzie prezentacja tych tez ontologicznych i teoriopoznaw - czych, które C antor uważał za logicznie pierw otne w stosunku do budowanej przez siebie teorii mnogości. Jest to jed n ak tylko p e ­ wien ogólny szkic tem atyki pracy. Jej uszczegółowienie wymaga uprzedniego w prowadzenia kilku uwag.

Nie m ożna rozstrzygnąć, czy C an to r już w pierwszej fazie swojej pracy naukowej, a więc w latach 70. X IX wieku, kiedy tworzył p o d ­ stawy teorii pozaskończonych liczb porządkowych i mocy zbiorów nieskończonych, wyraźnie uświadam iał sobie oraz akceptował tezy ontologiczne czy teoriopoznaw cze, które prezentow ał później jako logicznie pierw otny „fundam ent” teorii mnogości. N ie jest wyklu­

czone, że pracując w ram ach weierstrassowskiego wzorca upraw ia­ nia analizy, nie odczuwał on potrzeby eksponow ania filozoficznych założeń tworzonej teorii. D opiero rodząca się opozycja m ogła przy­ czynić się do tego, że zaczął publikować swe przekonania w kwestii natury i kryteriów istnienia obiektów matematycznych.

W pracach i listach C an to ra elem enty refleksji filozoficznej za­ częły się pojawiać dopiero na początku lat 80. Trudno jed n ak przy­ puszczać, aby prezentow ane tam założenia filozoficzne zostały przez niego przyjęte ad hoc. Poza tym, na początku lat 80. proces powstawania Cantorow skiej teorii nie był zakończony. Te przesłan­ ki przem aw iają za zaliczeniem filozoficznych założeń teorii m nogo­ ści do zbioru czynników tworzących kontekst odkrycia tej teorii.

Z góry należy wskazać trudności, na jakie napotyka realizacja wyznaczonego celu. Tylko pozornie mogłoby się wydawać, że okre­ ślenie Cantorow skich preferencji filozoficznych jest spraw ą łatwą i nie wymagającą szczegółowych analiz. W szak tradycyjnie zwykło się klasyfikować C antora jako przedstawiciela platonizm u. Istotna trudność w prezentacji filozoficznego „fundam entu” teorii m nogo­ ści polega na tym, że nigdy nie pokusił się on o jego systematyczne przedstaw ienie i uzasadnienie.

Pod tym względem był zupełnym przeciwieństwem G. Fregego, który precyzyjnie konstruow ał ontologię, aby później oprzeć na niej swój system logiki. Inny sposób podejścia C antora do kwestii zało­ żeń filozoficznych wynikał najpraw dopodobniej stąd, że był on p rzede wszystkim m atem atykiem pracującym zgodnie z kanonam i szkoły K. W eierstrassa. Kiedy jed nak konsekwencje sposobu sta­ wiania przezeń problem ów i m etod ich rozwiązywania zaczęły bu ­ rzyć zastaną tradycję filozoficzną, zmuszony został do obrony po ­ wstającej teorii na płaszczyźnie ontologicznej i teoriopoznawczej.

Dotyczyło to przede wszystkim kwestii istnienia obiektów m ate­ matyki. C antor reprezentow ał przyjętą ogólnie wśród niem ieckoję­ zycznych przedstawicieli analizy opcję, według której do przyjęcia istnienia definiowanego przedm iotu nie było wym agane podanie sposobu jego konstrukcji1. D opiero, gdy on sam w analogiczny spo­ sób, bez konstrukcji, przyjął istnienie liczb pozaskończonych lub

1 Klasycznym przykładem jest twierdzenie o istnieniu kresu górnego czy dolnego funkcji zmiennej rzeczywistej, ciągłej w danym przedziale. W spom nianą opcję repre­ zentowali B. Bolzano i wpływowy K. Weierstrass.

zbiorów nieskończonych, rozpoczęła się polem ika, w której musiał bronić koncepcji istnienia, milcząco przyjmowanej w dziew iętna­ stowiecznej m atem atyce. Wypowiedzi C antora o charakterze onto- logicznym lub epistemologicznym nie miały ch arakteru system a­ tycznego. Raczej były głosem w polem ice, w której po przeciwnej stronie najważniejsze zdanie należało do dawnego nauczyciela C antora na uniwersytecie berlińskim, L. K roneckera2.

D odatkow ą trudność sprawia to, iż C antor nie rozgraniczał wy­ raźnie swoich poglądów ontologicznych i teoriopoznawczych. D la­ tego również w niniejszej pracy nie będzie możliwe całkowite roz­ dzielenie obydwu płaszczyzn.

W ypada jeszcze raz podkreślić, że filozoficzne zapatryw ania C antora były ujaw niane ze względu na kształtującą się dopiero teo rię mnogości. Toteż celem pracy będzie nie tylko prezentacja jego preferen cji w zakresie ontologii czy teorii poznania, lecz również - gdy to możliwe - ukazanie wpływu, jaki owe założenia mogły odgrywać w form ułow aniu i rozwiązywaniu istotnych z a ­ gadnień przedm iotow ych. P odkreślone też zostanie znaczenie, ja ­ kie miały jego p referen cje filozoficzne dla pow stania w ażnego kierunku w filozofii m atem atyki - hilbertow skiego form alizm u. Isto tn ą tezą w tym względzie będzie stw ierdzenie, że już C antor reprezentow ał stanow isko, k tó re m ożna określić jako „form alizm m etodyczny” .

Takie ustaw ienie tem atyki determ inuje strukturę pracy. Dw u­ krotnie, po zaprezentow aniu możliwych do zrekonstruow ania naj­ ogólniejszych założeń ontologicznych, a potem poznawczych, zo­ stanie ukazana zależność najpierw pewnych działań samego C anto­ ra w zakresie m atem atyki, a następnie kształtow ania się pocanto- rowskich poglądów w zakresie filozofii m atem atyki od przyjmowa­ nych przez tw órcę teorii mnogości preferencji filozoficznych.

2 Niestety, również L. K ronecker nie opracował systematycznie swoich koncepcji w zakresie ontologii i epistemologii. Swoje poglądy prezentował on zasadniczo w dy­ gresjach podczas prowadzonych wykładów czy też w trakcie towarzyskich dyskusji ma­ tematyków. Por. W. Purkert, H. J. Ilgadus, Georg Cantor, Leipzig 1985, 35-37. Dlatego jego poglądy znane są jedynie „z drugiej ręki”, dzięki opracowaniom biograficznym po­ święconym wybitnym przedstawicielom matematyki niemieckiej drugiej połowy XIX wieku. Brak solidnego źródła zawierającego ontologię i epistemologię matematyki L. Kroneckera jeszcze bardziej utrudnia przedstawienie poglądów jego głównego opo­ nenta w tym zakresie, Cantora.

1. Z A Ł O ŻE N IA O N T O L O G IC Z N E

W zakresie ontologii problem y związane z jej prezentacją i czę­ ściową rekonstrukcją mają co najmniej dwojaki charakter. Po pierw­ sze Cantor, często tylko szkicując własne poglądy, dla ich uzasadnie­ nia odwoływał się do zastanych systemów filozoficznych, przede wszystkim Platona i Spinozy. Wskazywał przy tym, że jego tezy h ar­ m onizują z głównymi wątkami owych systemów. Jedyną m etodą re ­ konstrukcji założeń ontologicznych C antora wydaje się wówczas po­ szukiwanie części wspólnej obu systemów, takie ich uzgodnienie w zakresie interesujących go zagadnień, aby stanowiły spójną całość.

Niejako a priori m ożna też wskazać drugą trudność w ujawnianiu poglądów z zakresu ontologii C antora, mianowicie nieostrość te r­ m inologiczną. Z góry w iadom o, że co innego oznacza term in „idea” u Platona, a co innego u Spinozy. D o tego dochodzi jeszcze wieloznaczność term inów u poszczególnych autorów. C antor rów­ nież nie dbał o uściślenie swojej term inologii filozoficznej. Poza tym starał się kilkakrotnie dookreślić w swych tekstach filozoficz­ nych, czym jest zbiór. D la m atem atyków prezentujących przeko n a­ nia form alistyczne jest to przedsięwzięcie absolutnie zbędne. W tradycji zermelowskiej zbiór jako pojęcie pierw otne jest w pro­ wadzany przy pom ocy definicji uwikłanej, to znaczy w aksjomatyce opisującej żądane własności pojęcia pierw otnego. Cantorow skie próby filozoficznego dookreślenia pojęcia zbioru zawierają ważne intuicje natury ontologicznej, ale z konieczności dopuszczają wielo­ znaczność w interpretacji.

Tekst, który najpełniej ujawnia założenia ontologiczne teorii m nogości C antora, pochodzi z roku 18833. D latego będzie on p o d ­ stawą - uzupełnianą innymi źródłam i - prezentacji jego ontologii4.

3 Por. G. Cantor, Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. N r 5. Grundlagen

einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, 1883, w: G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen' mathematischen und philosophischen Inhalts, hrsg. E. Zerm elo, Berlin 1932 [reprint

Berlin, Heidelberg, New York 1980], 181-183. Bardzo istotne dla zrozumienia tego tek­ stu przypisy autora znajdują się na s. 206-207. Tezy zawarte na początku tego tekstu sta­ nowią ontologiczną bazę dla doniosłych wypowiedzi natury epistemologicznej, a jego następne fragmenty będą analizowane przy omawianiu epistemologii Cantora.

4 Cantor nie zaprezentował „pełnego” i spójnego zbioru tez ontologicznych. D late­ go - ściśle rzecz biorąc - nie powinno się mówić o „ontologii C antora”. Ze względów praktycznych posłużono się jednak w niniejszej pracy wspomnianym terminem. Z astę­ puje on długie frazy typu: „założenia ontologiczne C antora”. Ta sama uwaga dotyczy term inu „teoria poznania C antora”.

Twórca teorii mnogości starał się w nim uzasadnić istnienie poza- skończonych liczb porządkowych oraz pozaskończonych mocy zbiorów (liczb kardynalnych). W łaśnie tutaj odwołał się on do sys­ tem ów Spinozy i Platona, aby uwiarygodnić własne przekonania dotyczące istnienia obiektów matematycznych.

C an tor stwierdził, że o istnieniu (Existenz) lub rzeczywistości (Realität) liczb całkowitych, zarów no skończonych, jak i nieskoń­ czonych, m ożna mówić w dwóch znaczeniach (Bedeutung). D okład­ nie w tych samych dwóch znaczeniach, w jakich m ożna przyjmować istnienie pojąć (Begriffen) lub idei (Ideen)5.

O statnia uwaga jest cenną wskazówką w rekonstrukcji ogólnych założeń ontologicznych C antora. Pozwoli ona bowiem, przy bliż­ szym doprecyzowaniu rozum ienia przez niego obydwu sposobów istnienia liczb całkowitych, stwierdzić to sam o o istnieniu pojęć i idei. Należy też zaraz zaznaczyć, że C antor nie określi! bliżej, jak rozum ieć terminy: „pojęcie” i „idea”. Z jego w prowadzenia nie wy­ nika też, czy są one nazwami odnoszącym i się do tej samej rzeczy­ wistości i m ogą być stosow ane zam iennie, czy też chodzi raczej o nazwy odnoszące się do różnych, ale izomorficznych ze sobą za­ kresów rzeczywistości. Innymi słowy: czy pojęcie i idea to dla C an­ to ra to samo, czy też nie.

K ażda liczba całkowita - a zatem również, zgodnie z tym, co p o ­ w iedziano wyżej, każde pojęcie i idea - m a równocześnie dwa spo­ soby istnienia6: intrasubiektyw ne (im m anentne) oraz transsubiek- tywne7. U zasadnienie dla dualizm u istnienia liczb (pojęć, idei) zna­ lazł C an to r między innymi w systemie Spinozy8.

5 „Wir können in zwei Bedeutungen von der Wirklichkeit oder Existenz der ganzen Zahlen, der endlichen sowie der unendlichen sprechen; genau genommen sind es aber dieselben zwei Beziehungen, in welchen allgemein die Realität von irgend welchen B e­ griffen und Ideen in Betracht gezogen werden kann”. G. Cantor, Über unendliche line­

are Punktmannigfaltigkeiten. N r 5. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre,

art. cyt., 181.

6 Inaczej: każda liczba całkowita jest realna na dwa sposoby.

7 Inaczej: „transiente R ealität” jako przeciwstawienie „immanente R ealität”. „(...) es sei mir gestattet, diese A rt der Realität unsrer Zahlen ihre intrasubjektive oder im ­ m anente Realität zu nennen.... Diese zweite A rt der Realität nenne ich die transsu­ bjektive oder auch transiente Realität der ganzen Z ahlen”. G. Cantor, Über unendliche

lineare Punktmannigfaltigkeiten. N r 5. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeit­ slehre, art. cyt., 181.

8 „Diese Überzeugung stimmt im wesentlichen (...) mit einem wesentlichen Zuge des Spinozaschen Systems überein; (·.·)”· Tamże, 206 (przypis C antora do s. 181).

1.1. W Ą TEK S P IN O Z JA Ń S K O -F IC H T E A Ń S K P

P rocedura dalszej analizy będzie następująca: chodzi o stw ier­ dzenie, w jakim wycinku systemu Spinozy doszukiwał się m atem a­ tyk niem iecki potw ierdzenia swej tezy, a następnie o to, na ile zmieni! lub modyfikował dla własnych potrzeb tw ierdzenia Spino- zjańskie przy okazji określenia dwu sposobów istnienia liczb (pojęć, idei). Uchwycenie istotnych elem entów systemu Spinozy, które C antor akceptował lub reinterpretow ał, oraz sam sposób reinter- pretacji pozwala wyznaczyć przyjętą przez niego perspektywę onto- logiczną.

1.1.1. P lato n izu jąca in te rp re ta c ja ontologii Spinozy

Twórca teorii mnogości dla uzasadnienia swej wypowiedzi o dwu sposobach istnienia odwołał się wprost do tw ierdzenia zawartego w Etyce: „porządek i związek idei jest taki sam, jak porządek i zwią­ zek rzeczy” 10. W tej tezie Spinozy znajduje wyraz jego teoria uni­ w ersalnego paralelizm u dwu atrybutów jednej - jedynej istniejącej substancji: rozciągłości i myśli. K ażda poszczególna rzecz, według Spinozy, to jakiś m odus substancji. D latego każdą m ożna rozważać z p unktu widzenia dwu atrybutów.

Ów dualizm m ożna ująć jeszcze inaczej - każda rzecz m a niejako podw ójną egzystencję: jako m odus atrybutu rozciągłości jest cia­ łem, zaś jako m odus atrybutu myślenia jest ideą. Przy czym ciało i idea nie są dwiema różnymi rzeczami, lecz stanow ią zawsze tę sa­ m ą rzecz rozw ażaną z dwu różnych punktów widzenia.

Z atem cały świat m a form alnie dwa porządki: posiada strukturę cielesną, rozciągłościową oraz idealną, logiczną. Obydwa te p o ­

5 W toku prowadzonych analiz będzie chodziło o wskazanie, że obok wpływu filozo­ fii Spinozy, w ontologii C antora dostrzegalne są inspiracje, których źródłem byl dzie­ więtnastowieczny niemiecki idealizm. Użycie w tytule paragrafu sformułowania „wątek spinozjańsko-idealistyczny” nie wyznaczyłoby jednoznacznie typu idealizmu inspirują­ cego Cantora. Zdecydowano się na sformułowanie „wątek spinozjańsko-fichteański” z dwu powodów:

1. Filozofia J. G. Fichtego jest reprezentatywna dla wspomnianego nurtu idealizmu; 2. W pracy niniejszej zostanie uzasadniony związek ontologii C antora z dorobkiem J. G. Fichtego.

10 „Hinsichtlich Spinozas brauche ich nur an seinen Satz in Ethik, pats II, prop. VII zu erinnern: ordo et connexio idearum idem est ac ordo et connexio rerun?”. Tamże, 207 (przypis C antora do s. 181). Tłumaczenie polskie za: B. de Spinoza, Etyka w p o ­

rządku geometrycznym dowiedziona, tłum. z łac. I. Myślicki, oprać, i wstęp L. Kołakow­

rządki są jed n ak tylko form am i przejaw iania się jedynego istnieją­ cego porządku rzeczywistości11. Z e względu na akcentowany przez Spinozę uniwersalny paralelizm obydwu sposobów przejaw iania się rzeczywistości m ożna twierdzić, że porządki te są identyczne z do­ kładnością do izom orfizm u lub, że są izomorficzne.

D la dobrego odczytania C antora, posługującego się niedookre­ ślonym term inem „idea” i odwołującego się do Spinozy, istotna wy­ daje się odpowiedź na pytanie: co oznacza atrybut myślenia przypi­ sywany przyrodzie i co oznacza własność „bycia ideą” przysługująca poszczególnej rzeczy?

W śród możliwych interpretacji najlepiej odpow iadała Cantorow i - j a k się wydaje - interpretacja platonizująca, bowiem dla uzasad­ nienia tezy o dualizm ie istnienia odwołał się on, jak zaznaczono wyżej, zarów no do Spinozy, jak i do P lato n a12. W edług niej m odus atrybutu myślenia to jednostkow o pojęta idea platońska13. Jej egzy­ stencja jest zagw arantow ana niezależnie od istnienia jakiegokol­ wiek podm iotu aktualnie poznającego tę rzecz, do której owa idea się odnosi. L. Kołakowski w swej interpretacji Spinozy także wyda­ je się bliski platonizującego rozum ienia tego filozofa. W edług nie­ go rzecz jako idea to rzecz jako przedm iot poznania, jednak nie ak­ tualnego, lecz możliwego. G w arantuje to poznawalność świata. Nie jest ona cechą subiektywnego umysłu, polegającą na zdolności do poznania świata, ale o drębną cechą samego świata (częścią jego struktury), obiektywnie mu przysługującą, bez względu na to, czy ktoś go aktualnie poznaje lub poznawać będzie14.

N ie w dając się w dalszą szczegółową analizę ontologii Spino- zjańskiej, wypada zebrać w całość te jej najistotniejsze tezy, które

11 Por. L. Kołakowski, Wstęp, w: B. de Spinoza, Etyka w porządku geometrycznym do­

wiedziona, dz. cyt., XXII-XXIII.

12 Inne najpoważniejsze wersje interpretacji to:

1. Subidealistyczna: egzystencja rzeczy uzależniona jest od aktualnego istnienia umysłu, dla którego dana rzecz stanowi przedm iot poznania;

2. Panpsychiczna czy hylozoistyczna: każdy przedm iot posiada zdolność myślenia lub każda rzecz jest ożywiona. Por. L. Kołakowski, art. cyt., XXIII-XXIV.

13 Idea jednostkowa to taka idea, do zakresu której należy dokładnie jeden element (należałoby dodać: elem ent rozciągły, by zostać wierny koncepcji Spinozjańskiej). L. Kołakowski w swej interpretacji Spinozy na określenie tego typu idei posługuje się terminem: „idea syngularna”. Por. L. Kołakowski, art. cyt., XXVI-XXVII. W niniejszej pracy wybrano termin „idea jednostkow a”.

mogły zostać przeniesione do ontologii C antora. M ożna je streścić następująco:

1. Istnieje jed n a substancja (monizm substancjalny);

2. Istnieją (przynajm niej form alnie) dwa porządki rzeczywisto­ ści: idealny i m aterialny (dualizm ). Każdej rzeczy przysługuje p o ­ dwójne istnienie jako rzeczy m aterialnej oraz idei jednostkowej;

3. Obydwa porządki rzeczywistości są izom orficzne (paralelizm ); 4. Sfera idealna posiada charakter obiektywnego - niezależnego od jakiegokolw iek podm iotu aktualnie poznającego - porządku poznawczego (inteligibilność).

W ypada teraz, w racając do analizowanego tekstu C antora, zapy­ tać: jak ą recepcję w jego ontologii znalazły wyżej wymienione twierdzenia Spinozy?

1.1.2. M onizm substancjalny? M iędzy realizm em a idealizm em

O dpow iednik tezy stwierdzającej m onizm substancjalny może stanowić wypowiedź C antora, że związek obu realności (Realitäten) - intrasubiektywnej oraz transsubiektywnej - m a swoją właściwą podstaw ę w „jedności wszystkiego, do której my sami współnależy- my”15. Jak rozum ieć ową „jedność wszystkiego” - czy w sensie mo- nizmu substancjalnego właśnie, czy tylko jakiegoś izom orfizm u sfe­ ry intra- i transsubiektywnej, tego C antor nie dopowiedział.

W skazówką, pozw alającą nieco lepiej określić jego myśl, jest stw ierdzenie, iż stanow isko, któ re reprezentuje, m a w takim sa­ mym stopniu podstawy realistyczne, co idealistyczne16. W k on tek ­ ście wypowiedzi o „jedności wszystkiego”, a więc i obydwu realn o­ ści {Realitäten), należy chyba tezę C anto ra rozum ieć jako próbę określenia własnego stanow iska w ram ach sytuacji problem ow ej, któ ra legła u podstaw pow stania niem ieckiego idealizm u na p o ­ czątku X IX wieku.

Z a zasadnicze zagadnienie filozofii uważano wówczas stosunek myśli i bytu m aterialnego17 oraz łączące się z tym pytanie o pierw ot­

15 „Dieser Zusam m enhang beider Realitäten hat seinen eigentlichen G rund in der

Einheit des Alb, zu welchem wir selbst mitgehoren”. G. Cantor, Uber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. N r 5. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, art.

cyt., 182. Być może należałoby tłumaczyć: „Jedności Wszystkiego”.

16 „Bei der durchaus realistischen, zugleich aber nicht weniger idealistischen G run­ dlage m einer Betrachtungen (...)”. Tamże, 181.

ną n atu rę bytu. O ile tendencja realistyczna traktow ała byt jako pierwotny i z niego wywodziła myśl, o tyle niem iecki idealizm uwa­ żał myśl za pierw otną18. Jeśli tak interpretow ać znaczenie term inów „realizm ” i „idealizm ” w analizowanej wypowiedzi C antora, to trzeba wyprowadzić twierdzenie, że nie był on zwolennikiem ani ontycznego pierwszeństwa myśli (idealizm), ani ontycznego pierw­ szeństwa bytu m aterialnego (realizm ). Zbliża to w jakiejś m ierze stanowisko C an to ra do Spinozjańskiej tezy o jednej substancji, przejawiającej się w dwu porządkach.

1.1.3. D ualizm : sfery intra- i transsubiektyw na

O ntologią C antora zawiera - jak już wskazywano wcześniej - te ­ zę stw ierdzającą dualność rzeczywistości, ale na tym kończy się po ­ dobieństwo do systemu Spinozy. Opisywane przez niego dwie sfery realności (rzeczywistości) różnią się znacznie swoimi zakresam i od dwu Spinozjańskich porządków rzeczywistości.

Dotyczy to przede wszystkim transsubiektywnej sfery istnienia, której nie m ożna w żaden sposób utożsam iać z porządkiem m ate­ rialnym różnych modi, w jakich ujawnia się substancja. C antor zali­ cza do sfery transsubiektywnej obiekty, które występują w „naturze duchowej”19. Sfera transsubiektywna to dla niego „świat zew nętrz­ ny” (Außenwelt) w stosunku do intelektu20. Z atem ów „świat ze­ w nętrzny” składa się nie tylko z m aterialnych (rozciągłych), ale i duchowych (nierozciągłych) przedm iotów.

Jak zasygnalizowano wyżej, punktem odniesienia dla zdefinio­ wanej przez C an tora rzeczywistości transsubiektywnej był intelekt. Wszystko, co nie należy do intelektu - tak wypada rozum ieć jego podział - należy do „świata zew nętrznego” (Außenwelt). Zaś ów bliżej nie określony intelekt to druga, intrasubiektyw na sfera istnie­ nia. W nim właśnie liczby całkowite, zarów no skończone, jak i nie­

18 Wystarczy wskazać na jaźń Fichtego lub ideę Hegla.

18 „(...) d ie in d e r ( . . . ) g e is tig e n N atur ta tsa c h tlic h V o rk o m m e n ” .

20 „Dann kann aber auch den Zahlen insofern Wirklichkeit zugeschrieben werden, als sie für einen Ausdruck oder ein Abbild von Vorgängen und Beziehungen in der In­ tellekt gegenüberstehenden Außenwelt gehalten werden müssen, als ferner die ver­ schiedenen Zahlenklassen (I), (II), (III) u.s.w. R epräsentanten von Mächtigkeiten sind, die in der körperlichen und geistigen N atur tatsachtlich Vorkommen. Diese zwe­ ite A rt der Realität nenne ich die transsubjektive oder auch transiente Realität der gan­ zen Z ahlen”. G. Cantor, Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr 5. Grun­

skończone, a więc również - co w tej chwili bardziej istotne - poję­ cia i ew entualnie idee (?) realizują swój pierwszy sposób egzysten­ cji. M ogą one21 być traktow ane o tyle jako rzeczywiste (wirklich), o ile na mocy definicji zajm ują „w naszym rozum ie” (in unserm Ver­

stände) określone miejsce oraz gdy są dobrze odróżnialne od in­

nych elem entów (Bestandteilen) naszego myślenia, są z tymi czę­ ściami w określonych związkach (relacjach) i w ten sposób m odyfi­ kują substancję naszego ducha22.

C an to r zaznaczył, że tak scharakteryzow ana rzeczywistość (Re­

alität) intrasubiektyw na czy im m anentna pojęć lub idei w inna być

zgodna z określeniem adaequata w tym znaczeniu, w jakim użył go Spinoza, który twierdził: „przez ideę adekw atną (adaequatam) ro ­ zum iem ideę, która, o ile rozważa się ją sam ą w sobie, bez odniesie­ nia do przedm iotu, posiada wszystkie własności, czyli cechy (deno­

minationes) w ew nętrzne idei prawdziwej”23. Należy wyjaśnić, że w e­

dług L. Kołakowskiego cechą w ew nętrzną (denominatio intrinseca) w systemie Spinozy jest cecha absolutna, to jest taka, którą przed ­ m iot posiada bez względu na relację do innych przedm iotów 24.

21 Liczby, a zatem i pojęcia, idee (?).

22 „Einmal dürfen wir die ganzen Zahlen insofern für wirklich ansehen, als sie auf G rund von Definitionen in unserm Verstände einen ganz bestimmten Platz einneh­ men, von allen übrigen Bestandteilen unseres D enkens aufs beste unterschieden w er­ den, zu ihnen in Bestimmten Beziehungen stehen und somit die Substanz unseres G e­ istes in bestim m ter Weise modifizieren; es sei mir gestattet, diese Art der Realität unsrer Zahlen ihre intrasubjektive oder immanente Realität zu nennen”. G. Cantor,

Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. N r 5. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, art. cyt., 181.

23 „Was ich hier «intrasubjektive» oder «immanente» Realität von Begriffen oder Ideen nenne, dürfte mit der Bestimmung «adäquat» in derjenigen Bedeutung, wie die­ ses Wort von Spinoza gebraucht wird, übereinstimm en, indem er sagt: Eth. pars II def. IV, «Per ideam adaequatam intelligo ideam, quae, quatenus in se sine relatione ad ob­ jectum consideratur, omnes verae ideae proprietates sive denominationes intrinsecas habet»”. Tamże, 206 (przypis C antora do s. 181).

24 Jej przeciwieństwem jest cecha zewnętrzna (denominatio extrinseca), czyli relatywna, którą przedmiot posiada ze względu na swój stosunek do innych przedmiotów. Tak scha­ rakteryzowana Spinozjańska idea adekwatna, do której odwoływał się Cantor, opisując sferę intrasubiektywnego istnienia pojęć [idei (?)], miaia prawdopodobnie pewien wpływ na konstrukcję jego epistemologii. Idea adekwatna posiadała wszystkie cechy wewnętrz­ ne idei prawdziwej. Można postawić hipotezę, że istnieje metoda rozstrzygania, bez od­ wołania się do przedmiotu, do którego się idea odnosiła, czy jest ona adekwatną, czy też nie. Wówczas można by było, bez odnoszenia się do rzeczywistości transsubiektywnej (to w wypadku Cantora, zaś w wypadku Spinozy - do porządku materialnego), formułować sądy prawdziwe, dotyczące tej rzeczywistości. Ponieważ dla Cantora, jak się okaże, kryte­

Nie analizując w tym miejscu teoriopoznawczej zawartości cha­ rakterystyki sfery intrasubiektywnej, wypada stwierdzić, że Cantor, przejm ując dualną koncepcję rzeczywistości (istnienia), opar! ją na zupełnie innym schem acie, który nie pokrywa się ze Spinozjańskim. M iejsce schem atu: myśl - m ateria zajęta opozycja: intelekt - „świat zew nętrzny” (w stosunku do intelektu).

1.1.4. Paralelizm sfer intra- i transsubiektyw nej

C anto r zaadaptow ał dla potrzeb własnej ontologii tezę o parale- lizmie obydwu porządków , odwołując się wprost do twierdzenia Spinozy: „porządek i związek idei jest taki sam, jak porządek i związek rzeczy”. Z atem m ożna stwierdzić, że pomiędzy dwoma rodzajam i rzeczywistości - intrasubiektyw ną oraz transsubiektywną - istnieje izom orfizm 25. Relacja ta jest funkcją, która w sposób wza­ jem nie jednoznaczny elem entom jednej dziedziny (intrasubiektyw­ nej) przyporządkowuje elem enty drugiej (transsubiektyw nej). E le­ m entam i sfery transsubiektywnej są wszystkie przedm ioty należące do „świata zew nętrznego” w stosunku do intelektu.

Problem em jest to, czy również zbiory26 tych elem entów m ogą być traktow ane jako elem enty, dla których istnieje odpowiednik w sferze intrasubiektywnej. O dpow iedzi na to pytanie m ożna b ę ­ dzie udzielić dopiero po dokładniejszym przeanalizow aniu tego, co według ujęcia C antora zaliczało się do elem entów konstytuujących rzeczywistość intrasubiektywną.

Jak wskazano wyżej, elem entam i składowymi intrasubiektywnej sfery rzeczywistości są pojęcia {Begriffen) i idee {Ideen)21. Nie wyja­

rium tego, czy idea jest adekwatna, byia syntaktyczna niesprzeczność pojęć, zatem nie- sprzeczność gwarantowała prawdziwość semantyczną (przy klasycznym rozumieniu tej drugiej, co ma miejsce zarówno w systemie Spinozy, jak i w filozofii Cantora).

25 Skoro stwierdzono wyżej, że w ujęciu Spinozjańskim wyrażenie: „porządek i zwią­ zek... jest taki sam, jak porządek i związek (...)”, oznacza izomorfizm dwu dziedzin, to tym bardziej należy takiego sensu domniemywać u C antora, który zaczyna! dobrze ro­ zumieć, czym jest izomorfizm. Posługiwał się on nawet tymi własnościami izomorfizmu, które współcześnie formułowane są jako twierdzenia metamatematyki.

26 Zbiór jest tutaj rozumiany w sensie dystrybutywnym, chociażby dlatego, że taką, a nie mereologiczną koncepcją zbioru posługiwał się Cantor, tworząc teorię mnogości.

27 „Wir können in zwei Bedeutungen von der Wirklichkeit oder Existenz der ganzen Za­ hlen, der endlichen sowie der unendlichen sprechen; genau genommen sind es aber diesel­ ben zwei Beziehungen, in welchen allgemein die Realität von irgend welchen Begriffen und Ideen in Betracht gezogen werden kann”. G. Cantor, Uber unendliche lineare Punkt­

śniono dotychczas, czy dla C antora term iny „pojęcie” i „idea” zna­ czyły to samo, czy zbiór idei jest podzbiorem pojęć (ew entualnie odw rotnie), czy m oże to jakieś dwa odrębne, lecz izom orficzne ze sobą porządki rzeczywistości. Rozwiązanie tego problem u wymaga przede wszystkim dokładniejszej analizy tych fragm entów tekstu C antora, gdzie występuje term in „pojęcie”.

Stwierdził on, iż pojęcie, istniejące w sferze intrasubiektywnej, posiada pod pewnymi (naw et nieskończenie w ielom a) względami również rzeczywistość transsubiektyw ną28. Co oznacza, że pojęcie m oże pod wielom a względami posiadać rzeczywistość transsubiek­ tywną?

W analizowanym tekście mowa jest o tym, że klasy liczbowe (I), (II), (III) są reprezentantam i mocy występujących w „n aturze” za­ równo „cielesnej”, jak i „duchow ej”. Owe klasy liczbowe to „wzor­ ce” późniejszych, kolejnych pozaskończonych liczb kardynalnych: N0, Kj29, K2. Liczba K0, m ająca jako pojęcie istnienie intrasubiek- tywne, posiada również, i to „pod wielom a względam i”, rzeczywi­ stość transsubiektywną, na przykład we wszystkich m aterialnych obiektach składających się ze zbioru m onad-atom ów o takiej w ła­ śnie mocy30.

Podobnie m ożna powiedzieć, że „czerwoność” istnieje jako poję­ cie w naszym umyśle (rzeczywistość intrasubiektyw na), a rów nocze­ śnie posiada „pod w ielom a względam i” rzeczywistość transsubiek­ tywną, mianowicie w każdym przedm iocie „świata zew nętrznego”, który jest czerwony. Stawiany przez C antora wymóg izom orfizm u obydwu dziedzin rzeczywistości: intra- i transsubiektywnej sprawia, że pojęcie istniejące w sferze im m anentnej musi być w relacji31 z jednym i tylko jednym elem entem drugiej dziedziny.

Z powyższych rozw ażań wynika, że owym przyporządkowanym elem entem m oże i musi być cała klasa tych i tylko tych przedm io­

“ „Bei der durchaus reaiistischen, zugleich aber nicht weniger idealistischen G run­ dlage meiner Betrachtungen unterliegt es fur mich keinem Zweifel, daß diese beiden A rten der Realität stets sich zusammenfinden in dem Sinne, daß ein in der ersten H in­ sicht als existent zu bezeichnender Begriff immer in gewissen, sogar unendlich vielen Beziehungen auch eine transiente Realität besitzt, (.·.)”. Tamże.

25 Czyli continuum, przy założeniu, że Cantorowska hipoteza continuum byłaby prawdziwa.

30 Jest to znane twierdzenie C antora z zakresu filozofii przyrody. 31 Relacja ta jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.

tów, istniejących w „świecie zewnętrznym ”, które p od padają pod to pojęcie. W innym wypadku pojęcie mogioby być związane relacją na przykład z dwom a przedm iotam i. Wówczas relacja taka nie by­ łaby funkcją, a tym bardziej funkcją wzajem nie jednoznaczną. In ­ nymi słowy: pojęcie m a istnienie transsubiektywne jak o klasa tych i tylko tych przedm iotów „świata zew nętrznego”, które pod nie podpadają.

Przybliżywszy znaczenie term inu „pojęcie” w języku filozofii C antora, należy bliżej sprecyzować, jak rozum iał on w analizow a­ nej pracy term in „idea”.

W cytowanych wcześniej tekstach niem ieckiego m atem atyka za­ równo słowo „idea”, jak i „pojęcie” użyte są jako term iny znaczące to sam o co „idea” w tekstach Spinozy. Wynikałoby stąd, że dla C anto ra „idea” i „pojęcie” znaczyły dokładnie to samo co u Spino­ zy „idea jednostkow a”. Takie rozum ienie „pojęcia” stoi jednak w sprzeczności ze zrekonstruow anym wyżej Cantorow skim rozu­ m ieniem słowa „pojęcie”, którego zakres m oże zawierać więcej niż jed en elem ent.

Trzeba zwrócić uwagę, że w systemie Spinozy, obok idei jed n o st­ kowych, były również przyjęte idee powszechne, czyli pojęcia p o ­ wszechne, w których ujm ow ane było to, co wspólne we wszystkich ciałach na drodze abstrakcji32. Z atem , przez analogię do Spinozy, należałoby stwierdzić, iż term in „idea” w analizowanym tekście C antora nie oznacza nic innego, jak Spinozjańską ideę jedn ostk o­ wą, której w „świecie zew nętrznym ” (Außenwelt) odpow iada jeden i tylko jed en przedm iot. Zaś pojęciu m ożna zawsze przyporządko­ wać w sferze transsubiektywnej przynajmniej dwuelem entow ą kla­ sę przedm iotów , któ re pod to pojęcie podpadają. Termin „pojęcie” według C an to ra znaczyłby tyle, co „pojęcie ogólne” {Allgemeinbe­

griff) Schem at ontologiczny C antora m ożna by jeszcze uprościć

przy założeniu, że odpow iednikiem idei jednostkowych w sferze transsubiektywnej są nie pojedyncze przedm ioty należące do „świa­ ta zew nętrznego”, lecz jednoelem entow e klasy zawierające owe przedm ioty. Wówczas idee (jednostkow e) stanowiłyby w zbiorze wszystkich pojęć pewien podzbiór właściwy tych i tylko tych pojęć, których zakres byłby dokładnie jednoelem entow y.

12 Por. B. de Spinoza, Etyka w porządku geometrycznym dowiedziona, dz. cyt., część II, Tw. XXX VIII (D odatek) oraz przypis do Tw. XL.

Sum ując dotychczasowe rozważania, m ożna powiedzieć, że w ontologii C an to ra pojęcia posiadają podw ójne istnienie: są o tyle rzeczywiste {wirklich), o ile na mocy definicji zajm ują w naszym umyśle „określone m iejsce” oraz istnieją w znaczeniu transsubiek- tywnym, o ile w „świecie zew nętrznym ” w stosunku do intelektu ist­ nieją przedm ioty, k tó re pod te pojęcia podpadają. Sfera pojęć „vz naszym um yśle” {in unserm Verstände) i ich zakresów w „świecie zewnętrznym ” są dziedzinam i izomorficznymi.

1.1.5. Inteligibiiność p o rząd k u poznaw czego?

Spinozjański po rządek idealny posiadał - jak stw ierdzono wcze­ śniej - charakter obiektywnego, to znaczy niezależnego od jakiego­ kolwiek podm iotu aktualnie poznającego, porządku poznawczego. Pojawia się pytanie: czy teza o tak rozum ianej inteligibilności jest prawdziwa w odniesieniu do Cantorowskiej intrasubiektywnej sfery rzeczywistości?

Z całą pewnością sfera ta m iała charakter porządku poznawcze­ go - nie tylko dlatego, że C antor powoływał się na Spinozjański pa- ralelizm - ałe i „um iejscawiana” była przez niem ieckiego m atem a­ tyka w rozum ie {in (dem)... Verstände) lub wręcz identyfikowana z intelektem {Intellekt). Czy intrasubiektyw ną sfera rzeczywistości mogła jed n ak posiadać walor obiektywnego porządku poznawcze­ go (abstrahując od samej nazwy!), skoro w jej charakterystyce utoż­ sam iono ją w pewnym sensie z „naszym rozum em ”, „naszym du­ chem ” {unser Geist) lub z „naszym m yśleniem ” {unser D enken)!

Jedynym sposobem obrony obiektywnego charakteru rzeczywi­ stości intrasubiektyw nej, traktow anej jak o porządek poznawczy, wydaje się założenie, że sform ułow ania „nasz d uch”, „nasz rozum ” nie odnoszą się do pojedynczego podm iotu poznającego (np. C an­ tora), ale do jakiejś kolektywnej świadomości33. „Zaw artość” takiej kolektywnej świadomości jest jed n ak zawsze pew ną funkcją czasu, z czego akurat C antor m usiał sobie doskonale zdawać sprawę. Przecież przed rokiem 1870 ani w świadomości żadnego pojedyn­ czego m atem atyka, ani tym bardziej w kolektywnej świadomości uczonych nie było m iejsca dla pojęcia pozaskończonej liczby kardy­ nalnej K0 lub dla liczby porządkowej ω + 1. Ponieważ jed n ak twórca

33 Można przypuszczać, że Cantorowi chodziło o kolektywną świadomość matematy­ ków (uczonych) drugiej potowy XIX wieku.

teorii mnogości m ocno upierał się przy tym, aby intrasubiektywna sfera rzeczywistości (kolektywny intelekt) była izomorficzna ze „światem ” w stosunku do niej „zew nętrznym ” (Außenwelt), dlatego należałoby konsekw entnie twierdzić, że na przykład w rzeczywisto­ ści transsubiektywnej ciała składające się z m onad-atom ów m ate­ rialnych o liczbie K() pojawiły się również dopiero gdzieś po roku 1870. Czyli „świat zewnętrzny” zm ieniałby się paralelnie do „za­ w artości” zbiorowego intelektu uczonych.

Z przeprowadzonego rozumowania można by wyprowadzić i dal­ sze konsekwencje, które posiadają już charakter reductio ad adsur-

dum. Jakakolwiek zmiana w „świecie zewnętrznym” mogłaby się do­

konywać ze względu na wymóg izomorfizmu jedynie wtedy, gdy przy­ najmniej jeden z uczonych byłby w trakcie takiej czy innej czynności poznawczej. W momencie zmiany w sferze transsubiektywnej, w tej samej chwili t, zdołałby ją uchwycić, dokonując tym samym paralelnej zmiany w intrasubiektywnej sferze istnienia. Wymóg izomorfizmu preferowałby rodzaj pierwszeństwa ontycznego intrasubiektywnego porządku poznawczego, gdyż bez uprzedniego uaktywnienia przynaj­ mniej jednego indywidualnego podm iotu poznającego w „świecie ze­ wnętrznym” nie mogłaby się dokonać jakakolwiek zmiana.

Z atem założenie, że intrasubiektyw na sfera rzeczywistości jest tożsam a ze zbiorowym intelektem , redukow ałoby rekonstruow aną ontologię C an tora34 do jakiejś odm iany idealizm u subiektywnego typu berkeleyowskiego. Suponow ana Cantorow ska kolektywna świadomość odpowiadałaby, w swych ogólnych zarysach, kreującej rzeczywistość „świata zew nętrznego” (Außenwelt) jaźni Fichtego.

W niosek dotyczący przejęcia i reinterpretacji schem atu ontolo- gicznego Spinozy przez niem ieckiego m atem atyka należy wyrazić następująco: prow adzą one do paradoksalnych konsekwencji i n a­ kazywałyby klasyfikować ontologię C an to ra jako idealizm subiek­ tywny. Takie zaszeregow anie ontycznych założeń jego epistem olo­ gii z całą pew nością nie odpow iadałoby składanym przez niego d e­ klaracjom . N a planie opozycji: idealizm (typu niem ieckiego) - re ­ alizm C an to r widział bowiem dla siebie miejsce pośrednie.

O statecznie zaś sklasyfikowanie Cantorow skiej ontologii jako rodzaju idealizm u subiektywnego m iałoby swe przyczyny w

ko-34 Nawet bez dalszego wgłębiania się w problem, co według C antora jest ontycznie pierwotne: sfera intrasubiektywna czy też „świat zewnętrzny”.

niunkcji dwu tez: określenia, czym są dwa porządki rzeczywistości oraz wymogu ich izom orfizm u35. Innymi słowy: to niechciane pój­ ście C an to ra w stronę idealizm u typu berkeleyowskiego lub fichte- ańskiego dokonałoby się przez utożsam ienie, w rzeczywistości in­ trasubiektywnej, jednego z porządków istnienia z porządkiem p o ­ znawczym.

1.2. W Ą TEK P L A T O Ń S K I

D ruga składowa ontologii C an to ra m iała - jak wcześniej zauwa­ żono - rodow ód platoński. D latego celem dalszych b ad ań będzie zrekonstruow anie wątku platońskiego tej ontologii i próba w m iarę spójnego dopasow ania go do składowej spinozjańsko-fichteańskiej.

1.2.1. O g ó ln a ak cep tacja ontologii P lato n a

Celowe będzie zw rócenie uwagi na pew ną analogię sytuacji problem ow ych, k tó re zobligowały C an to ra do naszkicow ania o n ­ tologicznego tła jego epistem ologii, a P lato n a do stw orzenia jego oryginalnej teo rii idei. C antor, w trakcie swych p rac m atem atycz­ nych, doszedł do pojęcia liczb pozaskończonych. W ram ach ep i­ stem ologii m atem atyki, k tó rą tworzył w konkretnym celu uzasad­ n ienia i obrony swych poczynań na płaszczyźnie m atem atyki, n a ­ tknął się na zagadnienie pewności wiedzy m atem atycznej. Skąd w iadom o, że wiedza pojęciow a, jak ą dla C an to ra była m atem aty ­ ka, jest w iedzą pew ną w tym znaczeniu, że pojęciom , którym i o p e ­ ruje, coś odpow iada w rzeczywistości (i w jak rozum ianej rzeczy­ wistości)?

Sytuacja problem owa, któ ra powstała dla podejm ującego wątki filozofii sokratejskiej Platona, była identyczna: wiedza, jaką m ożna posiąść o rzeczywistości, jest wiedzą pojęciową, ale co gw arantuje jej pewność? Podobnie jak w wypadku m atem atyka niem ieckiego,

odpowiedź dom agała się zbudow ania ontologii.

Skonstruow ana przez P latona ontologia była dualna, ale w swych istotnych zarysach różna od Cantorow skiej, w jej dotychczas z re ­ konstruow anej, spinozjańsko-fichteańskiej postaci. Pojęciom odpo­ wiadał zarów no byt zmienny, zniszczalny i poznawany przez zmysły, jak i byt idealny: niezm ienny, wieczny, poznawany przez pojęcia.

35 Zestawienie przez Cantora obydwu tez miało ostatecznie za cel zagwarantowanie pewności poznania naukowego.

C antor natom iast - co powodowałoby skierowanie jego ontologii postspinozjańskiej w stronę idealizm u subiektywnego - ów drugi rodzaj bytu utożsam ił z pojęciam i, z porządkiem poznawczym. To zaś absolutnie nie zagwarantowało pojęciom niezm ienności ani wieczności.

C antor był świadom naszkicowanej analogii i epistemologicz- nych uw arunkow ań sytuacji problem ow ej, w której znalazł się za­ równo on, jak i filozof grecki. Co więcej, widział on analogie obu rozwiązań ontologicznych, mających gwarantow ać pewność wiedzy pojęciowej. A kceptow ał Platońską tezę, wyrażającą ostrożny re ­ alizm w tym znaczeniu, że skoro pojęcia zawierać m ają wiedzę, to m uszą posiadać jakiś istniejący przedm iot rzeczywisty36. A kceptacja ostrożnego realizm u znajduje też swe uzasadnienie w dotychczas zrekonstruow anej warstwie ontologii niem ieckiego m atem atyka, zawierającej wzajem nie jednoznaczną relację: pojęcie - klasa przedm iotów ze „świata zew nętrznego” (Außenwelt), które pod nie podpadają.

Trzeba postaw ić pytanie, czy C antor swą akceptację platonizm u ograniczał jedynie do tak rozum ianej, bardzo ostrożnej i ogólniko­ wej wersji realizm u, czy też wzmocnił go, wprowadzając do swojej ontologii jakiś rodzaj sfery bytu abstrakcyjnego na kształt idei pla­ tońskich. D alsze analizy będą zmierzały w kierunku rozstrzygnięcia tego problem u.

D oniosłe dla dalszych rozważań jest stwierdzenie Cantora, że wy­ rażone przez niego w analizowanym tekście przekonania dotyczące ontologii i epistemologii były zgodne z podstawowymi twierdzeniami systemu Platona, przedstawionymi w opracowaniu E. Zellera Die

16 Cantor powotal się na opracowanie filozofii Platona zawarte w dziele E. Zellera.

Por. E. Zeller, Die Philosophie der Griechen, Leipzig 18753, Th. 2. Abt. 1., 541: „Es heißt hier gleich im Anfänge des Abschnittes: N ur das begriffliche Wissen soll (nach Pla­

to) eine wahre Erkenntnis gewahren. So viel aberunsern Vorstellungen Wahrheit zukom m t - diese Voraussetzung teilt Plato m it ändern (Parmenides) - ebensoviel m uß ihrem Gegen­ stand Wirklichkeit zukommen, und umgekehrt. Was sich erkennen läßt, ist, was sich nicht erkennen läßt, ist nicht, und in demselben Maße, in dem etwas ist, ist es auch erkennbar”. G. Cantor, Uber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. N r 5. Grundlagen einer all­ gemeinen Mannigfaltigkeitslehre, art. cyt., 206-207 (przypis do s. 181). Według dziewięt­

nastowiecznych znawców przedm iotu, E. Zeller, do którego Cantor często się odwoły­ wał, czerpiąc wiadomości na tem at filozofii Platona, był jednym z najbardziej kom pe­ tentnych znawców filozofii greckiej. W kwestiach szczegółowych, dotyczących właśnie Platona, zarzucano mu jednak mieszanie płaszczyzny logicznej, etycznej i metafizycz­ nej. Por. W. Lutosławski, O logice Platona, cz. II, Warszawa 1892,11.

Philosophie der Griechen37. W tej części podręcznika E. Zellera, która

została wskazana przez C antora jako punkt odniesienia, zawarte są między innymi klasyczne twierdzenia mówiące, że idee są bytami niem aterialnymi38, pozaprzestrzennym i, pozaczasowymi, istniejącymi poza i niezależnie od poznającego podm iotu. Konstytuują one pew­ ną dziedzinę rzeczywistości, która jest izomorficzna ze sferą pojęć39.

Gdyby założyć, że C antor zaliczał wszystkie wym ienione tezy - tradycyjnie traktow ane jako klasyczne, bo należące do istoty filozo­ fii Platona - do zbioru podstawowych tw ierdzeń systemu P latoń­ skiego, należałoby pytać: gdzie na dotychczas odtworzonym planie ontologicznym umiejscowić hipotetyczną sferę idei platońskich?

Teza Platona o istnieniu idei poza podm iotem poznającym nie pozwala ich lokalizować w Cantorowskiej sferze intrasubiektywnej. Z twierdzenia C an tora o dualizmie rzeczywistości wynika zatem , że istniałyby one w sferze transsubiektywnej.

Należy przypom nieć, że według twórcy teorii mnogości rzeczywi­ stość transsubiektywna była konstytuowana zarów no przez „naturę cielesną” {körperliche Natur), jak i „naturę duchow ą” {geistige N a ­

tur). „M iejscem naturalnym ” nierozciągłych, pozaprzestrzennych

idei Platona na dotychczasowym planie ontologicznym C anto ra by­ łaby zatem sfera „natury duchow ej” rzeczywistości transsubiektyw ­ nej. Zgodnie zaś z klasycznym tw ierdzeniem Platona, dziedzina idei byłaby izom orficzna z dziedziną pojęć.

Jeszcze raz trzeba zwrócić uwagę, że na tym etapie rekonstrukcji założeń ontologicznych twórcy teorii mnogości posłużono się dwo­ ma mocnymi założeniam i:

1. Cantor zaliczał przedłożone wyżej klasyczne twierdzenia Platona do zbioru twierdzeń podstawowych systemu Platońskiego, czyli uwa­ żał je za obowiązujące we własnej ontologii. Założenie takie jest wła­ śnie na tyle zasadne, na ile w tradycji filozoficznej zwykło się wymie­ nione tezy Platona klasyfikować jako należące do istoty jego systemu;

37 „Diese Überzeugung stimmt im wesentlichen (...) mit den G rundsätzen des Pla­ tonischen Systems, (...); in erster Beziehung verweise ich auf Zeller, Philos. d. G rie­ chen, 3. Aufl. 2. Teil 1. Abt. S. 541-602”. G. Cantor, Über unendliche lineare Punktm an­

nigfaltigkeiten. N r 5. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, art. cyt., 206

(przypis do s. 181).

38 Są one nierozciągle w sensie Spinozjańskim.

® E. Zeller już na początku paragrafu Die Begründung der Ideenlehre tak właśnie cha­ rakteryzował związek ontologii i epistemologii Platona. Por. E. Zeller, dz. cyt., 541n.

2. Należy tak prowadzić rekonstrukcję, aby dopasować akcepto­ wane przez C antora tw ierdzenia Platona do składowej spinozjań- sko-fichteańskiej (wymóg spójności). D latego na przykład zacho­ wano układ dualny rzeczywistości. Nie w prowadzono - przynaj­ mniej form alnie - trzeciej sfery istnienia „poza” rzeczywistością transsubiektywną: sfery bytu idealnego.

W ypada też od razu zastrzec, że taka próba odtw orzenia o ntolo­ gii C antora, z „ogólnikowym” uwzględnieniem składowej p latoń ­ skiej, pozostawia wiele niejasności, a jednocześnie dziedziczy tru d ­ ności znam ienne dla systemów platońskich.

Nie m a na tym etapie badań żadnych kryteriów, które pozwalały­ by rozstrzygnąć, czy dziedzina idei była według C antora tożsam a z całą sferą przedm iotów „natury duchowej”, czy też widziałby w tej sferze również takie przedm ioty nierozciągłe, które nie były ide­ ami. Nie w iadom o też, czy idea mogłaby należeć do zakresu poję­ cia. Gdyby tak było, wówczas ontologią C antora przejmowałaby „paradoks trzeciego człow ieka”40.

1.2.2. P ro b lem uniw ersaliów

Z asadność pierwszego założenia, które poczyniono w celu o d ­ tw orzenia w ątku platońskiego założeń ontologicznych C antora, należy potw ierdzić innymi jego tekstam i, bowiem źródło analizo­ wane dotychczas zaw iera jedynie ogólnikowe odw ołanie do syste­ mu Platona. Są to p rzede wszystkim te teksty, w których C antor starał się scharakteryzow ać niektóre własności zbioru. Z o stan ą one poddan e analizie pod kątem tego, jakie stanowisko zajmował niem iecki m atem atyk w klasycznym sporze o uniwersałia. Gdyby udało się ustalić, że stanow iskiem tym był skrajny realizm , byłoby to rów noznaczne z rzeczywistą akceptacją wyliczonych wyżej kla­ sycznych tez Platona.

Podjęcie takiego zagadnienia wymaga wcześniejszego u porząd­ kowania nielicznych Cantorow skich intuicji, dotyczących koncepcji języka41. Problem uniwersaliów jest bowiem ściśle związany z

kon-“ Jaka idea odpowiadałaby idei człowieka i Sokratesowi?

11 Są autorzy, którzy zdają się sugerować, że w tekstach C antora nie było żadnych elementów filozofii języka albo starają się je bagatelizować: „Bei ihm (C antor - J.D.) spielt die Beziehung von der Sprache zum Außensprachlichen kaum eine Rolle (...) Bei Cantor, dem sprachlich-logische Erwägungen fern lagen (...)”. R. Carls, Idee und

cepcją języka, gdy form ułuje się go jako pytanie o to, co odpowiada w sferze ontycznej nazwom ogólnym. Wyjście od sfery językowej wydaje się w przypadku C an tora uzasadnione, chociażby ze wzglę­ du na utożsam ienie przez niego płaszczyzny poznawczej, pojęcio­ wej, z płaszczyzną ontyczną w intrasubiektywnej sferze istnienia. Gdyby bowiem problem uniwersaliów wyrazić w form ie pytania: j a ­ ki byt odpow iadał według niego pojęciom ogólnym, m ożna by udzielać tautołogicznej odpowiedzi: właśnie pojęcia ogólne.

1.2.2.1. Język a rzeczywistość pozajęzykow a

Pewne elem enty filozofii języka ujawnił C antor w ram ach om a­ wiania epistem ologii m atem atyki. Ponieważ m atem atyka to wiedza pojęciowa, trzeba było określić m etodę właściwego tworzenia p o ­ jęć. Z jego wypowiedzi wynika, że elem entom konstytuującym sferę intrasubiektyw ną - pojęciom i ideom adekwatnym w sensie Spino­ zjańskim - odpow iadają w sferze języka predykaty42. Predykaty są związane z pojęciam i (ideam i adekwatnym i) pewną relacją, m iano­ wicie te drugie ujawniają sens (.Bedeutung) predykatu43.

42 „D er Vorgang bei der korrekten Bildung von Begriffen ist m. E. überall derselbe; man setzt ein eigenschaftloses Ding, das zuerst nichts anderes ist als ein Name oder ein Zeichen A, und gibt demselben ordnungsmäßig verschiedene, selbst unendlich viele verständliche Prädikate, deren Bedeutung an bereits vorhandenen Ideen bekannt ist, und die einander nicht widersprechen dürfen; dadurch werden die Beziehungen von A zu den bereits vorhandenen Begriffen und namentlich zu den verwandten bestimmt;

G. Cantor, Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. N r 5. Grundlagen

einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, art. cyt., 207 (przypis do s. 182, 187).

41 C antor nigdy nie wprowadzi! w swoich tekstach Fregowskiego rozróżnienia opar­ tego na kategoriach „Sinn” i „Bedeutung”. Dlatego trudno narzucać te kategorie jako obowiązujące w Cantorowskiej koncepcji języka, tym bardziej, że analizowany tekst twórcy teorii mnogości powstał kilka lat wcześniej, przed wprowadzeniem podziału. Por. G. Frege, Über Sinn und Bedeutung, Zeitschrift für Philosophie und philosophi­ sche Kritik 56(1892), 25-50. W literaturze polskiej różnie tłumaczy się nazwy Fregow- skich kategorii, na przykład jako „znaczenie” (Sinn), „denotacja” (Bedeutung). Por. J. Kopania, Problematyka znaczenia, w: Logika fonnalna. Zaiys encyklopedyczny z zasto­

sowaniem do informatyki i lingwistyki, red. W. Marciszewski, Warszawa 1987, 271-280.

A także: „sens” (Sinn) i „nom inat” (Bedeutung). Por. G. Frege, Sens i nominat, tłum. z niem. J. Pelc, w: Logika i język. Studia z semiotyki logicznej, red. J. Pelc, Warszawa 1967. Czy też: „sens” (Sinn) i „znaczenie” (Bedeutung). Por. G. Frege, Sens i znaczenie, tłum. z niem. J. Wolniewicz, w: G. Frege, Pisma semantyczne, Warszawa 1977. Ponieważ słowa Bedeutung użył Cantor, charakteryzując relację pomiędzy predykatami a pojęcia­ mi rozumianymi jako pewna treść myślowa, dlatego należy sądzić, że w tym miejscu pełniło ono funkcję Fregowskiego Sinn [Bedeutung predykatu (nazwy ogólnej) według G. Fregego to zbiór denotatów].

Na innym miejscu C antor przeciwstawił pojęcia relacyjne (Bezie-

hungsbegriff) ideom adekwatnym 44. Tym pierwszym nie m oże być

przypisane istnienie w sferze intrasubiektywnej. O dpow iednikiem pojęć relacyjnych w sferze języka są, jak należy sądzić, funktory zdaniotw órcze o postaci:

z / (np ..·, n j , gdzie к > 2 ,

czyli, o co najm niej dwu zmiennych nazwowych. N atom iast poję­ ciom nierelacyjnym (ideom adekwatnym ) należałoby, jak m ożna wnioskować, przypisać jako odpowiedniki w języku funktory zda­ niotwórcze o jednej zmiennej nazwowej45.

N ależy zapytać: jak ie w łasności m iała dla C a n to ra relacja w ią­ żąca klasę predykatów jednoargum entow ych ze sferą in tra su ­ biektyw ną? Dwie charakterystyki zbioru pozw alają ujaw nić te w łasności.

W edług C antora, kiedy p odana jest definicja jakiegoś zbioru, wówczas na mocy zasady wyłączonego środka m ożna rozstrzygnąć, jaki przedm iot należący do uniwersum należy do tego zbioru, a jaki nie46. Ta charakterystyka zbioru zakłada procedurę wyróżniania z rodzaju (uniw ersum ) pewnego gatunku (zbioru). Z atem wypada przypuszczać, że każda taka definicja poszczególnego zbioru była według C antora definicją klasyczną, gdzie definiens miał postać {x: P (x)}, czyli predykatu jednoargum entow ego.

W drugim opisie zbioru mowa jest o „praw ie” {Gesetz), które „łączy elem enty zbioru w całość” {durch ein Gesetz zu einem

Gan-44 „Dem Un bestimmten, Veränderlichen, Uneigentlich-unendlichen, in welcher Form się auch erscheinen, kann ich kein Sein zuschreiben, denn sie sind nichts als en­ tweder Beziehungsbegriffe oder rein subjektive Vorstellungen resp. Anschauungen (imaginationes), in keinem Falle adäquate Ideen”. G. Cantor, Uber unendliche lineare

Punktmannigfaltigkeiten. N r 5. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, art.

cyt., 205 (przypis do s. 176).

45 Potwierdza to również charakterystyka Spinozjańskich idei adekwatnych dokona­ na przez L. Kołakowskiego.

4i „Eine Mannigfaltigkeit (ein Inbegriff, eine Menge) von Elementen, die irgen­ dwelcher Begriffssphäre angehören, nenne ich wohldefmiert, wenn auf G rund ihrer Definition und infolge des logischen Prinzips vom ausgeschlossenen D ritten es als in­ tern bestimmt angesehen werden muß, sowohl ob irgendein derselben Begriffssphäre angehöriges Objekt zu der gedachten Mannigfaltigkeit als Elem ent gehört oder nicht,

wie auch, ob zwei zur Menge gehörige Objekte, trotz formaler U nterschiede in der A rt

des Gegebenseins einander gleich sind oder nicht”. G. Cantor, Uber unendliche lineare

Punktmannigfaltigkeiten. N r 3, 1882, w: G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathe­ matischen und philosophischen Inhalts, dz. cyt., 150.

zen verbunden werden k a n n )47. Należy sądzić, że prawo, na które p o ­

woływał się C antor, w form ie zwerbalizowanej m oże posiadać p o ­ stać jednoargum entow ego predykatu P(x), występującego w defi- niensie konkretnego zbioru.

Z przedstaw ionych opisów wynika, że każdem u P(x) m ożna przyporządkować w sferze transsubiektywnej dokładnie jed n ą klasę elem entów 48 - klasę jego denotatów , czyli tych przedm iotów , k tó ­

47 „U nter einer ‘Mannigfaltigkeit’ oder ‘M enge’ verstehe ich nämlich allgetnein je ­ des Viele, welches sich als Eines denken läßt, d. h. jeden Inbegriff bestim m ter Elem en­ te, welcher durch ein G esetz zu einem Ganzen verbunden werden kann, G. Can­ tor, Uber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. N r 5. Grundlagen einer allgemeinen

Mannigfaltigkeitslehre, art. cyt., 204 (przypis do s. 165).

48 Cate to rozumowanie można też ująć następująco: z przedstawionych przez Can­ tora opisów zbioru wynika, że opart on przedaksjomatyczną teorię zbiorów na (postu­ lowanym w opisach zbiorów) nieograniczonym aksjomacie komprehensji (comprehen­

sion axiom lub naive comprehension principle. Por. J.A. Faris, Plato’s theory o ffo im s and Cantor’s theoiy o f sets, Belfast 1968, 12-13), a w zasadzie na jego słabszym sformutowa-

niu, mającym postać jednostronnej implikacji: Xyn x( F ( x ) ^ x s y ) ,

zapewniającym dla każdego predykatu jednoargum entow ego F (x) istnienie zbioru y. Aksjom at ekstensjonalności zapewnia jedyność takiego zbioru. Cantor implicite przyj­ mował aksjomat ekstensjonalności. Potwierdza to FI. Wang: „Like most m athem ati­ cians, C antor uses implicitly the axiom o f extensionality, for example, in establishing P = Q for two two point sets P and Q (but com pare the introduction of (on p. 145)”. Por. FI. Wang, From Mathematics to Philosophy, London 1974,211. Zdaniem E. Betha, przyjmowane implicite pewniki kom prehensj i oraz ekstensjonalności stanowiły pod­ stawę przedaksjomatycznej teorii mnogości Cantora. Por. E. Beth, Foundations o f M a­

thematics, Am sterdam 1959, Збб; 369; 382. Stosowanie nieograniczonego aksjomatu

kom prehensji prowadziło do antynom ii w przedaksjomatycznej teorii mnogości (wy­ starczyło zbudowanie formy zdaniowej x (x (x)). D latego pewnik ten został w aksjoma- tyce Zermelowskiej zastąpiony aksjom atem wyróżniania. Operowanie, nawet implici­

te, aksjomatem kom prehensji gwarantowało istnienie w teorii mnogości C antora zbio­

ru pustego, podobnie jak aksjomat wyróżniania gwarantuje to w teorii Zermelowskiej. Są i inne argumenty potwierdzające tę tezę. C antor definiował liczby jako zbiory zbio­ rów. To upoważniło go potem do stwierdzenia, że całą matematykę (co istotne: aryt­ metykę liczb naturalnych) m ożna „zredukować” czy „nabudować” na teorii mnogości. Liczbę „0” m ożna definiować przy takim ujęciu jedynie przy pomocy zbioru pustego. Zatem postulowanie istnienia zbioru pustego i z tego powodu jest konieczne w przedaksjomatycznej teorii mnogości. W artość tego argum entu osłabia uwaga I. G rattan-G uinessa, który podkreślił, że Cantor, określając liczby porządkowe przy pomocy tzw. zasad generowania, rozpoczyna od liczby „1” a nie od „0”. Z drugiej stro­ ny, ten sam autor zauważył, iż C antor posługuje się jednak liczbą „0” w swej teorii liczb rzeczywistych. Teoria ta bez liczby „0” byłaby niekompletna. Por. I. G rattan-G - uiness, Georg Cantor’s influence on Bertrand Russell, History and Philosophy of Logic 1 (1980), 71. Poza tym C antor wprowadził pojęcie zbioru potęgowego. Por. G. Cantor,

Uber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, 1890, w: G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, 278-281. Zatem

przynaj-rych nazwy wstawione w miejsce zmiennej nazwowej tworzyłyby zdanie prawdziwe. Izom orfizm tejże sfery ze sferą intrasubiektyw­ ną implikuje, że każdem u P(x) przyporządkowane jest dokładnie jedn o pojęcie istniejące w sferze intrasubiektywnej.

Cantorow ski opis „właściwego tworzenia pojęć” zawiera ukryte założenie, że dla każdego pojęcia ze sfery intrasubiektywnej m ożna zbudować w języku jakiś predykat jednoargum entow y. Z atem rela­ cja wiążąca zbiór (potencjalny) funkcji zdaniowych o jednym argu­ m encie nazwowym ze sferą intrasubiektyw nego istnienia pojęć jest funkcją typu na49. Przyjmując, że każdej funkcji zdaniowej tego typu m ożna wzajem nie jednoznacznie przyporządkować nazwę ogólną50, należy stwierdzić, że scharakteryzow ana wyżej relacja wiąże rów ­ nież zbiór nazw ogólnych z pojęciam i w Cantorowskiej sferze in tra­ subiektywnej51.

1.2.2.2. Skrajny realizm pojęciowy

Po przedstaw ieniu i częściowej rekonstrukcji koncepcji języka i związków języka z intrasubiektyw ną sferą rzeczywistości, trzeba przystąpić do zapowiedzianego wcześniej określenia stanowiska C antora w kwestii uniwersaliów. Skrajny realizm w tym zakresie m ożna zdefiniować jako koniunkcję dwu tez:

1. D la każdego predykatu jednoargum entow ego istnieje byt abs­ trakcyjny;

2. Owe byty abstrakcyjne są indywidualnymi, stanowiącymi je d ­ ność przedm iotam i. R óżnią się one od konkretnych przedm iotów swym abstrakcyjnym charakterem , ale nie odróżniają się od nich swą przedm iotow ością52.

mniej implicite musiai akceptować istnienie zbioru pustego. Posługiwał się on też explicite pewną form ą zbioru pustego. Por. G. Cantor, Uber unendliche lineare Puakt-

mannigfaltigkeiten. N r 2, 1880, w: G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen m athem ati­ schen und philosophischen Inhalts, 146.

49 Przeciwobraz funkcji to zbiór wszystkich pojęć - dla uproszczenia dalszych analiz można nazwać tę funkcję „F ”.

50 Na przykład funkcji zdaniowej „x jest czerwony” przyporządkowuje się „czerwo­ ność”, która jest nazwą, bowiem w zdaniu może zajmować miejsce podmiotu.

51 Ta uwaga pozwoli w dalszych rozważaniach mówić zamiennie o predykatach jed- noargumentowych lub nazwach ogólnych.

52 Takie sformułowanie stanowiska skrajnego realizmu zostało w głównych zarysach przejęte od R. Carlsa, przy czym autor ten mówi o istnieniu dla każdego pojęcia odpo­ wiedniego bytu abstrakcyjnego:

Na podstaw ie analizy Cantorow skich opisów własności zbioru trzeba wysunąć wniosek, że każdem u predykatowi jednoargum en- towemu P (x) (zwerbalizowane prawo - Gesetz) m ożna przyporząd­ kować jakiś byt. Jest nim zbiór {x: P (x)} tych i tylko tych przedm io­ tów sfery transsubiektywnej, których nazwy wstawione w miejsce zmiennej nazwowej tw orzą zdanie prawdziwe53.

Z charakterystyki zbiorów dokonanej przez C an tora wynika rów­ nież, iż posiadały one własności bytu abstrakcyjnego, to znaczy: niezależnego od elem entów , pozaczasowego i pozaprzestrzennego.

W celu uzasadnienia tej tezy m ożna skonstruow ać następujący predykat jednoargum entow y: „x jest m onetą, którą ofiarow ano na cele charytatywne 1.01.1850 w kościele franciszkanów w Krakowie, i która między godziną 23.00 a 24.00 tegoż dnia spoczywała w skarbcu kościoła”54. Takiej funkcji zdaniowej przyporządkowany jest - zgodnie z tym, co powiedziano wyżej - pew ien zbiór, nieza­ leżnie od tego, czy wszystkie m onety tworzące ów zbiór jeszcze ist­ nieją, czy też nie istnieje obecnie żadna. C antor absolutnie nie sta­ wia w swej charakterystyce zbioru takiego w arunku odnośnie do elem entów. D latego m ożna twierdzić, iż akceptował on pozaczaso- wy charakter zbiorów.

Odw ołując się do tego sam ego predykatu, m ożna argum entow ać za pozaprzestrzennym , niezależnym od elem entów charakterem zbiorów w rozum ieniu C antora. D la istnienia zbioru odpow iadają­ cego funkcji zdaniowej P(x) nie żądałby on, jak m ożna sądzić, aby monety były obecnie „zebrane razem ” w jakim ś skarbcu, pojem ni­ ku łub „blisko siebie”. Istotnym argum entem w tym wypadku jest

„I. la’ Zu jedem beliebigen Allgemeinbegriff gibt es eine entsprechende abstrakte Entität, und

I. lb’ diese abstrakten Entitäten sind als individuelle, einheitliche Gegenstände zu be­ trachten, die sich von den konkreten Gegenständen wohl durch ihren abstrakten Cha­ rakter, nicht aber durch ihre Gegenständlichkeit unterscheiden”. R. Carls, dz. cyt., 58.

53 „(...) wenn auf Grund ihrer (einer Mannigfaltigkeit = einer M enge - J. D.) Defi­ nition und infolge des logischen Prinzips vom ausgeschlossenen D ritten es als intern bestimmt angesehen werden muß, (...) ob irgendein derselben Begriffssphäre an­ gehöriges Objekt zu der gedachten Mannigfaltigkeit als Elem ent gehört oder nicht...”. 34 Przykład jest transpozycją przykładu z pracy J. A. Farisa. Por. J. A. Faris,P/flfo’.y the­

ory o ffo n n s and Cantor’s theory o f sets, 8-9. Opracowanie to, opublikowane pod bardzo

obiecującym tytułem, nie zawiera zapowiadanego porównania teorii mnogości Cantora (zasadniczo brak odwołań do suponowanego źródła, to znaczy do prac Cantora) z teorią Platona. Jest to raczej porównanie tej drugiej z szeroko rozumianą teorią cantorowską w fazie modyfikacji Russeilowskich, mających na celu wyeliminowanie antynomii.

jed n ak to, że C antor najpraw dopodobniej przyjąłby istnienie zbio­ ru odpow iadającego funkcji zdaniowej P(x) nawet wtedy, gdyby w określonym dniu i miejscu nie zebrano ani jednej m onety na cele charytatywne. Predykatowi przyporządkowany byłby wtedy zbiór pusty, absolutnie nie związany z jakimkolwiek elem entem . W tym właśnie znaczeniu m ożna mówić, że zbiory były, według C antora, bytam i abstrakcyjnymi ante rem.

Należy obecnie uzasadnić, iż zbiory te spełniają drugi w arunek nałożony na byty abstrakcyjne w przyjętej definicji skrajnego reali­ zmu. W tym celu trzeba najpierw zwrócić uwagę na dwuaspekto- wość zbiorów w opisach C antora. Pod pewnym względem mogą one być traktow ane jako „wielość”, pod innym zaś jako „jedność”55. Z e względu na sposób zdefiniow ania skrajnego realizm u, interesu ­ jący jest drugi z wymienionych aspektów.

Z biór jest przede wszystkim przedm iotem , rzeczą {Ding). Indy­ widualność zbioru jako „jedności” jest zaw arta implicite - jak się wydaje - w określeniu zbioru jako rzeczy. Co więcej, jest to przed­ m iot, który m oże być widziany właśnie jako „jedność dla siebie”

{als ein einheitliches Ding fa r sich)56. Owo „bycie jednością” p o ­

twierdza również term in Ganze stosowany przez C antora dla do- określenia tego, czym jest zbiór.

Poza tym właściwa teorii mnogości C antora zasada nieograni­ czonej kom prehensji57 dopuszcza, by dany zbiór stanowił elem ent innego zbioru, w skład którego wchodzą też inne byty, o których w iadom o, że są indywiduami58. To dodatkowy argum ent za jed n o st­ kowym charakterem zbioru.

Przeprow adzona analiza pozwala stwierdzić, że w zakresie p ro ­ blem atyki uniwersaliów C an to r zajmował stanowisko skrajnego re ­ alizmu. Bytem abstrakcyjnym był dla niego zbiór w aspekcie je d n o ­ ści {die Menge als Eines).

55 „U nter einer (...) ‘M enge’ verstehe ich nämlich allgemein jedes Viele, welches sich als Eines denken lässt (···)”.

56 „Jede Menge wohlunterschiedener Dinge kann als ein einheitliches Ding für sich angesehen werden, in welchem jene Dinge Bestandteile oder konstitutive Elem ente sind”. G. Cantor, Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten, 1887-88, w: G. Cantor, Ge­

sammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, 379.

57 Zob. przypis 48.

58 W sferze języka odpowiada temu przyporządkowanie każdemu predykatowi typu P (x) nazwy ogólnej, która w innych predykatach może zajmować miejsce zmiennej nazwowej.