Modelowanie krzepnięcia i stygnięcia metali oraz problemów dyfuzji ciepła za pomocą metody R-funkcji

ZESZYTY NAUKOWE

POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

'P ³ Z ⁶ J ^{1 8} </

A N D R Z E J W A W R Z Y N E K

M O D E L O W A N IE K R Z E P N IĘ C IA I S T Y G N IĘ C IA M E T A L I

O R A Z P R O B L E M Ó W D Y F U Z J I C IE P Ł A Z A P O M O C Ą M E T O D Y R -F U N K C J I

M E C H A N IK A

Z. 119

GLIWICE

1994

Z E S Z Y T Y N A U K O W E

^ 3 3 6 A j '

ANDRZEJ WAWRZYNEK

M O D E L O W A N I E K R Z E P N I Ę C I A I S T Y G N I Ę C I A M E T A L I

O R A Z P R O R L E M Ó W D Y F U Z J I C I E P Ł A Z A P O M O C Ą M E T O D Y R - F U N K C J I N r 1 2 4 3

G L I W I C E 1 9 9 4

OPINIODAWCY

Prof. dr hob. inż. Ryszard Parkitny Prof. dr hob. inż. Józef Suchy

KOLEGIUM REDAKCYJNE REDAKTOR NACZELNY '

REDAKTOR DZIAŁU

SEKRETARZ REDAKCJI

— Prof. dr hab. inż. Ja n Bandrowski

— Dr hab. inż. Jan Kaźmierczak Profesor Politechniki Śląskiej

— Mgr Elżbieta Leśko

REDAKCJA Mgr Roma Łoś

REDAKCJA TECHNICZNA Alicja N ow acka

W ydano za zgodg Rektora Politechniki Slgskiej

PL ISSN 0434-0817

W ydaw nictwo Politechniki Slgskiej ul. Kujawska 3, 44-100 Gliwice

N a k l. 150—ł—83 A r k . w y d . 8 A r k . d r u k . 8,5 P a p i e r o f f s e t . lcl.III 70x100, 80g O d d a n o d o d r u k u 15 06.94 P o d p is , d o d r u k u 15.06.94 D r u k u k o ń c z , w c z e r w c u 1994

Z am . 243(94 C e n a z l 32.000,—

Fotokopie, druk i opraw ę

w ykonano w Z akładzie Graficznym Politechniki Slgskiej w Gliwicach

P r a c ę d e d y k u j ę B r a t u Z B I GNI E WOWI o r a z m o i m S y n o m

ADAMOWI , JACKOWI i PAWŁOWI

PODSTAWOWE OZNACZENIA ... 11

W S T Ę P ... 13

WPROWADZENIE ... 17 1 . 1 . O p e r a c j e l o g i c z n e i i c h w ł a s n o ś c i ... 2 0 1 . 2 . G e o m e t r y c z n a i n t e r p r e t a c j a f u n k c j i l o g i c z n y c h . 2 2

DEFI NI CJ A I WŁASNOŚCI f i - FUNKCJI ... 2 6

RÓWNANIE BRZEGU OBSZARU fi ... 3 2 I I I . l . R ó w n a n i e c a ł e g o b r z e g u ... 3 2 I I 1 . 2 . R ó w n a n i e c z ę ś c i b r z e g u ... 3 6 I I 1 . 3 . N o r m a l i z a c j a r ó w n a ń b r z e g u ... 3 7

OGÓLNA STRUKTURA ROZWIĄZANIA ... 4 2 I V . 1 . D e f i n i c j a

G S S

ZAGADNIENIA STACJONARNEGO PRZEPŁYWU CIEPŁA W ELEMENTACH MASZYN I U R Z Ą D Z E Ń ... 47

V . l . S f o r m u ł o w a n i e p r o b l e m u ... 4 7 V . 2 . O g ó l n a s t r u k t u r a r o z w i ą z a n i a ... 5 0 V . 3 . R o z w i ą z a n i e s t a c j o n a r n e g o p r o b l e m u w y m i a n y c i e p ł a 55 V . 4 . P r z y k ł a d y n u m e r y c z n e ... 5 6

NIESTACJONARNE ZAGADNIENIA WYMIANY CIEPfcA ... 71 V I . 1 . P r o b l e m y l i n i o w e ... 71 V I . 2 . P r z y k ł a d y n u m e r y c z n e r o z w i ą z a n i a p r o b l e m ó w l i n i o ­

w y c h ... 7 6

5

V I . 3 . P r o b l e m y n i e l i n i o w e ... 8 6 V I . 3 . 1 . M e t o d y l i n e a r y z a c j i r ó w n a n i a p r z e w o d ­

n i c t w a ... 8 8 V I . 3 . 2 . M e t o d a p r z e m i e n n e j f a z y ... 9 0 V I . 3 . 3 . M e t o d a z a p a s u t e m p e r a t u r y ... 9 4 V I . 3 . 4 . M e t o d a p o p r a w i a n i a p o l a t e m p e r a t u r y . . 9 5

CZASOPRZESTRZENNA WERSJA

MRF

PODSUMOWANIE I WNIOSKI KOŃCOWE ... 1 2 5

L I T E R A T U R A ... 1 2 7

S T R E S Z C Z E N I E ... i w

C O N T E N T S

BASI C N O T A T I O N ...

PREFACE ...

INTRODUCTION ...

1 . 1 . L o g i c a l o p e r a t o r s a n d t h e i r p r o p e r t y ...

1 . 2 . G e o m e t r i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f l o g i c a l f u n c t i o n s

D EF I NI TI ON AND PROPERTIES OF «-FUNCTI ONS ...

EQUATION OF THE BOUNDARY OF DOMAIN ...

1 1 1 . 1 . E q u a t i o n o f t h e w h o l e b o u n d a r y ...

1 1 1 . 2 . E q u a t i o n o f t h e p a r t o f t h e b o u n d a r y . . . . 1 1 1 . 3 . N o r m a l i z a t i o n o f t h e e q u a t i o n s d e t e r m i n i n g t h e

b o u n d a r y ...

GENERAL STRUCTURE OF THE SOLUTION ...

I V . 1 . D e f i n i t i o n o f t h e

G S S

I V . 2 . E x p a n s i o n o f ' b o u n d a r y o p e r a t o r s f o r t h e w h o l e d o ­ m a i n ...

I V . 3 . E x a m p l e s o f b a s i c s t r u c t u r e s o f t h e s o l u t i o n . .

STATIONARY PROBLEMS OF THE HEAT TRANSFER ...

V . l . F o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m ...

V . 2 . G e n e r a l s t r u c t u r e o f t h e s o l u t i o n ...

V . 3 . S o l u t i o n o f t h e s t a t i o n a r y h e a t t r a n s f e r p r o b l e m V . 4 . N u m e r i c a l e x a m p l e s ...

NON-STATIONARY HEAT EXCHANGE PROBLEMS ...

V I . 1 . L i n e a r p r o b l e m s ...

V I . 2 . N u m e r i c a l e x a m p l e s o f l i n e a r p r o b l e m s s o l u t i o n . 11

13

17 20 22

2 6

3 2 3 2 3 6

37

4 2 4 2

43 4 4

47 47 5 0 5 5 5 6

71 71 7 6

7

t r a n s f e r e q u a t i o n ... 8 8 V I . 3 . 2 . A l t e r n a t i n g P h a s e T r u n c a t i o n M e t h o d . . 9 0 V I . 3 . 3 . T e m p e r a t u r e R e c o v e r e M e t h o d ... 9 4 V I . 3 . 4 . M e t h o d o f t e m p e r a t u r e f i e l d c o r r e c t i o n 9 5

SPATIAL - TIME VERSION OF

M R F

FINAL REMARKS AND C O N C L U S I O N S ... 1 2 5

L I T E R A T U R E ... 1 2 7

SUMMARY... - -

I N H A L T S V E R Z E I C H N I S

B A S I S - N O T A T I O N ... I I

E I N L E I T U N G ... 1 3

E I N F Ü H R U N G ... 1 7 1 . 1 . L o g i s c h e O p e r a t i o n e n u n d i h r e E i g e n s c h a f t e n . . 2 0 1 . 2 . G e o m e t r i s c h e I n t e r p r e t a t i o n d e r l o g i s c h e n

F u n k t i o n e n ... 2 2

D E F I N I T I O N UND E I G E N S C H A F T E N D E R R - F U N K T I O N ... 2 6

R A N D G L E I C H U N G D E S B E R E I C H E S fi ... 3 2 1 1 1 . 1 . G l e i c h u n g d e s g a n z e n R a n d e s ... 3 2 1 1 1 . 2 . G l e i c h u n g d e s R a n d t e i l e s ... 3 6 I I 1 . 3 . N o r m a l i s i e r u n g d e r R a n d g l e i c h u n g e n ... 3 7

A L L G E M E I N E S T R U K T U R D E R L Ö S U N G ( G S S ) ... 4 2 I V . 1 . D e f i n i t i o n d e s G S S ... 4 2 I V . 2 . E x p a n s i o n d e s R a n d o p e r a t o r s i n d e m g a n z e n

B e r e i c h ... 4 3 I V . 3 . B e i s p i e l e d e r L ö s u n g e n d e r B a s i s - S t r u k t u r e n . . 4 4

P R O B L E M E D E R S T A T I O N Ä R E N WÄRMESTRÖMUNG ... 4 7 V . l . P r o b l e m f o r m u l i e r u n g ... 4 7 V . 2 . A l l g e m e i n e L ö s u n g s s t r u k t u r ... 5 0 V . 3 . L ö s u n g d e s s t a t i o n ä r e n P r o b l e m d e s W ä r m e a u s t a u s -

c h e n s ... • ... 5 5 V . 4 . N u m e r i s c h e B e i s p i e l e ' ... 5 6

U N S T A T I O N Ä R E P R O B L E M E D E S W Ä R M E A U S T A U S C H E N S ... 7 1 V I . 1 . L i n e a r e P r o b l e m e ... 7 1 V I . 2 . B e i s p i e l e d e r n u m ä r i s c h e n L i n e a r l ö s u n g e n d e r P r o ­

b l e m e ... 7 6

9

V I . 3 . N i c h t l i n e a r e P r o b l e m e ... 8 6 V I . 3 . 1 . L i n e a r i s a t i o n s - M e t h o d e d e r W ä r m e l e i t ­

f ä h i g k e i t s - G l e i c h u n g ... . . . . 8 8 V I . 3 . 2 . M e t h o d e d e r P h a s e n p e r m u t a t i o n ... 9 0 V I . 3 . 3 . M e t h o d e d e r T e m p e r a t u r v o r r a t ... 9 4 V I . 3 . 4 . M e t h o d e d e r T e m p e r a t u r f e l d v e r b e s s e r u n g 9 5

RAUMZEITLICHE VERSION ... 1 0 3 V I I . 1 . P r o b l e m m i t k o n s t a n t e n g e o m e t r i s c h e n R a n d . . 1 0 3 V I I . 2 . P r o b l e m m i t W e c h s e l r a n d ... 1 21

RESÜMEE UND SCHLUßFOLGERUNGEN ... 1 2 5

L I T E R A T U R ... 1 2 7

ZUSAMMENFASSUNG ... 1 3 4

P O D S TA W O W E O Z N A C Z E N I A

x = ( x i , x 2, x 3) - z m i e n n e p r z e s t r z e n n e

t - c z a s

fi , 0fi - o b s z a r g e o m e t r y c z n y i j e g o b r z e g Qi, fi2, - p o d o b s z a r y s k ł a d a j ą c e s i ę n a o b s z a r fi fi/t. fis, “ p o d o b s z a r y s k ł a d a j ą c e s i ę n a o b s z a r fi dCli - i - t a c z ę ś ć b r z e g u 3fi

a - a n a l i t y c z n y o p i s o b s z a r u fi ( r o z d . I I I . 1 . ) Ui - a n a l i t y c z n y o p i s i - t e j c z ę ś c i b r z e g u ( I I I . 18) fi , U - c z ę ś ć w s p ó l n a i suma z b i o r ó w

A , V - l o g i c z n a k o n i u n k c j a i a l t e r n a t y w a A* ,

V*

Bk

B2 -

V2 - l a p l a s j a n

Di - o p e r a t o r r ó ż n i c z k o w y ( I I I . 3 0 ) 3 ( . ) / 0 n - p o c h o d n a n o r m a l n a d o b r z e g u 3 ( . ) / 3 v - p o c h o d n a k i e r u n k o w a

<J> - f u n k c j a p r z y b l i ż a j ą c a p o s z u k i w a n ą f u n k c j ę w e ­ w n ą t r z o b s z a r u ( I V . 7)

Ak , A u - p o s z u k i w a n e p a r a m e t r y

p “ g ę s t o ś ć

A. - w s p ó ł c z y n n i k p r z e w o d z e n i a c i e p ł a c - w ł a ś c i w a p o j e m n o ś ć c i e p l n a

a - w s p ó ł c z y n n i k p r z e j m o w a n i a c i e p ł a gj - s t r u m i e ń c i e p ł a z a d a n y n a b r z e g u d f i i q v - w y d a j n o ś ć o b j ę t o ś c i o w y c h ź r ó d e ł c i e p ł a

T - t e m p e r a t u r a

T° - t e m p e r a t u r a o t o c z e n i a T0d - t e m p e r a t u r a o d n i e s i e n i a 1* - t e m p e r a t u r a k r y t y c z n a T c - t e m p e r a t u r a w c h w i l i t

U - e n t a l p i a

f i , hi - p r z e k s z t a ł c o n e w a r u n k i b r z e g o w e d l a 3fii ( V . 1 9 - 2 1 ) .

N i n i e j s z a p r a c a p o w s t a w a ł a w l a t a c h 1 9 9 0 - 1 9 9 3 , p o c z ą t k o w o w r a m a c h C e n t r a l n e g o P r o g r a m u B a d a ń P o d s t a w o w y c h 0 2 . 0 9 k o ­ o r d y n o w a n e g o p r z e z p r o f . d r a i n ż . W a c ł a w a SAKWĘ, a p o t e m w r a ­ m a c h i n d y w i d u a l n e g o g r a n t u n r 3 1 1 3 8 91 01 ( 1 9 9 1 - 9 2 ) .

P r a c a p o ś w i ę c o n a j e s t z a s t o s o w a n i o m m e t o d y « - f u n k c j i

(MRF)

d o r o z w i ą z y w a n i a p r o b l e m ó w c i e p l n y c h t e r m o m e c h a n i k i , a w s z c z e g ó l n o ś c i z a g a d n i e ń w y m i a n y c i e p ł a z w i ą z a n y c h z o b l i ­ c z e n i a m i s t a c j o n a r n y c h i n i e s t a c j o n a r n y c h p ó l t e m p e r a t u r y w e l e m e n t a c h m a s z y n i u r z ą d z e ń o r a z z s y m u l a c j ą n u m e r y c z n ą p r o ­ c e s ó w k r z e p n i ę c i a i s t y g n i ę c i a m e t a l u w s z e r o k o r o z u m i a n y m u k ł a d z i e o d l e w - o t o c z e n i e .

P o d s t a w y m e t o d y z o s t a ł y o p r a c o w a n e w l a t a c h 6 0 p r z e z V . L . RVACHEVa. J e j a u t o r z a p r o p o n o w a ł l i c z n e j e j z a s t o s o w a n i a d o r o z w i ą z y w a n i a p r o b l e m ó w , n p . t e o r i i s p r ę ż y s t o ś c i [ 4 7 ] , [ 4 8 ] , w y m i a n y c i e p ł a [ 4 9 ] , [ 5 0 ] i i n n y c h [ 1 7 ] , [ 1 8 ] .

M e t o d a « - f u n k c j i j e s t d w u e t a p o w ą m e t o d ą a n a l i t y c z n o - n u m e - r y c z n ą . E t a p p i e r w s z y p o l e g a n a w y p r o w a d z e n i u a n a l i t y c z n e g o r ó w n a n i a r o z p a t r y w a n e g o b r z e g u . S t o s u j ą c « - f u n k c j e m o ż l i w e j e s t o p i s a n i e z ł o ż o n e g o b r z e g u o b s z a r u z a p o m o c ą j e d n e j f u n k ­ c j i u w i k ł a n e j , z ł o ż o n e j z f u n k c j i e l e m e n t a r n y c h . P o d o b n i e p o ­ s z c z e g ó l n e c z ę ś c i b r z e g u , n a k t ó r y c h z a d a n e m o g ą b y ć d o w o l n e w a r u n k i b r z e g o w e , o p i s u j e s i ę f u n k c j a m i e l e m e n t a r n y m i . P i e r w ­ s z y e t a p , a n a l i t y c z n y , k o ń c z y w y p r o w a d z e n i e o g ó l n e j s t r u k t u r y r o z w i ą z a n i a ( g e n e r a ł s t r u c t u r e o f s o l u t i o n -

GSS)

GSS

W p r a c y r o z w a ż a m y z a g a d n i e n i a s t a c j o n a r n e g o i n i e s t a c j o n a r ­ n e g o p r z e p ł y w u c i e p ł a , w t y m r ó w n i e ż z a d a n i a z r u c h o m y m i b r z e ­ g a m i z w i ą z a n e z t e r m o d y n a m i k ą p r o c e s ó w o d l e w n i c z y c h ( k r z e ­ p n i ę c i e i s t y g n i ę c i e ) . D l a z a d a ń n i e s t a c j o n a r n y c h s t o s u j e m y dwa n o w e p o d e j ś c i a w r e l a c j i d o o p i s a n y c h w l i t e r a t u r z e m e t o d b a z u j ą c y c h n a « - f u n k c j a c h ( p o r . [ 4 6 - 4 9 ] ) , a m i a n o w i c i e m e t o d ę k o m b i n o w a n ą , w k t ó r e j p o c h o d n ą t e m p e r a t u r y p o c z a s i e z a s t ę p u ­ j e m y j e j r ó ż n i c o w ą d y s k r e t y z a c j ą . W y p r o w a d z o n o o d p o w i e d n i f u n -

14 W s t ę p

k c j o n a ł , z a p o m o c ą k t ó r e g o z n a j d u j e m y n i e z n a n e p a r a m e t r y . D r u ­ g i e p o d e j ś c i e p o l e g a n a p o t r a k t o w a n i u z m i e n n e j c z a s o w e j w t e n s a m s p o s ó b j a k z m i e n n e p r z e s t r z e n n e . M o ż e m y w i ę c ( p r z e n o s z ą c n a z e w n i c t w o z m e t o d y e l e m e n t ó w s k o ń c z o n y c h ) m ó w i ć o c z a s o p r z e ­ s t r z e n n y c h « - f u n k c j a c h .

W r o z p r a w i e o m ó w i o n o r ó w n i e ż m e t o d y r o z w i ą z y w a n i a z a d a ń n i e l i n i o w e g o p r z e p ł y w u c i e p ł a z n i e l i n i o w o ś c i a m i z a r ó w n o w r ó w n a n i a c h r ó ż n i c z k o w y c h ( z m i e n n e z t e m p e r a t u r ą p a r a m e t r y t e r - m o f i z y c z n e ) , j a k i w ‘w a r u n k a c h b r z e g o w y c h . R ' o z w i ą z a n i a w y m i e ­ n i o n y c h p r o b l e m ó w z t e j d z i e d z i n y , w t y m r ó w n i e ż s y m u l a c j ę n u m e r y c z n ą k r z e p n i ę c i a u z y s k a n o ł ą c z ą c p o d s t a w o w e , p r z e d s t a ­ w i o n e w p r a c y , a l g o r y t m y w y k o r z y s t u j ą c e « - f u n k c j e z p e w n y m i m e t o d a m i l i n e a r y z a c j i r ó w n a n i a p r z e w o d n i c t w a ( c i e p ł a ( n a e t a ­ p i e o b l i c z e ń n u m e r y c z n y c h ) .

P i e r w s z e c z t e r y r o z d z i a ł y p r a c y z a w i e r a j ą n i e z b ę d n e p o d s t a ­ w y m a t e m a t y c z n e m e t o d y , w t y m z w i ą z k i p o m i ę d z y o p e r a c j a m i n a z b i o r a c h a o p e r a c j a m i l o g i c z n y m i , d e f i n i c j ę « - f u n k c j i , a l ­ g o r y t m t w o r z e n i a z n o r m a l i z o w a n y c h r ó w n a ń d o w o l n e g o o b s z a r u . W s z y s t k i e d e f i n i c j e s ą z i l u s t r o w a n e p r z y k ł a d a m i d o t y c z ą c y m i r ó w n i e ż p r a k t y k i i n ż y n i e r s k i e j . P r z e d s t a w i o n o t a k ż e o g ó l n e s t r u k t u r y r o z w i ą z a n i a d l a p o d s t a w o w y c h p r o b l e m ó w b r z e g o w y c h t e r m o m e c h a n i k i ( w a r u n k i D i r i c h l e t a , N e u m a n n a i N e w t o n a ) . * R o z d z i a ł V p o ś w i ę c o n y j e s t z a s t o s o w a n i u « - f u n k c j i d o r o z ­ w i ą z y w a n i a l i n i o w y c h i n i e l i n i o w y c h s t a c j o n a r n y c h z a g a d n i e ń w y m i a n y c i e p ł a . O k r e ś l o n o

CSS

W r o z d z i a l e VI w y p r o w a d z o n o f u n k c j o n a ł b ę d ą c y p o d s t a w ą a l ­ g o r y t m u r o z w i ą z y w a n i a z a d a ń n i e s t a c j o n a r n e j w y m i a n y c i e p ł a . A l g o r y t m t e n o p i e r a s i ę n a m e t o d z i e « - f u n k c j i p o ł ą c z o n e j z d y s k r e t y z a c j ą c z a s u . O b o k p r z y k ł a d ó w t e s t u j ą c y c h p r z e d s t a w i o n o r o z w i ą z a n i a k o n k r e t n y c h z a d a ń t e c h n i c z n y c h , t a k i c h j a k r o z k ł a d t e m p e r a t u r y w k r y s t a l i z a t o r z e u r z ą d z e n i a d o c i ą g ł e g o o d l e w a n i a s t a l i

(COS)

Ws t ę p ¹⁵

w i ą z a n i a m i t y c h s a m y c h p r o b l e m ó w ; a l e t r a k t o w a n y c h j a k o s t a c ­ j o n a r n e .

R o z d z i a ł o s t a t n i z a w i e r a o m ó w i e n i e u o g ó l n i o n e j , c z a s o p r z e ­ s t r z e n n e j w e r s j i

MRF.

GSS

MRF.

C z a s o p r z e s t r z e n n ą w e r s j ę m e t o d y i l u s t r u j ą p r z y k ł a d y t e s t u j ą c e a l g o r y t m d l a p r o s t y c h z a d a ń

ID

2D

W k o ń c o w e j c z ę ś c i m o n o g r a f i i p r z e d s t a w i o n o w n i o s k i d o t y ­ c z ą c e o c e n y e f e k t y w n o ś c i m e t o d y , j e j z a l e t i wa d o r a z z w r ó c o n o u w a g ę n a p r o b l e m y , k t ó r e m o g ł y b y b y ć p r z e d m i o t e m d a l s z y c h b a ­ d a ń .

N i n i e j s z a r o z p r a w a z a w i e r a m . i n . w y n i k i p r a c a u t o r a o p u b l i ­ k o w a n y c h w c z a s o p i s m a c h k r a j o w y c h i r e f e r o w a n y c h n a m i ę ­ d z y n a r o d o w y c h i k r a j o w y c h k o n f e r e n c j a c h , n p . w M e d i o l a n i e , B r u k s e l i , S w a n s e a i S o u t h a m p t o n .

P r a c a t a n i e m o g ł a b y p o w s t a ć , g d y b y n i e a k t y w n a w s p ó ł p r a c a z K o l e ż a n k a m i i K o l e g a m i z K a t e d r y M e c h a n i k i T e o r e t y c z n e j , I n s t y t u t u O d l e w n i c t w a i I n s t y t u t u M a t e m a t y k i P o l i t e c h n i k i Ś l ą ­ s k i e j .

J e d n a k ż e n a j w i ę c e j z a w d z i ę c z a m w i e l o g o d z i n n y m d y s k u s j o m p r o w a d z o n y m z k i e r o w n i k i e m K a t e d r y M e c h a n i k i T e o r e t y c z n e j P r o f e s o r e m d r . h a b . i n ż . B o h d a n e m MOCHNACKIM.

W P R O W A D Z E N IE

Z n a c z n a c z ę ś ć p r o b l e m ó w t e c h n i c z n y c h i f i z y c z n y c h s p r o w a d z a s i ę d o r o z w i ą z y w a n i a o d p o w i e d n i e g o z a d a n i a b r z e g o w e g o l u b p o - c z ą t k o w o - b r z e g o w e g o , s f o r m u ł o w a n e g o l o k a l n i e b ą d ź g l o b a l n i e . J e d y n i e n i e l i c z n e z a d a n i a t e g o t y p u m o ż n a r o z w i ą z a ć w s p o s ó b a n a l i t y c z n y , p o d a j ą c i c h d o k ł a d n e r o z w i ą z a n i a . P o t r z e b y p r a k ­ t y k i i n ż y n i e r s k i e j i s z y b k i r o z w ó j t e c h n i k i k o m p u t e r o w e j z i n ­ t e n s y f i k o w a ł y b a d a n i a n a d z a s t o s o w a n i e m m e t o d n u m e r y c z n y c h d o r o z w i ą z y w a n i a t y c h z a g a d n i e ń , w t y m r ó w n i e ż p r o b l e m ó w t e r - m o m e c h a n i k i o r a z w y m i a n y c i e p ł a .

N a j b a r d z i e j o g ó l n i e p o s t a w i o n e z a g a d n i e n i e t e r m o m e c h a n i k i s t a w i a s o b i e z a c e l w y z n a c z e n i e d w ó c h w z a j e m n i e s p r z ę ż o n y c h p ó l - p o l a n a p r ę ż e ń i p o l a t e m p e r a t u r y . J e d n a k ż e t a k o g ó l n y p r o b l e m j e s t b a r d z o t r u d n o l u b w r ę c z n i e m o ż l i w y d o r o z ­ w i ą z a n i a . N a j c z ę ś c i e j n a j p i e r w w y z n a c z a s i ę p o l e t e m p e r a t u r y ,

t r a k t u j ą c j e j a k o n i e z a l e ż n e o d n a p r ę ż e ń ( o d k s z t a ł c e ń ) , a n a ­ s t ę p n i e p o l e n a p r ę ż e ń - z a l e ż n e o d z n a n e j j u ż w t y m m o m e n c i e t e m p e r a t u r y .

P o l e t e m p e r a t u r y w o b s z a r z e c i a ł a s t a ł e g o ( n p . w e l e m e n t a c h m a s z y n y , u r z ą d z e n i a , l u b t e ż w o b s z a r z e k r z e p n ą c e g o m e t a l u ) z a l e ż y n i e t y l k o o d w i e l k o ś c i i c h a r a k t e r u r o z k ł a d u ź r ó d e ł c i e p ł a w b a d a n y m o b i e k c i e i j e g o o t o c z e n i u o r a z j e g o w ł a s n o ś c i t e r m o f i z y c z n y c h , a l e r ó w n i e ż o d k s z t a ł t u o b i e k t u , j e g o s p o s o b u k o n t a k t u z i n n y m i o b i e k t a m i , a t a k ż e w z a j e m n y c h o d d z i a ł y w a ń m i ę d z y e l e m e n t a m i u k ł a d u . U w z g l ę d n i e n i e g e o m e t r y c z n y c h i n f o r ­ m a c j i j e s t n i e z b ę d n e i c z ę s t o k ł o p o t l i w e w k a ż d e j m e t o d z i e n u m e r y c z n e j , s z c z e g ó l n i e w p r z y p a d k u o b i e k t ó w o s k o m p l i k o w a n y m k s z t a ł c i e . M e t o d y s t a r s z e , t a k i e j a k m e t o d a R i t z a l u b G a l e r k i -

18 R o z d z i a ł I

n a c z y n a w e t m e t o d a k o l o k a c j i ( o c z y w i ś c i e w s w e j p i e r w o t n e j f o r m i e ) w r ę c z n i e m o g ą b y ć z a s t o s o w a n e d o t a k i c h o b i e k t ó w . W m e t o d z i e r ó ż n i c s k o ń c z o n y c h

(MRS)

g w i a z d y w i e l o p u n k t o w e . W m e t o d z i e e l e m e n t ó w s k o ń c z o n y c h

(MES)

d z i e l i m y b a d a n y o b s z a r n a o d p o w i e d n i o m a ł e e l e m e n t y , b y m o ż l i ­ w i e d o k ł a d n i e o d w z o r o w a ć b a d a n y o b i e k t .

I n n ą t r u d n o ś c i ą , n a j a k ą c z ę s t o n a p o t y k a m y p r z y n u m e r y c z n y m r o z w i ą z y w a n i u z a g a d n i e ń p o c z ą t k o w o - b r z e g o w y c h m e c h a n i k i (w t y m r ó w n i e ż w p r z e p ł y w i e c i e p ł a ) , j e s t u w z g l ę d n i e n i e , w m o ż l i w i e d o k ł a d n y s p o s ó b , w a r u n k ó w b r z e g o w y c h i p o c z ą t k o w y c h .

J e d n ą z m o ż l i w o ś c i s p e ł n i e n i a t y c h p o s t u l a t ó w m o ż e b y ć z a ­ s t o s o w a n i e a n a l i t y c z n o - n u m e r y c z n e j m e t o d y « - f u n k c j i

(MRF).

« - f u n k c j e n i e s ą f u n k c j a m i s p e c j a l n y m i w k l a s y c z n y m s e n s i e , t a k i m j a k n p . f u n k c j e B e s s e l a l u b w i e l o m i a n y L e g e n d r e ’ a . S ą t o , w z n a c z n y m u p r o s z c z e n i u , f u n k c j e p o z w a l a j ą c e d o w o l n i e s k o m p l i ­ k o w a n y o b s z a r ( r ó w n i e ż n i e s p ó j n y l u b w k l ę s ł y ) , p r z e d s t a w i o n y w p o s t a c i l o g i c z n e j , o p i s a ć z a p o m o c ą c i ą g ł e j f u n k c j i , z ł o ż o n e j z f u n k c j i e l e m e n t a r n y c h .

K o n t y n u u j ą c t e n w e r b a l n y o p i s , m o ż e m y w m e t o d z i e « - f u n k c j i w y r ó ż n i ć n a s t ę p u j ą c e e t a p y : e t a p a n a l i t y c z n y , w k t ó r y m n a l e ż y w y p r o w a d z i ć t z w . " o g ó l n ą s t r u k t u r ę r o z w i ą z a n i a " -

GSS

GSS

r z y s t u j ą c ą w a r u n e k s p e ł n i e n i a r ó w n a n i a p r o b l e m u w e w n ą t r z o b ­ s z a r u l u b m i n i m a l i z a c j ę o d p o w i e d n i e g o f u n k c j o n a ł u .

W c e l u j a ś n i e j s z e g o p r z e d s t a w i e n i a i s t o t y m e t o d y r o z p a t r z y ­ my n a s t ę p u j ą c y p r o s t y p r z y k ł a d :

» P r z y k ł a d 1 . 1 .

( z g i n a n i e b e l k i o s z t y w n o ś c i El)

W y z n a c z y m y u g i ę c i e b e l k i o d ł u g o ś c i j e d n o s t k o w e j

(1=1)

= 0 . 5 . B e l k a o b c i ą ż o n a j e s t r ó w n o m i e r n i e r o z ł o ż o n y m o b c i ą ż e n i e m c i ą g ł y m , a j e j s z t y w n o ś ć w y n o s i

El .

P r z y j m i j m y u g i ę c i e w p o s t a c i

Wprowadzeń i e ¹⁹

w U ) = x ( l - x ) $ + - i x , ( 1 . 1 )

g d z i e p r z e z $ o z n a c z o n o n i e z n a n ą f u n k c j ę . J a k ł a t w o s p r a w d z i ć , f u n k c j a

w=w(x)

x)

o

x=l;

d 2w _ _ M(x) / j 2 )

d x 2 E l

J e ż e l i n i e z n a n ą f u n k c j ę $ p r z y j m i e m y w p o s t a c i w i e l o m i a n u d r u ­ g i e g o s t o p n i a ( $ =

ax*+ bx+ c)

g d z i e

® ( x ) = —

SL— ( x 2 + 2 l x + 4 l 2)

2 4 E l

U o g ó l n i a j ą c : f u n k c j ę o k r e ś l o n ą r ó w n a n i e m ( 1 . 1 ) mo ż e my p r z e d ­ s t a w i ć w p o s t a c i

w( x) - nr( <■>,$, <p ) =<i >$+<p , ( 1 . 4 )

p r z y c z y m <p = 0 . 5

x

n a n i e t o j e s t p r z y k ł a d e m o g ó l n e j s t r u k t u r y r o z w i ą z a n i a

(GSS).

■ ■

Z p o w y ż s z e g o p r z y k ł a d u w y n i k a , ż e s k o n s t r u o w a n i e

GSS

- w y p r o w a d z e n i e m f u n k c j i o p i s u j ą c e j r ó w n a n i a b r z e g u r o z ­ p a t r y w a n e g o o b s z a r u ( l u b j e g o c z ę ś c i ) ,

- r o z s z e r z e n i e m d z i e d z i n y o p e r a t o r ó w ( w a r u n k ó w ) b r z e g o w y c h n a c a ł y o b s z a r i i c h m o d y f i k a c j ą ( f u n k c j a ę ) , t z n . z n a l e z i e ­ n i e m t a k i e j f u n k c j i o k r e ś l o n e j w c a ł y m o b s z a r z e , k t ó r a n a b r z e g u j e s t r ó w n a z a d a n e j w a r t o ś c i ( w p o w y ż s z y m p r z y k ł a d z i e j e s t t o f u n k c j a q> = 0 . 5 x ) .

I - 1 - O p e r a c j e w ł a s n o ś c i

1 o g i c z n e i c h

D o w o l n i e s k o m p l i k o w a n y o b s z a r m o ż e m y p r z e d s t a w i ć w p o s t a c i o p e r a c j i n a s k o ń c z o n e j l i c z b i e p o d o b s z a r ó w , n p . o b s z a r fi ( 3 / 4 o k r ę g u ) p o k a z a n y n a r y s u n k u 1 . 1 . j e s t z ł o ż e n i e m n a s t ę p u j ą c y c h p o d o b s z a r ó w : f i i - g ó r n e j p ó ł p ł a s z c z y z n y o p i s a n e j p o p r z e z w a r u ­ n e k y > 0 ; fi 2 - l e w e j p ó ł p ł a s z c z y z n y , c z y l i x < 0 i f i 3 - k o ł a o j e d n o s t k o w y m p r o m i e n i u i o ś r o d k u w p o c z ą t k u u k ł a d u w s p ó ł r z ę d ­ n y c h , c z y l i fi = U fi2 fl fi3 .

J e d n o c z e ś n i e k a ż d e m u o b ­ s z a r o w i m o ż e m y p r z y p o r z ą d ­ k o w a ć f u n k c j ę l o g i c z n ą o t e j w ł a s n o ś c i , ż e d l a p u n k t ó w n a l e ż ą c y c h d o o b s z a r u p r z y j ­ m o w a ć o n a b ę d z i e w a r t o ś ć 1 , a d l a p o z o s t a ł y c h p u n k t ó w w a r ­ t o ś ć z e r o .

□ D E F I N I C J A I . 1 .

F u n k c j ę f : B k - * B k , g d z i e Bk= { 0 , l , . . . , l t - l } n a z y ­ w a m y f u n k c j ą l o g i k i

k -w a r t o ś c i o w e j . G d y k =2 , m ó w i m y o f u n k c j i b o o l o w s k i e j .

o b s z a r C2

F i g . I . l . S u b d o m a i n s w h i c h c o n s ­ t i t u t e d o m a i n 13

F u n k c j a m i b o o l o w s k i m i p o s t a c i f : B 2 ® B2 -> B2 s ą k o n i u n k c j a , a l t e r n a t y w a , n e g a c j a , i m p l i k a c j a , o p e r a c j a S c h e f f e r a , r ó w n o w a ­ ż n o ś ć i t d . P o n i ż s z e t a b e l e 1 . 1 . i 1 . 2 . p r e z e n t u j ą z b i ó r w a r ­ t o ś c i t y c h f u n k c j i d l a r ó ż n y c h p a r a r g u m e n t ó w .

□ D E F I N I C J A 1 . 2 .

U k ł a d H f u n k c j i l o g i c z n y c h n a z y w a m y z u p e ł n y m , j e ś l i k a ż ­ d a f u n k c j a a l g e b r y l o g i k i m o ż e b y ć p r z e d s t a w i o n a j a k o

s u p e r p o z y c j a f u n k c j i z u k ł a d u H.

K o n i u n k c j a , a l t e r n a t y w a i n e g a c j a ( p a t r z t a b e l a 1 . 1 ) s t a n o w i ą z u p e ł n y u k ł a d f u n k c j i l o g i c z n y c h . F u n k c j e z t a b e l i 1 . 2 m o ż n a p r z e d s t a w i ć j a k o :

X - Y = X V Y

X ~ Y = ( xAY) V ( x A y ) X / Y = ~XAT .

T a b e l a 1 . 1 W a r t o ś c i f u n k c j i l o g i c z n y c h s t a n o w i ą c y c h u k ł a d z u p e ł n y

F U N K C J A ARG UME NTY

k o n i u n k c j a a l t e r n a t y w a n e g a c j a

X Y X A Y X V Y X

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

0 1 1 1

1 1 0 0

N a s t ę p u j ą c e w ł a s n o ś c i u p r a s z c z a ć b a r d z i e j

( p o r . [ 4 7 ] , [ 4 9 ] ) : a ) X A Y = Y A X

c ) x A ( yVz) ⁼ ( x A y ) V ( x A z ) e ) J ; = x

g ) x A \ = x i x W i s i j ) x A x = x

1) (f Ax) V ( f A x ) =f

W a r t o ś c i f u n k c j i

a l t e r n a t y w y p o z w a l a j ą o p e r a c j e l o g i c z n e

b ) x A ( yAz ) = (xAy) Az d ) ~x Ky=x Vy

f ) x A o = o i x V o = x ( I 6 ) h ) x A ' x = o i x W ' x = i

k ) x V (f Ax ) = x

T a b e l a 1 . 2 p o p r z e z f u n k c j e k o n i u n k c j i i

s k o m p l i k o w a n e

l o g i c z n y c h w y r a ż o n y c h u k ł a d u z u p e ł n e g o

F U N K C J A ARG UME NTY

i m p l i k a c j a r ó w n o w a ż n o ś ć o p e r a c j a S c h e f f e r a

X ^Y X - Y X ~ Y X

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 0

2 2 R o z d z i a ł I

J e ś l i w p u n k t a c h a ) d o d ) o r a z j } z a m i e n i ć o p e r a c j e n a p r z e c i ­ w n e , t o o t r z y m a n e z a l e ż n o ś c i p o z o s t a n ą n a d a l p r a w d z i w e .

W ł a s n o ś c i o m t y m p o ś w i ę c i l i ś m y t y l e u w a g i z e w z g l ę d u n a i c h ś c i s ł y z w i ą z e k z w ł a s n o ś c i a m i « - f u n k c j i ( p a t r z p k t 1 . 2 ) .

1 . 2 . G e o m e t r y c z n a i n t e r p r e t a —

c j a f u n k c j i l o g i c z n y c h

Z a ł o ż y m y , ż e a n a l i z o w a n y o b i e k t z a j m u j e w p r z e s t r z e n i R "

o b s z a r f i . W p r o w a d z i m y n o w ą f u n k c j ę l o g i c z n ą f i * : R ” -» { 0 , 1 } s p r z ę ż o n ą z o b s z a r e m fi w n a s t ę p u j ą c y s p o s ó b :

Q * ( x ) = f l * ( x i * „ ) = { * ' <! - 7 >

1 " [ 0 , d l a

x

F u n k c j e d w u w a r t o ś c i o w e t y p u ( 1 . 7 ) n a z y w a m y f u n k c j a m i c h a r a k t e ­ r y s t y c z n y m i d a n e g o o b s z a r u . K a ż d e j f u n k c j i d w u w a r t o ś c i o w e j m o ­ ż n a p r z y p o r z ą d k o w a ć o d p o w i e d n i o b s z a r g e o m e t r y c z n y - z b i ó r t y c h p u n k t ó w p r z e s t r z e n i R " , d l a k t ó r y c h p r z y j m u j e o n a w a r t o ś ć j e d e n .

T a k w i ę c f u n k c j e c h a r a k t e r y s t y c z n e m o g ą b y ć a r g u m e n t a m i f u n k c j i b o o l o w s k i c h . J e ś l i fi*!, fi*2 , . . . , fi*„ , s ą c h a r a k t e r y s t y k a m i p e w n y c h o b s z a r ó w , a f u n k e j a - F( X u X 2, . . , X„) - f u n k c j ą b o o l o w - s k ą , t o f u n k c j a f i *= F ( f i i , 0 2, . . . , 0 „ ) j e s t r ó w n i e ż f u n k c j ą c h a r a k ­ t e r y s t y c z n ą o d p o w i a d a j ą c ą p e w n e m u o b s z a r o w i w p r z e s t r z e n i R " .

» P r z y k ł a d 1 . 2 .

a ) F u n k c j ą c h a r a k t e r y s t y c z n ą o k r ę g u o j e d n o s t k o w y m p r o m i e ­ n i u i ś r o d k u w p o c z ą t k u u k ł a d u j e s t f u n k c j a fi*, k t ó r a p r z y j m u j e w a r t o ś ć 1 d l a k a ż d e g o ( j r , y ) e R 2 , d l a k t ó r e g o s p e ł n i o n y j e s t w a ­ r u n e k : l - ^ - y ^ O . F u n k c j ę t ę b ę d z i e m y s y m b o l i c z n i e z a p i s y w a l i w n a s t ę p u j ą c y s p o s ó b :

Q * = { 1

- x 2- y 2Z 0 }

b ) K w a d r a t o j e d n o s t k o w y c h b o k a c h r ó w n o l e g ł y c h d o o s i w s p ó ł r z ę d n y c h i ś r o d k u s y m e t r i i w p o c z ą t k u u k ł a d u w s p ó ł r z ę d ­ n y c h m a c h a r a k t e r y s t y k ę p o s t a c i

W p r o w a d z e n i e ²³

Q * = { ( i - x 2 a 0 ) A ( l - y 2 £ 0 ) } ^{( 1 . 9 )}

W d a l s z e j c z ę ś c i p r a c y t a k d l a o b s z a r u g e o m e t r y c z n e g o , j a k i o d p o w i a d a j ą c e j m u c h a r a k t e r y s t y k i b ę d z i e m y s t o s o w a l i t o s a m o o z n a c z e n i e ( b e z g w i a z d k i ) .

» P r z y k ł a d 1 . 3 . ( R ó w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e k r y s t a l i z a t o r a )

R y s . 1 . 2 . P r z e k r ó j p o p r z e c z n y k r y s t a l i z a t o r a o d l e w a n i a c i ą g ­ ł e g o

F i g . 1 . 2 . C r o s s s e c t i o n o f t h e c o n t i n u o u s c a s t i n g m o u l d

W p r z y k ł a d z i e t y m w y z n a c z y m y r ó w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e o b ­ s z a r u p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o k r y s , t a l i z a t o r a o d l e w a n i a c i ą g ł e ­ g o , k t ó r e g o k s z t a ł t p r z e d s t a w i a r y s u n e k 1 . 2 . O b s z a r fi t w o r z y c z ę ś ć w s p ó l n a n a s t ę p u j ą c y c h p a s m l u b i c h d o p e ł n i e ń :

Qx = { a 2- x 2 ł O ) , f l 2 ={ ( b - y ) y-Ł O } ,

Q3 = {

O } ,

={ ( d - y ) y ź O } ;

a m i a n o w i c i e ( j a k o d z i a ł a n i e n a z b i o r a c h )

Q = Q i n Q 2 n ( ń 3Mfi 4 ) = f l xf l f l 2 n

l u b w p o s t a c i l o g i c z n e j

q

=

1 A 0 2A (

3

4 ) =

,

2

( i i j v n ; )

( I - 10)

( 1 . 1 1 )

( 1 . 1 2 )

j K a t w o m o ż e m y s p r a w d z i ć , ż e o p e r a c j o m l o g i c z n y m z t a b e l 1 . 1 . i 1 . 2 . o d p o w i a d a j ą z b i o r y g e o m e t r y c z n e o t r z y m y w a n e z a p o m o c ą a n a l o g i c z n y c h o p e r a c j i n a z b i o r a c h , t j .

CT Cd

; ‘ ... v."...-V

: ■ ■ i

X - Y X ~ Y X / Y

R y s . 1 . 3 . O p e r a c j e l o g i c z n e i o p e r a c j e n a z b i o r a c h F i g . 1 . 3 . L o g i c a l o p e r a t i o n s a n d o p e r a t i o n s o n s e t s

» P r z y k ł a d 1 . 3 . ( P i e r ś c i e ń p o ś r e d n i z e s p o ł u k o ł a s a m o c h o d u c i ę ż a r o w e g o )

N a z a k o ń c z e n i e t e g o r o z d z i a ł u w y p r o w a d z i m y r ó w n a n i e c h a r a k ­ t e r y s t y c z n e p o w t a r z a l n e g o f r a g m e n t u p i e r ś c i e n i a p o ś r e d n i e g o k o ł a s a m o c h o d u c i ę ż a r o w e g o ( w y k o n y w a n e g o j a k o o d l e w p o r . [ 3 0 ] ) .

R y s . 1 . 4 . A n a l i z o w a n y o b s z a r i j e g o p o d o b s z a r y F i g . 1 . 4 . A n a l y z e d d o m a i n a n d i t s s u b - d o m a i n s

A n a l i z o w a n y o b s z a r j e s t z ł o ż e n i e m o ś m i u n a s t ę p u j ą c y c h p o d - o b s z a r ó w l u b i c h d o p e ł n i e ń :

- d w ó c h k ó ł Qi i 0 2 o p r o m i e n i a c h R i ś r o d k a c h o d p o w i e d n i o w p u n k t a c h P i S ,

- d w ó c h k ó ł Q3 i 0 4 o p r o m i e n i a c h o d p o w i e d n i o a i r o r a z ś r o d k u w p u n k c i e l e ż ą c y m n a o s i O Y o r z ę d n e j R2,

- k o ł a 0 5 o ś r o d k u w p o c z ą t k u u k ł a d u w s p ó ł r z ę d n y c h i p r o m i e n i u

Ru

- d w ó c h p ó ł p ł a s z c z y z n , k t ó r y c h k r a w ę d z i a m i s ą p r o s t e 0 6 i 0 7 p r z e c h o d z ą c e p r z e z p o c z ą t e k u k ł a d u w s p ó ł r z ę d n y c h o w s p ó ł c z y n ­ n i k a c h k i e r u n k o w y c h + / - t g a ,

- p ó ł p ł a s z c z y z n y , k t ó r e j k r a w ę d z i ą j e s t p r o s t a p o z i o m a o r ó w ­ n a n i u y = c .

R ó w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e m a p o s t a ć

0 = ( f l 1U Q a n o ; ) n ( n ^ J D 7 ) n ( 0 6 n Q ł ) U ( Q , n n ^ ( 1 . 1 3 )

■

R o z d z i a ł I I

D E F I N I C J A I W Ł A S N O Ś C I « - F U N K C J I

N i e c h

x = ( x l t x2, . . . x„)

f

Y i = *

1*2

y 2 = x 12 + x 22 +1 , . ( 1 1 . 1 )

y 3 = x x +

x 2

s]xx2

x 2

T a b e l a I I . 1 . p o k a z u j e , j a k z n a k k a ż d e j z f u n k c j i ( I I . 1) z a l e ż y o d z n a k u ( a n i e w a r t o ś c i ) j e j a r g u m e n t ó w .

£ a t w o z a u w a ż y ć , ż e f u n k c j e

Y s

y6

n i e p o s i a d a j ą t e j w ł a s n o ś c i .

T r a k t u j ą c " d o d a t n i o ś ć " i " u j e m n o ś ć " j a k o p e w n e c e c h y c h a ­ r a k t e r y z u j ą c e r ó ż n e o b i e k t y , m ó w i m y , ż e c e c h y a r g u m e n t ó w o - k r e ś l a j ą c e c h y f u n k c j i ( j e j " d o d a t n i o ś ć l u b " u j e m n o ś ć " ) . Mo­

ż l i w e j e s t o c z y w i ś c i e w y r ó ż n i e n i e i n n y c h c e c h , n p . p r z y p i s a n i e j e d n e j c e c h y l i c z b o m , k t ó r y c h m o d u ł j e s t m n i e j s z y o d j e d e n , a d r u g i e j p o z o s t a ł y m l i c z b o m .

Z b i ó r f u n k c j i , k t ó r y c h a r g u m e n t y j e d n o z n a c z n i e o k r e ś l a j ą d a n ą w ł a s n o ś ć ( n p . " d o d a t n i o ś ć l u b " u j e m n o ś ć " ) , n a z y w a m y « - f u n k ­ c j a m i . J e s t t o n a j b a r d z i e j o g ó l n a d e f i n i c j a . Z p u n k t u w i d z e n i a d a l s z y c h r o z w a ż a ń p o w y ż s z ą d e f i n i c j ę u ś c i ś l i m y i o g r a n i c z y m y .

= 1 + x x x 2

= 1 - X 1 - X 2 ( I I . 2 )

= + *2

D e f i n i c j a i w ł a s n o ś c i R - f u n k c j i ²⁷

T a b e l a I I . 1 W a r t o ś c i f u n k c j i o k r e ś l o n y c h w z o r a m i ( I I - I )

X 1 X 2 Y i Y 2 y 3 |

_ + + -

_ + - + -

+ - - + - j!

. + + + + +

□ DEFI NI CJ A I I . 1 . (

R - f u n k c j e )

N i e c h

B2

B2 -

B2

S2(x)

B2

S , ( x )

G:

^{x < x ^}

y= f ( x i , . . .

x n)

F\B2 -*B2 (Y=F(X

Xje B2

S2[ f ( x 1

x n)

WNIOSEK I I . l .

K a ż d e j f u n k c j i b o o l o w s k i e j

F

« - f u n k c j i . N p . f u n k c j i r ó w n o w a ż n o ś c i l o g i c z n e j

X ~ Y

= *1 *2 '

y 2 = x x x 2 ( 1

+x12

( I I . 5 )

D l a p i e r w s z e j z f u n k c j i ( I I . 5 ) mamy:

S2( x t x2) = S2( Xi) ~ S2( x2)

□ DEFI NI CJ A I I . 2 .

( Gałąź R - f u n k c j i )

Z b i ó r w s z y s t k i c h « - f u n k c j i o d p o w i a d a j ą c y c h d a n e j f u n k c j i b o o l o w s k i e j n o s i n a z w ę g a ł ę z i « - f u n k c j i .

P o n i e w a ż z b i ó r « - f u n k c j i j e s t z b i o r e m n i e p o l i c z a l n y m , n i e i s t n i e j e s k o ń c z o n y z u p e ł n y u k ł a d t y c h f u n k c j i ( i n a c z e j n i ż w p r z y p a d k u f u n k c j i l o g i c z n y c h ) . N i e m n i e j j e d n a k w p r o w a d z a s i ę p o j ę c i e d o s t a t e c z n i e z u p e ł n e g o u k ł a d u « - f u n k c j i ( p o r . [ 4 9 ] ) :

□ DEF I N I C J A I I . 3 .

( D o s t a t e c z n i e z u p e ł n y u k ł a d R - f u n k c j i )

U k ł a d

H

H

P r z y t o c z y m y t e r a z , b e z d o w o d u , b a r d z o w a ż n e t w i e r d z e n i e ( p o r . [ 5 1 ] ) .

o TWIERDZENIE I I . 1 .

N i e c h

H

Hi -

Hi

H

j e s t d o s t a t e c z n i e z u p e ł n y .

J a k j u ż w c z e ś n i e j s t w i e r d z o n o , u k ł a d t r z e c h f u n k c j i l o g i c z ­ n y c h ( b o o l o w s k i c h ) : k o n i u n k c j i , a l t e r n a t y w y ( d y z j u n k c j i ) o r a z n e g a c j i s t a n o w i u k ł a d z u p e ł n y , z a p o m o c ą k t ó r e g o m o ż n a w y r a z i ć i n n e f u n k c j e l o g i c z n e . U k ł a d o w i t e m u , o p i e r a j ą c s i ę n a t w i e r ­ d z e n i u I I . l , m o ż n a p r z y p o r z ą d k o w a ć n i e s k o ń c z e n i e w i e l e d o s t a ­ t e c z n i e z u p e ł n y c h u k ł a d ó w « - f u n k c j i .

N a j c z ę ś c i e j s t o s o w a n y m i u k ł a d a m i s ą ( p o r . [ 4 7 ] , [ 4 9 ] ) : a ) u k ł a d « ,

* i

*2

*2

,

* 1 V«* 2 = (Xl +X2 +V ^ T:i^ 7 - 2 ^ Ę ) , ( I I - 6 )

x

- x

g d z i e

a = a(xi, x2)

x2) < l .

b ) u k ł a d «o

x x

A0 x 2 =x1+x2 - s/ x 12+x2i ,

x x V 0

x 2 =x1+x2

,

- x .

U k ł a d t e n p o w s t a ł z u k ł a d u

Ra

c ) u k ł a d «i

x i \ x 2

x 2) ,

x 1 V1 x 2 =

( x 1+x2 +\x1- x 2

d ) u k ł a d «o"

x łAoX2 = ( x 1 + x 2 - y/ x 12 + x 2i ) (x12 +x22 )'”/2 ,

x 1 V” x 2 =

( x 1+x2+}Jx12 +x2i )

U k ł a d t e n s k ł a d a s i ę z f u n k c j i k l a s y C* .

P o k a ż e m y t e r a z , ż e « - f u n k c j e p i e r w s z e g o u k ł a d u ( I I . 6 ) o d ­ p o w i a d a j ą u k ł a d o w i z u p e ł n e m u : k o n i u n k c j i , a l t e r n a t y w y i n e g a ­ c j i , c z y l i ż e s ą : « - k o n i u n k c j ą , « - d y z j u n k c j ą i « - n e g a c j ą . Z a j m i e m y s i ę p i e r w s z ą z f u n k c j i ( I I . 6 ) — R—k o n i u n k c j ą . W y r a ­ ż e n i e

wi=xi

Y.

=1

x2\

( x 2+ x22- 2a \

) 1^2

1 . o b y d w a a r g u m e n t y s ą d o d a t n i e , w ó w c z a s z g o d n i e z n i e r ó w ­ n o ś c i ą t r ó j k ą t a

a+b> c

2 . j e d e n z a r g u m e n t ó w j e s t u j e m n y , a d r u g i d o d a t n i , w t e d y d w u m i a n

Xi+x2

b< c

wi= a - b - c <

3 . o b y d w a a r g u m e n t y s ą u j e m n e - j a k ł a t w o z a u w a ż y ć

wi