O geometrii semi- i subanalitycznej

Ili Ogólnopolskie Warsztaty dla Młodych Matematyków

Teoria Osobliwości Kraków. 10-17 września 2000

str. 17-31

O GEOMETRII SEMI- I SUBANALITYCZNEJ

STANISŁAW ŁOJASIEWICZ

1. Wstęp

1. Powstanie tej geometrii jest wynikiem analizypewnej metody rozwiązania tzw.

problemu dzielenia.

Otóż, z uwagi na rolę transformacji Fouriera w teorii operatorów różniczkowych liniowych owspółczynnikach stałych, jest naturalnenastępujące pytanie:

Niech P będzie niezerowym wielomianem w Rn i niech P(D) oznaczaodpowiada­ jący mu poprzez transformację Fouriera operator różniczkowy. Czy dla każdej dys­

trybucji temperowanej T (na Rn) istnieje dystrybucja temperowana S spełniająca równanie:

P(D)S= Tl

Pytanie to jestoczywiście równoważne analogicznemu pytaniu dla równania:

PS =T.

L. Schwartz zauważył, zegdy przeniesiemy poprzez pewne odwzorowanie naturalne strukturę rozmaitości C°° ze sfery n-wymiarowej na zbiór S =IRn U oc, wówczas dys­

trybucje temperowane na Rn są to po prostu dokładnie te, które można przedłużyć jako dystrybucje na S. Dziękitej eleganckiej obserwacji problemsięlokalizuje: sprowa­

dzasię do analogicznego pytaniadla dystrybucjinadowolnym podzbiorze otwartym G przestrzeni Rn. Wystarczy je przy tym rozważać dla dystrybucji przedłużalnych na Rn, tj. w przestrzeni P'G takich dystrybucji (').

Jest rzeczą naturalną rozszerzyćto pytanie zastępując wielomian Pprzez dowolną funkcję analityczną F 0 w zbiorze G (gdy Fjest tylko klasy C00, odpowiedź jest ewidentnie negatywna) — i w takiej formie postawiłje L. Schwartz w swojej Teorii Dystrybucji ([Sch 1957]). Jest ono znane pod nazwąproblemu dzielenia. Odpowiedź jest pozytywna; otrzymali ją w r. 1958, równocześnie i niezależnie, L. Hórmander ([Hor 1958]) — dla wielomianów,oraz autor tego artykułu (|Łoj 1958] i [Łoj 1959])

— dla funkcji analitycznych.

Podamy teraz ideę dowodu tej hipotezy — twierdzenia o dzieleniu. Jest on oparty na konstrukcji pewnego rozkład zbioru

Z = € Q : F(x) = 0}

') Jest to ważne z przyczyn technicznych (zob. niżej, idea dowodu twierdzenia o dzieleniu).

18 STANISLAWLOJASIEWICZ

zer funkcji F w stosownie dobranym otoczeniu Q ^C G dowolnie ustalonego punktu a G G:

(*) ^=ULK

k=0 i

na podrozmaitości analityczne rk wymiarów k = n — 1... 1,0. Rozkład ten ma spełniać szeregwarunków,m.i. warunekstratyfikacji: dlakażdegopłataFk jego „skraj"

dFk ⁿ Q ma byćsumąpłatówwymiaru < k tego rozkładu.

Podstawową rolę gra nierówność:

(#) |F(z)| >cp{x,Z)N

w otoczeniu punktu a. z pewnym wykładnikiem N > 0 i pewną stalą c > 0. Jest ona prawdziwadla dowolnej funkcji analitycznej i wynika z ogólniejszej od niej tzw.

nierówności separacji regularnej:

p(x,B) cp(x, A Cl B)N gdyxG A

dla zbiorów (domkniętych) A,B (która jest spełniona lokalniew przypadku zbiorów semi-analitycznych (■) ). Jest ona spełniona dla domknięć płatów rk rozkładu (*), co również odgrywapodstawową rolęw dowodzie twierdzenia.

Otóż, niech T ^G Pq. Należy więc znaleźćrozwiązanie S ^G równania

(□) FS = T.

Wykazuje się najpierw, woparciu o nierówność (//), że:

(l/FjTeP^

skąd wynika, że wystarczy rozwiązać równanie (□) dla dystrybucji T o suporcie za­

wartym w Z. Dowodzisię zatem, drogą indukcji, że równanie(□) posiada rozwiązanie dla dystrybucji T o suporcie zawartym w zbiorze

zk= ULK’

A=0 i

k = 0,..., n — 1. Gdy k = 0, wówczas, z uwagi na to żedystrybucjao suporcie 0 jest zawsze postaci

apDP^

rozwiązanie równania (□) sprowadza się do pewnego lematu algebraicznego. Przy­ puśćmy teraz, że potrafimy rozwiązać równanie (□) gdy suport prawej strony jest zawartyw Zk~}, i niech T G Pq będzie dystrybucjąo suporcie w Zk. Dzięki własno­

ści separacji regularnej możnaudowodnić, że istniejedystrybucja Tk G P'qo suporcie w rk, która jest równa T w otoczeniu płata rk, a następnie można skonstruować dystrybucję Sk G P'Q, spełniającą równanie

FSk = Tk

(2) Są one określone dalej.

O GEOMETRII SEMI- I SUBANALIlYCZNEJ 19

w otoczeniu tego płata. Wynika stąd, że wystarczyrozwiązać równanie (□), gdyjego prawą stroną jest dystrybucja

T-FfcSr)- i której suport jest już zawarty w Zk~l.

KONKLUZJA. Analiza konstrukcji rozkładu (*) nasuwa naturalne przypuszczenie, że płaty rk są zbiorami „opisanymi” przez nierówności analityczne. Równocześnie, możliwość „oderwania” od dystrybucjiT o suporciewZk jej „części”o suporciewzbio­ rze rk, jest zapewniona przez własność separacji regularnej dla tego typu zbiorów.

Zostanąone zdefiniowanedalej pod nazwą zbiorów semi-analitycznych. Cłicieliby- śmy więc mieć geometrię takich zbiorów, czyli geometrię semi-analityczną, z roz­

kładami typu (*) oraz z własnościąseparacji regularnej.

2. Przytoczymy jeszcze jedną sytuację, w którejzbiorysemi-analitycznepojawiają się w sposób naturalny.

W geometrii analitycznej zespolonej (3) są prawdziwe następujące dwa piękne twierdzenia:

Twierdzenie I (4). Domknięcie składowej topologicznej zbioru L'° punktów re­ gularnych (’) zbioru analitycznego Vjest zawsze zbiorem analitycznym.

Twierdzenie II (6). Zbiór V* punktówosobliwych (') zbioru analitycznego V jest zawsze zbiorem analitycznym.

Otóż, w geometrii analitycznej rzeczywistej żaden z tych faktów naogół nie ma miejsca. Przykładem jest następujący zbiór analityczny (8), znany pod nazwą para­ sola Whitney’a:

V = {{x,y, z)G R3 : x2z = y2}.

Zbiór V° jego punktów regularnych ma trzy składowe, których domknięciami sązbio­ ry:

V n {.r > 0. z > 0), VA {x < 0,z > 0} i 0 x 0 x ( — oo,0].

(3) Geometria analityczna zespolona (względnie rzeczywista) — w swoim najbardziej podstawo­

wym zakresie — zajmuje się własnościami zbiorów analitycznych, tj. podzbiorów rozmaitości zespo­

lonej (względnie analitycznej rzeczywistej), które są lokalnie określone przez funkcje holomorficzne (względnie analityczne rzeczywiste), tzn. postaci {A = • • • = A = 0}, gdzie A • • •• • A są funkcjami holomorficznymi (względnie analitycznymi rzeczywistymi).

(4) Zob. np. [Loj 1986] lub [Loj 1991], 4.2.7.

(5) Punkt zbioru analitycznego V nazywa się regularny, gdy pewne jego otoczenie w V jest podrozmaitością. Zbiór tych punktów oznacza się przez V'°.

(61 Zob. np. [Loj 1986] lub [Loj 1991], 4.2.4.

(7) Punkt zbioru analitycznego lz nazywa się osobliwy, gdy nie jest regularny: zbiór punktów osobliwych V’ jest zatem równy V \ l'°.

(81 Naw'et algebraiczny, tzn. określony przez wielomiany.

20 STANISLAW LOJASIEWICZ

Łatwo wykazać, że nie są one analityczne. Tak samo nie jest analityczny zbiór jego punktów osobliwych:

V* = 0 x 0 x [0. oo).

Natomiast dladowolnego zbioru analitycznego V zarówno składowespójnezbioru V° jak i zbiór V* są semi-analityczne.

Zauważmy jeszcze, żezbiorem punktów osobliwych możebyćnawet odcinek,np.

V* = 0 x 0 x [-2,2]

dlazbioru

V = {(x,y,z) GK3 :x3z = y3 - 3rr2t/}. 2. Geometria semi-analityczna

1. Niech M będzie rozmaitością analityczną rzeczywistą. Jej podzbiór E nazy­ wamy semi-analitycznym, gdy każdy jej punkt posiada otoczenie U takie, że zbiór E O U jest określonyprzez skończoną alternatywę skończonych układów nierówności analitycznychpostacif > 0lub / > 0, gdzief są funkcjami analitycznymi w U.

Oczywiście klasa zbiorów semi-analitycznych jest zamknięta ze względu na dopeł­

nienie, iloczyn skończony oraz sumę lokalnie skończoną zbiorów. Przeciwobrazzbioru semi-analitycznego poprzez odwzorowanie analityczne rozmaitości analitycznych jest semi-analityczny (9).

Gdy N CZ 21/jest podrozmaitością analityczną oraz E (Z. 2V, to semi-analityczność zbioruw Nnie jestna ogółrównoważna jegosemi-analitycznościwM. Równoważność ma miejsce w przypadkugdy N jest podzbiorem domkniętym rozmaitości M.

2. Aby wniknąć głębiej w strukturęzbiorów semi-analitycznych,stosujesię technikę stratyfikacji normalnych.

Stratyfikacja normalna w Rn jest rozkładem skończonym przedziału postaci Q = {|Ti| < napłaty semi-analityczne tj. podrozmaitości, któresą równocześnie zbiorami semi-analitycznymi; jest on określony za pomocą pewnej macierzy wielo­

mianów wyróżnionych. Rozkład ten posiada szereg użytecznych własności, a przede wszystkimspełnia następujący warunekstratyfikacji: gdy Fjest jegopłatem wymiaru k, to „skraj” (bord) tego płata (f\ /)nQ jest sumą pewnych płatów wymiaru < k tegorozkładu. (Zob. [Łoj 1965] str. 26-38oraz [Łoj-Zur 1993] II. §2).

Stratyfikacją normalną w punkcie a p M jest obraz stratyfikacji w Rn poprzez mapę odwrotną ip taką że a = <£(0).

Twierdzenie o stratyfikacjinormalnej mówi żedla dowolnie zadanych zbio­

rów semi-analitycznychEj,..., Ekipunktu a G M istnieje stratyfikacja normalna w a dowolniemałego otoczeniaU tegopunktu, która jest zgodna z tymizbiorami, tzn. ta­ ka, żekażdy zezbiorów EiC\Ujestsumą pewnych płatówtej stratyfikacji.

Natomiast operacja obrazu (poprzez odwzorowanie analityczne, przy rozsądnych założe­

niach) nie zachowuje na ogól semi-analityczności, prowadząc do obszerniejszej klasy zbiorów sub- analitycznych (zob. rozdział 3).

O GEOMETRII SEMI- I SUBAN ALITYCZNEJ 21

Dowód tego podstawowego twierdzenia polega na konstrukcji macierzy wielomia­

nów wyróżnionych, określającej szukaną stratyfikację. Wielomiany te otrzymuje się drogą rekurencji, z funkcji opisujących zbiory Et, za pomocą szeregu operacji, które sąokreślone w oparciu o twierdzenie ofunkcjach symetrycznych.

Z twierdzenia tego wynika, żeelementarne operacje topologiczne, jak domknięcie, wnętrze czy brzeg,zachowująsemi-analityczność. Zauważmy, żefakty tenie wynikają w sposób prosty z samej definicji semi-analityczności.

Mamynastępnie

Twierdzenie o składowych spójnych, według którego wszystkie składowe spójne zbioru semi-analitycznego są semi-analityczne, przyczym stanowią one rodzinę lokalnieskończoną.

Dowód tego twierdzenia nie jest całkiem łatwy. Stosuje się technikę stratyfikacji normalnych, przy czympodstawową rolę pełni następujący

Lemat Thoma. Niech P : R —>R będzie wielomianem stopnia < k. Zbiór:

{te R : d^P— 6 <9p,c = 0...k}, gdzie każde0^ jestjednym zezbiorów

(-oc,0),{0} lub (O.oc),

jestprzedziałem otwartym, zbiorem pustym lub redukuje się do punktu.

3. Bardzo użytecznym narzędziem (zwłaszcza wrozumowaniachniewprost) okazu­

jesię lemat o wyborze luku ( „Curve Selecting Lemma”). Jego wersja analityczna pochodzi od Bruhata, Cartana i Wallace’a (zob. np. [Mil 1968] str. 25, gdzie znajduje się wersja algebraiczna), alejego właściwemiejsce jest w geometrii semi-analitycznej (i subanalitycznej).

Otóż, lukiem semi-analitycznym nazywa się obraz zanurzenia analitycznegoprze­

działu (0,1), który jest równocześnie podzbiorem semi-analitycznymwzględnie zwar­ tym, o różnych granicach w 0 i 1 (10 11) — jego końcach. Jego domknięcie jest zawsze lukiem prostym klasy C1 —jest to bardzo istotnawłasność łukówsemi-analitycznych.

10) Z twierdzenia o składowych spójnych wynika, że zawsze istnieją.

11) W oparciu o twierdzenie Puiseux (zob. |Łoj 1986] lub (Łoj 1991], II.6.2).

Wykazuje się (1]) użyteczne TWIERDZENIE O PARAMETRYZACJI ŁUKU SEMI-ANA-

litycznego, wedługktórego kiełek luku semi-analitycznego w jego końcujest kieł­ kiem obrazu przedziału (0, s) poprzez odwzorowanieanalityczne i nie stałe przedziału (—s,s), oraz na odwrót — po zmniejszenius.

Lemat o wyborze luku. Jeżeli E C M jest zbiorem semi-analitycznym oraz a jest punktem nie izolowanym jego domknięcia E, wówczas zbiór E zawiera luk semi-analityczny okońcua.

(Zob. [Łoj 1965] str. 103 oraz [Łoj-Zur 1993], II.6.2).

STANISLAW LO.IASIEWICZ 22

4. Punkt zbioru semi-analitycznego E nazywamypunktem regularnymwymiaru k (zbioru E), gdy pewne otoczenie tego punktu w E jest podrozmaitością analityczną wymiaru k. Z twierdzenia o stratyfikacji wynika,że zbiór punktów regularnych zbioru semi-analitycznego E jest zawszegęsty (wE).

Wymiar zbioru E określa się jako maksimum wymiaru jego punktów regularnych.

Przytoczymy tu dwie ważne własności wymiaru.

1) Gdy E 0, to dim(E \ E) < dimE. W szczególności dla skraju dT płata semi-analitycznego (niepustego) r mamy nierówność dim¿JE< diin E.

2) Gdy f: —► .V jestodwzorowaniem analitycznym rozmaitości analitycznych orazzbiory E i f(E) są semi-analityczne, wówczas zachodzinierówność dim f(E) <

dimE.

Według Twierdzenia o punktach regularnych, zbiór punktów regularnych zbioru semi-analitycznego E jest semi-analityczny. Jest to jedno z najdelikatniejszych doudowodnienia twierdzeń w geometriisemi-analitycznej. Jego dowód wymaga użycia techniki kompleksyfikacji. (Zob. (Łoj 1965] str. 38 54 i 77-79, oraz [Łoj-Zur 1993].

II. §8).

5. Stratyfikacją .semi-analityczną rozmaitości analitycznej M nazywamy rozkład lokalnieskończony T tej rozmaitości na płaty semi-analityczne,który spełnia nastę­ pujący warunek:dla każdego piatar ET, jegoskraj OT = E\Ejest, sumąskończoną płatów rodziny T wymiaru < dimE.

Weźmy pod uwagętrójki (/1, E,n), gdzie A, rsą płatami (seini-analitycznymi) roz­

maitości M, takimi że A C dT oraz a E A. Warunkiem incydencjinazywamy każdy warunek na taką trójkę, który zależy jedynie od kiełków płatów A,r wpunkciea.

Warunek incydencji nazywamy semi-analitycznym, gdy dla każdej pary płatów semi-analitycznych j.w. zbiór punktów a E A, w których warunek ten jest spełnio­ ny,jest semi-analityczny.

Dobrze znanymi warunkami incydencjisąnastępujące warunki (a) i (b) Whitneya oraz warunek (w) Yerdiera. W przypadku gdy M = R", sąone określone przez:

(a) 6(TaA,Txr) —>0, gdy E 3 r —>a,

(b) ¿(R(.r —z), Txr) —>0. gdy E 9 x —> a i A 9 z —> a, (w) 6(TZA, TXT) = O(|x - z|), gdy E 9 x —> a i A 9 z —> a.

gdzie 6(S, T)oznaczasupremum sinusa kąta między prostą zawartąw podprzestrzeni Sapodprzestrzenią T. Ponieważwarunki te sąniezmiennicze ze względu na dyfeomor- fiziny, więc są one dobrze określone (via mapy) w przypadku dowolnej rozmaitości analitycznej M. (12)

(12) Jest: (w) => (b) => (a); pierwsza z tych implikacji (semi-analityczność jest w niej istotna!) - to twierdzenie Kuipera-Kuo.

Dowodzi się, że każdy z tych warunkówjest semi-analityczny.

Twierdzenie o stratyfikacji semi-analitycznej. Niech (y) będzie semi-ana­ litycznym warunkiem incydencji. Dla każdej rodziny lokalnie skończonejpodzbiorów

O GEOMETRII SEMI- I SUBANALITYCZNEJ

semi-analitycznych rozmaitości Al istnieje stratyfikacja semi-analityczna, zgodna z tą rodziną i taka, iż dla każdej parypłatów A, r tej stratyfikacji, takich że A C dr, warunek (y) jest spełniony w każdym punkciepłata A.

Zob. [Łoj-Zur 1993], |Ver 1976], |Łoj-Sta-Wac 1986] i |Den-Wac 1987].

Twierdzenie o triamgulacji semi-analitycznej. Niech P będzie rodziną lo­ kalnie skończoną podzbiorów semi-analitycznych rozmaitości Al. Wówczas istnieje stratyfikacja semi-analityczna rozmaitości Al, której płatami są obrazysympleksów lokalnie skończonego kompleksu geometrycznego K wprzestrzeni Rn , poprzez home- omorfizmli : |A'| —> Al (13), przy czymwszystkie zawężenia hs : S —> h(S), S G K są izomorfizmami analitycznymi.

Zob. dalej 3.1.

Zob. [Łoj 1962].

Nieporównanie bardziej finezyjnym pojęciem jest wprowadzony przez T. Mostow­ skiegowarunek stratyfikacji Lipschitzowskiej. Dzięki udowodnionemu przez siebie (w przypadkuzespolonym) twierdzeniu oistnieniu stratyfikacjiLipschitzowskich, T. Mo­ stowski rozwiązał stary i bardzo trudny problem ekwisyngułaryzacjiLipschitzowskiej (zob. |Mos 1985]).

Przypadek rzeczywisty (semi-analityczny) kontynuował uczeń T. Mostowskiego A. Parusiński (zob. [Par 1988a] i |Par 1988b|), który udowodnił Twierdzenie

o Lipschitzowskich stratyfikacjach semi-analitycznych. 3. Geometria semi-algebraiczna

1. Podzbiór przestrzeni IR" nazywamy semi-algebraicznym, gdy jest on określony przez skończoną alternatywę skończonych układów nierówności P > 0 lub P 0, gdzie P są wielomianamina R".

Zbiory semi-algcbraiczne stanowią oczywiście algebrę zbiorów. Bardzo ważnym twierdzeniemjest następujące

Twierdzenie Tarskiego-Seidenberga. Obraz dowolnego zbioru semi-algeb- raicznego w Rn x Rfc poprzez rzutowanie naturalne R'1 x Rfc —> Rn jest semi- algebraiczny.

Wynika z niego, że operacja obrazu poprzez odwzorowanie wielomianowe, iogól­

niej — poprzez odwzorowanie o wykresie semi-algebraicznym, zachowujesemi-algeb- raiczność.

Prostym przykładem zastosowaniatego twierdzenia jest własność, że domknięcie zbioru semi-algebraicznego jest zbiorem semi-algebraicznym. Wystarczy mianowicie rozpisać definicję domknięcia zbioru i wyeliminować z niej kwantyfikatory według twierdzenia Tarskiego-Seidenberga.

Z twierdzenia tego wynika dośćłatwo następującejego uogólnienie. NiechAlbędzie rozmaitością analityczną.Podzbiór iloczynukartezjańskiego Rn xAl nazywasię cząst­

kowo semi-algebraicznym, gdy każdy punktrozmaitości Al posiada otoczenie otwarte

24 STANISLAW ŁOJASIEWICZ

U takie,że podzbiór ten jest opisany w Rn x U przez skończoną alternatywęskończo­ nych układów nierówności F > 0 lubF > 0, gdzieF są wielomianami n zmiennych rzeczywistych o współczynnikach analitycznych w U. Otóż:

Gdy wykresodwzorowania podzbioru przestrzeni Rn w rozmaitość M jest cząst­

kowo serni-algebraiczny, wówczas obraz każdego zbioru semi-algebraicznego (poprzez toodwzorowanie) jest semi-anałityczny.

Uwaga. Wtwierdzeniu o triangulacji z 2.5 homeomorfizm h jest cząstkowo serni- algebraiczny. W szczególności dzięki temu obraz każdego sympleksu jest semi-anali- tyczny.

Innym ważnym twierdzeniem jest

Twierdzenie o składowych spójnych. Zbiór serni-algebraiczny ma zawsze skończoną liczbę składowych spójnych i każda znichjest zbiorem semi-algebraicznym.

Zob. [Łoj 1965] str. 105—112, [Bob-Cos-Roy 1987] rozdział 2 oraz [Łoj-Zur 1993], 11.10.

2. Funkcją Nasha nazywa sięfunkcję analityczną w zbiorze otwartymprzestrzeni Rn, takąże każdy punkt tego zbioru posiada otoczenie w którym

W(z, = 0

dla pewnego wielomianu W 0 na Rn+1. Odwzorowaniem Nasha jest zestawienie (ę?i,.. ..(fik) funkcji Nasha

Funkcje i odwzorowaniaNasha posiadają szereg własności (analogicznych do wła­

sności funkcji i odwzorowań analitycznych, m.i. twierdzenieo funkcjach uwikłanych), potrzebnych do określenia rozmaitości Nasha (u).

Przytoczymy ciekawąi użyteczną (15) własność podrozmaitości Nasha:

Uwaga: M. Shiota w swojej monografii [Shi 1987] używa terminu „rozmaitość Nasha” na pojęcie, które będzie określone w n°3 pod nazwą „rozmaitości Nasha semi-algebraicznej”.

i

16) Aż do równoważności atlasów.

Podrozrnaitość spójna Nasha F G IR" jest zbiorem semi-algebraicznym dokładnie wtedy, gdyjej skraj dTjest zbiorem semi-algebraicznym.

Posiadamy dla funkcji Nasha narzędzia, jak np. twierdzenie przygotowawcze We- ierstrassa orazpewne operacje związane z twierdzeniem o funkcjach symetrycznych, potrzebne do powtórzenia w zasadzie geometrii semi-analitycznej,czyli — do geome­

trii zbiorów „semi-Nasha”. Okazuje się, że:

Podzbiory „semi-Nasha” zbioru otwartego w Rn są to dokładnie te, które dają się lokalnie określićprzez skończone alternatywy skończonych układów nierówności wielomianowych.

Dlategonazywa sięje zbiorami lokalnie semi-algebraicznymi.

3. Strukturę rozmaitości Nasha semi-algebraicznej określa (16) atlas Nashaserni- algebraiczny, tzn. atlas Nasha }, który jest skończony i taki że złożenia <ą_1 o

są semi-algebraiczne tj. o wykresach semi-algebraicznych.

O GEOMETRII SEMI- I SUBANALITYCZNEJ 25

Narozmaitości Nasha semi-algebraicznej określa się zbiory semi-algebraiczne jako takie, których obrazy poprzez wszystkie mapy atlasu Nashasemi-algebraicznego są semi-algebraiczne (17).

(17) Warunek ten nie zależy od atlasu (dla atlasów równoważnych).

(18) Zgodna ze strukturą tej rozmaitości Nasha (tj. taka, której atlas byłby atlasem tej rozmaitości).

(19) Por. np. (Loj 1986] lub [Loj 1986], VII.3.

Łatwo wykazać, że na rozmaitości Nasha strukturarozmaitości Nasha semi-algeb­

raicznejjest wyznaczona jednoznacznie przezklasę zbiorów semi-algebraicznych.

Dowodzisię, że na rozmaitościNasha zwartejistnieje jedyna struktura rozmaitości Nasha semi-algebraicznej(18).

Zatem na każdej rozmaitości Nasha zwartej mamy naturalne pojęcie zbioru semi- algebraicznego.

Dotyczy to w szczególnościprzestrzenirzutowych P" i ogólniej — przestrzeni Gras- smanna G£.

Okazujesię, że po naturalnej interpretacji Pn jako rzutowegodomknięcia przestrze­

ni Rn (19):

Podzbiór przestrzeni Rn jest semi-algebraiczny dokładniewtedy, gdy jest on lokal­

nie semi-algebraicznyjako podzbiór przestrzeni Pn.

Pozwala to na posługiwanie sięmetodami geometriisemi-analitycznej w geometrii semi-algebraicznej.

4. Niech r (Z Rn będzie płatem semi-analitycznym wymiaru k. Weżmy pod uwagę następujące odwzorowanie-styczną:

r : T 9 x —> Txr e G/J.

W podstawach geometrii subanalitycznej (zob. dalej 4.2) istotną rolę granastępujące Twierdzenie o odwzorowaniu-stycznej. Przeciwobrazpoprzez t dowolnego podzbioru semi-algebraicznego przestrzeni Gj! jest semi-analityczny.

Zob. [Łoj 1979] oraz [Łoj-Zur 1993], II prop. 10.18.

5. Znane w geometrii analitycznej zespolonej twierdzenie Chowa, według którego każdy podzbiór analityczny przestrzeni rzutowej zespolonej musi być algebraiczny, do­ wodzi sięw oparciu o lemat Cartana-Reminerta-Steina, który mówi, że każdy stożek analityczny w C" jest algebraiczny. (Zob. np. [Łoj 1986], VII.6 oraz II.3.3). Analogo- nem rzeczywistym tego lematu jest następujące

Twierdzenie o stożku semi-analitycznym. Każdy stożek semi-analityczny w Rn jest semi-algebraiczny.

(Zob. [Łoj 1985] oraz [Łoj-Zur 1993]. II.11).

Otóż, z twierdzenia tego wynika, że rzut zbioru semi-analitycznego, nawet zwartego, nie musi być semi-analityczny. Mamy bowiem

PRZYKŁAD. Zbiór

F = {r = 1, z = ey, 0 < y < i} C R3

26 STANISLAW LOJASIEWICZ

nie jest semi-algebraiczny.(Wynika to łatwo stąd, żeey nie jest funkcjąNasha). Zatem

— wobec twierdzenia o stożku semi-algebraicznym — stożek [0, oc)F nie może być semi-analityczny, a stąd również i zbiór

E = [0, oc)F Cl{0 C x < 1} = l)U{i = xey/x, 0 < x < 1,0< y < j:},

który jestobrazem poprzez rzutowanie (x,y.z,u) —► (x.y.z) zbioru semi-analitycz- nego zwartego

{?/ = xu, z = xeu,0 < i' < 1.0 < u < 1} C S1. (Zob. również [Łoj-Zur 1993) str. 133 135).

4. Geometria subanalityczna

Jak zauważyliśmy w 3.5 (PRZYKŁAD), operacja obrazu (oczywiście, przy rozsąd­ nychzałożeniach oodwzorowaniu semi-analitycznym, jak np. pod założeniem, że jego zawężeniedodomknięcia zbioru jest właściwe) niezachowujesemi-analityczności. Ten brakanalogonutwierdzeniaTarskiego-Seidenberga jestistotną niedogodnościągeome­

trii semi-analitycznej. Z tegopowodu naturalna jest idea, aby zastąpić klasę zbiorów seini-analitycznych przez obszerniejszą, mianowicie —przez klasę zbiorów, które są lo­ kalnierzutami właściwymi zbiorówsemi-analitycznych, spodziewając się,żedlanowej klasy będzie można powtórzyćnaszągeometrię.

Otóż pierwsza napotkana przeszkoda ma charakter bardzo elementarny: czy opera­ cja dopełnienia nie wyprowadza pozaklasę? Nie jest to łatwe dowykazania.Trudność tępokonał A. M. Gabrielóww [Gab 1969]. Dalszadroga metodami o podobnym cha­ rakterze jak w geometrii semi-analitycznej, jest już raczej standardowa.

Kilka lat później H. Hironaka [Hir 1973] badałtę klasę zbiorów, nadając im trafną nazwę „subanalitycznych”, i przeniósł na nią wyniki geometrii semi-analitycznej za pomocą swojego wielkiego twierdzenia odesyngularyzacji. (20) W tym samym czasie R. H.Hardt w [Har 1973]wprowadził i badał „analytic shadows”, które potemokazały sięzbiorami subanalitycznymi.

(20) Jest to jedno z najgłębszych twierdzeń analizy matematycznej, którego istniejący dowód jest — według Dieudonnego — drugim z kolei pod względem długości dowodem w matematyce.

Ponieważ twierdzenie o desyngularyzacji jest nadzwyczaj trudne do udowodnie­

nia, uzasadnionebyło rozwinięcie w geometrii subanalitycznej metod bezpośrednich, takich jak w geometrii semi-analitycznej, realizując zresztą nasz dawny program.

Na tych metodach opierasię obecna prezentacja.

Zauważmy jeszcze, że E. Bierston i P. D. Milman przedstawili w [Bie-Mil 1988]

interesujące ujęcie tej geometrii, przy czym powiodło im się uzyskać dowód bezpo­ średni i nie tak trudny twierdzeń o uniformizacji i rektylinearyzacji, stanowiących bazę techniki Hironaki (zob. równieżH. J. Sussmann [Ver 1976]).

1. Niech M będzie rozmaitością analityczną rzeczywistą. Jej podzbiór E nazywa się subanalityczny, gdy jegoślad EC\U na pewnym otoczeniu (otwartym) U dowolnego punktu x tej rozmaitości jest rzutempoprzez rzutowanie Al x R* —> Al podzbioru semi-analitycznego względnie zwartegorozmaitości AI x (gdzie k zależyod x).

O GEOMETRII SEM1- I SUBANALITYCZNEJ 27

Naturalnie,subanalityczność jestpojęciemlokalnym,przy czym zbiór subanalitycz- nywzględnie zwartyjest zawsze rzutemzbioru semi-analitycznegowzględnie zwartego (i na odwrót).

Oczywiście, klasazbiorów subanalitycznychjest zamknięta ze względu nailoczyn skończony i sumęlokalnieskończoną zbiorów (21). Iloczyn kartezjański zbiorówsub­

analitycznych jest subanalityczny.

i

22) Mogą to być oczywiście, w szczególności, odwzorowania analityczne.

(23) Oraz innych elementarnych operacjach topologicznych.

i

2S) Tak samo w przypadku semi-algebraicznym.

2. Gdy chodzi o odwzorowania subanalityczne, to jest o wykresach subanalitycz­

nych (22), twierdzenia o złożeniu takich odwzorowań oraz o obrazach i przeciwobra- zach (poprzez nie) zbiorów subanalitycznych, wymagają dodatkowych założeń typu względnej zwartości. A więc np. dla odwzorowaniasubanalitycznego f : A —> 7V, gdzie AC Al, oraz zbioru subanalitycznego E C Al, obraz f(E) jest subanalityczny, gdy tylkozbiór E jest względnie zwarty, lub też gdy odwzorowanie f jest „poziomo"

względnie zwarte, tzn. gdy /_1(ll') jest względnie zwarty dla pewnego otoczenia IV dowolnego punktu rozmaitości N.

3. Z określenia subanalityczności wynika łatwo szeregtwierdzeń dla zbiorów suba­ nalitycznych (o wypowiedziach dokładnie analogicznych, jak w przypadku semi-ana- litycznym):

Twierdzenie o domknięciu (23). (Zob. 2.2).

Twierdzenie o składowych spójnych. (Zob. 2.2).

Lemat o wyborze luku (24).

W analogicznym Twierdzeniu o odwzorowaniu-stycznej (zob. 3.4), po pro­ stu wykres tego odwzorowania jest subanalityczny. Dowód jest prostszy, wystarczy rozpisać odpowiedniodefinicję tego wykresu. (25)

4. W dalszym ciągu odgrywają rolę pewne lematy o charakterze technicznym, którepozwalają przedstawić zbiórsubanalityczny zwartyjako skończonąsumę rzutów piatów semi-analitycznych w ten sposób, że rzutowaniasą stałego rzędu lub nawet immersjami, i że ponadto są spełnione pewne ograniczenia na wariacjestycznych dla tychpłatów.

Po otrzymaniu szeregu własności wymiaru, analogicznych jak w przypadku semi- analitycznym (zob. 2.4), dowodzi się

Twierdzenie Gabrielowa o dopełnieniu: Dopełnienie zbioru subanalitycznegojest zawsze subanalityczne.

28 STANISLAW LOJASIEWICZ

Bardzo użytecznym technicznie jest Lemat Stasicy [Sta 1982], według którego każdypłat subanałityczny

Fc HI x N,

względniezwarty i taki żerestrykcja : r —> HIrzutowania naturalnego 7F : HI x N —» HI

jest immersją, dopuszcza rozkład

r = A U • • • U Tm U F,

wktórym F jest zbiorem subanalitycznym wymiaru < dim F, zaś każde Ft jest pod­

zbiorem otwartym płata r, subanalitycznym (w HI x N), którego rzut Ą = ~(F) jest piatem subanalitycznym, przy czym Fi jest wykresem odwzorowania analitycz­

nego —> .V.

5. Jest prawdziwe również analogiczne Twierdzenieo punktach regularnych (por. 2.4). Nie jest ono łatwe do wykazania. Udowodnili je: NI. Tanim [Tam 1981]

w oparciu o twierdzenie Hironaki o desyngularyzacji, oraz K. Kurdyka [Kur 1988|, który znalazł dowód bezpośredni.

6. Niewątpliwie najtrudniejszym z dotąd udowodnionych faktów w geometrii sub- analitycznej (kilkadziesiąt stron dowodu!) jest bardzo naturalne

Twierdzenie Pawli ckiego

(zob. [Paw 1990]), o bardzo prostej i elementarnej wypowiedzi. Mianowicie, dlazbioru subanalitycznego E C HI określmy punkt x € HI jako istotnie subanalityczny, gdy ślad E i~l U nie jest semi-analityczny dla żadnego otoczenia U tego punktu. Otóż, twierdzenie Pawłuckiego mówi, że:

Dla dowolnegozbioru subanalitycznegoE zbiór punktów, które są dlaniego istotnie subanalityczne,jest subanalityczny.

7.Mamy następnie ważne Twierdzenie Gabrielowa o składowych włókna. Mianowicie:

Gdy E CHI x N jest zbiorem subanalitycznym względnie zwartym, wówczas liczba składowych włókna Ex = {y : (x,y) € F} pozostaje ograniczona gdy x € HI.

Dowód tegotwierdzenia nie jest prosty. Wystarczy je wykazać w przypadku semi- analitycznym, czego dokonuje się przezindukcję względem

k = max dim Ex w oparciu o własności stratyfikacji normalnych (zob. 2.2).

«.Twierdzenie o zbiorach subanalitycznych małego wymiaru mówi, że każdy zbiór subanalityczny wymiaru C 1, jak również każdy podzbiór subanalityczny rozmaitościwymiaru < 2, musi być semi-analityczny.

Twierdzenie towynika dość prosto z własności łuków semi-analitycznych (zob. 2.2) oraz z wniosku z twierdzeniaTarskiego-Seidenbergao rzutowaniuzbiorów cząstkowo semi-algebraicznych (zob. 3.1).

O GEOMETRII SEMI- I SUBANAL1TYCZNEJ 29

9. W oparciu o twierdzenie z n°8 dowodzi się stosunkowo łatwo twierdzeń o tzw.

SEPARACJI REGULARNEJ:

I. GdyA i B są podzbiorami subanałitycznymi zwartymi przestrzeni Rn, wówczas p(x, B) dp(x,A n B)N, gdyt € A

z pewną stalą d > 0 ipewnym wykładnikiem N > 0.

II.Gdy f : A—> Rjest funkcją subanalityczną ciągłą nazbiorzezwartym A C Rn, wówczas

\f{x)\ > dp(x,Z)N, gdy ieA z pewną stałąd > 0 i pewnym wykładnikiem N > 0, gdzie

Z= {t: /(t)=0}.

Drugie z nich jest w istocie szczególnym przypadkiem pierwszego.

Okazuje się, że drugie z tych twierdzeń dla funkcji analitycznych jest stosunkowo łatwo równoważne następującej NIERÓWNOŚCI:

|gradp(x)| > |p(x)|e w otoczeniu zera,

dła dowolnej funkcjianalitycznej f 0 wotoczeniu 0 wRm, z pewnymwykładnikiem O takim, że

0 < 0 < 1.

Nierówność ta służy dodowodu Twierdzenia o GRANICACH TRAJEKTORII układu dynamicznego:

x = —grad/(rr),

gdzie / > 0 jest funkcją analityczną w otoczeniu zera przestrzeni Rn. Mianowicie, każdaz trajektoriix(tj, wychodzącychzpunktówdostatecznie bliskichzera, posiada granicę gdy t —>oo.

Pozostaje nierozwiązany do dziś, postawiony ponad dwadzieścialat temu przez Thoma, problem stycznej:

Czy trajektorie te posiadają również granice stycznej?

10. Zakończymy artykuł uwagą, że pozostają prawdziwe, zarówno w przypadku subanalitycznym, jakisemi-algebraicznym,Twierdzeniaostratyfikacji itrian-

gulacji. (Zob. 2.5).

Dowody twierdzeń o stratyfikacji z warunkami incydencji (jak np. warunki Whit- neya i Yerdiera; zob. 2.5) przenosząsiębez zmian. O wielebardziej finezyjne Twier­

dzenie o Lipschitzowskiej stratyfikacji subanalitycznej zostało ostatnio udowodnione przezA. Parusińskiego (zob. [Par 1994]).

Twierdzenie o triangulacji w przypadkach: subanalitycznym i semi-algebraicznym, jest znacznie prostsze do wykazania (zob. [Hir 1975| i [Łoj 1986]), gdyż dowód przez

30 STANISŁAW LOJASIEWICZ

indukcję ze względu na wymiar przestrzeni nie wymaga doboru kierunków rzuto­ wania, jak to ma miejsce w przypadku semi-analitycznym wobec braku twierdzenia Tarskiego-Seidenberga(zob. [Łoj 1962]).

Spis literatury

[Bie-Mil 1988] E. Bierstone, P. D. Milman, Semi-analytic and Subanalytic Sets, Publications de 1THES, 67 (1988), 5-42.

[Bob-Cos-Roy 1987] J. Bochnak, M. Coste, M.-F. Roy, Géométrie algébrique réelle, Springer, 1987.

[Den-Wac 1987] Z. Denkowska, K. Wachta, Une construction de la stratification avec la condi­

tion (w), Bull. Acad. Sci. Pol., 35 (1987), 401-405.

[Gab 1969] A. M. Gabrielov, Projection of semianalytic sets, Funkcional. Anal, i Prilozen., 2 n° 4 (1968), 18-30.

[Har 1973]

[Hir 1973]

R. Hardt, Stratification of real analytic maps and images, preprint (1973).

H. Hironaka, Subanalytic sets, Number Theory in Honor of Y. Akizuki, Kino- kuniya, Tokyo (1973).

[Hir 1975] H. Hironaka, Triangulation of algebraic sets, Proceedings of Symp. in Pure Math., vol. 29 (1975).

[Hör 1958] L. Hörmander, On the division of distributions by polynomials, Arkiv for Ma­

tematik 3 (1958), 555-568.

[Kur 1988] K. Kurdyka, Points réguliers d’un ensemble sous-analytique, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 38 (1988), 133-156.

[Loj 1958] S. Lojasiewicz, Division d’une distribution par une fonction analytique des va­

riables réelles, C. R. Acad. Sci. Paris, 246 (1958), 683-686.

[Loj 1959] S. Lojasiewicz, Sur le problème de la division, Studia Math., 18 (1959), 87-136 i Rozprawy Matem., 22 (1961).

[Loj 1962] S. Lojasiewicz, Une propriété topologique des ensembles analytiques réels, Coll, du C. N. R. S. sur les équations aux dérivés partielles, Paris 1962, 87-89.

[Loj 1965]

[Loj 1979]

S. Lojasiewicz, Ensembles semi-analytiques, IHES 1965.

S. Lojasiewicz, Sur la semi-analycité des images inverse par l’application- tangente, Bull. Acad. Sci. Pol., 17 (1979), 525-527.

[Loj 1985] S. Lojasiewicz, Sur les cônes semi-analytiques, Seminari Geometria, Bologna, 1985, 123-125.

[Loj 1986] S. Lojasiewicz, Stratifications et triangulations sous-analytiques, Seminari Geo­

metria, Bologna, 1986, 83-97.

[Loj 1991] S. Lojasiewicz, Introduction to Complex Analytic Geometry, Birkhäuser, Basel, 1991.

[Loj-Sta-Wac 1986] S. Lojasiewicz, Stasica J., Wachta K., Stratifications sous-analytiques. Con-

[Loj-Zur 1993]

dition de Verdier, Bull. Polish Acad. Sci. Math., 34 (1986), n° 9-10 (1987), 531-539 i Geometry Seminars (Bologna, 1988-1991), Univ. Stud. Bologna, 83- 88.

S. Lojasiewicz, M. A. Zurro, Una introducción a la geometria semi- y subana- litica, Univ, de Valladolid, 1993.

[Mil 1968] J. Milnor, Singular points of complex hypersurfaces, Annals of Math. Studies,

[Mos 1985]

61 (1968).

T. Mostowski, Lipschitz Equisingularity, Dissertationes Mathematicae (Rozpra­

[Par 1988a]

wy Matem.) 243 (1985).

A. Parusiński, Lipschitz stratification of real analytic sets, Singularities, Banach Center Publ. XX, Warsaw (1988), 323-333.

[Par 1988b] A. Parusiński, Lipschitz properties of semianalytic sets, Ann. Inst. Fourier (Gre­

|Par 1994]

noble), 38-4 (1988), 189-213.

A. Parusiński, Lipschitz stratification of subanalytic sets, Ann. Sci. Ecole Norin.

Sup. (4) 27 (1994) n° 6 661-696.

O GEOMETRII SEMI- I SUBANALITYCZNEJ 31

Instytut Matematyki, Uniwersytet Jagielloński

E-mail address'. lojasievQim.uj.edu.pl

|Paw 1990] W. Pawlucki, Points de Nash des ensembles sous-analytiques, Memoirs Ann.

Math. Soc., 425 (1990).

(Sch 1957]

[Shi 1987]

¡Sta 1982]

L. Schwartz, Théorie des distributions, Paris, 1957-1958.

M. Shiota, Nash Manifolds, Springer Lecture Notes Math., 1269 (1987).

J. Stasica, The Whitney condition for subanalytic sets, Zesz. Nauk. U. J., Prace Mat., 32 (1982), 211-221.

[Tam 1981] M. Tamm, Subanalytic sets in calculus of variations, Acta Math. Uppsala, 146 (1981), 167-199.

|Ver 1976] J.-L. Verdier, Stratifications de Whitney et le théorème de Bertini-Sard, Inven- tiones Math., 36 (1976), 259-312.