Sammlung Göschen
Kinematik
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DipM ng. Hans Polster
Mit 76 Abbildungen
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Sammlung Göschen
Kinematik
Von
Dipl.-Ing. Hans P olster
A ssiste n t, a n d e r K gl. T e c h n . H o c h s c h u le D re sd e n
M it 76 A b b ild u n g e n
B e rlin u n d L e ip z ig
G. J. G ö,schen’sc h e -V e rla g sh a n d lu n g ,G . m. b. H.
1912
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D ru c k d e r S p a m e rs c h e ii B u c n d r u c k e r e i i n L e ip z ig .
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Inhaltsverzeichnis. Seite
L i te r a tu r v e r z e ic h n is ... 5 A l l g e m e i n e s .
§ 1. D ie K in e m a tik in i h r e r S te llu n g z u r G e o m e trie u n d M e c h a n i k ... . ’ •
§ 2. G e s c h ic h tlic h e E n tw i c k lu n g d e r K i n e m a t i k ... 12 T h e o r e t i s c h e r T e i l .
I . E b e n e B e w e g u n g e i n e s P u n k t e s .
§ 3. G e ra d lin ig e B e w e g u n g ... 1-4
§ 4. Z u s a m m e n s e tz u n g z w e ie r g e r a d lin ig e r B e w e g u n g e n . 17
§ 5. K ru m m lin ig e B e w e g u n g ... 20 I I . E b e n e B e w e g u n g z w e i e r E b e n e n .
§ G. S c h i e b u n g ... 22
§ 7. D re h u n g u m e in e n f e s te n P u n k t ... 28
§ 8. M o m e n ta n p o l z w e ie r b e lie b ig s ic h b e w e g e n d e r E b e n e n 2G
§ 9. G e s c h w in d ig k e ite n . £ . . i . . ... 27
§ 10. P o lk u r v e n . . . / ? . . . . . V . ... 28
§ 1 1 . H ü llk u rv e n . 29
§ 12. U m k e h ru n g d e r B e w e g u n g . . . ... 30
§ 13. B e s c h le u n ig u n g s p o l 30
§ 14. Z u s a m m e n h a n g z w isc h e n G e sc h w in d ig k e its - u n d B e s c h le u n ig u n g s p o l. W e n d e k re is u n d W e c h s e lk re is . . 34
§ 15. B e s tim m u n g d e s K r ü m m u n g s m itte lp u n k te s d e r B a h n e in e s b e w e g te n P u n k t e s n a c h H a r t m a n n ... 38
§ 16. K o n s tru k tio n d e r P o lw e c h s e lg e s c h w in d ig k e it a u s d e n G e s c h w in d ig k e ite n u n d K rü m m u n g s z e n t re n z w e ie r P u n k t e ... 40
I I I . E b e n e B e w e g u n g d r e i e r E b e n e n .
§ 17. Z w ei S c h ie b u n g e n g e g e n d ie f e s te E b e n e ... 42
§ 18. S c h ie b u n g e i n e r E b e n e u n d D r e h u n g e in e r ä n d e r n u m e in e n f e s te n P u n k t, d e r e r s t e n ... 42
§ 19. D re h u n g z w e ie r E b e n e n g e g e n e in e d r i t t e u m fe s te P u n k te ... 44
§ 20. D ie P o le d r e i e r b e lie b ig b e w e g te r E b e n e n ... 48
§ 21. G e s c h w in d ig k e ite n d r e ie r b e lie b ig b e w e g te r E b e n e n . 48
§ 22. B e s c h le u n ig u n g e n d r e ie r b e lie b ig b e w e g te r E b e n o u . 50
§ 23. C o r io lis - B e s c h le u n ig u n g ... 51 I V . D i e Z y k l o i d e n .
§ 24. A l l g e m e i n e s ... 57
§ 25. K o n s t ru k tio n d e r Z y k lo id e a ls H ü l l k u r v e ... 58
S e ite
§ 26. P u n k tw e is e K o n s t r u k t i o n ... 58
§ 27. K o n s tr u k tio n d e s K rü m m u n g s m itte lp u n k te s n a c h B o b i l l i e r ... 59
§ 28. S o n d e r f a ll : g le ic h e R o llk r e is e ... 60
V . D i e E v o l v e n t e n . •§ 29. A l l g e m e i n e s ... 62
§ 30. K o n s t r u k tio n d e r E v o l v e n t e ... 63
A n w e n d u n g e n . V I . Z a h n r ä d e r . § 31. A l l g e m e i n e s ... 63
§ 32. A llg e m e in e V e r z a h n u n g ... 65
§ 33. Z y k lo id e n -V e rz a h n u n g ... 69
§ 34. E v o l v e n t e n - V e r z a h n u n g ... 71
§ 35. G r i s s o n g e t r i e b e ... 72
§ 36. S p e z ifis c h e s G l e i t e n ... 74
§ 37. N o r m a ld r u c k ... 77
■§ 38. R e i b u n g s a r b e it ... 79
§ 39. B e i s p i e l ... 79
V I I . G e l e n k v i e r e c k . § 40. A llg e m e in e s u n d B e z e i c h n u n g e n ... SO § 41. E r m itte lu n g e n d e r G e s c h w in d ig k e ite n u n d B e s c h le u n ig u n g e n n a c h L a n d ... 82
§ 42. E r m itte lu n g d e r G e s c h w in d ig k e ite n lin d B e s c h le u n i g u n g e n u n t e r B e n u t z u n g d e r R e l a tiv b e w e g u n g e n . So V I I I . V o m G e l e n k v i e r ö c k a b g e l e i t e t e G e t r i e b e . § 43. A n trie b e in e s S c h w in g h e b e ls d u r c h e in E x z e n te r m it l a n g e r E x z e n t e r s t a n g e ... 90
§ 44. S c h u b k u r b e lg e tr ie b e m i t u n g le ic h f ö r m ig r o t i e r e n d e r K u r b e l ... 92
§ 45. S c h u b k u r b e lg e tr ie b e m i t g le ic h f ö r m ig r o t i e r e n d e r . K u r b e l ... 93
§ 46. M o b rsc h e K o n s tru k tio n d e r B e s c h le u n ig u n g d e s K re u z k o p fe s ... 93
§ 47. A n d e re A b le itu n g d e r M o h rsc h e n K o n s t r u k tio n . . . 94
§ 48. R o tie re n d e K u rb e ls c h le ife . A l l g e m e i n e s ... 95
§ 49. D e sg l. E r m itte lu n g d e r B e w e g u n g d e r S c h le if k u ib e l 96 § 50. D e sg l. E r m i t t e l u n g d e r B e w e g u n g d e r K u rb e l . . . . 98
§ 51. S o n d e rf ä lle d e r r o t i e r e n d e n K u rb e ls c h le if e ... 100
§ 52. O s z ill ie r e n d e r Z y l i n d e r ... 102
§ 53. D ie M a s s e n w irk u n g d e r s c h w e r e n S c h u b s ta n g e im g e r a d e n S c h u b k u r b e lg e trie b e . A l l g e m e i n e s ... 104
Literaturverzeichnis. 5
§ 54. B e s tim m u n g d e s R ü c k d r u c k e s d e r b e w e g te n S c h u b s ta n g e a u f d e n K o lb e n n a c h M o l l i e r 104
§ 55. B e s tim m u n g d e r R e s u ltie r e n d e n d e r a u f e in e s c h w e re S c h u b s ta n g e w irk e n d e n T r ä g h e its k r ä f te n a c h M o h r . 110
IX. S te u e ru n g e n m itte ls S c h u b k u rv e n g e trie b e .
§ 56. N o c k e n s te u e r u n g e n . A l l g e m e i n e s ... 111
§ 57. A n a ly se d e s G e trie b e s ... 112
§ 58. B e i s p i e l ... 115
§ 59. S c h w in g d a u m e n s te u e r u n g e n . A n a ly se d e s G e tr ie b e s 118 § 60. B e w e g u n g s V e r h ä l t n i s s e ... 119
§ 61. B e i s p i e l ... 127
§ 62. W ä lz h e b e ls te u e ru n g e n . A l l g e m e i n e s ... 130
§ 63. W ä lz h e b e l m it b e w e g lic h e m D r e h p u n k t ... 132
§ 64. W ä lz h e b e l m it fe s te m D r e h p u n k t ... 141
X. H ilfs k o n s tru k tio n e n . § 6 5 ... 147
N a m en - u n d S a c h r e g i s t e r ... 150
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4. K. H e u n , Lehrbuch der Mechanik, I. Teil, Kinematik, Leipzig 1906.
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23. R. M ehm ke, Über die Geschwindigkeit beliebiger Ord
nung eines in seiner .Ebene bewegten ähnlich ver
änderlichen ebenen Systems, Civ. 1883.
24. A. R a m isc h , Beiträge z. kinemat. Geometrie, Gew. 1884.
25. M. G rü b le r, Allgem. Eigenschaften der zwangläufigen ebenen kinemat. Ketten, Gew. 1885.
26. O. M ohr, Über Gesehwindigkeits- und Beschleunigungs
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27. A. R am isch , Über ebene kinemat. Zylinderketten und deren momentane Bewegung, Gew. 1888.
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31. C. B o d e n b e rg , Quadratische Verwandtschaft der Krüm- mungsmittelpunkte zweier Glieder einer ebenen kinemat.
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32. W. H a rtm a n n , Ein neues Verfahren zur Aufsuchung des Krümmungskreises, Z. 1893.
33. W itte n b a u e r, Die Beschleunigungspole der kinemat.
Kette, Z. f. Math. 1895.
34. R. L an d , Der Geschwindigkeits- und Beschleunigungs
plan für Mechanismen, nebst Anwendung auf die Schubkurbel, Z. 1896.
35. C. B o d e n b e rg , Der Beschleunigungszustand kinemat..
Ketten und seine konstr. Ermittelung, Civ. 1896.
36. F. W itte n b e rg , desgl., Civ. 1896.
37. W. H a rtm a n n , Konstruktion d. Normalen u. d. Krüm
mungskreise d.Polbahnend. Vierzylinderkette, Civ. 1902.
38. W itte n b a u e r, Graphische Dynamik, Z. f. Math. 1904.
39. W. H a rtm a n n , Die Beschleunigung der rollenden Be
wegung u. ihre Bedeutung für die Untersuchung der Be- wegungsverhältnisse von M aschin engetrieben, Gew. 1908
b) Spezielle Kurbelgetriebe.
40. T. R itte r s h a u s , Das Kurbelgetriebe und seine An
wendungen, Civ. 1878.
41. Ders., Die Beschleunigungen am Kurbelgetriebe, Civ. 1879.
42. Ders., Die Interferenzkurbelkette, Civ. 1880.
43. O. M ohr, Notiz betr. die Konstruktion d. Beschleunigung am Kurbelgetriebe, Civ. 1880.
44. A. R ainisch, Theoret. Untersuchung einiger in d. Praxis angewandter kinemat. Zylinderketten, Gew. 1881.
45. W e h a g e , Über den ruhigen Gang der Dampfmaschinen, mit Kurbelwelle, Z. 1884.
46. J. T ä u b e le s , Über die Beschleunigung des Kreuzkopfs eines Kurbelmechanismus, Civ. 1886.
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50. S t r i heck , Die hei Dampfmasch. auftretenden Stöße an Kurbel- und Kreuzkopf zapfen, Z. 1893.
51. J. M isso n g , Über d. Steigerung d. Arbeitsgeschwindig
keit v. Maschinen m. hin u. her gehenden Massen, Z. 1893.
52. R. K ra u s e , Graph. Bestimmung d. Kolbenbeschleunigung beim Kurbelgetriebe, Z. 1894.
53. O. M ohr, Die Trägheitskräfte e. Schubstange, Civ. 1895.
54. E. A u te n r ie th , Beitrag zur Bestimmung der Trägheits
kräfte einer Schubstange, Z. 1895.
55. P f lü g e r , dasselbe, Z. 1896.
56. J. W itte n b e r g , Bestimmung des Massendruckes der hin u. her gehenden Teile d. Dampfmaschine, Z. 1896.
57. 0. M ohr, Die geometr. Bestimmung der Resultanten bel
auf eine Schubstange wirkenden äußeren Kräfte, Z. 1899.
58. J. M e ifo rt, Stöße u. Momente in Dampfmasch., Z. 1899.
59. R. M o llie r, Der Beschleunig-ungsdruck der Schubstange, Z. 1903.
60. J. T o rk a , Die Kegelschnitte i. Kurbelgetriebe, Gew. 1904.
61. Ders., Die Flächen 2. Ordn. in d. math. Getrieben, Gew. 1905.
62. H. M e u th , Kinetik und Kinetostatik des Sclmbkurbel- getriebes, Dingl. 1905.
63. W itte n b a u e r, Dynani. Kraftplan d. Kurbelgetr., Z. 1906.
64. M. E n ß lin , DieTrägheitskr.e.Schubstange, Dingl. 1907.
65. C. H e r b s t, Analyt. Ermittelung d. günstigst. Bewegungs
verhältnisse eines Schwinghebelantriebes, Dingl. 1908.
66. P. B ra n d t, Die rotierende Kurbelschleife u. die Schlepp
kurbel als Antrieb für Propellerrinnen, Dingl. 1908.
67. J. T o rk a , Die Maschinengetriebe und ihre mathemat.
Grundgebilde, Gew. 1908.
68. M. K ro ll, Beitrag zur graph. Berechnung des Kurbel
getriebes, Dingl. 1911.
c) Steuerungen.
69. W. S c h e n k e r, Ventilerhebungsverlaufu.Kraftwirkungen in Ventilsteuerungen, Dingl. 1902.
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getrieben mit unrunden Scheiben, Z. 1905.
71. E. D a fin g e r, Grapliodynani. Untersuchung einer Heu- singer-Joy-Steuerung, Dingl. 1907.
Literaturverzeichnis. 9 72. K. D o e h n e , Die Bewegungsverhältnisse von Steuer-
getrieben mit Schwingdaumen, Gew. 1908.
73. H. H o lz e r, Wälzhebel, Z. 1908.
74. E. E ssic h , Über Steuerungsgetriebe mit Wälzhebeln, Gew. 1909.
75. M. O sth o ff, Die Lenzsteuerung an Lokomot., Dingl. 1909.
76. H. G ö t z, Theoret. Untersuchung einer Bonjour Lachaussee- Dampfmaschine auf Massendruck der Steuerung und Resonanz des Regulators, Gew. 1909.
77. O. M ad er, Konstruktion der Ventilbeschleunigung bei Füllungsänderung, Dingl. 1911.
d) Massenausgleich und Ungleichförmigkeitsgrad.
78. S c h lic k , Vibrationserscheinung b. Dampfern, Z. 1894.
79. L o re n z , Die Massenwirkung am Kurbelgetriebe und ihre Ausgleichung bei mehrkurbl. Maschinen, Z. 1897.
80. F rä n z e l, Das Taylorsche Verfahren zur Ausbalancierung- der Schiffsmaschinen, Z. 1898.
81. B e rlin g , Schiffssehwingungen, Ursachen und Kritik der Mittel zu ihrer Verminderung, Z. 1899.
82. M o llie r, Der Ungleichförmigkeitsgrad .von Gasmasch.
mit Aussetzerregulierung, Z. 1903.
83. R ü d e n b e rg , Die günstigsten Kurbelwinkel für Mehr
kurbel-Maschinen, Dingl. 1904.
84. M o llie r, Ausgl. von Vierzylindermaschinen, Z. 1905.
e) Geradführung und Indikatorschreibzeuge.
85. B u rm e ste r, Über die Geradführung durch das Kurbel
getriebe, Civ. 1876.
86. K irsc h , Zur Theorie der Geradführungen, Civ. 1876.
87. A. R am isch, Die allgemeine Konstruktion der Geradfüh
rungen, Gew. 1879.
88. B u rm e s te r, Die Geradführung und Proportionalität am Indikator, Z. 1888.
89. W. H a r t m ann, Die Geradführung und Proportionalität am Indikator, Z. 1890.
f) Zahnräder und zyklische Kurven.
90. R. H e g e r, Eine kinemat. Aufgabe, Civ. 1876.
91. R. S trib e c k , Die Abnutzung der Zahnräder und ihre Folgen, Z. 1894.
Literaturverzeichnis.
92. M. K ohn, Zahnreibung-, Z. 1895.
93. J. G o e b e l, Die Reibung der Zahnräder, Z. 1896.
94. E. H e rrm a n n , Die Eingriffsdauer der Zahnräder bei äußerer Verzahnung, Dingl. 1898.
95. 0. H e r r e , Das exzentr. Kreisradgetriebe, Dingl. 1900.
96. W. M ü lle r, Das Grissongetriebe, Dingl. 1900.
97. G. L in d n e r , Neuere Zahnformen, Z. 1900.
98. K. B ü c h n e r, Abnutzung und Reibungsverhältnisse der Stirnzahnräder, Z. 1902.
99. E b n e r, Elementares über die zykl. Kurven, Dingl. 1902.
100. G ris s o n , Über Grissongetriebe, Z. 1903.
101. W . H a rtm a n n , Genauigkeitsgrad u. Geschwindigkeits
verhältnis bei Verzahnungen, Z. 1905.
102. P. H o p p e, Satzräderm. Evolventenverzahng., Gew. 1909.
103. B ach , Maschinenelemente.
104. H ü tte , Taschenbuch.
g) Verschiedenes.
105. T. R itte r s h a u s , Über Ellipsographen, Gew. 1874.
106. Ders., Parallelräd. u. verwandte Mechanismen, Gew. 1875.
107. B ra u e r, Kinemat. Untersuchung der Passigdrehbank, Gew. 1876.
108. A. S la b y , Beitrag zur Kenntnis des Ellipsographen, Gew. 1876.
109. F. R e u le a u x , Über die Sperrwerke und ihre An
wendungen, Gew. 1877.
110. H. W eh ag e, Mechanismus zum Auflösen linearer Glei
chungen mit mehreren Unbekannten, Gew. 1878.
111. R. W irth , Über elliptische Bewegung, Gew. 1890.
112. K oob, Das Regulierproblem in vorwiegend graphischer Behandlung, Z. 1904.
Hierbei bedeuten:
Z. = Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure.
Gew. = Verhandlungen des Vereins zur Förderung des Gewerbefleißes in Preußen.
Dingl. = Dinglers polytechnisches Journal.
Z. f. Math. = Zeitschrift für Mathematik und Physik.
Civ. = Der Civilingenieur.
Kinematik, Geometrie und Mechanik. 11
Allgemeines.
§ 1. D ie K in em atik in ihrer Stellung zur Geom etrie und M echanik.
Kinematik (von y.ivt]ua Bewegung) ist die W issen
schaft, die den räumlichen und zeitlichen Yerlauf der Bewegungen von Körpern erforscht.
Soweit es sich nur um Lagenbeziehungen ohne Berücksichtigung der Zeit handelt, müssen sich natur
gemäß die Gebiete von Kinematik und Geometrie decken.
Ziehen w ir die Zeit m it in den Bereich unserer Betrachtungen, so kommen w ir von den Baumgrößen
„Strecke“ und „Winkel“ zu einer Anzahl neuer Größen, die die Geometrie nicht kennt. Es sind dies „Geschwindig
keit“ und „Beschleunigung“ sowie „Winkelgeschwindig
keit“ und „Winkelbeschleunigung“.
Während man nun im allgemeinen in der Mecha
nik noch einen Schritt weitergeht und zu Baum und Zeit auch noch den Begriff der Masse hinzunimmt, nimmt die Kinematik auf diese keine Rücksicht und behandelt lediglich die Probleme, in denen Raum und Zeit eine Bolle spielen. Man kann daher die Kinematik als Sondergebiet der Mechanik, die Geometrie als Sonder
gebiet der Kinematik ansehen.
Ebenso w ie für Geometrie und Mechanik gibt es auch für die Kinematik eine rechnerische und eine graphische Methode, die zu lösenden Aufgaben zu be
handeln. In dem vorliegenden Bändchen soll vor allem die graphische Methode eingehend angewendet werden, d ie ' fü r den Ingenieur in den meisten Fällen wegen
ihrer Anschaulichkeit und Einfachheit die empfehlens
w ertere ist. Das schließt jedoch nicht aus, daß teil
weise auch zur Rechnung übergegangen wird, wo diese besondere Vorteile bietet.
§ 2. G eschichtliche E n tw ick lu n g der K in em atik . Die Kinematik ist eine verhältnismäßig junge W issenschaft und noch stetig im Ausbau begriffen.
T o r r i c e l l i (1608 bis 1647) und V iv ia n i (1622 bis 1703) haben sich, als sie sich mit dem Zykloiden- problem beschäftigten, wohl zum ersten Male m it rein kinematischen Aufgaben befaßt. Im Jahre 1742 w urde von J o h a n n B e r n o u i l l i der grundlegende Satz vom Momentanpol einer ebenen Bewegung gefunden.
D’A le m b e r t, E u l e r und K a n t, sowie nach ihnen auch C a r n o t behandelten die Bewegungspropleme rein geometrisch, indem sie sie von ihren Ursachen voll
kommen loslösten, und begründeten damit „ d ie g e o m e t r i s c h e B e w e g u n g s l e h r e “ als eine selbständige Disziplin, während A m p e r e , der geistvolle Franzose, dem die Wissenschaft auch auf anderen Gebieten vieles zu danken hat, in seinem Buche „ P h i l o s o p h i e d e s S c ie n c e s (1843“) zum ersten Male den Namen K i n e m a t i k einführte. In seinem W erke nimmt A m p e re eine genaue Umgrenzung dieser Spezialwissenschaft vor und beleuchtet ihre Sonderstellung in dem großen Ge
biete der Mechanik.
F ür die praktische Anwendung der Kinematik im Maschinenbau w ar es ein bedeutender Schritt, als P o n c e l e t 1838 die kinematische Theorie der wichtigsten zur Bewegungsübertragung dienenden Mechanismen in seine Vorlesungen an der Sorbonne in Paris aufnahm.
Damit w urde das Interesse an kinematischen Problemen
Geschichtliche Entwicklung der Kinematik. 13 in weite Kreise getragen und nun erst die Allgemeinheit auf die Wichtigkeit der neuen Wissenschaft für die Kenntnis d er Maschinen aufmerksam gemacht.
Der beste Beweis für die Förderung d er Kinematik durch P o n c e le ts Vorlesungen ist wohl darin zu erken
nen, daß in kurzer Zeit eine ganze Reihe von Werken erschien, die sich m it den Bewegungsvorgängen der Maschinenmechanismen befaßten.
Hierher gehören besonders die Namen von W i l l i s , G iu lio , L a b o u la y e , R a n k in e , G o o d e v e , H a to n de la G o u p iliie r e , B o u r, R e s a l, M o rin , G i r a u l t , B e la n g e r , D w e ls h a u e r s - D e r y und C o llig n o n .
Besonders tätig in der weiteren Entwicklung einzelner Theorien waren nach A m p i;re die Franzosen P o in s o t, C h a s le s , H a c h e t t e , S a v a r y , B o b illie r u. a.
In Deutschland wurde zunächst außer einigen theo
retischen Abhandlungen nichts geschaffen. E rst 1870 erschien ein größeres W erk von S c h e ll, 1872 ein anderes von A ro n h o ld und 1875 R e u l e a u x ’ berühmtes W erk: „ T h e o r e tis c h e K in e m a tik “. Eine umfang
reiche Bearbeitung fanden die bisher erschienenen Abhand
lungen in B u r m e s te r s „ L e h r b u c h d e r K in e m a tik “, das im Jahre 1888 herauskam.
Außer den schon Genannten haben noch eine Reihe anderer Männer durch eine große Anzahl von Abhand
lungen über Sonderprobleme der Kinematik wesentlichen Anteil an deren stetiger Entwicklung gehabt. Es seien unter anderen hier die Namen genannt C a u c h y , S te i n e r , S c h e llb a c h , M ö b iu s, B r e to n , T r a n s o n , S te g m a n n , B r e s s e , J o n q u i e r e s , L a m a r le , M a n n h e im , G ra s h o f, G ilb e r t, N ic o la id ö s , K ü p p e r , S o m o ff, P r o e l l , S y l v e s t e r , S a in t- L o u p , L ig n in ę , B a l l , K e m p e , R i t t e r s h a u s , S c h a d w i l l , M o h r,
G e i s e n h e i m e r , H a b i c h , H e l m , S c h u m a n n , G r ü b le r , M e h m k e , K r a f t , R o d e n b e r g , W it t e n b a u e r , L a n d , K o e n ig s , M o llie r , B ü c h n e r , H a r t m a n n , AVeiß, H o lz e r , D o e h n e , E s s ic h .
Theoretischer Teil.
I. Ebene Bewegung eines Punktes.
§ 3. G eradlinige B ew egu n g.
Weg:
Auf der geraden Linie f g (Eig. 1) bewege sich ein Punkt A . W ir wählen einen Bezugspunkt 0 auf der Geraden und wollen, um
^ ^ die Lage des Punktes A
s rechts oder links von 0 Fl*- *• unterscheiden zu können, den Abständen O A = s rechts von O ein positives, links von 0 ein negatives Vorzeichen geben. Die Bewegung in der Richtung f nach g soll entsprechend als Bewegung im positiven, die von g nach f als solche im negativen Sinne bezeichnet werden.
Die Bewegung ist eindeutig bestimmt, sobald man zu jeder Zeit t die Entfernung O A = s durch eine Funktion
s = f( t) angeben kann.
Markiert man auf der Bahnkurve die Stellen, wo sich der Punkt zur Zeit t — 0, 1, 2, 3, . . . sec befindet, so erhält man ein Bild vom zeitlichen Verlauf der Bewegung.
Viel anschaulicher wird der Vorgang dargestellt, wenn man in einem besonderen rechtwinkligen Koordinatensystem über der Zeit t als Abszisse den Weg s als Ordinate aufträgt.
Diese Darstellung heißt die Z e it-W e g -K u rv e (Fig. 2).
Geradlinige Bewegung. 15 Geschwindigkeit:
Als G e s c h w i n d i g k e i t v des Punktes A zur Zeit t bezeichnet man das Verhältnis des in der unendlich kleinen Zeit dt zurückgelegten Weges ds
zu diesem Zeitelement
= f ( t ) ■ Aus Fig. 2 erkennt man, daß
v — ta n « . Trägt man in einem rechtwinkligen Koordi
natensystem ilber der Zeit t die Geschwindig
keit v auf, so erhält man das Z e i t - G e - s c h w i n d i g k e i t s - D ia g ra m m (Fig. 3).
Aus der Definition der Geschwindigkeit Gl.
(1) ergibt sich ds = v • dt , so daß wir den zwischen den Zeiten t = t0 und t = f, zimickgelegten Weg
s , — s 0 - j v d t
'o aus dem ir-Diagramm als Fläche A 0A 1BJB(1 entnehmen können.
Das W e g - G e - s e h w i n d i g k e i t s -
D iag ram m (Fig. 5) F ig . 4.
Ebene Bewegung- eines Punktes.
erhält man, wenn man die Geschwindigkeit v als Funktion des Weges s aufzeichnet.
Beschleunigung:
Unter der B e s c h le u n ig u n g p des Punktes A zur Zeit t versteht man den Quotienten aus dem in der un
endlich kleinen Zeit d t stattfindenden Geschwindigkeits
zuwachs d v (nach Größe, Richtung und Richtungssinn) und dem Zeitelement d t, also
d v d2s d t dl%
■ f " ( 0 • \ Aus Fig. 3 ergibt sich, daß
so erkennt man aus Fig. 5, daß die Beschleunigung p im vjs — Diagramm als die Subnormale BC ge
funden werden kann, da
n n i dv
BC = v • tany = v •
. , ds
= p ist.
Zeichnet man die Werte p als Funktion der Zeit t in einem reeht- winkligen Koordinaten
system auf, so erhält man die Z e it-B e s c lile u n ig u n g s -K u rv e (Fig. 4).
Aus der Definition der Beschleunigung Gl, (2) folgt dv = p dt ,
F ig . 5. 71
ji = tan ß . Schreibt man
dv dv ds (3) P ~ d t = T s ' dt
dv
= V ' ds ’
Zusammensetzung zweier geradliniger Bewegungen 1 7 und daher läßt sich aus dem pjt — Diagramm die Geschwin
digkeit vt zur Zeit i, durch Planimetrieren der Fläche A 0A l B 1B 0 finden, wenn man ihren Wert v0 zur Zeit (0 kennt;
denn es ist ,
Zum W e g - B eschleunigungs-D iagram m gelangt man durch
Aufzeichnung der Beschleunigung V über dem Weg s (Fig. 6).
Aus Gl. (3) folgt
so daß man, wenn freilich umständlicher, auch aus dem ps- DiagTamm zur Zeit tx die Geschwindigkeit bestimmen könnte, sobald ihr Wert v0 zur Zeit t0 bekannt ist.
§ 4. Z usam m ensetzung zw eier geradliniger
Zusammensetzung der Wege:
Bewegt sich ein Punkt A (Fig. 7) in derZeit t gegen eine Ebene E i geradlinig, wobei er den Weg A 0AX = s, gegen den ursprünglich in der Ebene E 1 innegehabten Punkt A 0 zuriicklegt, und w ird die Ebene E 1 in der gleichen Zeit t gegen eine feste Bezugsebene E 0 um den Weg sx in ge
rader Richtung verschoben, so fällt der Punkt A i nach diesen t sec mit dem Punkte A 2 der Ebene E 0 zusammen, den man als Endpunkt der Diagonale A 0 A 2 = £ im Parallelogramm A 0A 1A2A[ erhält. Zu diesem Punkte gelangt man also d u r c h A n e in a n d e r s e tz e n d e r W ege s, u n d Sj u n t e r B e r ü c k s i c h t i g u n g d e r r i c h t i g e n W e g r ic h tu n g e n (auch dem Bewegungssinne nach).
Dieses Verfahren heißt „ g e o m e tr is c h e A d d itio n “
»olisch geschrieben werden v, — v.t^ = / p dt .
v d v = p d s , vï — vl = 2 lp d s
B ew egungen.
p » ‘ P o l s t e r , ' ¿ | n e m a t i k .
s = s r + 6'l ?
9
18
wobei das Zeichen ~ über dem + diese Summe von einer gewöhnlichen algebraischen Summe unterscheidet.
Wie man aus Fig. 7 sieht, ist es dabei gleichgültig, ob man den Linienzug A 0A 1A 2 oder A 0A [A 2 verfolgt,
d. h. d ie R e ih e n f o lg e d e r S u m m a n d e n i s t b e l i e b i g , und w ir können auch schreiben
S = S j + Sr .
Man kann das Verhältnis s Vm== T
die mittlere Geschwindigkeit der zusammengesetzten Be
wegung nennen, nicht zu verwechseln mit der tatsächlichen Geschwindigkeit. Mit dieser würde sie nur dann überein
stimmen, wenn beide Bewegungen, sowohl die Relativ
bewegung des Punktes gegen die bewegte Ebene E , , als auch deren Bewegung gegen E„ während der in Frage kommenden Zeit t gleichförmige Bewegungen sind.
Zusammensetzung der Geschwindigkeiten:
Das Parallelogramm der Wege für geradlinige Be
wegungen gilt auch, wenn das Zeitelement dt, in dem wir die Bewegungen betrachten, unendlich klein wird.
Da w ir in dieser kurzen Zeit sogar die einzelnen Bewegungen als gleichförmig ansehen können, so wird die mittlere Geschwindigkeit im betrachteten Zeitelement zur tatsächlichen Geschwindigkeit der zusammengesetzten
Zusammensetzung zweier geradliniger Bewegungen. 19 Bewegung, d. h. die Geschwindigkeit der zusammen
gesetzten Bewegung ist
Punktes A relativ zur bewegten Ebene E 1 und die der letzteren gegen die ruhende Ebene sind.
W ir k ö n n e n a ls o d ie ta ts ä c h l i c h e G e s c h w in d ig k e i t e i n e r z u s a m m e n g e s e tz te n B e w e g u n g d u r c h g e o m e tr is c h e A d d itio n d e r G e s c h w in d ig k e ite n d er E in z e lb e w e g u n g e n fin d e n .
Zusammensetzung der Beschleunigungen:
Beobachten w ir die zusammengesetzte Bewegung in zwei um dt zeitlich verschiedenen Punkten, und sind zunächst vr und i \ die Geschwin digkeiten der Einzel- bewegungen, während sie im 2. Punkte vr - f dvr und
»j + d i\ sind, so erhalten w ir die Geschwindigkeit v der zusammengesetzten Bewegung
im 1. Zeitpunkte
d s ds
wenn vr = und t\ = —- - die Geschwindigkeit des
d t dt
A ä S r A /^ ' U. dV- ä.
A v F ig . 8.
V = Vr + ,
2*
20
im 2. Zeitpunkte
v 4- A v = (vr + dvr) (vx + dvx) ,
V + A v = (Vr 4 - t ’i ) + ( r f t ’r + d v l ) »
/d» = + d i \ ,
d. h. der geometrische Zuwachs der Geschwindigkeit oder die sogenannte „ E l e m e n t a r b e s c h l e u n i g u n g “ der zusammengesetzten Bewegung A v ist die geometrische Summe der Elementarbeschleunigungen dvr und dvx der Einzelbewegungen.
Die Beschleunigung der zusammengesetzten Bewegung kann daher geschrieben werden
A v dv. 4- dv. dvr ~ dv. ~
” - w ^ r L - i i T + - d T - 1’' + p ' - E s la s s e n s ic h a ls o a u c h d ie B e s c h le u n ig u n g e n n a c h d e m P a r a lle lo g r a m m z u s a m m e n s e tz e n .
§ 5. K ru m m lin ige B ew egu n g.
Das bei der geradlinigen Bewegung für den Weg und die Geschwindigkeit Gesagte gilt sinngemäß auch für die krummlinige Bewegung.
Eür die Beschleunigungen treten jedoch allgemeinere Yerhältnisse ein. Um die hierfür geltenden Beziehungen abzüleiten, denken w ir uns zu einer Lage A des be
wegten Punktes (Fig. 9) die Yachbarlage A ' ermittelt, in
Krummlinige Bewegung-, 21 die er von A aus nach Verlauf des Zeitelements d t ge
langt ist. Die Geschwindigkeit in A sei v , die in A ' sei v'. Da die Geschwindigkeiten in die Richtung der Rahntangenten der Punkte A und A ' fallen, so müssen v und v ' denselben Winkel dcp einschließen, wie diese
Tangenten.
Um nach Größe und Richtung zur Geschwindigkeit v ' zu gelangen, müssen w ir nach dem Parallelogramm der Geschwindigkeiten mit v eine kleine Geschwindigkeit zl v , die oben mit „ E le m e n ta r b e s c h le u n ig u n g “ bezeichnet wurde, zusammensetzen. Diese Elementarbeschleunigung wird durch eine Beschleunigung p verursacht, welche in gleicher Richtung und in gleichem Sinne wie A v auf den Punkt A einwirkt und die Größe hat
An Stelle von zl v können w ir zwei Komponenten einführen dv in Richtung der Geschwindigkeit v', also in der
Tangentenrichtung, und
vdcp in dazu senkrechter Richtung, also in der Normalen
richtung,
was wir symbolisch schreiben können
d. h. d ie G e s a m tb e s c h le u n ig u n g lä ß t s ic h g e o m e tr is c h a u s z w e i E i n z e l b e s c h l e u n i g u n g e n z u s a m m e n s e tz e n , von denen die Komponente
A v
A v = d v 4- vdcp . Dann wird die Gesamtbeschleunigung
A
A v dv + v dtp
dt d t dt
dv
22
in die R ichtung von v ', also in die Tangentenrichtung fällt und daher Tangentialbeschleunigung genannt wird.
Diese Komponente w irkt lediglich auf die Größen
veränderung der Geschwindigkeit v ein.
Die andere Komponente
fällt in die Richtung von v d <p, also steht sie senkrecht zur Tangente und heißt daher Normalbeschleunigung.
Sie verursacht lediglich die Richtungsänderung der Ge
schwindigkeit.
Zieht man die beiden Normalen der Kurve in A und A', so schneiden sie sich im Krümmungsmittelpunkt M und bilden den Winkel dtp miteinander. A M = A 'M = o ist der K r ü m m u n g s r a d iu s der Bahn im Punkte A . W ir können dann setzen
d s = q • d<p , dtp — ds
Q
und mithin läßt sich der oben für die Normalbeschleuni
gung erhaltene Ausdruck [Gl. (5)] in der lo rm schreiben
v dtp d s v *
d t Q ' d t g
II. Ebene Bewegung zweier Ebenen.
§ 6. Schiebung.
Eine Ebene vollzieht gegen eine andere eine S c h i e b u n g , wenn eine in ihr liegende Gerade während der Bewegung ständig einer festen Geraden parallel bleibt.
Schiebung. Drehung um einen festen Punkt. 23 Dann beschreiben sämtliche Körperpunkte kongruente, gleichliegende Bahnkurven und folgen dem gleichen Bewegungsgesetz. Kennt man daher die Bahn eines einzelnen Punktes der bewegten Ebene und seine Be
wegungsgleichung auf ihr
* = f ( {) ,
so ist damit auch die Bewegung eines jeden anderen Punktes bekannt.
§ 7. D rehung u m einen festen P u n k t.
Eine Ebene vollzieht gegen eine andere Ebene eine Drehung, wenn einer ihrer Punkte seine Lage ständig beibehält. Der feste Punkt heißt der D r e h p u n k t, D r e h p o l oder das D r e h z e n tr u m .
Drehwinkel:
In Fig. 10 sei M der Drehpunkt der Bewegung. Wir wählen die- durch M gehende feste Bezugsgerade M N und w ollen, um den
Drehsinn der Bewegung angeben zu können, d ie D r e h u n g im S in n e des U h r z e ig e r s a ls D r e h u n g im p o s i t i v e n , d ie im u m g e k e h r t e n S in n e a ls s o lc h e im n e g a tiv e n S in n e bezeichnen.
Die Drehung der
bewegten Ebene E 1 ist eindeutig bestimmt, wenn man zu jeder Zeit t den Winkel <p, den eine mit derselben fest verbundene Gerade M 0 mit M N einschließt, durch eine Funktion
9 = AO
angeben kann. Es kann also rp positives oder negatives Vorzeichen haben, je nach dem Drehsinn.
Winkelgeschwindigkeit:
Als W in k e lg e s c h w in d ig k e it m der Ebene El zur Zeit t bezeichnet man das Verhältnis des in der un
endlich kleinen Zeit d t beschriebenen Winkels drp zu diesem Zeitelement d t , also
( 7 >
Da drp je nach dem Drehsinn positiv oder negativ sein kann, so wird m entsprechend positiv, wenn die Drehung im Sinne des Uhrzeigers, negativ, wenn sie im entgegengesetzten Sinne stattfindet.
Winkelbeschleunigung:
Unter der W i n k e l b e s c h l e u n i g u n g e der Ebene 7?, zur Zeit t versteht man den Quotienten aus dem in der unendlich kleinen Zeit d t stattfinden
den Zuwachs der Winkelgeschwindigkeit dm und dem Zeitelement d t
Je nachdem die Winkelgeschwindigkeit zu- oder abnimmt, ist d m und damit auch e positiv oder negativ.
Bewegung eines beliebigen Punktes der rotierenden Ebene:
Alle Punkte der rotierenden Ebene beschreiben kon
zentrische Kreise um den Drehpunkt. Is t An die Lage eines Punktes A der rotierenden Ebene zur Zeit t = 0 , wobei M A 0 = r sein Drehradius ist, A seine Lage zur Zeit t und bezeichnet A 0 MA — rp den bei der Drehung
Drehung um einen festen Punkt. 25 in t sec beschriebenen D rehvinkel, so ist der von A in dieser Zeit zurückgelegte W eg
s = r • q>.
Nach den für die krummlinige Bewegung eines Punktes in § 5 abgeleiteten Beziehungen erhält mau aus dieser Bewegungsgleichung die G e s c h w in d ig k e it des Punktes A zur Zeit t
d s dqp
<*»
d ie T a n g e n tia lb e s c h le u n ig u n g des P u n k te s t zur Zeitt
d v dco
(
10)
—die N o r m a lb e s c h le u n ig u n g des Pimktes A zur Zeit t
v2 (r oo)2 „
(11) = —= V ~ = rCÜ ’
die G e s a m tb e s c h le u n ig u n g
(1 2) p = p t+Pn = i p f + P l = i{ r e)2+ ( r a>2)2= r}/£2 + w 1, den W in k e l tx derselben g e g e n d e n D r e h r a d iu s M A aus der Beziehung
p, r e e
tan oc = — =
p n r e o 2 oo2 und w ir erhalten somit den Satz:
B ei d e r D r e h u n g e in e r E b e n e um e in e n f e s te n P u n k t b e s c h r e ib e n a lle ih r e P u n k t e k o n z e n t r i s c h e K re is e . I h r e W eg e, G e s c h w in d ig k e ite n u n d B e s c h le u n ig u n g e n (a u c h T a n g e n tia l- u n d N o r m a lb e s c h le u n ig u n g e n ) s in d d e n D r e h r a d ie n p r o p o r tio n a l. I h r e B e s c h le u n ig u n g e n s c h lie ß e n m it i h r e n D r e h r a d ie n g le ic h e W in k e l ein.
26
§ 8. M om entanpol zw eier beliebig sich bew egender E benen.
Die ebene Bewegung einer Ebene E x (Fig. 1 1) gegen eine feste Bezugsebene E 0 ist vollständig bestimmt, wenn man die Bewegung zweier ihrer Punkte A und B kennt. Nehmen w ir an, diese Punkte hätten sieh im Zeitelement dt aus ihren Lagen A 0B0 in die Lagen A l B 1 längs ihrer Balm-
Ist das Zeitelement d t unendlich klein, so gehen die Sehnen A 0A X und B0 B x in die Tangenten der Kurven a und b, und ihre Mittelsenkrechten in die Normalen über. Die Bewegung läßt sich also im betrachteten Zeit
punkte als eine Elementardrehung um den Schnittpunkt P der Bahnnormalen auffassen.
W ir nennen dann P das M o m e n ta n z e n tr u m , den G e s c h w i n d i g k e i t s p o l , M o m e n ta n p o l oder P o l der Bewegung. Der Momentanpol ist somit der einzige Punkt derbewegten Ebene, der im betrachteten Zeitpunkt in Ruhe bleibt. Alle anderen Punkte sind in Bewegung.
Da es gleichgültig ist, welche beiden die Bewegung kurven a und b bewegt.
Ersetzen w ir die Kurven
elemente A0 Aj und B 0 Bx
durch ihre kleinen Sehnen A 0 A r und B 0 Bx , errichten
F ig . 11.
aid diesen die Mittelsenkrechten, die sich in P schneiden mögen, und ver
binden P mit A 0 und B0 sowie mit A x und B x, so folgt aus der Kongruenz der Dreiecke A 0 P B 0 imd A x P B X, p daß man die Strecke A 0B 0 durch Drehung um P in die Lage A XB X überführen kann.
Momentanpol. Geschwindigkeiten. 27 bestimmenden Punkte der bewegten Ebene herausgegriffen werden, so m ü s s e n d ie a u g e n b l i c k l i c h e n N o rm a le n d e r B a h n e n a l l e r P u n k t e s ic h im M o m e n ta n p o l s c h n e id e n .
Alle diese Strahlen, welche die Punkte der Ebene mit dem Pol verbinden, heißen H a u p t s t r a h l e n .
§ 9. G eschw indigkeiten zw eier beliebig sich bew egender E benen.
Wie man des weiteren bald einsehen wird, kann man die zeichnerische Ermittelung der Geschwindigkeiten sehr vereinfachen, wenn
man die letzteren um 90° im Uhrzeiger
sinne dreht, so daß sie in die Haupt
strahlen der Punkte ;r fallen. W ir sprechen / y ' rB
dann von den g e - F ig . 12.
d r e h t e n , o rth o g o - ^
n a le n oder „ n o rm a le n “ G e s c h w in d ig k e ite n der Punkte.
Kennt man den Momentanpol P (Big. 12) sowie die Geschwindigkeit vA irgendeines Punktes A der Ebene E\ , so ist die augenblickliche Winkelgeschwindigkeit um den
Momentanpol v
co = —
r A
und die Geschwindigkeit vB eines beliebigen anderen Punktes B der Ebene
VB = CO- rB = —- ■ vA , r B
rA
d.h. wir erhalten zeichnerisch vB als die vierte geometrische
Proportionale aus den drei bekannten Größen r A, rB und vA .
Sind z. B. A M = vA und B N = vB die Geschwin
digkeiten von A und B in richtiger Größe und Lage, so sind A M ' = vA und B N ' = vB die gedrehten Ge
schwindigkeiten der Punkte A und B und es muß auf Grund der obigen Beziehung
Vb = rn
v A r A ’
also auch M 'N ' ¡| A B sein, d. h. w ir finden vB , falls vA bekannt ist, wenn w ir A m itB verbinden und M 'N ' || A B ziehen.
§ 10. Polkurven zw eier beliebig sich bew egender E benen.
Währenci eines unendlich kleinen Zeitelements d t ist jede Bewegung eine Drehung um einen Momentanpol.
W ährend einer endlichen Zeit muß also jede Bewegung aus einer unendlichen Anzahl solcher Elementardrehungen bestehen. W enn w ir es nicht mit dem Spezialfall der Drehung um einen festen P unkt zu tun haben, so muß der Pol in beiden Ebenen seine Lage stetig ändern und gegenüber jeder der beiden Ebenen eine Kurve beschreiben. Diese Kurven heißen die P o l b a h n e n oder P o l k u r v e n , und zwar wird die in der festen Ebene liegende Poibahn die r u h e n d e P o l k u r v e ( R a s tp o l- b a h n ), die in der bewegten Ebene liegende die b e w e g lic h e P o lk u r v e (G a n g p o lb a h n ) genannt.
In jedem Zeitpunkt haben beide Polkurven den Pol gemeinsam. Durch eine Elementardrehung (Drehung um einen unendlich kleinen Winkel) um diesen gemeinsamen P unkt müssen die Nachbarpunkte der Polkurven zur
Polkurven. Hüllkurven. 29 Deckung gekommen sein. Das ist nur möglich, wenn sich die P o l k u r v e n im P o l b e r ü h r e n und während d er Bewegung aufeinander abrollen, ohne zu gleiten. Sie heißen aus diesem Grunde auch R o u l e t t e n oder R o ll- k u r v e n .
Sind die Polbahnen sowie das Gesetz bekannt, nach dem sie aufeinander abrollen, so ist hierdurch die Be
wegung der Ebenen völlig bestimmt.
§ 11. H üllkurven.
Es sei die Bewegung einer Ebene gegen eine andere bekannt. Mit der bewegten Ebene seien zwei Kurven oc und ß verbunden und ihre H ü l l k u r v e n a und b in der ruhenden Ebene bestimmt (Fig. 1 8). A und B seien die momentanen Berührungspunkte der beiden Kurvenpaare.
'Wenn i% bzw. ß bei der Bewegung weder in a bzw. b eindringen, noch sich davon abheben sollen — und dies ist die Voraussetzung der Hüllkurven — , so müssen sich die Punkte A und B längs ihrer Tangenten be
wegen. Das ist nur möglich, wenn die Bewegung e in e m o m e n ta n e D r e h u n g um d e n S c h n i t t p u n k t P d e r b e id e n B e r ü h r u n g s n o r m a l e n ist. P ist also der Pol der Bewegung.
30
§ 12. U m k eh ru n g der B ew egu n g.
Da es bei der Bewegung zweier Ebenen stets nur auf die relative Lage der einen Ebene gegenüber der anderen ankommt, so ist es gleich, welche der beiden Ebenen als die ruhende angesehen wird. Die Lage der Pole ändert sich dadurch nicht, und die Eollkurven bleiben dieselben.
N ur wird die ruhende Polbahn zur beweglichen, die be
wegliche zur ruhenden Polbahn.
§ 13. B esch leu n igu n gsp ol.
Wie wir oben sahen, beschreiben bei der allgemeinen Bewegung einer Ebene gegenüber einer anderen alle ihre Punkte krummlinige Bahnen und haben daher Geschwindig
keiten und Beschleunigungen. N ur der Geschwindigkeits
pol allein besitzt keine Geschwindigkeit. Es liegt nahe zu fragen, ob es auch einen P unkt gibt, der keine Be
schleunigung hat und den w ir B e s c h le u n ig u n g s p o l nennen wollen.
Vorausgesetzt, es gäbe einen solchen, so darf er weder Tangential- noch Normalbeschleunigung haben;
d. h. er muß den beiden Bedingungen unterworfen sein dv
V 2
Pn = — = 0 • e
Der Geschwindigkeitspol befindet sich momentan in Ruhe. Im nächsten Augenblick nimmt er eine Geschwindig
keit an; er muß also eine Beschleunigung haben und kann daher nicht zugleich Beschleunigungspol sein.
Beschleumgungspol. 31 Dann muß der BescMeunigungspol ein Punkt sein, der selbst eine endliche Geschwindigkeit besitzt. Die erste der beiden obigen Bedingungen sagt uns, daß s e in e G e s c h w in d ig k e it v a u g e n b l i c k l i c h e in e n M ax i-
F ig . 14
m a l- o d e r M in im a l w e r t hat. Die zweite Bedingun g kann bei endlichem v nur erfüllt w erden, wenn q = oo wird, d. h. wenn sich der Punkt in e in e m W e n d e p u n k te s e in e r B a h n befindet.
In Fig. 14 sei J der Beschleunigungspol, v seine Geschwindigkeit. Da diese während der unendlich kleinen Zeit d t konstant bleibt, so ändert man an den
32
Beschleunigungen der einzelnen Punkte der Ebene nichts, wenn man allen Punkten der Ebene eine zusätzliche Ge
schwindigkeit erteilt, die gleich der Geschwindigkeit v des Punktes J und entgegengesetzt gerichtet ist. Auf diese Weise kann man die Bewegung der Ebene in eine Drehung um den Punkt J verwandeln, der nun weder Geschwindigkeit noch Beschleunigung hat und also als fester Drehpunkt angesehen werden kann.
Sind p a und p b die Beschleunigungen zweier Punkte A und B der Ebene, J A = a und J B = b die Abstände dieser Punkte vom festen Drehpunkt •/, so erhält man nach früherem (§ 7) die Beziehung
( 1 ) p a : p b = a : b ,
(2) < J A Ä = < J B B '= < « .
Ist S der Schnittpunkt von A A ' und B B \ so ist (3) < A S R = = <£<p .
Kennt man die Beschleunigungen pa und p b zweier Punkte A und B nach Größe und Richtung, so w ird der Beschleunigungspol J somit als Spitze eines Dreiecks A J B mit
a) der Basis A B , dem ih r gegenüberliegenden Winkel
A J B = cp und •
b) dem Verhältnis der Seiten A J : J B = a : b — p a : p b gefunden.
Die Bedingung a) ist erfüllt, wenn J mit A , B und S auf einem Kreise liegt, da dann p p A J B — <piASB — gleiche Peripheriewinkel über der Sehne A B sind.
Die Bedingung b) wird erfüllt, wenn J auf einem Halb
kreise liegt, welcher über der Verbindungslinie der Punkte Z7 und V geschlagen ist, die A B innen und außen im Ver
hältnis pa -Pb teilen (A pollonischer Lehrsatz).
Zu einer bequemeren Erm ittlung von J führt folgende Ü berlegung:
Beschleunigungspol. 33 T rägt man die Beschleunigung p a und p b in wahrer Größe und Richtung von einem Punkte 0 aus in einem besonderen B e s c h le u n ig u n g s p la n auf, so daß A 0 0
= p a , B 0 0 = p b , so ist
<£ A 0OB0 = < £ A S B = A ^ A J B — < 9 9 . Da nun
Pa ■ Pi = a : b ,
so sind die Dreiecke A A0 OB0 und A A J B ähnlich.
T rägt man für einen beliebigen anderen P unkt C mit Abstand C J = c und der Beschleunigung p c = CG' im Beschleunigungsplan seine Beschleunigung C0O = p c nach Größe und Richtung ein, so ergibt sich analog wie oben
A C 0OB0 ~ A C J B , A C0O A 0 ~ A C J A , und man erkennt, daß auch
A A 0 B0 C0 ~ A A B C .
Kennt man also die Beschleunigung p a und p b zweier Punkte A und B und will man diejenige p c eines be
liebigen anderen Punktes C der Ebene finden, so muß man im Beschleunigungsplan über A 0B0 das dem Drei
eck A B C ähnliche Dreieck A0B0C0 errichten und findet sodann C0O — p c in richtiger Größe und Richtung.
Zu jedem Punkte der Ebene gehört somit ein be- stim m terPunkt des Beschleunigungsplanes und umgekehrt.
Zum Punkte 0 des Beschleunigungsplanes gehört die Beschleunigung p = 0 ; er muß also dem Beschleunigungs
pol J entsprechen. Diesen findet man demnach, wenn man über A B als Basis A A J B ^ > A A 0OB0 konstruiert.
Da im Beschleunigungsplan stets ein einziger Punkt O existiert, zu dem es keine Beschleunigung gibt, so er
kennt man hieraus, daß es stets einen einzigen P unkt J
P o l s t e r , K in e m a tik . 3
der bewegten Ebene gibt, der keine Beschleunigung hat;
d. h.: E s g i b t s t e t s e in e n , a b e r n u r e in e n e in z ig e n B e s c h le u n ig u n g s p o l.
§ 14. Z usam m en h an g zw isch en G esehw indigkeits- und B esch leu n igu n gsp ol. W endekreis und W ech sel
kreis.
Die relative Bewegung zweier Ebenen sei durch die Polkurven n und 41, die sich zur Zeit t im Momentanpol P
berühren, und durch den augenblicklichen Beschleunigungs
pol/gegeben. (Fig. 15). Es seien weiter durch P und /z w e i Kreise a und & so gezeichnet, daß die Polkurven in P von a berührt, von b dagegen senkrecht geschnitten werden.
Wendekreis und Wechselkreis. 35 Der Pol P hat momentan keine Geschwindigkeit, erhält aber nach der unendlich kleinen Zeit dt eine solche und zwar in Richtung der Normalen in P, die den Kreis a in W schneiden möge. P hat also eine Beschleunigung p 0, die in die Richtung der Normalen P I I ' fällt und m it dem Strahl P J den Winkel W P J = oc bilden möge. Die Be
schleunigung px jedes anderen Punktes X der Ebene muß mit dem Strahl X J den gleichen Winkel x bilden.
Verbinden w ir einen beliebigen Punkt A des K reises«
mit P , J und W, so ist <£ W A J = <£ W P J — x als Peripheriewinkel über gleichem Bogen und damit A W die Richtung der Beschleunigung p a . Da nun }V A P
= 9 0 ° als Peripheriewinkel über einem Halbkreis, A P die augenblickliche Bahnnormale des Punktes A und somit A W seine augenblickliche Bahntangente ist, so fällt die Gesamtbeschleunigung des Punktes A in die Tangente seiner Bahn; d. h. der P u n k t A h a t n u r e in e T a n g e n t i a l b e s c h l e u n i g u n g u n d k e in e N o rn ia l- b e s c h le u n ig u n g . Es muß also für ihn
sein. Da seine Drehgeschwindigkeit va um den Pol P einen endlichen W ert hat, so kann p n — 0 nur dann werden, wenn der Krümmungsradius seiner Bahn q„ = °o
ist; d. h. der Punkt A und damit a lle anderen P u n k t e d e s K r e is e s a b e f in d e n s ic h in W e n d e p u n k te n i h r e r B a h n e n . Der Kreis a heißt daher der W e n d e k r e is .
Jeder beliebige andere Punkt A' innerhalb oder außer
halb des Wendekreises, der auf A J gelegen ist, hat eine Beschleunigung A ' W ' II A W . Da aber seine Bahn
tangente A 'T '_L A 'P sein muß, so fällt A 'W ' m it A 'T ' 3*
86
nicht m ehr zusammen, d. h. A ' muß eine Normal- hesclileunigung haben und kann sich daher nicht in einem "Wendepunkte seiner Bahnkurve befinden. Damit is t erwiesen, daß der W endekreis der geometri
sche Ort a l l e r Punkte überhaupt ist, die sich im betrach
teten Augenblick in W endepunkten ihrer Bahn befinden.
Verbinden wir einen beliebigen Punkt B des Kreises b mit P und J , so ist J B P = J P W = a, , weil Peripherie- und Sehnentangentenwinkel über gleichem Bogen gleich sind. Die Beschleunigung p b von Punkt B fällt also mit der Bahnnormalen B P zusammen. Der P unkt B und mit ihm a l l e P u n k t e d e s K r e is e s b h a b e n daher n u r e in e N o r m a lb e s c h le u n ig u n g , a b e r k e in e T a n g e n t i a l b e s c h l e u n i g u n g . Es muß also für diese Punkte
sein; d. h. d ie G e s c h w in d ig k e ite n a l l e r P u n k t e d e s K r e is e s b h a b e n a u g e n b l i c k l i c h e in e n M a x im a l
o d e r M in im a lw e r t. Da die Tangentialbeschleunigung in diesen Punkten in eine Verzögerung oder um gekehrt übergeht, also ih r Vorzeichen wechselt, so heißt dieser Kreis der W e c h s e lk r e is .
Analog wie vorher läßt sich zeigen, daß es weder innerhalb noch außerhalb des W echselkreises Punkte />' gibt, deren Tangentialbeschleunigung p t = 0 wird, und w ir erhalten damit den Satz:
D e r W e c h s e lk r e is i s t d e r g e o m e t r i s c h e O rt a l l e r P u n k t e , d e r e n G e s c h w i n d i g k e i t e in e n M a x im a l- o d e r M in im a lw re r t b e s itz t.
Sind P und P ' zwei benachbarte Momentanpole (Fig. 16), wobei P P ' = ds, und ist die momentane Winkelgeschwindig
keit um den Pol co, die Winkelbeschleunigung e , während
der Pol selbst seine Lage auf den Polbahnen mit der Pol- Wechselgeschwindigkeit
ds w ~dt
ändert, so hat P nach der Zeit dt die Geschwindigkeit Av = co • ds
Wendekreis und Wechselkreis. 87
ingenommen. Die Beschleunigung des Punktes P ist also
Av ds
^ d t ^ M ' T t
Jeder beliebige Punkt X mit dem Polabstand P X = x bat infolge der Drehung um den Pol die Normalbeschleunigung
p , = a; to2 und die Tangentialbeschleunigung
p, = xe .
Außerdem muß er noch die Beschleunigung p0 des Pol es selbst haben.
38
Vom Punkte W im Abstand P W = Da wissen wir, daß er nur die Tangentialbeschleunigung- Da • e haben kann.
Daher müssen sich die übrigen Beschleunigungen aufheben, d. h. es muß
D„ oP = — u • co
sein, woraus sich der Durchmesser Da des Wendekreises ergibt.
(14) Da = — .
to
Die in P an die Polbahnen gelegte Tangente schneide den Wechselkreis im Punkte V. Wir wissen, daß Punkt V nur eine Normalbeschleunigung haben kann, also muß für ihn
Db • s = u • o>
sein, und wir finden den Durchmesser Db des Wechselkreises
. „ w • a>
(15) D„ = --- .
£
Da -¿ fcJV P = 90° — J1P V = <£ a ist und da W , J und V auf einer Geraden liegen, so erhält man auch noch (16) tan a = W P : P V = ^ ~ ,
Dt o>
d. li. d e r W in k e l, den die G e sa m tb e s c h le u n ig u n g e in e s P u n k te s X g e g e n den B e s c h le u n ig u n g s p o l- s tr a h l J X b ild e t, i s t fü r je d e n P u n k t X d e r g le ic h e und eb en so groß w ie d e r, den die B e s c h le u n ig u n g des P u n k te s X g e g e n den G e s c h w in d ig k e its p o l- s tr a h l P X b ild e n w ü rd e, w enn d e r G e sc h w in d ig k e its p o l ein f e s te r D re h p u n k t w äre.
§ 1 5 . B estim m u n g des K rüm m ungsm ittelpunktes der B alm ein es b ew egten P u n k tes n ach H a r t m a n n .
Der P unkt A (Fig. 17) lege als P unkt einer bewegten Ebene E 1 gegen die ruhende Ebene E 0 in der Zeit dt m it der momentanen Geschwindigkeit va = A Va das W eg
element A A 1 = d s seiner Bahnkurve c zurück, deren K rümmungsmittelpunkt in A m it Ga , deren Krümmungs
radius m it A C a = R bezeichnet sei.
Krümmungsmittelpunkt der Bahn eines Punktes. 39 Man kann dann die Bewegung von A allein als eine Drehung um Ga m it der W inkelgeschwindigkeit a>c an- sehen. Da
ds
Va = u = (0c
ist, so erhält man für den Krümmungsradius den W ert ACa = B = — .
( ’ >c
Auf AGa liegt der Mo
mentanpol P von gegen E 0 . Dieser ändert seine Lage auf der ruhenden olkurve p mit der „ P o l- w e c h s e l g e s o h w i n d i g -
k e i t “ P U = u , die in die beiden Kom- pouenten u a _[_ P Ga llnd «c || P C a zerlegt werden kann; d. h. der Pol P verschiebt sich auf dem sich drehenden Strahl AGa mit der Geschwindigkeit uc und dreht
sich gleichzeitig um Ga m it ua . Da P während der Be
wegung von A nach A x den Strahl ACa nicht verlassen kann, so muß
Ua == P Ga *
oder ,,
F i g . 17.
o d e r P C a
sein; d. h. v e r b in d e n w i r d ie E n d p u n k t e Va u n d TJa m i t e i n a n d e r , so g e h t d ie s e V e r b in d u n g s lin ie d u r c h d e n K r ü m m u n g s m i t t e l p u n k t Ca ■
