MT612
A p r i l 1986
NAVIGATIEKUNDE IV
Deel I
M e t r i e k op aarde
Rapportno. 645-K
P r o f . i r . J . A . Spaans
TH DELFT
Technische Hogeschool D e l f t
A f d e l i n g d e r M a r i t i e m e Techniek
vakgroep H y d r o n a u t i c a
I n h o u d s o p g a v e p a g i n a 1 . G e s c h i e d e n i s 1 2. De geoïde 2 3. P o o l b e w e g i n g 4 4. De ellipsoïde 6 5. Coördinaten op d e ellipsoïde 12 6. T r a n s f o r m a t i e (ip, X, h ) ( x , y , z ) 16 7. T r a n s f o r m a t i e ( x , y , z ) ^ (i/J, A , h ) 16 8. De g e o c e n t r i s c h e b r e e d t e , d e g e r e d u c e e r d e b r e e d t e 19 9. A s s e n t r a n s f o r m a t i e s 20 10. T e r r e s t r i s c h e t o p o c e n t r i s c h e coördinaten 22 1 1 . K r o m t e s t r a a l m e r i d i a a n 22 , 12. L e n g t e m e r i d i a a n b o o g 23 13. K r o m t e s t r a a l p a r a l l e l e n l e n g t e p a r a l l e l b o o g 24 14. De z e e m i j l 25 15. L o x o d r o o m op de ellipsoïde 25 16. B e r e k e n i n g b e k o m e n p o s i t i e 27 17. F o u t e n b e s c h o u w i n g v a n d e k o e r s - e n v e r h e i d s b e r e k e n i n g 29 18. K o r t s t e a f s t a n d op de ellipsoïde 34 19. H e t R i j k s d r i e h o e k s m e t i n g s t e l s t e l ( R D - s t e l s e l ) 36 20. T r a n s f o r m a t i e v a n g e o g r a f i s c h e coördinaten n a a r UTM-coördinaten 37 2 1 . T r a n s f o r m a t i e v a n UTM-coördinaten n a a r g e o g r a f i s c h e coördinaten 38 22. De U T M - s c h a a l f a k t o r 39 23. De c o n v e r g e n t i e i n h e t U T M - n e t w e r k 39 24. V o o r b e e l d U T M - g e b r u i k 40 25. C o n f o r m e a f b e e l d i n g v a n d e ellipsoïde op e e n b o l 41
METRIEK OP AARDE 1. G e s c h i e d e n i s De o u d s t e o p v a t t i n g e n o v e r de v o r m v a n de a a r d e z i j n t e r u g t e v i n d e n i n de g e s c h r e v e n t e k s t e n v a n de C h i n e s e c u l t u u r , de Summeriërs, d e Babyloniërs e n de E g y p t e n a r e n ; z i j g i n g e n e r v a n u i t , d a t de a a r d e p l a t was. P y t h a g o r a s (+^ 570 V.C.-497 v.C.) v e r m e l d d e i n z i j n g e s c h r i f t e n de h y p o t h e s e v a n e e n b o l v o r m i g e a a r d e . I n d e 3e eeuw v.C. v e r r i c h t t e E r a t o s t h e n e s i n Syene ( A s s o e a n ) de e e r s t e m e t i n g v a n de o m t r e k v a n de a a r d e . B e k e n d was d a t op een b e p a a l d e d a g i n h e t j a a r de z o n op de m i d d a g t o t op de bodem v a n e e n d i e p e w a t e r p u t i n S y e n e s c h e e n . I n Alexandrië, d a t b e n o o r d e n Syene l i g t , w e r d op d i e d a g de t o p s a f s t a n d v a n de z o n op de m i d d a g g e m e t e n a l s 1/50 d e e l v a n e e n c i r k e l o m t r e k . F i g u u r 1. E e r s t e g r a a d m e t i n g . De a f s t a n d S A was b e k e n d a l s 50 d a g r e i z e n p e r k a m e e l , t e r w i j l e e n k a m e e l p e r d a g c i r c a 100 stadiën a f l e g t , z o d a t de o m t r e k v a n de a a r d e w e r d v a s t -g e s t e l d a l s 250 000 stadiën. A f h a n k e l i j k v a n de l e n -g t e v a n e e n s t a d i u m ( 1 6 0 a 180 m) k o m t men h i e r m e d e op e e n a a r d o m t r e k v a n 40 a 46 Mm. De a f p l a t t i n g v a n de a a r d e w e r d p a s i n de 17e eeuw o n t d e k t . De e e r s t e i n d i k a -t i e s d a a r v o o r kwamen v a n J e a n R i c h e r , d i e op e e n e x p e d i -t i e i n Z u i d - A m e r i k a c o n s t a t e e r d e d a t e e n s l i n g e r u u r w e r k i n Cayenne 2.5 m i n u u t p e r d a g v e r s c h i l d e m e t P a r i j s . ( V e r g e l i j k i n g v o n d p l a a t s d o o r t i j d m e t i n g a a n de h a n d v a n s t e r s -d o o r g a n g e n . ) N e w t o n b e r e k e n d e op z u i v e r t h e o r e t i s c h e g r o n d e n e e n a f p l a t t i n g v a n 1/230, w a a r b i j f = a - b ( 1 ) a a = h a l v e l a n g e as b = h a l v e k o r t e as
2. De g e o i d e De t h a n s a a n v a a r d e o p v o l g e n d e b e n a d e r i n g v a n h e t a a r d o p p e r v l a k i s a l s v o l g t . H e t p h y s i s c h e a a r d o p p e r v l a k w o r d t a l l e r e e r s t b e n a d e r d d o o r de geoïde, e e n o p p e r v l a k d a t d e a a r d e z o u i n n e m e n a l s z i j o v e r a l m e t e e n w a t e r l a a g z o u z i j n b e d e k t ; d u s e e n o p p e r v l a k a l l e e n g e v o r m d o n d e r i n v l o e d v a n de g r a v i t a t i e -k r a c h t e n de c e n t r i f u g a a l -k r a c h t v a n de r o t e r e n d e a a r d e , z i e f i g u u r 2, w a a r F2 l o o d r e c h t op d e geoïde s t a a t e n de c e n t r i f u g a a l k r a c h t i s , Fg de g r a v i t a t i e -k r a c h t . H e t a l d u s g e v o r m d e e q u i p o t e n t i a a l v l a k h e e f t e e n o n r e g e l m a t i g e v o r m t e n g e v o l g e v a n d e o n g e l i j k e m a s s a v e r d e l i n g v a n de a a r d e . Deze geoïde w o r d t v e r v o l g e n s b e -n a d e r d d o o r e e -n omwe-nteli-ngsellipsoïde d i e h e t b e s t e a a -n s l u i t b i j h e t g e b i e d w a a r men i n g e i n t e r e s s e e r d i s v o o r b e r e k e n i n g o f k a a r t e r i n g . Een i e t s b e t e r e b e n a d e r i n g i s de ellipsoïde m e t d r i e o n g e l i j k e h a l v e a s s e n ; d e z e w o r d t h i e r n i e t v e r d e r b e s c h o u w d . De g r a v i t a t i e k r a c h t e n v a n z o n e n maan v e r o o r z a k e n p e r i o d i e k e k r a c h t e n , w a a r -d o o r -de g e t i j -d e n i n zeeën e n o c e a n e n o n t s t a a n . De p e r i o d i e k e v e r t i k a l e g e t i j b e w e g i n g e n w o r d e n g e m e t e n t . o . v . g e m i d d e l d z e e -n i v e a u . F i g u u r 2. De geoïde. I n de geoïde w o r d t de r i c h t i n g v a n de d r a a i i n g s a s n a a r h e t N o o r d e n v a n u i t h e t m a s s a m i d d e l p u n t a l s Zas a a n g e n o m e n . L o o d r e c h t h i e r o p d o o r h e t m a s s a -m i d d e l p u n t i s h e t e q u a t o r v l a k g e d e f i n i e e r d . De -m e r i d i a n e n z i j n h a l f v l a k k e n d o o r d e Z - a s ; d e m e r i d i a a n v a n G e e n w i c h i s g e d e f i n i e e r d d o o r de v o o r m a l i g e s t e r r e n w a c h t t e G r e e n w i c h . 2
-De g e o i d e b r e e d t e i|j i s de h o e k t u s s e n d e p l a a t s e l i j k e n o r m a a l i n d e r i c h t i n g v a n F^.en h e t e q u a t o r v l a k . D e z e h o e k w o r d t g e m e t e n i n d i e n g e b r u i k w o r d t g e -m a a k t v a n a s t r o n o -m i s c h e w a a r n e -m i n g e n -m.b.v. de t h e o d e l i e t . De g e o i d e l e n g t e y i s g e d e f i n i e e r d a l s d e h o e k t u s s e n h e t m e r i d i a a n h a l f v l a k v a n G r en h e t p l a a t s e l i j k e m e r i d i a a n h a l f v l a k , z i e f i g u u r 3. F i g u u r 3. Coördinaten op de g e o i d e De geoïde i s dus h e t e q u i p o t e n t i a a l v l a k d o o r h e t g e m i d d e l d e z e e n i v e a u . Op e e n p o t e n t i a a l v l a k m e t p o t e n t i a a l W g e l d t d a t de z w a a r t e k r a c h t v e r s n e l l i n g g g e l i j k i s a a n g = - "^^n , w a a r de Z"-as de l o k a l e n o r m a a l i s . De t o t a l e g i s samenl¥steld u i t de t w e e e e r d e r genoemde v e r s n e l l i n g e n ; d e r e s u l t a n t e v a r i e e r t o v e r h e t p h y s i s c h a a r d o p p e r v l a k t o t w a a r d e n v a n 1 % . De a b s o l u t e w a a r d e v a n g k a n w o r d e n g e m e t e n m e t e e n s l i n g e r (T = TT ) o f u i t de v r i j e v a l ( h = 5 g t ^ ) m e t n a u w k e u r i g h e d e n v a n c i r c a g 20 y g a l (1 g a l = 1 c m / s ^ ) . De g r a v i m e t e r m e e t v e r s c h i l l e n i n g m e t n a u w k e u r i g h e d e n i n de o r d e v a n 10 y g a l op h e t l a n d e n c i r c a 2 m g a l op z e e . De w e r k e l i j k e s c a l a i r e w a a r d e v a n de z w a a r t e k r a c h t op h e t p h y s i s c h g e m i d d e l d z e e n i v e a u ( g ) w o r d t o n t b o n d e n i n e e n g e n o r m e e r d e w a a r d e y en de z w a a r t e ¬ k r a c h t a n o m a l i e Ag. E r z i j n k a a r t e n w a a r o p l i j n e n m e t c o n s t a n t e Ag z i j n a a n -g e -g e v e n . De -g e n o r m e e r d e w a a r d e w o r d t b e r e k e n d m e t : Y = 9,780490 ( 1 + 0 . 0 0 5 2 8 8 4 s i n ^ cp - 0 . 0 0 0 0 0 5 9 s i n ^ 2 c p ) De v e r a n d e r i n g v a n y p e r \m l a n g s de m e r i d i a a n v o l g t h i e r u i t a l s Ay = 0.812 . l O " ^ s i n 2cp m/s^/km 3
-3. P o o l b e w e g i n g De r o t a t i e a s v a n de a a r d e , dus de n o o r d p o o l , v e r p l a a t s t z i c h : - l a n g p e r i o d i e k ( C h a n d l e r p e r i o d e 430 d g n . ) -' s e i z o e n v a r i a t i e s ( i j s m a s s a ' s v e r a n d e r e n h e t m a s s a t r a a g h e i d s m o m e n t v a n de a a r d e ) - o n r e g e l m a t i g e v a r i a t i e s . A l s g e m i d d e l d e " N o o r d p o o l " w o r d t a a n g e h o u d e n h e t C o n v e n t i o n a l I n t e r n a t i o n a l O r i g i n ( C I O ) . De l a n g p e r i o d i e k e v a r i a t i e s k u n n e n w o r d e n v o o r s p e l d , z o a l s u i t h e t n a v o l g e n d e b l i j k t . |Z De v e r g e l i j k i n g e n v a n E u l e r v o o r e e n r o t e r e n d l i c h a a m z i j n : N j = A - (B - C) 0)^ ^2 = ü)^ - (C - A) 0)^ W| N^ = C Lü^ - (A B) Lüj ÜJ^ w a a r A, B, C de t r a a g h e i d s m o m e n t e n l a n g s de h o o f d t r a a g h e i d s a s s e n z i j n , ui^ de h o e k s n e l h e d e n om de o p v o l g e n d e h o o f d a s s e n e n N. de u i t w e n d i g e m o m e n t e n . V o o r de a a r d e , w a a r g e e n m o m e n t e n op w e r k e n , k r i j g e n we m e t A = B < C: A B 0). C (A - C) oj^ = O - (c A) cü^ w = O i s c o n s t a n t ( 2 ) U i t de l a a t s t e v e r g e l i j k i n g v o l g t de e e n p a r i g e r o t a t i e om de s y m m e t r i e - a s . De h o e k s n e l h e i d h i e r v a n i s o n g e v e e r 15 0 2 ' . 5 / h 1 C - A S t e l n = — — üj^ d a n + n 0), «2 ~ n üjj 0 O = a c o s ( n t + ifi) «2 = a s i n ( n t + ) ( 3 ) 4
-A(jü 12 F i g u u r 5. I m p u l s i e m o m e n t v e c t o r H e n n o o r d r i c h t i n g . U i t de o p l o s s i n g ( 3 ) v o l g t / (ojj + ) = a, z o d a t de h o e k t u s s e n OP e n de Z-as g e l i j k i s a a n ~ , De w a a r d e h i e r v a n i s c i r c a 0."3 - 9 m. B i j de h o e k s n e l h e i d n h o o r t e e n p e r i o d e v a n c i r c a 4 3 0 d g n . De e n i g e v a s t e as i n de r u i m t e i n h e t b o v e n s t a a n d e i s de i m p u l s i e m o m e n t -v e c t o r H d i e de r e s u l t a n t e i s -v a n 00)3 e n Aai] 2, z i e f i g u u r 5. De f i g u u r a s ( Z - a s ) b e s c h r i j f t e e n c i r k e l om de i m p u l s i e m o m e n t a s . De b i j b e h o r e n d e p e r i o d e i s de C h a n d l e r p e r i o d e ( 4 3 0 d g n ) . D o o r s e i z o e n v a r i a t i e s v a r i e e r t de i m p u l s i e m o m e n t a s g e r i n g ; d i t v e r o o r z a a k t g e r i n g e p e r t u b a t i e s . Een e n a n d e r h e e f t t o t g e v o l g d a t op de geoïde l e n g t e - e n b r e e d t e v a r i a t i e s op t r e d e n d o o r de s c h o m m e l i n g e n v a n de Z - a s . I n f i g u u r 5 i s de b a a n v a n de a a r d a s ( N o o r d p o o l ) a a n g e g e v e n v a n h e t j a a r 1969 t . o . v . CIO. O p g e m e r k t w o r d t , d a t m o m e n t e n N ] , N2 e n N3 d o o r z o n e n maan v e r o o r z a a k t , de a a r d a s e e n p r e c e s s i e g e v e n met e e n p e r i o d e v a n c i r c a 2 5 7 0 0 j a a r . De r i c h t i n g v a n de d r a a i i n g s s a s v a n de a a r d e v e r p l a a t s t z i c h v o l g e n s e e n k e g e l m a n t e l met t o p h o e k 23.°5 t u s s e n de s t e r r e n . De s t e r d i e n u " p o o l s t e r " g e n o e m d w o r d t (a U r s a e M i n o r i s ) , z a l d a t o v e r e n k e l e d u i z e n d e n j a r e n n i e t m e e r z i j n . . 5
--5 m F i g u u r 6. P o o l b e w e g i n g . V o o r n a u w k e u r i g e p o s i t i e - a a n d u i d i n g w o r d e n l e n g t e e n b r e e d t e a a n g e g e v e n i n - h e t g e m i d d e l d e C l O - s y s t e e m o f - h e t m o m e n t e l e s y s t e e m . G e g e v e n s h i e r o v e r w o r d e n g e p u b l i c e e r d d o o r - B u r e a u I n t e r n a t i o n a l d e l ' H e u r e ( B I H ) - I n t e r n a t i o n a l P o l a r M o t i o n S e r v i c e ( I P M S ) . l. 4. De ellipsoïde H e t g e v o l g v a n de o n r e g e l m a t i g e geoïde i s , d a t v e e l v e r s c h i l l e n d e ellipsoïden i n g e b r u i k z i j n b i j de d i v e r s e t o p o g r a f i s c h e e n h y d r o g r a f i s c h d i e n s t e n , z i e f i g u u r 7. E e n ellipsoïde w o r d t g e k a r a k t e r i s e e r d d o o r - h e t m i d d e l p u n t M - d e oriëntatie v a n de k o r t e as - d e l e n g t e v a n d e l a n g e h a l v e as ( a ) - d e e l l i p t i c i t e i t ( e ) , o f h a l v e k o r t e as ( b ) , o f a f p l a t t i n g ( f ) . I n 1972 i s h e t W o r l d G e o d e t i c S y s t e m a l s d e i n t e r n a t i o n a l e ellj.psoïde a a n -v a a r d . V e r s c h i l l e n i n m i d d e l p u n t p o s i t i e t . o . -v . WGS-72, a e n f -v a n e e n a a n t a l ellipsoïden z i j n g e g e v e n i n t a b e l I , d i e i s o v e r g e n o m e n u i t de " M a n u a l " v a n d e M a g n o v o x MX 1107 TRANSIT o n t v a n g e r . H o o g t e v e r s c h i l l e n v a n d e geoïde t . o . v . d e WGS-72 ellipsoïde z i j n g e g e v e n i n f i g u u r 8. I n f i g u u r 9 z i j n geoïdehoogtes g e g e v e n t . o . v . ED-50. 6
-I A a n v u l l e n d op de v o l g e n d e t a b e l w o r d e n n o g g e g e v e n : 1. V o o r de N o o r d z e e : ED 50 a = 6 3 7 8 3 8 8 m, ^ = 297 ( A x , A y , A z ) = ( 8 3 , 110, 118) 2. I . v . m . h e t RD s t e l s e l : B e s s e l ellipsoïde a = 6 3 7 7 3 9 7 . 1 5 5 , j = 2 9 9 , 1 5 2 8 1 3 ( A x , A y , A z ) = ( - 5 9 2 . 5 2 , - 1 8 . 5 7 , - 4 6 8 . 2 7 ) 7
-T a b e l I G e g e v e n s o v e r e l l i p s o ï d e n : Datum S h i f t C o n s t a n t s T o L o c a l Daturas DATUM SEMIMAJOR A X I S A (km) R E C I P R O C A L OF F L A T T E N I N G 1/F O R I G I N O F F S E T ( m e t e r s ) DATUM SEMIMAJOR A X I S A (km) R E C I P R O C A L OF F L A T T E N I N G 1/F AX AY AZ A d i n d a n 6 3 7 8 . 2 4 9 1 4 5 2 9 3 . 4 6 5 152 26 - 2 1 2 A r c 1 9 5 0 a n d 1 9 6 0 6 3 7 8 . 2 4 9 1 4 5 2 9 3 . 4 6 5 129 131 2 8 2 A s c e n s i o n I s l a n d 6 3 7 8 388 2 9 7 2 1 4 -91 - 4 8 A s t r o 1 9 5 8 A u s t r a l i a n G e o d e t i c 6 3 7 8 160 2 9 8 . 2 5 122 41 - 1 4 6 Camp A r e a A s t r o 6 3 7 8 3 8 8 2 9 7 103 122 - 2 3 3 C a n t o n I s l a n d A s t r o 6 3 7 8 3 8 8 2 9 7 - 2 9 4 288 3 8 2 1966 E D 5 0 6 3 7 8 3 8 8 2 9 7 84 103 129 E u r o p e a n 6 3 7 8 3 8 8 2 9 7 84 1 0 3 127 G e o d e t i c Datum 1 9 4 9 6 3 7 8 3 8 8 2 9 7 -82 38 - 1 9 5 Guam 1 9 6 3 6 3 7 8 2 0 6 4 2 9 4 . 9 7 8 6 9 8 2 89 2 3 5 - 2 5 4 H u - T z u - S h a n 6 3 7 8 3 8 8 2 9 7 6 2 0 5 4 2 2 0 6 I n d i a n 6 3 7 7 2 7 6 3 4 4 3 0 0 . 8 0 1 7 - 1 8 9 - 7 4 6 - 2 5 9 J o h n s t o n I s l a n d 6 3 7 8 388 2 9 7 - 1 9 2 59 2 1 1 A s t r o 1 9 6 1 K e r t a u ( M a l a y a n 6 3 7 7 3 0 4 0 6 3 3 0 0 . 8 0 1 7 12 - 8 5 7 - 1 5 R e v i s e d T r i a n g u l a t i o n ) L i b e r i a 196A 6 3 7 8 2 4 9 1 4 5 2 9 3 . 4 6 5 6 3 - 1 2 -80 M e r c u r y 1 9 6 0 - 4 6 49 NAD 27 A r e a 6 3 7 8 166 2 9 8 . 3 25 - 4 6 49 ED A r e a 6 3 7 8 166 2 9 8 . 3 13 88 5 TD A r e a 6 3 7 8 166 2 9 8 . 3 -18 132 - 6 0 M o d i f i e d M e r c u r y 1 9 6 8 - 1 2 7 NAD 27 A r e a 6 3 7 8 150 2 9 8 . 3 4 - 1 2 7 ED A r e a 6 3 7 8 150 2 9 8 . 3 3 -1 6 TD A r e a 6 3 7 8 150 2 9 8 . 3 -22 -34 -2 N a n k i n g 1 9 6 0 6 3 7 8 .388 2 9 7 131 347 0 8
-Datura S h i f t C o n s t a n t s T o L o c a l -Daturas ( C o n t i n u e d ) DATUM SEMIMAJOR A X I S A (km) R E C I P R O C A L OF F L A T T E N I N G 1/F O R I G I N O F F S E T ( m e t e r s ) DATUM SEMIMAJOR A X I S A (km) R E C I P R O C A L OF F L A T T E N I N G 1/F AX AY AZ N i g e r i a 6 3 7 8 . 2 4 9 1 4 5 2 9 3 . 4 6 5 89 1 1 2 - 1 2 4 N o r t h A m e r i c a n 1 9 2 7 CONUS 6 3 7 8 .2064 2 9 4 . 9 7 8 6 9 8 2 2 2 - 1 5 7 - 1 7 6 A l a s k a a n d C a n a d a 6 3 7 8 .2064 2 9 4 . 9 7 8 6 9 8 2 9 - 1 3 9 - 1 7 3 O l d H a w a i i a n -M a u i 6 3 7 8 .2064 2 9 4 . 9 7 8 6 9 8 2 -65 2 7 2 197 O a h u 6 3 7 8 .2064 2 9 4 . 9 7 8 6 9 8 2 - 5 6 2 6 8 187 K a u a i 6 3 7 8 . 2 0 6 4 2 9 4 . 9 7 8 6 9 8 2 - 4 6 2 7 1 181 O r d n a n c e S u r v e y o f 6 3 7 7 . 5 6 3 3 9 6 2 9 9 . 3 2 4 9 6 4 6 - 3 6 8 120 - 4 2 5 G r e a t B r i t a i n 1 9 3 6 P u l k o v o 1 9 4 2 6 3 7 8 2 4 5 2 9 8 . 3 0 -27 135 89 Q o r n o q 6 3 7 8 3 8 8 2 9 7 - 1 6 3 - 1 2 7 151 S o u t h A m e r i c a n 1 9 6 9 6 3 7 8 160 2 9 8 . 2 5 -77 -3 45 P r o v i s i o n a l S o u t h A m e r i c a n 1 9 5 6 6 3 7 8 3 8 8 2 9 7 3 0 2 - 1 0 5 3 7 1 C o r r e g o A l e g r e 6 3 7 8 3 8 8 2 9 7 2 6 1 - 1 4 0 24 Campo I n c h a u s p e 6 3 7 8 3 8 8 2 9 7 160 - 1 3 3 - 7 5 C h u a A s t r o 6 3 7 8 3 8 8 2 9 7 154 - 2 4 2 40 Y a c a r e 6 3 7 8 3 8 8 297 167 - 1 6 3 - 3 3 S o u t h A s i a 6 3 7 8 166 2 9 8 . 3 -21 61 15 T a n a n a r i u e O b s e r v a t o r y 1925 6 3 7 8 3 8 8 297 178 2 5 4 95 T i r a b a l a i 6 3 7 7 3 9 7 1 5 5 2 9 9 . 1 5 2 8 1 2 8 6 5 0 - 5 2 5 76 T o k y o 6 3 7 7 3 9 7 1 5 5 2 9 9 . 1 5 2 8 1 2 8 140 - 5 1 6 - 6 7 3 W a k e - E n i w e t o k 1 9 6 0 K w a j a l e i n A t o l l 6 3 7 8 2 7 0 2 9 7 - 1 1 2 - 6 8 44 Wake I s l a n d 6 3 7 8 2 7 0 2 9 7 - 1 2 1 - 6 2 2 2 E n i w e t o k A t o l l 6 3 7 8 2 7 0 2 9 7 - 1 4 4 - 6 2 38 Wake I s l a n d A s t r o 1 9 5 2 6 3 7 8 3 8 8 2 9 7 - 2 8 3 4 4 - 1 4 1 WGS-72 6 3 7 8 135 2 9 8 . 2 6 0 0 0 9
-(
-I De g e g e v e n s v a n h e t WGS-72 s t e l s e l z i j n : a = 6 3 7 8 1 3 5 m f = 2 9 8 . 2 6 ( 4 ) 0) = 0 . 7 2 9 2 1 1 5 1 4 7 • 10 r a d / s g = 9 . 7 8 0 3 3 2 6 m/s^ eq De p o s i t i e v a n e e n p u n t k a n w o r d e n v a s t g e l e g d i n ( x , y , z ) coördinaten t . o . v . h e t m a s s a m i d d e l p u n t v a n d e a a r d e ( E a r t h c e n t r e d , e a r t h f i x e d = ECEF). D i t m a s s a m i d d e l p u n t i s t e v e n s o o r s p r o n g v a n h e t WGS-72 s t e l s e l . De coördinaten t . o . v . p l a a t s e l i j k i n g e b r u i k z i j n d e e l l i p s o i d e s w o r d e n a a n -g e -g e v e n a l s ( x ' , y ' , z') t . o . v . m i d d e l p u n t v a n d e b e t r e f f e n d e ellipsoïde. x + Ax • = y + Ay ( 5 ) + Az
De Z-as l o o p t e v e n w i j d i g a a n d e C l O - a s v a n de geoïde, d e X-as e v e n w i j d i g a a n de G r e e n w i c h - m e r i d i a a n v a n d e geoïde. V o o r z e e r n a u w k e u r i g w e r k w o r d t t e v e n s d e oriëntatie v a n d e k o r t e a s e n d e s c h a a l f a c t o r g e g e v e n ( 7 p a r a m e t e r s t r a n s f . ) 5. Coördinaten o p d e ellipsoïde I n f i g u u r 10 z i j n d e d e f i n i t i e s a a n g e g e v e n v a n d e g e o d e t i s c h e b r e e d t e , a l s h o e k t u s s e n d e n o r m a a l op d e g e b r u i k t e e l l i p -soïde e n h e t e q u a t o r v l a k v a n d i e ellip-soïde ( o o k w e l g e o g r a f i s c h e b r e e d t e genoemd) - g e o c e n t r i s c h e b r e e d t e , a l s h o e k t u s s e n d e v o e r s t r a a l v a n d e w a a r n e m e r o p de ellipsoïde e n h e t e q u a t o r v l a k v a n d e ellipsoïde - d e g e o i d e b r e e d t e a l s e e r d e r g e d e f i n i e e r d ( b l z . 2 ) . p h y s i s c h a a r d o p p e r v l a k F i g u u r 10. Breedtecoördinaten. De g e o d e t i s c h e l e n g t e i s g e d e f i n i e e r d a l s d e h o e k A t u s s e n m e r i d i a a n v l a k v a n G r e e n w i c h e n d e p l a a t s e l i j k e m e r i d i a a n , z i e f i g u u r 1 1 . 12
-F i g u u r 1 1 . G e o d e t i s c h e l e n g t e . A l l e r e e r s t w o r d t e e n a a n t a l e i g e n s c h a p p e n a f g e l e i d v a n de e l l i p t i s c h e m e r i d i a a n , z i e f i g u u r 12. c b ^ ^ ^ - - ^ c p \ X * Fi a 0 r '•2'•2 p p F i g u u r 12. De e l l i p s . De e l l i p s i s de v e r z a m e l i n g p u n t e n w a a r de som v a n de a f s t a n d e n t o t de b r a n d p u n t e n c o n s t a n t i s ( = 2 a ) ; de b r a n d p u n t s a f s t a n d OF^ = c. A l s p u n t P i n f i g u u r 12 n a a r B v e r p l a a t s t w o r d t , d a n i s F^B + F^B = 2a v a n w e g e de s y m m e t r i e i s d a n AB = 2a. De h a l v e l a n g e as i s d u s a. A l s P i s a a n g e l a n d , d a n b l i j k t
,2 ^ k2 ( 6 ) w a a r b de l e n g t e v a n d e h a l v e k o r t e as i s . V o o r t s w o r d t g e d e f i n i e e r d c e = — a f = a - b De p a r a m e t e r s e e n f k u n n e n i n e l k a a r w o r d e n u i t g e d r u k t . U i t ( 8 ) : a f = a - b ^ b2 = a2 ( 1 - f ) 2 ^ a2 - c2 = ( 1 - f ) ' 1 - e^ = ( 1 - f ) 2 ^ e = ( 2 f - f 2 ) 2\2 O m g e k e e r d : f = 1 - A - e2 ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 1 0 ) o f : - ke^ - -TT e"^ ... = 1 - f w a a r u i t : f = i e ^ + e^ + ]_ 16 U i t de d e f i n i t i e v a n de e l l i p s v o l g t n a e n i g e h e r l e i d i n g de e l l i p s v e r g e l i j k i n g V o o r p u n t P i n f i g u u r 13 g e l d t : ^2 ( 1 1 ) o f b2 x"" + a2 z2 i 2 b2 ( 1 2 ) 14
-F i g u u r 13. De e l l i p t i s c h e m e r i d i a a n . De t o t a l e d i f f e r e n t i a a l v a n ( 1 2 ) : 2b2 X d x + 2a2 z dz = O dz X dx n U 9 _ a^ cos*^ If c o s ^ (/j + b"^ s i n ^ ip 2 - b ^ s i n ^ ip a ^ c o s^ ^ i p + b ^ s i n ^ ip w a a r u i t : a^ cos ip a c o s «p X = — r = — • r ( a ^ c o s ^ + b ^ s i n ^ ) ^ ( 1 - s i n ^ ip ) ^ b ^ s i n ip a ( 1 - e^) s i n «p ( 1 3 ) I n f i g u u r 13 z i e n we t a n ( 9 0 + c^) = ^ ( 1 4 ) dx"" 2 U i t ( 1 3 ) en ( 1 4 ) v o l g t t a n <p = - — ~ o f b2 x"" b ^ X s i n «p = z cos ^ o f b ^ s i n ^ ip x ^ - a^ c o s ^ «p z^ = O o o k b2 + a2 z2 = a2 b2 D i t g e e f t : ( a 2 c o s 2 ip + b2 s i n 2 i p ) ^ (1 - e2 s i n 2 i p ) ^ = s t r a a l p a r a l l e l ( 1 5 ) ( 1 6 ) 15
-De a f s t a n d PR i n f i g u u r 13 w o r d t a l g e m e e n a a n g e g e v e n d o o r N, w a a r b i j N = X s e c o f N = (a2 c o s 2 + b2 s i n 2 ) ^ ( 1 - e2 s i n 2 v ) ^ s t r a a l . , de 2e h o o f d k r o m t e -T r a n s f o r m a t i e (ip, A , h ) ^ ( x , y , z ) ( 1 7 ) F i g u u r 14. I n f i g u u r 14 z i e n we e e n w a a r n e m e r P op h o o g t e h b o v e n de ellipsoïde. We p r o j e c t e r e n N + h op de Z-as e n op h e t g r o n d v l a k . X = (N + h ) c o s ip c o s A y = (N + h ) c o s ip s i n A U i t ( 1 6 ) e n ( 1 7 ) v o l g t z = (N ( 1 - e 2 ) + h ) s i n ^ 1. T r a n s f o r m a t i e ( x , y , z ) ^ (ip, A , h ) U i t de X - e n y-coördinaten v o l g t o n m i d d e l i j k d e l e n g t e m.b.v. t a n A = ^ X Omdat H e n cp b e i d e o n b e k e n d z i j n , w o r d t e e n i t e r a t i e v e n m e t h o d e g e v o l g d met (p° a l s s t a r t w a a r d e . M e t (p° w o r d t N met f o r m u l e ( 1 7 ) b e r e k e n d e n v e r -v o l g e n s u i t ( 2 0 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) h lO - N ° ( 1 - e 2 ) s m c/j^ U i t f i g u u r 14 v o l g t : ( 2 2 )
N + h
1 6-M e t ( 2 0 ) xTOrdt d i t t a n (p (N + h ) z ( 2 3 ) (N ( 1 - e 2 ) + h ) ( x 2 + y 2 ) 2 Met ( 2 2 ) e n ( 2 3 ) e n ( 1 7 ) d o o r r e k e n e n t o t v o l d o e n d e n a u w k e u r i g h e i d i s b e r e i k t . A l s h = O, d a n g e l d t z o n d e r i t e r a t i e u i t ( 2 3 ) : t a n ^ = •—• r ( 2 5 ) (1 - e 2 ) ( x 2 + y 2 ) 2 I n d e f i g u r e n 15 e n 16 z i j n d e v e r s c h i l l e n a a n g e g e v e n t u s s e n WGS-72 e n ED-50, b e p a a l d u i t e e n g r o o t a a n t a l m e e t p u n t e n . 8. De g e o c e n t r i s c h e b r e e d t e , d e g e r e d u c e e r d e b r e e d t e U i t f i g u u r 17 b l i j k t ( z i e o o k f i g . 1 0 ) : t a n ip ' = — V o o r t s v o l g t u i t ( 1 3 ) e n ( 1 4 ) d a t a' t a n ip = — a2 z b ^ X H i e r u i t v o l g t : o 2 t a n ip t a n ip o f t a n ^ ( 1 - e 2 ) t a n ip S t e l l e n we <p - ip ' = A<p ' , d a n t a n ip ' c o s ^ i p ( 1 - e 2 ) t a n <p o f
A<p ' ge^ s i n 2ip
De g e r e d u c e e r d e b r e e d t e i p " i s d e h o e k d i e d e v o e r s t r a a l n a a r h e t t o e g e v o e g d e p u n t P' op d e o m g e s c h r e v e n c i r k e l m a a k t m e t h e t e q u a t o r v l a k , z i e f i g u u r 17. F i g u u r 17. G e o c e n t r i s c h e b r e e d t e ip ' en g e r e d u c e e r d e b r e e d t e >p" ( 2 6 ) P'(a cos4)';astn^") x T z l - 19
H e t p u n t P i s b e p a a l d d o o r ( a cos <p", b s i n i p " ) . H i e r u i t v o l g t b , II z — t a n i p " = — a X X z b2 V e r d e r h a d d e n we — = —^^ t a n ip , ^ a X ^ w a a r u i t t a n i p " = — t a n ip = / l - e^ t a n v = ( i - f ) t a n ^ a t a n (p = ( 1 - s e ^ ) t a n <p A v " - l e ^ s i n 2>p ( 2 7 ) c o s cp ^ 9. A s s e n t r a n s f o r m a t i e s R o t a t i e s w o r d e n o n t b o n d e n i n r o t a t i e h o e k e n om de d r i e a s s e n . U i t de l i n e a i r e a l g e b r a i s b e k e n d d a t b i j o v e r g a n g v a n ( x , y, z ) n a a r ( x ' , y ' , z') een t r a n s f o r m a t i e m a t r i x R h o o r t w a a r i n de k o l o m m e n v a n R de k e n -t a l l e n v a n de n i e u w e b a s i s v e c -t o r e n s -t a a n ( i n o u d e coördina-ten) en w a a r b i j d a n X = R x ' z y X F i g u u r 18. R o t a t i e om de X-as. I n f i g u u r 18 i s de r o t a t i e om de X-as a a n g e g e v e n o v e r e e n p o s i t i e v e h o e k a ( r e c h t s d r a a i e n d coörd. s t e l s e l ) . e j ' = ( 1 , O, 0 ) 6 2' = (O, cos a , s i n a ) e„' = (O, - s i n a , c o s a) 20
-h i e r m e d e R = O O O c o s a s i n a O s i n a c o s a V e e l a l w i l l e n we j u i s t d e coördinaten i n h e t n i e u w e s t e l s e l b e p a l e n u i t d e o u d e coördinaten. Dan x ' = R I n b o v e n s t a a n d g e v a l i s R = R = 0 cos a - s i n a ü s i n a c o s a Deze m a t r i x w o r d t i n d e l i t e r a t u u r v e e l a l a a n g e d u i d m e t R ( a ) , d u s x ' = R, ( a ) X Zo z i j n o o k de r o t a t i e m a t r i c e s om de Y-as e n Z-as g e d e f i n i e e r d a l s R2 ( a ) e n R^ ( a ) w a a r b i j R2 (ö.) = ' c o s a 0
-
s i n a 0 1 0 ( 2 9 ) s i n a 0 c o s a J en R3 (ct) = ^ c o s a s i n a 0 ' - s i n a c o s a 0 ( 3 0 ) 0 1 > V o o r t s a l s b o v e n : R, ia) = ' 1 0 0 0 c o s a s i n a ( 2 8 ) 0 - s i n a c o s a J D e n k om de r e c h t s o m d r a a i e n d e h o e k a v a n o u d e n a a r n i e u w e a s s e n s t e l s e l I W o r d t d e oriëntatie v a n de x"*" as t e g e n g e s t e l d g e n o m e n , d a n g e l d t ( s p i e g e l i n g ) P. X m e t O O V o o r t s ^2 = 0 O 1 O O - 1 O O ( 3 1 ) e n P, 1 O O 1 O O 21-1 O. T e r r e s t r i s c h e t o p o c e n t r i s c h e coördinaten
L o k a a l k a n e e n coördinatenstelsel w o r d e n g e d e f i n i e e r d m e t h e t X " 0 " Y " - v l a k r a k e n d a a n geoïde o f ellipsoïde e n m e t de Z"-as i n de r i c h t i n g v a n de n o r m a a l , z i e f i g u u r 19. H e t c e n t r u m O" b e v i n d t z i c h i n (X , Y , Z ) . ^ o' o' O F i g u u r 19. T o p o c e n t r i s c h a s s e n s t e l s e l . U i t d e f i g u u r z i e n we d a t de t r a n s f o r m a t i e v a n h e t l o k a l e coördinatenstelsel n a a r h e t E C E F - s t e l s e l b e s c h r e v e n w o r d t d o o r J = (-^ - X) R, (cp - x " + (X Y Z f 3 Z 1 Z O O O ( 3 2 ) 1 1 . K r o m t e s t r a a l m e r i d i a a n V o o r d e f o r m u l e v a n d e k r o m t e s t r a a l M h e b b e n we d e e e r s t e e n t w e e d e a f g e -l e i d e n n o d i g -l a n g s d e m e r i d i a a n , i m m e r s A 2 3/2 M = I I . ( 3 3 ) De t o t a l e d i f f e r e n t i a a l v a n de e l l i p s v e r g e l i j k i n g g e e f t 2b2 x"" dx"* + 2a2 z dz = O (1 - e 2 ) x"" + z — = O d x /, 7 v d^z ,dz .2 (1 - e 2 ) + . z + ( - — ) = O . ^2 d x ^ d x 22
-M e t dz dx^ 1 - e^ + - c o t ip w o r d t d i t d^z z + c o t ^ ip = 0 dx d^z dz e^ - c o s e c ^ ip H i e r m e d e w o r d t ( 3 3 ) (1 + c o t ^ ip) 2 ,x3/2 M e^ - c o s e c ^ ip M = a ( 1 - e 2 ) ( 1 - e2 s i n 2 v ' ) ^ ^ ^ o f 1^ h o o f d k r o m t e s t r a a l ( 3 4 ) 12. L e n g t e m e r i d i a a n b o o g De l e n g t e v a n e e n m e r i d i a a n b o o g v a n a f de e q u a t o r t o t b r e e d t e «p w o r d t b e p a a l d d o o r «P S = f K difi ( 3 5 ) S = ƒ a ( 1 - e 2 ) (1 + 4 e 2 s i n 2 <p + — ^ e ^ s i n * * V + e 5 g i n S + • • • ) dip 2 O 1 ö O U i t g e w e r k t l e v e r t d i t op t/m e^:
S = a (A if - s i n 2ip + A, s i n 4ip - A, s i n óip) ( 3 6 )
O 2 4 6 m e t 3 e ^ ^ 5 e ^ O 4 64 256 3 , O 6^+ 15e5. ^ = 8 ^ ' ^ ^ ^ " T 2 8 - ) A = I 5 _ ^ 3 e ^ ) \ 256 + 4 ^ A = ^ e6 6 3 0 7 2 en ip i n r a d i a l e n . Met d e z e u i t d r u k k i n g z i j n t a b e l l e n g e m a a k t w a a r m e e d a n t e v e n s de a f s t a n d l a n g s de m e r i d i a a n v a n <p ^ n a a r i p ^ i s b e p a a l d . I n N e d e r l a n d z i j n t a f e l s opgenomen i n de " H y d r o g r a p h i s c h e t a f e l s 1 9 5 0 " ( u i t g a v e B u r e a u H y d r . ) w a a r de l e n g t e i n m e t e r s v a n 1 " m e r i d i a a n i s g e g e v e n v o o r de ellipsoïde v a n B e s s e l . I n de " A m e r i c a n P r a c t i c a l N a v i g a t o r " i s e e n t a f e l opgenomen g e b a s e e r d op de ellipsoïde v a n C l a r k e v a n 1866. 1 2 3
-V o o r m i n d e r n a u w k e u r i g w e r k k a n v o l s t a a n w o r d e n m e t e e n b e n a d e r i n g t/m e^. Ook i n d i e n s l e c h t s k o r t e b o g e n v a n e e n m e r i d i a a n m o e t e n w o r d e n b e p a a l d , k a n w o r d e n v o l s t a a n m e t e e n e e n v o u d i g e r b e n a d e r i n g . We b e p a l e n n u e e n m e r i d i a a n b o o g v a n ^ n a a r «p 2 • H i e r t o e b e n a d e r e n we ( 3 5 ) m e t de " m i d p u n t r e g e l " . ^ 2 d^M ^12 = Md^ = . (^2 - ^ ) ^ 24 ^^2 " • d^^/m U i t ( 3 4 ) : M ~ a ( 1 - e^ + — e^ s i n " ip) dM 3 2 • O . — = TT ae.'^ s m 2ip ép 2 d-^M „ 2 r = 3ae'^ c o s 2^ Ap^ H i e r m e d e w o r d t S , ^ = M ' Npi + ^ bp^ a e ^ c o s 2i/3 ( 3 7 ) 12 m O m E x t r e m e w a a r d e v a n de 2e t e r m w o r d t b e r e i k t v o o r = 0 o f 90 w a a r v o o r Av - 1° de w a a r d e v a n de 2° t e r m s l e c h t s 3 cm b e d r a a g t . De l e n g t e v a n 1 m i n u u t v a n de m e r i d i a a n v o l g t e v e n e e n s u i t ( 3 7 ) : de e e r s t e t e r m i s d a n v o l d o e n d e . We z i e n d a t de l e n g t e v a n de m e r i d i a a n m i n u u t t o e n e e m t v a n d e e q u a t o r n a a r de p o l e n . V o o r WGS-72 i s 1 m e r i d i a a n m i n u u t v o o r 0° - 1842.9 m 45° - 1852.2 m 90° - 1861.6 m 13. K r o m t e s t r a a l p a r a l l e l e n l e n g t e p a r a l l e l b o o g l n f i g u u r 13 s t a a t RP l o o d r e c h t op d e ellipsoïde e n RP b e s c h r i j f t b o v e n d i e n d e p a r a l l e l c i r k e l op g e o d e t i s c h e b r e e d t e <p. H i e r u i t v o l g t d a t RP de k r o m t e -s t r a a l l o o d r e c h t op de m e r i d i a a n i -s ( 2 e h o o f d k r o m t e -s t r a a l ) : ( 3 8 ) De s t r a a l v a n de p a r a l l e l i s d a a r m e d e r = N c o s . V o o r e e n b o o g l e n g t e v a n de p a r a l l e l t u s s e n t w e e p l a a t s e n m e t l e n g t e v e r s c h i l AA g e l d t : S j 2 = N c o s .p AA ( 3 9 ) 24
-14. De z e e m i j l H e t w o o r d " m i j l " i s a f k o m s t i g v a n " d u i z e n d s c h r e d e n " v a n R o m e i n s e s o l d a t e n . V o o r n a v i g a t i e d o e l e i n d e n w e r d d e l e n g t e v a n d e m i j l v e e l a l o n t l e e n d a a n a f m e t i n g e n v a n d e a a r d e . C o l u m b u s g e b r u i k t e 45.3 m i j l e n i n e e n g r a a d . De g e o g r a f i s c h e m i j l o f D u i t s e m i j l i s l a n g i n g e b r u i k g e w e e s t , d e l e n g t e was v a s t g e s t e l d op 4 m e r i d i a a n -m i n u t e n op 45 b r e e d t e 7407 -m. De S p a a n s e -m i j l h a d 17.5 -m i j l e n i n e e n b r e e d t e g r a a d , de I t a l i a a n s e m i j l g i n g 60 m a a l i n e e n b r e e d t e g r a a d . Deze l a a t s t e e e n h e i d b u r g e r d e s t e e d s m e e r i n , maar d o o r v e r s c h i l i n i n z i c h t o m t r e n t de a f m e t i n g e n v a n de a a r d e v a r i e e r d e d e z e e m i j l i n g r o o t t e . Nu h e b b e n p r a k t i s c h a l l e z e e v a r e n d e l a n d e n d e a a n b e v e l i n g v a n 1929 v a n h e t IHB t e Monaco o p g e v o l g d , d i e d e l e n g t e v a n de i n t e r n a t i o n a l e z e e m i j l (M, n.m., N M i ) op 1852 m e t e r p r e c i e s h e e f t v a s t g e s t e l d . I n E n g e l a n d w o r d t n a a s t d e n.m. n o g de " s e a m i l e " g e b r u i k t v a n 6080 f e e t (~ 1853.2 m ) . I n z e e k a a r t e n i s d e z e m i j l n o g t e z i e n b i j de zogenaamde " g e m e t e n m i j l " , w e l k e v o o r p r o e f v a a r t e n w o r d t g e b r u i k t . V o o r k o r t e a f s t a n d e n g e b r u i k t d e n a v i g a t o r n o g de " c a b l e " w a a r v a n e r 10 i n een z e e m i j l g a a n . Een k o n s e k w e n t i e v a n d e aanname v a n d e z e e m i j l v a n 1852 m i s , d a t i n d e p r a k t i j k v a n d e n a v i g a t i e v e e l a l g e r e k e n d w o r d t op e e n a a r d b o l w a a r v a n e e n b o o g -m i n u u t v a n d e g r o o t c i r k e l g e l i j k i s a a n 1852 -m. De f o u t e n d i e h i e r d o o r w o r d e n v e r o o r z a a k t , komen i n d e v o l g e n d e p a r a g r a f e n a a n de o r d e . 15. L o x o d r o o m op de ellipsoïde P e d r o Nunez ( 1 4 9 2 - 1 5 7 7 ) c o n s t r u e e r d e i n 1534 h e t v e r l o o p v a n l o x o d r o m e n m e t b e h u l p v a n b u i g z a m e l a t j e s op e e n g l o b e . G e r a r d M e r c a t o r ( 1 5 1 2 - 1 5 9 4 ) t e k e n d e op e e n d o o r hem v e r v a a r d i g d e g l o b e ( 1 5 4 1 ) een n e t w e r k v a n l o x o d r o m e n v a n s t r e e k t o t s t r e e k . Thomas H a r i o t ( 1 5 6 0 - 1 6 2 1 ) e n E d w a r d W r i g h t ( 1 5 5 8 - 1 6 1 5 ) s t e l d e n d e e e r s t e t a f e l s samen v a n w a t w i j " v e r g r o t e n d e b r e e d t e " noemen. H i e r m e d e k o n d e n w a s -s e n d e k a a r t e n w o r d e n g e c o n -s t r u e e r d . S i m o n S t e v i n ( 1 5 4 8 - 1 6 2 0 ) nam d e z e t a f e l s o v e r i n z i j n " W i s c o n s t i g h e G h e d a c h t e n i s s e n " . W i l l e b r o r d S n e l l i u s ( 1 5 8 0 - 1 6 2 6 ) v e r t a a l d e S t e v i n ' s w e r k i n h e t L a t i j n e n G r i e k s . Wat S t e v i n d e " R e c h t e s t r e e k " noemde ( e e n g r o o t c i r k e l r o u t e ) v e r t a a l d e S n e l l i u s a l s " o r t h o d r o m i a " ( o r t h o s = r e c h t ) e n S t e v i n ' s " C r o m s t r e e k " ( r o u t e m e t c o n s t a n t e k o e r s ) w e r d v e r t a a l d a l s " l o x o d r o m i a " ( l o x o s = k t o m ) .
T o t e n m e t de 18e eeuw s p r e e k t men i n d e Z e e v a a r t k u n d e o v e r " k r o m s t r e e k s -r e k e n i n g " . I n d e l o o p v a n d e 19e eeuw k o m t h e t w o o -r d l o x o d -r o o m p a s i n g e b -r u i k ( E n g e l s Rhumb l i n e ) . B r o n : H i s t o r i s c h e o p m e r k i n g e n o v e r d e l o x o d r o o m . D r . E r n s t C r o n e De Z e e , s e p t e m b e r 1965. I n f i g u u r 20 i s e e n d e e l v a n e e n l o x o d r o o m g e t e k e n d op d e ellipsoïde. 25
-m e r r d X p a r M d i p F i g u u r 20. L a n g s de l o x o d r o o m g e l d t s t e e d s : = ^ ^ f ^ M H i e r u i t v o l g t dA = - t a n K dip ( 4 0 ) I n t e g r a t i e l a n g s d e l o x o d r o o m l e v e r t o p : A^ - Aj = t a n K ƒ - dv' ( 4 1 ) De e x p r e s s i e ƒ — dip w o r d t d e " v e r g r o t e n d e b r e e d t e " v a n ip genoemd ( i n r a d i a l e n ) , Q •'• o f i s o m e t r i s c h e b r e e d t e . M e t d e b e k e n d e u i t d r u k k i n g e n v o o r M e n r w o r d t V3 (^) = / - f ) . ^ f ^ dv = ƒ -1 - " s e c V dv ^^'^ 1 - e^ s i n ^ ip ^ •' 1 - e^ s m ^ ip o o ip iP 9 C O S ip J = ƒ s e c V dv - e2 ƒ (, _ e s i n v ) ( 1 + e s i n v ) o o g o o r de l o x o d r o o m op d e b o l k r i j g e n we e e n e e n v o u d i g e r u i t d r u k k i n g , o m d a t — = s e c ip , e n d a a r d o o r V 3 ^ ^ ^ ( . ) = l n t a n ( ^ . | ) ( 4 3 ) V o o r o m z e t t i n g n a a r g r a d e n w o r d t d e u i t d r u k k i n g v e r m e n i g v u l d i g d m e t I S O / T T . I n d e z e e v a a r t k u n d i g e t a f e l s ( Z T ) v a n 1962 w o r d t d e v e r g r o t e n d e b r e e d t e g e g e v e n v o o r d e ellipsoïde i n b o o g m i n u t e n . 26
-I n de ZT-'76 w o r d t w e e r e v e n a l s i n de ZT-'34 de v e r g r o t e n d e b r e e d t e op de b o l g e g e v e n , n u e c h t e r met e e n c o r r e c t i e t a b e l om V i b o l om t e z e t t e n i n V 3 e l l i p -soïde. De g e b r u i k t e c o r r e c t i e t e r m i s g e l i j k a a n de 2e t e r m v a n f o r m u l e ( 4 2 ) o m g e z e t i n b o o g m i n u t e n . I n " H y d r o g r a p h i c N e w s l e t t e r " n o . 1 , u i t g . B u r e a u H y d r o g r a f i e t e Den Haag,_^ w o r d t u i t e e n g e z e t d a t v o o r n a u w k e u r i g e a f s t a n d s b e r e k e n i n g e n op de ellipsoïde ^ m o e t w o r d e n g e b r u i k t . W i l men e c h t e r h e t v e r s c h i l i n a f s t a n d b e r e k e n e n t u s s e n e e n g r o o t c i r k e l r o u t e en een l o x o d r o o m r o u t e , d a n m o e t men de k o r t s t e v e r b i n d i n g en de l o x o d r o o m a f s t a n d o f b e i d e op de b o l o f b e i d e op de e l l i p -soïde b e r e k e n e n . S a m e n v a t t e n d : De k o e r s l a n g s de l o x o d r o o m w o r d t b e p a a l d d o o r t a n K = 1^ (K ^ 9 0 ° , 270°) ( 4 4 ) H i e r u i t b l i j k t o.a. d a t v o o r e e n z e e k a a r t m e t e v e n w i j d i g e m e r i d i a n e n , e n e e n r e c h t e l o x o d r o o m de a f s t a n d v a n t w e e b r e e d t e p a r a l l e l l e n g e l i j k m o e t z i j n a a n A\8' « ( d e l e n g t e v a n 1' op de e q u a t o r ) . Op de " b o l v o r m i g e a a r d e " w o r d t ( 4 1 ) b e n a d e r d d o o r ^ 2 - = t a n K ƒ sec ip d ip h i e r m e d e t a n K = - ^ ^ ^ ^ (K / 9 0 ° , 270°) ( 4 5 ) b o l B e n a d e r e n we AV3 , ^ m e t s e c ip • Aip, d a n b o l m AA c o s ip t a n K = (K ^ 9 0 ° , 270°) ( 4 6 ) Aip De v e r h e i d l a n g s de l o x o d r o o m w o r d t v e r v o l g e n s b e p a a l d d o o r i n t e g r a t i e v a n dV = s e c K . M d ip V = S j 2 sec K (K 7^ 9 0 ° , 270°) ( 4 7 ) I n d i e n S ] 2 w o r d t o p g e z o c h t i n t a f e l s v a n " m e r i d i o n a l p a r t s " , d a n m o e t w o r d e n
o p g e l e t x^elke ellipsoïde e n w e l k e e e n h e d e n h i e r b i j g e b r u i k t z i j n . Sommige t a f e l s s t a a n i n m e t e r s , a n d e r e i n " e q u a t o r m i n u t e n " ; i n h e t l a a t s t e g e v a l m o e t b i j o m r e k e n i n g n a a r m e t e r s o f n.m. r e k e n i n g g e h o u d e n w o r d e n met de b e t r e f f e n d e ellipsoïde. I n d i e n AV3 = O, d a n i s de k o e r s E/W en i s de v e r h e i d g e l i j k a a n de l e n g t e v a n de p a r a l l e l b o o g v o l g e n s p a r a g r a a f 13: V = N c o s (p AA ( 4 8 ) 16. B e r e k e n i n g b e k o m e n p o s i t i e U i t k o e r s , v e r h e i d e n a f g e v a r e n p o s i t i e m o e t de b e k o m e n p o s i t i e w o r d e n b e r e k e n d . E r w o r d t a a n g e n o m e n , d a t de v e r h e i d g e g e v e n i s i n m i j l e n v a n 1852 m e n e v e n t u e e l o m g e z e t w o r d t i n m e t e r s . De a f s t a n d v a n de p a r a l l e l l e n v a n a f g e v a r e n en b e k o m e n p o s i t i e v o l g t u i t ( 4 7 ) : 27
-S = V C O S K ( 4 9 ) ^'^ n.m. De b e k o m e n b r e e d t e w o r d t b e n a d e r d met ip = ip ^ + ( g r a d e n ) Deze w a a r d e i s d e s t a r t w a a r d e v a n de i t e r a t i e v e N e w t o n - R a p h s o n m e t h o d e waarmee «p^ v e r v o l g e n s w o r d t b e r e k e n d : f (<p) = V c o s K - (S (ip) - S (if )) = 0 ( 5 0 ) "^K S' (cpj^) w a a r S ((pj-^) b e r e k e n d w o r d t m e t f o r m u l e ( 3 6 ) en
S' (<p) = a ( A ^ - 2A2 c o s 2v5 + 4A^ c o s 4^ - 6Ag c o s &p)
A l s b e r e k e n d i s , k a n AV3 w o r d e n b e r e k e n d e n h i e r n a AX m e t : AX = AVi t a n K en X^ = X j + AX g e e f t e e n b e n a d e r i n g s f o r m u l e v o o r de v e r a n d e r i n g i n l e n g t e V s i n K AX = c o s b m ( 5 1 ) I n p l a a t s v a n ( 5 0 ) k a n o o k i t e r a t i e f b e r e k e n d w o r d e n m e t Mm Aip + -5- Aip2 a e ^ c o s 2p - V c o s K = O O m o f Mm A<p - V c o s K = O ( 5 2 ) w a t u i t e r a a r d e e n i e t s l a g e r e n a u w k e u r i g h e i d g e e f t . V o o r b o l b e r e k e n i n g e n w o r d t i n de p r a k t i j k g e r e k e n d m e t Ab = V c o s K ( 5 3 ) m e t V i n n.m. e n Ab i n b o o g m i n u t e n . B e n a d e r i n g v a n AV3met: AV3 , = s e c ip • Aip b o l m ( 5 4 ) w a a r V i n b o o g m a a t i s u i t g e d r u k t ] B i j k o e r s e n E/W v o l g t AX u i t ( 4 8 ) : AX = — ( 5 5 ) N c o s ip A l s b o l b e n a d e r i n g w o r d t h i e r v o o r w e l g e b r u i k t AX = ( 5 6 ) c o s ip met V i n n.m. e n AX i n b o o g m i n u t e n . 28
-17. F o u t e n b e s c h o u w i n g v a n de k o e r s - e n v e r h e i d s r e k e n i n g B i j k o e r s e n o n g e l i j k 90° o f 270° g a v e n we i n p a r a g r a a f 15 d r i e f o r m u l e s ( 4 4 ) ( 4 5 ) e n ( 4 6 ) om d e k o e r s v a n d e l o x o d r o o m t e b e r e k e n e n t u s s e n t w e e p o s i t i e s . V o o r d e t e v a r e n k o e r s m a a k t h e t w e i n i g v e r s c h i l w e l k e f o r m u l e g e b r u i k t w o r d t ; men s t u u r t i m m e r s n i e t op b o o g m i n u t e n n a u w k e u r i g . Een f o u t i n k o e r s w e r k t e c h t e r d o o r i n d e b e r e k e n d e v e r h e i d . We z u l l e n d a a r o m de f o u t i n v e r -h e i d b e p a l e n t e n g e v o l g e v a n d e b e n a d e r i n g e n i n ( 4 5 ) e n ( 4 6 ) . ( i ) U i t ( 4 4 ) v o l g t dK AA c o s ^ K AVB^ d(AV3) o f dK = - ^ ^ ^ " ^ ^ d ( A V 3 ) M e t dV = V t a n K dK k r i j g e n we dV = - ^ ""^^^ ^ • d ( A V 3 ) o f w e l ( 5 7 ) ( 5 8 ) De u i t d r u k k i n g v o o r dV3 v o l g t u i t de t w e e d e t e r m v a n ( 4 2 ) : . ^ • e/2 V3 - V ï ^ = - l n ( ^ ^ ^ ^ ^ ^ ) e l l . b o l 1 - e s m ip ~ - l n ( 1 + e^ s i n ip) - - e^ s i n (p I n b o o g m i n u t e n : ^ e l l . - ^ b o l = - 2 3 - ' n s i n v ' ( 5 9 ) Men k a n z e l f c o n t r o l e r e n a a n de h a n d v a n de ZT 76 d a t d e z e c o r r e c t i e -t e r m op O,' 1 n a u w k e u r i g h e -t v e r s c h i l i n V3 -t u s s e n ellipsoïde e n b o l a a n g e e f t . I e t s b e t e r i s : V3 - Vi^ = - 2 3 . ' 111 s i n «p - 0. '052 s i n ^ ^ e i i b o i B i j v e r h e i d s b e r e k e n i n g i s de f o u t i n AV3 d e r h a l v e d ( A V 3 ) = - e ^ ( s i n cp 2 ~ s i n cp ^ ) = -2 e^ s i n |Acp c o s (p^ ( 6 0 ) - - e ^ Acp c o s cp^
H i e r m e d e w o r d t ( 5 8 ) met AV3 = Acp s e c cpj^
ÖV = e^ c o s ^ cpjj^ s i n ^ K. ( 6 1 )
De g r o o t s t e f o u t t r e e d t o p n a b i j de e q u a t o r b i j k o e r s e n n a b i j 90° , 270° e n b e d r a a g t d a n 0.7%.
-( i i ) W o r d t b o v e n d i e n A V 3 b e n a d e r d b i j de k o e r s b e r e k e n i n g d o o r
AV), T = sec ip • Aip
b o l m
d a n o n t s t a a t h i e r d o o r e e n e x t r a f o u t i n de k o e r s d i e w e e r d o o r w e r k t i n de v e r h e i d . De e x t r a f o u t i n AVi b e p a l e n we u i t de m i d p u n t r e g e l
"^2 1 3 d2 ƒ s e c dip = hp s e c ip + ~ (A<p) [ — s e c ip]
m 24 dip
V j m
= Aip sec ip + TTT (Aip) sec^ ip ( 1 + s i n ^ ip )
ra 24 m m De t w e e d e t e r m w o r d t i n g e v u l d i n f o r m u l e ( 5 8 ) : dV = -
4
T
(AV ) ^ t a n K s i n K s e c ^ ip (1 + s i n ^ ip ) z4 m m V e r v a n g e n we Aip d o o r V c o s K, d a n k r i j g e n we v o o r de r e l a t i e v e f o u t i n V: dV 1 . . . V2 V 24 ( 2 s e c 2 f^- \) s i n 2 K c o s ^ K y ^ ^ l g Z ( 6 2 ) w a a r V i n h e t r e c h t e r l i d i n n,m, s t a a t . De r e l a t i e v e f o u t i s m a x i m a a l op de h o o f d t u s s e n s t r e e k e n n a d e r t n a a r n u l v o o r de h o o f d s t r e k e n . V o o r 60 m i d d e l b r e e d t e e n op de h o o f d t u s s e n s t r e k e n v i n d e n we ÖV = - 6,17 • 10 V2 D i t g e e f t b i j v e r s c h i l l e n d e v e r h e d e n met w e g l a t i n g v a n h e t t e k e n : V i n n,m, max, r e l . f o u t i n % max, a l s f o u t i n n , m , 100 0.006 0.006 500 0.15 0.77 1000 0.62 6.2 2 0 0 0 2.5 49.4 5 0 0 0 15 771 V o o r v e r h e d e n d i e p e r e t m a a l w o r d e n a f g e l e g d i s de b e n a d e r i n g r e d e l i j k ; d a a r b o v e n i s de f o u t v o o r de p r a k t i j k o n a a n v a a r d b a a r . N a b i j de h o o f d -s t r e k e n b l i j f t de f o u t e c h t e r o o k v o o r g r o t e v e r h e d e n k l e i n . ( i i i ) W e g l a t i n g v a n de t w e e d e t e r m v a n ( 3 7 ) , na s u b s t i t u t i e Acp = V c o s k ( r a d ) g e e f t : = i = § 2cp^ =i
-3AW '^"^ 2cp^ K H i e r t r e e d t de g r o o t s t e f o u t op n a b i j de e q u a t o r e n op z e e r h o g e b r e e d t e . B i j 5 0 0 0 n.m. i s de f o u t m e t ip = 0° c i r c a 0 . 0 0 1 8 % o f w e l b i i n a 9 n.m. ™ B i j V = 1000 n.m. i s de f o u t s l e c h t s 0.07 n.m. W e g l a t i n g v a n d e z e t e r m z a l v o o r de m e e s t e n a v i g a t i e t o e p a s s i n g e n g e e n k w a a d d o e n . 30-( i v ) Er w o r d e n w e l a a n z i e n l i j k e f o u t e n v e r o o r z a a k t d o o r de b e n a d e r i n g v a n V = M sec K ( 6 4 ) , m d o o r V = Ab sec K (65) w a a r b i j i n h e t l a a t s t e g e v a l Ab i n b o o g m i n u t e n e n V i n n,m. w o r d t genomen. S c h r i j v e n we v o o r (64 ) : M V = sec K • M AV M o
O
w a a r M de k r o m t e s t r a a l v a n de m e r i d i a a n i s v o o r de b r e e d t e w a a r r = ° 1852 m (- 4 4 . ° 3 ) , d a n i s M V = # • Ab sec K ( 6 6 ) MO
M H i e r i n i s V i n n.m. en Ab i n b o o g m i n u t e n . De f a c t o r - ~ s t a a t a l s f a c t o r f g e t a b e l l e e r d i n ZT-76. o De r e l a t i e v e f o u t b i j g e b r u i k v a n de b o l f o r m u l e (65 ) v o l g t u i t de w a a r d e v a n f a c t o r f ( d e c o r r e c t i e i s t e g e n g e s t e l d i n t e k e n ) : m i d d e l b r e e d t e r e l . f o u t i n % O + 0 . 5 % 10 + 0.47% 20 + 0.39% 30 + 0.25% 40 + 0.09% 50 - 0.09% 60 - 0.25% 70 - 0.39%( V.) I n d i e n AV5 = 0 , dus b i j k o e r s e n E/W, w o r d t i n de p r a k t i j k v e e l a l g e b r u i k t ( 6 7 ) V = A£ cos V met V i n n.m. en A«, i n b o o g m i n u t e n . De f o u t d i e h i e r d o o r o n t s t a a t k a n g e m a k k e l i j k b e p a a l d w o r d e n u i t de e x a c t e f o r m u l e V = L ^ £ ^ J ^ ^ AX ( 6 8 ) (1 - e^ s i n ^ <p)^ o f a 1 V = — • •—• — — • — j - • a cos V • AX % ( 1 - e2 s i n 2 ipy ( 6 9 ) H i e r i n i s a de a a r d s t r a a l v o o r de b o l v o r m i g e a a r d e met 1' - 1852 m.
O
3 1-De f a c t o r — • — • y h e e f t d e z e l f d e b e t e k e n i s a l s d e f -""o (1 - e2 s i n 2 v ) ^ f a k t o r u i t de v o r i g e s u b p a r a g r a a f ; m.a.w. h e t i s d e f a k t o r w a a r m e e d e " b o l v e r h e i d " m o e t w o r d e n v e r m e n i g v u l d i g d om d e ellipsoïde v e r h e i d t e k r i j g e n . De f o u t b i j g e b r u i k v a n ( 6 7 ) i s v o o r v e r s c h i l l e n d e b r e e d t e s : b r e e d t e r e l . f o u t i n % 0 ° - 0.18% 1 0 ° - 0 . 1 9 % 2 0 ° - 0.22% 3 0 ° - 0.26% 4 0 ° - 0.32% 5 0 ° - 0.38% 6 0 ° - 0.43% 7 0 ° - 0.48% ( v i ) B i j de b e r e k e n i n g v a n d e b e k o m e n p o s i t i e u i t a f g e v a r e n p o s i t i e , k o e r s en v e r h e i d w e r d e n d e f o r m u l e s g e b r u i k t z o a l s a a n g e g e v e n i n p a r a g r a a f 16, G e b r u i k v a n f o r m u l e ( 5 2 ) v o o r b e y e k e n i n g v a n d e b e k o m e n b r e e d t e g e e f t een o p l o s s i n g v d i e e e n b e d r a g ( A v ) ^ a e2 c o s 2ip m e t e r s v a n d e j u i s t e V a f l i g t . De f o u t i n b r e e d t e i s d e r h a l v e i n m e t e r s 1 O Q d y = g 34333 • a e2 c o s 2 ip^ c o s ^ K ( 7 0 ) Op v = 4 5 ° i s b i j e e n a a n t a l w a a r d e n v a n Af d e f o u t : m Av d y i n m e t e r s 1° 0 . 0 2 5 ° 3 . 5 1 0 ° 28 2 0 ° 227 4 5 ° 2586 W o r d t f o r m u l e ( 5 3 ) g e b r u i k t , d a n i s d e f o u t a a n z i e n l i j k g r o t e r e n i s i n l e b e n a d e r i n g g e l i j k a a n d y = (M - M ) Av o f M dy = (1 - ^ ) Av ( 7 1 ) m De t a b e l i n s u b p a r a g r a a f ( i v ) g e e f t d e p r o c e n t u e l e f o u t v a n ^^2' i i ^ d i e n d e z e b e n a d e r d w o r d t d o o r de b o l f o r m u l e ( 5 3 ) . De bekomen l e n g t e w o r d t v e r v o l g e n s b e r e k e n d m e t e e n f o u t i n A\B d o o r a. d e f o u t i n b e k o m e n b r e e d t e ( 7 0 ) o f (71 ) b. d e f o u t t . g . v . AV3 - AV^ ^^.^^ c. d e f o u t t . g . v . AV3 , '= s e c V • Av b o l m 32
-Ad a. De f o u t E/W w o r d t g e g e v e n i n m e t e r s d o o r d x = t a n K d y ( 7 2 ) Ad b . U i t ( 6 0 ) v o l g t d a t d (A\Q ) = - Acpe^ c o s (p^ De f o u t i n E / W - r i c h t i n g w o r d t i n m e t e r s g e g e v e n d o o r d x = - V e^ c o s V s i n K c o s V . ( 7 3 ) m / m e t V i n m e t e r s . Ad c. De dV3 i s n u i n l e b e n a d e r i n g a f g e l e i d i n s u b p a r a g r a a f ( i i ) . De f o u t i n E / W - r i c h t i n g w o r d t i n n.m. g e g e v e n d o o r d x = — (T 7 ^ ) ^ eos2 K s i n K c o s V , sec3 V (1 + s i n ^ ip ) ( 7 4 ) / ^ J 4 J O ^ m lil Deze f o u t i s m a x i m a a l a l s K = 3 5 ° , 1 4 5 ° , 2 1 5 ° , 3 2 5 ° . V o o r v ^ = 7 0 ° , K = 3 5 ° e n V = 400 n.m. i s d e f o u t 1.2 n.m.; b i j K = 145 i s d i t 1.6 n.m. V o o r l a g e r e b r e e d t e n w o r d t d e f o u t k l e i n e r . Ook h i e r w o r d t d e p r a k t i j k r e g e l w e l g e h a n t e e r d , d a t t o t v e r h e d e n v a n 1 e t m a a l v a r e n d e genoemde f o r m u l e s p r a k t i s c h m o g e n w o r d e n g e b r u i k t . B i j k o e r s e n E/W g e l d t v o o r d e b o l f o r m u l e M = V s e c V, w a a r b i j V i n n.m. e n A£ i n b o o g m i n u t e n , d e z e l f d e f o u t e n t a b e l a l s o p g e g e v e n i n s u b p a r a g r a a f ( v ) . 33
-N a b e s c h o u w i n g : W e l k e f o r m u l e s " i n d e p r a k t i j k " k u n n e n w o r d e n g e h a n t e e r d , h a n g t a f v a n d e p r o b l e e m s t e l l i n g . L o x o d r o o m n a v i g a t i e w o r d t b i j v e l e t o e p a s s i n g e n op z e e -z o a l s h y d r o g r a f i s c h o p n e m e n , r e n d e -z - v o u s p r o b l e m e n b i j K o n i n k l i j k e M a r i n e e n r e d d i n g / b e r g i n g , g r o o t c i r k e l v o l g e n , e t c . - t o e g e p a s t . A f h a n k e l i j k v a n d e p r o b l e e m s t e l l i n g w o r d e n v e r s c h i l l e n d e e i s e n v a n n a u w k e u r i g h e i d g e s t e l d . I n de v o o r g a a n d e p a r a g r a f e n i s g e t r a c h t v a n u i t d e e x a c t e a l g o r i t h m e s op de ellipsoïde a a n t e g e v e n w a t d e f o u t e n z i j n b i j o p v o l g e n d e o r d e s v a n b e n a d e r i n g z o d a t v o o r e l k e t o e p a s s i n g e e n k e u z e g e m a a k t k a n w o r d e n . Wel i s e r s t e e d s v a n u i t g e g a a n , d a t géén f o u t e n o p t r e d e n t e n g e v o l g e v a n a f r o n d i n g s f o u t e n i n de c o m p u t e r o f c a l c u l a t o r . D i t l a a t s t e z a l v o o r a l o p t r e d e n op k o e r s e n n a b i j 9 0 ° , 270°. M e t name c o m p u t e r s d i e s l e c h t s m e t 8 c i j f e r s w e r k e n , g e v e n p r o b l e m e n n a b i j 9 0 ° , 270 . P o c k e t - c a l c u l a t o r s w e r k e n v e e l a l m e t 11 c i j f e r s e n g e v e n g e e n p r o b l e m e n i n d i t o p z i c h t . R a n d g e v a l l e n w a a r Av zéér k l e i n i s , k u n n e n p r a k t i s c h w o r d e n o p g e l o s t d o o r Av = O t e b e s c h o u w e n e n d e o p l o s s i n g v o o r k o e r s e n E/W t e nemen. 18. K o r t s t e a f s t a n d o p de ellipsoïde De k o r t s t e v e r b i n d i n g s l i j n t u s s e n t w e e p u n t e n o v e r h e t a a r d o p p e r v l a k w o r d t de g e o d e t i s c h e l i j n genoemd. I n h e t a l g e m e e n i s i n e l k p u n t v a n e e n kromme op h e t g e k r o m d e a a r d o p p e r v l a k e e n k r o m t e v e c t o r g e d e f i n i e e r d , d i e o n t b o n d e n k a n w o r d e n i n e e n n o r m a l e k r o m m i n g l o o d r e c h t op h e t o p p e r v l a k e n e e n g e o d e t i s c h e k r o m m i n g i n h e t r a a k -v l a k . De g e o d e t i s c h e l i j n i s de v e r b i n d i n g s l i j n v a n t w e e p u n t e n w a a r d e g e o d e t i s c h e k r o m m i n g o v e r a l g e l i j k i s a a n n u l . Op i e d e r p u n t v a n de g e o d e t i s c h e l i j n g e l d t , z i e f i g u u r 2 1 . dv 1 - j — = — c o s a ds M dX 1 - r — = -Tf sec
V
s m a dsN
F i g u u r 2 1. K o r t s t e a f s t a n d op d e ellipsoïde. 34-V e l e p r a k t i s c h e o p l o s s i n g e n z i j n v o o r d i t p r o b l e e m g e v o n d e n . W i j z u l l e n h i e r de o p l o s s i n g g e v e n v o l g e n s A n d o y e r - L a m b e r t , d i e i n " H y d r o g r a p h i c N e w s l e t t e r n o . 1 " d o o r J . T h . V e r s t e l l e a l s b r u i k b a a r s t e m e t h o d e w o r d t a a n g e g e v e n ; d e n a u w k e u r i g h e i d i s 1 ppm. H e t a l g o r i t h m e w o r d t z o n d e r a f l e i d i n g g e g e v e n . De a f g e v a r e n e n b e k o m e n p o s i t i e s z i j n (v j , A ^ ) e n if 2^ ^2^ ( i ) AA = A ^ - A j ( i i ) t a n 3 = — t a n v , ( g e r e d u c e e r d e b r e e d t e ) 1 a 1 t a n 3„ = — t a n V ^ ( " " ) c o s 3 j t a n ~ s i n 3^ c o s AA ( i i i ) c o t A = • -. — •—• ( k o e r s v a n a f v a a r t op
omge-s m
AA ^ ^ ^ ^ s c h r e v e n b o l ) c o s 32 t a n 3^ - s i n 32 c o s AA c o t B = — -. — • ( 1 8 0 - k o e r s v a n a a n k o m s t . . . )s m
AA ' ( 7 6 ) ( i v ) c o s 0 = s i n 3^ s i n 32 + c o s 3^ c o s 32 c o s AA ( g r o o t c i r k e l v e r h e i d op omg. b o l ) (^^^ ( v ) m = ( s i n 3 j + s i n 3 2 ) ^ ( v i ) u 0 - s i n 0 1 + c o s 0 ( v i i ) n = ( s i n 3 j - s i n 3 2 ) ^( v i i i ) V
0 + s i n 0 1 - c o s 0 ( i x ) V e r b e t e r d e v e r h e i d : V = a 0 - | a f (mu + n v ) ( 7 8 ) ( x ) V e r b e t e r d e k o e r s v a n a f v a a r t : A + d A m e t d A = - ^ c o s 2 3„ s i n 2B ^.' ® ( 7 9 ) 2 s m 0 ^ ^ ( x i ) V e r b e t e r d e k o e r s v a n a a n k o m s t 180° + (B + d B ) m e t d B = - ^ c o s ^ 3, s i n 2A ^ .' t ( 8 0 ) 1 s m 0 ^ ^ De c o n s t a n t e n a en f z i j n ellipsoïde p a r a m e t e r s . 1 35-1 9 . H e t R i j k s d r i e h o e k s m e t i n g s t e l s e l ( R D - s t e l s e l ) I n N e d e r l a n d w o r d e n d e coördinaten v a n e e n p u n t v a s t g e l e g d v o l g e n s d e s t e r e o -g r a f i s c h e p r o j e c t i e op d e ellipsoïde v a n B e s s e l . A l s o o r s p r o n g v a n h e t coördinatenstelsel g e l d t de O.L.V.-Kerk t e A m e r s f o o r t met " v a l s e c o ö r d i n a t e n " = 1 5 5 0 0 0 e n Y = 4 6 3 0 0 0 ; h i e r d o o r b l i j v e n d e c o o r d i n a a t w a a r d e n a l t i j d p o s i t i e f . ° De s c h a a l f a c t o r i n d e o o r s p r o n g i s 0 . 9 9 9 9 0 7 9 1 0 . De g e o g r a f i s c h e coördinaten v a n de o o r s p r o n g z i j n (cp , A„) = ( 5 2 ° 0 9 ' 79 " 1 7 8 M uu:3 ZJ l i . . i.UO E ) op de B e s s e l e l l i p s o x d e . V o o r de t r a n s f o r m a t i e v a n ( X , Y ) n a a r (ip , \ ) w o r d e n d e v o l g e n d e c o n s t a n t e n g e b r u i k t : ( 6 ) = 12637 • 1 0 - ^ ( 7 ) = - 2367 • 1 0 - " ( 8 ) 20 • 1 0 - ' ^ ( 1 2 ) = 41547761 . 10-5 ( 1 3 ) = 1090099 . 1 0 - ' ^ ( 1 4 ) 2451 . i o - > « ( 1 5 ) - 1 8 ( 1 5 ) - 817 • 10 ( 1 6 ) 561 . 1 0 - 2 4 ( 1 7 ) = - ( 1 6 ) ( 1 8 ) = 7834464 • 1 0 - ' ^ ( 1 9 ) = - ( 1 8 ) ( 2 0 ) = 1 , 2 6 6 3 2 6 4 0 ( 2 1 ) = 0 , 9 7 2 1 8 6 8 ( 2 2 ) = 1,00279 ( 2 3 ) = 0 , 9 9 9 E e r s t w o r d e n de w a r e ( X , Y ) coördinaten b e p a a l d t . o . v . O e n v e r v o l g e n s w o r d t de c o n v e r g e n t i e p ( i n b o o g s e c o n d e n ) v a n de m e r i d i a a n d o o r ( X , Y ) b e r e k e n d m e t P = ( 1 2 ) X + ( 1 3 ) X Y + ( 1 4 ) X Y 2 + ( 1 5 ) X 3 + ( 1 6 ) X Y 3 + ( 1 7 ) X 3 Y ( 8 1 ) t a n ^ (^ - il,^) = ( 1 8 ) Y + ( 1 9 ) X t a n i p ( 8 2 ) De b r e e d t e v o l g t u i t :
- V ' Q ) = ( * - 4>j"+ ( 6 ) (ip - i | j ^ ) " + ( 7 ) (i, - i>J^ + ( 8 ) ( ^ - ^ ^ ) ' 3 ( 8 3 )
De l e n g t e v o l g t u i t :
It
( A - A ^ ) = ( 2 0 ) ( 1 2 ) X + ( 2 1 ) ( 1 3 ) X Y + ( 2 2 ) ( 1 4 ) X Y 2 + ( 2 2 ) ( 1 5 ) x 3 +
( 2 3 ) ( 1 6 ) X Y 3 + ( 2 3 ) ( 1 7 ) X 3 Y ( 8 4 )
-Om g e m e t e n a f s t a n d e n om t e z e t t e n i n a f s t a n d e n op h e t p r o j e c t i e v l a k w o r d t n i e t g e b r u i k g e m a a k t v a n e e n s c h a a l f a c t o r , m a a r v a n e e n v e r g r o t i n g i n mm p e r hm; d e z e i s i n e e n p u n t g e l i j k a a n 2 2 - - 9-2 ^ 1629 m e t X' e n Y' i n w a r e coördinaten i n km. X' = X - 155 Y' = Y - 463 T r a n s f o r m a t i e v a n RD n a a r UTM g e b e u r t v o l g e n s E = E + X' + dX
O
N = N + Y' + dYO
w a a r X' en Y' d e RD-coördinaten z i j n t . o . v . (O, 0 ) , E = 663 3 9 5 . 5 6 3 e n N 5781 194 442O O
V o o r t s i s dX = a x - b y + c ( x ^ - y 2 ) - d ( 2 x y ) + e ( x ^ - 3 x y 2 ) - f ( 3 x 2 y - y 3 ) + g ( x ^ - 6 x 2 y 2 + y 4 ) _ h ( 4 x 3 y - 4 x y 3 ) ( 8 6 ) dY = b x + a y + d ( x ^ - y 2 ) + c ( 2 x y ) + f ( x 3 - 3 x y 2 ) + e ( 3 x 2 y - y 3 ) + h (x'^ - 6 x 2 y 2 + y 4 ) + g ( 4 x 3 y - 4 x y 3 ) ( 8 7 ) m e t X = X' l O " ^ y = Y' 10 a = - 51 , ,718 b = 3290, ,521 c = 20, ,154 d = 1 , 152 e = 2. ,061 f = 0. 238 g = 0. 058 h = - 0. 013 2 0 . T r a n s f o r m a t i e v a n g e o g r a f i s c h e coördinaten n a a r UTM-coördinaten Z o n d e r a f l e i d i n g w o r d e n d e v o l g e n d e t r a n s f o r m a t i e f o r m u l e s g e g e v e n v a n ( v > A ) op e e n w i l l e k e u r i g e ellipsoïde n a a r r e c h t h o e k i g e UTM-coördinaten i n E a s t i n g e n N o r t h i n g . V o o r e e n v e r k l a r i n g v a n d e U T M - p r o j e c t i e w o r d t v e r w e z e n n a a r " k a a r t p r o j e c t i e s " . De g e b r u i k t e s c h a a l f a c t o r i n d e c e n t r a l e m e r i d i a a n i s K = 0 , 9 9 9 6 . De f o r m u l e s z i j n g e g e v e n t/m de t e r m e n m e t e 2 , ( i ) ( 1 ) = S, w a a r i n S d e m e r i d i a a n s b o o g i s v a n a f d e e q u a t o r v o l g e n s ( 3 6 ) . ( i i ) N = — • 5-——• j- , d e k r o m t e s t r a a l i n E - W - r i c h t i n g . (1 - e2 s i n 2 v ) ' ( i i i ) ( 2 ) = |N s i n 2v s i n 2 1 " • K • l O ^ 37-( v ) -( 3 ) = ^ N s i n V cos3 V s i n ^
1 " ( 5
- t a n ^
v
+ 9e'^ cos^
v )
K •
1 0 ^ ^
Lk
o
( v i ) ( 4 ) = N cos V s i n
1 "• K •
1 0 ^o
( v i i )
( 5 )
= ^ N cos3 V s i n 3
1 " ( 1
- t a n ^
v
+ e'^ cos^ ) K •
10
^2
D O
-4
( v i i i ) p = (X -
^ Q
) "
1 0
(A^ = l e n g t e c e n t r a l e m e r i d i a a n )
( i x ) The N o r t h i n g N v o l g t u i t ( n i e t v e r w a r r e n met k r o m t e s t r a a l N ) :
N =
( 1 )+ ( 2 ) p2 + ( 3 ) p^ ( 8 8 )
( x ) E' = ( 4 ) p +
( 5 )p3 ( 8 9 )
De E a s t i n g E v o l g t u i t
E =
5 0 0 0 0 0
+ E' ... a l s p u n t b e o o s t e n de c e n t r a l e m e r i d i a a n l i g t
E =
5 0 0 0 0 0
- E' ... anders
2 1 . T r a n s f o r m a t i e v a n UTM-coördinaten naar g e o g r a f i s c h e coördinaten
B i j deze t r a n s f o r m a t i e w o r d t e e r s t de b r e e d t e berekend v a n een p u n t op de
c e n t r a l e m e r i d i a a n met de gegeven N o r t h i n g . We hebben h i e r t o e de f o r m u l e ( 3 6 )
v o o r de m e r i d i a a n b o o g n o d i g .
We s c h r i j v e n f (v?) =
O ,
w a a r i n
f (ip) = K a (A ip - A„ s i n 2ip + A, s i n 4<p - A, s i n 6ip) - N
O O 2 4 6
Met Newton-Raphson w o r d t o p g e l o s t :
f (Vj.)
( i ) V,,, , = «P
K+1f (Vj^)
met
f ' (ip) - (A - 2A„ cos 2ip + 4A, cos 4<p - 6A, cos 6(p) K a
o 2 4 6 O
, , N o r t h i n g
en a l s s t a r t w a a r d e ip = — -—
O K a A
O O
De a l d u s gevonden b r e e d t e w o r d t de "pseudo b r e e d t e "
ip
' genoemd. Deze
w o r d t v e r v o l g e n s v e r w e r k t i n :
/ • • N t a n v ' ,2 ? I N I O ^ ^^
2N2s i n
1 " " "O
. sec ip '
10*3= N s i n
1 "• K
-O
38
-( v ) -( 1 0 ) = s e c
