Vraagstukken elektriciteit

(1)

w.

Buijze

Vraagstukken

Elektriciteit

(2)

verzameld door ir. W. Buijze

8ibliotheek TU Delft

" " 11

11111

C 2312917

DELFTSE UITGEVERS MAATSCHAPPIJ - 1989

0784

408

(3)

©VSSD Eerste druk 1989

Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.

P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel. 015-123725

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

All rights reserved. No part ofthis publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photo-copying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher.

(4)

Voorwoord

De hier bijeen gebrachte vraagstukken werden - vaak al vele jaren - gebruikt bij de werkcolleges Elektriciteit voor de eerste twee studiejaren van diverse faculteiten van de TU-Delft

Zij zijn in de loop der tijd bedacht en geformuleerd door velen; collega's en oud-collega's. Slechts enkele vraagstukken zijn van mijn hand. De vraagstukken zijn zodanig gegroepeerd, dat het gemakkelijk is daaruit die keuze te maken, die voor een bepaald college gewenst wordt. De indeling in hoofdstukken is dezelfde als die van het theorieboek Inleiding Elektricitiet van mijn hand; een boek dat ook is uitgegeven onder auspiciën van de VSSD bij de Delftse Uitgeversmaatschappij.

Achterin de bundel zijn de antwoorden op alle vraagstukken opgenomen.

(5)

Inhoud

1. Elektrostatische velden in vacuüm 2. Elektrostatische velden in diëlektrica 3. Elektrische stromen

4. Het magnetische veld van stationaire stromen

5. Stationaire magnetische velden in magnetiseerbare materie 6. Magnetische inductie

7. De vergelijkingen van Maxwell 8. Netwerken en wisselstromen Antwoorden 5 7 17 31

36

46 53

65

69

84

(6)

1 Elektrostatische velden in vacuüm

1.1. Gegeven:

a

= (3,4,-5) en

h

= (-1,2,6). Bereken: a. a en b. b.

a·h.

c. De hoek <p tussen

a

en

h.

d.

a+h.

e.

a-ho

f.

axh.

1.2. Gegeven:

a

+

h

=

(11,-1,5) en

a-

h

=

(-5,11,9). Bereken:

a.

a

en

h.

b. De hoek <p tussen

a

en

a

+

h.

1.3. Gegeven: een scalaire grootheid V(x,y,z) = xy2 + yx2 + 3z2 en

-:* a -:*a --- a (a a a)

v

= 1 ax + J ay + k az' of V = ax' ay , az .

a. Bereken de gradiënt van V; grad(V)

=

VVo

b. Bereken de divergentie van VV; div(VV)

=

V·(VV)

=

div grad(V). c. Bereken de rotatie van VV; rot(VV)

=

V x (VV)

=

rot grad(V).

1.4. Een waterstofatoom is opgebouwd uit een positief geladen kern (proton) en een elektron dat in een cirkelvormige baan om de kern beweegt. In de grondtoestand is de straal van de cirkelvormige baan a

=

O,53x 10-10 _{m. De ladingen van proton en}

elektron bedragen respectievelijk +e en -e; e

=

1,6 x 10-19

_c.

a.

Bereken de kracht ten gevolge van de elektrostatische wisselwerking waarmee kern en elektron elkaar aantrekken.

Vergelijk hiermee de kracht waarmee ze elkaar aantrekken ten gevolge van de gravitationele wisselwerking.

De gravitatieconstante is 6,7 x 10-11 _Nm2fkg2;_ffie

₌

_{9,1 x}_10-31 _{kg; mp}

₌

₁₈₃₆_ffie. b. Bereken de potentiële energie van het elektron in zijn baan. Stel hierbij de potentiële

energie nul als het elektron zich op zeer grote afstand van het proton bevindt. c. Hoe groot is de totale energie van het elektron in zijn baan ten opzichte van de

toestand waarbij het elektron zich

in rust

op zeer grote afstand van het proton bevindt?

d. Hoe groot is de ionisatie-energie van een waterstofatoom (uitgedrukt in J en in elektronvolt)?

(7)

8 Vraagstukken Elektriciteit

1.5. Tussen twee concentrische metalen boloppervlakken A en B (stralen RA en RB) bevindt zich ruimtelading; p

=

~

,

waarin a een constante is en RA < r < RB. Bereken de totale ruimtelading tussen de boloppervlakken.

1.6. Een dunne cirkelvormige schijf met straal R is bedekt met lading (aan één zijde). De oppervlakteladingsdichtheid cr is een functie van de afstand r tot het midden van de schijf: cr

=

a

r2,

waarbij r:S R. Bereken de totale lading op de schijf.

1.7. Tussen twee zeer lange coaxiale metalen cilindermantels A en B (straal respec-tievelijk RA en RB) bevindt zich ruimtelading; p =

rfu- '

waarin a een constante is en RA < r < RB. Bereken de ruimtelading per lengte 1 tussen de beide cilindermantels. 1.8. Een dunne staaf (lengte I) is uniform geladen. De ladingsdichtheid is A. (> 0). a. Bereken de elektrische veldsterkte

Ê

in een punt P dat in het verlengde van de staaf

ligt op een afstand a van één van de uiteinden van de staaf.

b. Bereken de potentiaal in P (stel de potentiaal in het oneindige nul).

1.9. Een rechte draad is overal even dicht met elektrische lading bedekt, waarvan de grootte per lengte-eenheid A. is. De lengte van de draad is J.

a. Bereken de elektrische veldsterkte in een punt P in het middenloodvlak van de draad op de afstand a er vandaan.

b. Vereenvoudig de verkregen uitkomst voor het geval dat 1

»

a is. c. Dezelfde vraag als bij b, maar nu voor het geval dat

a

»

I.

1.10. Een cirkelvormige schijf is overal even dicht met elektrische lading bedekt met de dichtheid cr. De straal van de schijf is R.

a. Bereken met behulp van de wet van Coulomb de elektrische veldsterkte El (x) in een punt op de as van de schijf, op de afstand x er vandaan. De schijf is opgesteld in vacuüm.

b. Als R

»

x, wat is dan de veldsterkte?

c. Leid uit het resultaat van b af de grootte van de veldsterkte E binnen een vlakke condensator (in vacuüm) waarvan de oppervlakte van de platen S is, terwijl de afstand van de platen klein is ten opzichte van de afmetingen van de platen, als de ladingen van de platen

+Q

en

-Q

zijn.

d. Leid ook uit het resultaat af dat de platen van een vlakke condensator elkaar in vacuüm aantrekken met de kracht =

t

QE =

t

toSE2.

e.

Bereken de potentiële energie van de geladen condensator als functie van de onderlinge afstand x. Doe dit door de potentiële energie van de ene geladen plaat te beschouwen in het veld van de andere. Kies de potentiële energie nul in de toestand waarin de platen samenvallen.

(8)

1.11. In een deel van een luchtledige ruimte bestaat in de omgeving van de oor-sprong een elektrostatisch veld. In die buurt kan voor de elektrische veldsterkte worden geschreven:

a. Bereken de getallen a, b, c en k, alle ongelijk aan nul.

b. Bereken de potentiaal in het punt P met de coördinaten (3,2,0), als de potentiaal in de oorsprong op nul gesteld wordt. Bereken ook de potentiaal in het punt Q met de coördinaten (O,yO,ZO).

c. Hoe groot is de ruimteladingsdichtheid in de punten P en Q? 1.12. Van een elektrische veld is gegeven:

Ê

=

(2ax,2ay,0). a. Toon aan dat dit veld een potentiaalveld is.

b. Stel in het punt (0,0) de potentiaal nul. Bereken de potentiaal in een willekeurig punt (x,y).

c. Bereken de ladingsdichtheid in een punt (x,y).

1.13. In een beperkt gebied is een elektrisch veld, waarvan de componenten ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel gegeven zijn door:

Ex

=

ax + by + c, Ey

=

bx - ay + c, Ez

=

c (a, b en c zijn positieve constanten).

a.

Is het veld in dat gebied een potentiaalveld? Verklaar uw antwoord! b. Bevindt zich in dat gebied lading? Verklaar uw antwoord!

1.14. Zie figuur 1.1. Tussen de platen A en B bestaat een potentiaalverschil V 1 (VA > VB). De afstand tussen de platen is a. Bij P komt een elektron binnen met snelheid vo verkregen doordat het elektron met beginsnelheid nul een potentiaalverschil Vo

heeft doorlopen. V

a.

Toon aan dat als het elektron plaat B juist

niet

bereikt geldt: V ~

=

sin2(

cp).

B

---y

a

A _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~=======...::x:...! p

(9)

b. Toon aan dat in dat geval voor de plaats waar de baan van het elektron plaat Braakt geldt: x

=

2a cotg(<p).

1.15. Tussen twee evenwijdige vlakke metalen platen A en B bevindt zich positieve ruimtelading. De dichtheid van deze lading op een afstand x van A is p

=

cx2• De potentialen van A en B zijn beide Vo; de afstand van de platen is a.

a. Bereken de potentiaal in de ruimte tussen A en B als functie van x.

b. Bereken de dichtheid van de oppervlakteladingen die zich aan de binnenkanten van de platen A en B bevinden.

1.16. Een bepaalde bolsymmetrische ladingsverdeling leidt tot een (bolsymmetrisch) veld rondom een centrum 0, zodanig dat de veldsterkte in een punt P gegeven is door

Ë=l(r3_ r)I _Eo _{r .}

a. Bereken de potentiaal V(r) op een afstand r van het centrum 0 als de potentiaal in het centrum nul is.

b. Bereken de waarde re van r waarvoor Veen extreme waarde heeft

c. Beredeneer hoe groot de lading is die omvat wordt door een bol met straal re. d. Bereken de lading Q binnen een bol met een willekeurige straal r.

e. Bereken de ruimteladingsdichtheid p als functie van r.

1.17. Twee even grote vlakke metalen platen A en B zijn op afstand van 6a tegenover elkaar gezet. Zij zijn verbonden met een spanningsbron met sterkte Uo. A heeft de hoge potentiaal. De oppervlakte van elk van de platen is S. Men verbreekt de verbin-dingen met de bron en schuift een ongeladen even grote vlakke metalen plaat C tussen A en B. De dikte van C is 2a; de plaat komt op een afstand a van B te staan. De platen hebben elkaar niet geraakt. a «

...JS.

a. Bereken VA - Veen V c - VB.

b. Bereken de arbeid die men op plaat C heeft verricht bij het naar binnen schuiven. Men gaat weer uit van de begintoestand, maar laat de verbindingen met de bron nu bestaan en schuift dan plaat C op dezelfde plaats tussen A en B.

c. Hoe groot is nu VA - Vc?

d. Bereken de verhouding van de ladingen van plaat A vóór en ná het inschuiven van plaat C.

e. Bereken de energie die de spanningsbron aan het stelsel platen heeft toegevoerd. /. Bereken de verandering van de veldenergie.

g. Bereken de arbeid die men op plaat C heeft verricht bij het naar binnen schuiven. 1.18. Zie figuur 1.2. Twee zeer lange, rechte en evenwijdige hoogspanningskabels hangen op een afstand 1 van elkaar. De straal van de ronde doorsnede van de koperen kabels is r; r «I. De kabels bevinden zich in lucht (vacuüm). Neem aan dat de ene kabel per meter lengte uniform bezet is met +À. en de andere met -À..

(10)

I~

~I

~

I

~w-'

-,-

-~~---@~

I I I I I I I I I I I I

,

...

~,

,

...

~, 2r 2r

Figuur 1.2. Figuur bij vraagstuk 1.18.

a. Bereken de elektrische veldsterkte

Ê

in het punt P gelegen tussen beide kabels.

b. Bereken de capaciteit per meter lengte van het stelsel gevormd door beide kabels. 1.19. Een condensator bestaat uit twee in elkaar geschoven metalen concentrische cilindermantels. De diameters van de cilinders zijn respectievelijk 2Rl en 2R2; R2 > Rl. De lengte van beide cilinders is I; 1

»

R2. De ruimte tussen de cilindermantels is vacuüm. Bereken de capaciteit van deze condensator. Randeffecten mogen v~rwaarloosd worden.

1.20. Zie figuur 1.3. Een lange coaxiale kabel (lengte I) bestaat uit een koperen kern (straal a) omgeven door een koperen mantel (inwendige straal b). Tussen kern en mantel bevindt zich lucht die wij als vacuüm kunnen beschouwen voor wat betreft Er.

Figuur 1.3. Figuur bij vraagstuk 120.

a. Bereken de capaciteit per eenheid van lengte voor deze coaxiale kabel.

Voorts wordt nu gegeven: €o

=

8,85 x 10-12 C2/Nm2; de doorslagveldsterkte van lucht is 2,5 x 106 Vlm. Het potentiaalverschil tussen de kern en de mantel is 10 kV. Voor de afmetingen geldt: a = 10-2 m en b = 5 x 10-2 m.

b. Bereken of er doorslag optreedt of niet.

1.21. Tussen twee coaxiaal opgestelde cilinders bevindt zich ruimtelading. De buitenstraai van de dunne cilinder is R, de binnenstraal van de wijde cilinder is 2R.

(11)

- ---~~~~---,

Hun lengten zijn 1 met 1 » R. Tussen de cilinders is de veldsterkte overal even groot en radiaal naar buiten gericht. De grootte is

Eo.

De buitenste cilinder is geaard.

a.

Bereken de totale ruimtelading.

b. Bereken grootte en teken van de totale lading op de buitenste cilinder. c. Bereken grootte en teken van de totale lading op de binnenste cilinder. d. Hoe groot is de potentiaal van de binnenste cilinder ten opzichte van de aarde? e. Bereken met behulp van de stelling van Gauss de ruimteladingsdichtheid paIs

functie van de afstand r tot de as.

{( 1.22. Zie figuur 1.4. Twee zeer grote vlakke evenwijdige metalen platen staan op

7 (

.

afstand a van elkaar. Er bevindt zich ruimtelading tussen. Gegeven is dat de potentiaal op afstand x van de linkerplaat (0 ~ x ~ a) wordt gegeven door:

U(x) = Uo

(tf

/3, met Uo > O. a. Bereken de veldsterkte

Ê

ter plaatse x. b. Bereken de ruimteladingsdichtheid p(x).

c. Bereken de oppervlakteladingsdichtheden op de linker- en rechterplaat (let op de tekens!). x K A + x a

...

d

Figuur 1.4. Figuur bij vraagstuk 122. Figuur 1.5. Figuur bij vraagstuk 123.

1.23. Ziefiguur 1.5. Een vacuüm-diode heeft tussen de vlakke geaarde kathode K en de vlakke anode A een ruimtelading p(x) als gevolg van de aanwezigheid van elektronen. De potentiaal in de ruimte tussen K en A voldoet op een bepaald tijdstip aan:

U_o(3x-d)x

V(x)

=

2 ' met Uo > O. 2d

(12)

Uit de kathode komen enkele elektronen vrij met een beginsnelheid Vo in de x-richting. De massa van een elektron is m.

a.

Schets het verloop van de potentiaal tussen de platen op dat tijdstip.

b.

Aan welke voorwaarde moet Vo voldoen opdat de door K geëmitteerde elektronen de anode bereiken?

c. De onder b bedoelde elektronen bereiken de anode A met een snelheid VA. Wat is de kleinst mogelijke waarde van v A?

d. Bereken p(x).

1.24. Zie figuur 1.6. In de getekende (denkbeeldige) kubus hangt de elektrische potentiaal van de plaats af volgens V

=

Voe-x/a + by. De ribbe van de kubus is c. Hoekpunt 0 van de kubus valt samen met de oorsprong. Het grondvlak valt samen met het vlak z

=

O.

x

Figuur 1.6. Figuur bij vraagstuk 1.24.

a. Bepaa1Ê.

z

y

o

~----~----~r---b. Bepaal de door de kubus omvatte lading.

1.25.

Rondom een elektrisch geladen metalen bol (straal R), die zich in vacuüm bevindt, is ruimtelading aanwezig, die bolsymmetrisch is verdeeld ten opzichte van het middelpunt 0 van de bol. Voor de ruimteladingsdichtheid geldt: p = -

fn '

waarin a en n positieve constanten zijn (n > 3); r is de afstand tot 0; r> R. Voor de elektrische veldsterkte geldt:

-_E

_{= --- -}

a

r

_{voor r}_~_R.

eor

3 _r

a. Bereken de totale lading omvat door een (denkbeeldige) bol met straal r > R. b. Bereken de oppervlakteladingsdichtheid van de metalen bol.

(13)

C. Bereken de ruimtelading binnen een denkbeeldige bol met straal r > R met behulp van het antwoord op de vragen bij

a

en b. Bereken de ruimtelading ook met behulp van Q

=

f't

P d't, en bepaal zo de waarde van n.

d. Bereken de potentiaal van de metalen bol (stel V = 0 voor r ~ 00).

1.26. Een bolvormige elektronenwolk met een straal R heeft het middelpunt M in de oorsprong. De ruimteladingsdichtheid p is overal binnen de wolk even groot. Men schiet met een snelheid Vo van zeer grote afstand buiten de wolk, een elektron (lading -e, massa m) in de richting van M. De potentiaal in het oneindige stelt men nul. a. Bereken de potentiaal aan de rand van de elektronenwolk.

b. Bereken de elektrische veldsterkte voor 0 < r < R; r is de afstand tot M. Bereken vervolgens het potentiaalverschil tussen het middelpunt M en de rand van de elektronenwolk.

c. Hoe groot moet de snelheid Vo tenminste zijn, opdat het elektron door de wolk heen kan worden geschoten?

1.27. Een bolvormig deel van de luchtledige ruimte is uniform gevuld met lading, met een dichtheid

p.

De

straal van de bol is

R

a.

Bereken de veldsterkte E als functie van r (de afstand tot het middelpunt) in de het geval dat r < R en in het geval dat r ~ R.

b. Bereken de potentiaal op het oppervlak van de bol. Stel V(oo)

=

O.

c. Beantwoord nogmaals de vraag bij b, maar nu voor het geval dat de lading binnen de bol niet meer uniform is verdeeld, maar gelijkmatig zou zijn uitgesmeerd over het oppervlak van de bol.

1.28. Zie figuur 1.7. In een punt A op afstand z van een zeer grote vlakke, geaarde metalen plaat bevindt zich een positieve puntlading Q.

a. Hoe groot is de oppervlakteladingsdichtheid 0' op een afstand x vanaf P? b. Bereken de totale oppervlaktelading binnen een straal x

=

a.

A _z

.---+0 p

I1

(14)

c. Hoe groot is de totale lading op de plaat als deze plaat oneindig groot is?

1.29. Op een afstand a van het middelpunt van een geleidende bol (straal R) bevindt zich een puntlading Q (a > R).

a.

Als de potentiaal V van de bol nul is (dat wil zeggen gelijk aan die in het oneindige) dan is het veld van de influentie lading gelijk aan het veld van een puntlading Q'. Leidt af waar Q' zich bevindt en hoe groot deze is.

b. Er is nu gegeven dat de bol ongeladen is. Bereken de potentiaal VI van de bol als in het oneindige V = 0 gesteld wordt

1.30. Een hoogspanningskabel met 1 cm diameter bevindt zich op een constante potentiaal van +50.000 V ten opzichte van de aarde en op een constante hoogte van 50 m boven de aarde. Beschouw de aarde als een oneindig goed geleidend plat vlak en veronderstel bij de berekeningen dat de lading de kabel uniform bezet. Bereken: a. De lading van de kabel per meter lengte.

b. De veldsterkte op aarde recht onder de kabel.

c. De kracht die op de kabel per meter lengte wordt uitgeoefend.

1.31. Zie figuur 1.8. Twee puntladingen

+Q

en -Q zijn op afstand a van elkaar geplaatst. Beide ladingen bevinden zich op afstand b van een zeer grote geaarde vlakke plaat. A a B .~~~---~~. y +Q -Q b x

a. Bereken de x- en y-componenten van de kracht die de lading -Q ondervindt. b. Bereken de potentiële energie van de lading B. De potentiaal is in het oneindige

gelijk aan nul.

1.32. Zie figuur 1.9. Men heeft een geaarde, holle metalen bol met straal R en middelpunt M. Een lading q op afstand a van M gebracht ondervindt een aantrekkende kracht.

a. Hoe groot is deze aantrekkende kracht?

b. Hoe groot zou de kracht op q zijn, indien de lading binnen de bol op afstand b van M geplaatst was?

(15)

Aanwijzing: Zoek de beeldlading q' van q buiten de bol die samen met de binnen de bol geplaatste lading q ter plaatse van de bol een equipotentiaalvlak geeft

a

~---q

(a) (b)

Figuur 1.9 . Figuur bij vraagstuIc 132.

1.33. In de ruimte is een x-as gedefinieerd, waarop zich twee puntladingen bevinden: +Q ter plaatse x = -a en -2Q ter plaatse x = +a. We stellen de potentiaal V = 0 voor x --+ 0 0 .

a.

Bepaal de oplossingsverzameling van de vergelijking V(x)

=

O. b. Bepaal de oplossingsverzameling van de vergelijking E(x) = O.

c. Bereken welke arbeid men moet verrichten om een lading van -3Q te verplaatsen van x = +2a naar x = -2a.

1.34. Zie figuur 1.10. Vier puntladingen Q, -2Q, +3Q en -4Q bevinden zich aanvankelijk op zeer grote afstanden van elkaar. Men brengt deze puntladingen in de hoekpunten van een vierkant met zijden a. Bereken de arbeid die men daartoe moet verrichten.

-40 r - - - , +30

-20 Figuur 1.10. Figuur bij vraagstuIc 134.

1.35. Als men aanneemt dat de totale lading Ze van de atoomkern uniform verdeeld is binnen een bol met straal a, bereken dan:

a.

De potentiaal op afstand ro ~ a van de kern. Stel V

=

0 voor r --+ 00.

(16)

2 Elektrostatische velden in

d i

ë

I

e kt r i ca

2.1. Zie figuur 2.1. Een polair molecuul met dipoolmoment

p

ter grootte van 4,8 x 10-30 _{coulombmeter bevindt zich op een afstand van}_10-8 _{m van een positief} geladen ion met lading +2e (e

=

1,6 x 10-19 _C)._De_plaatsvector

r

_{is van het molecuul} naar het ion gericht De hoek tussen

p

en

r

is 900

•

a.

Bereken het moment van het koppel dat het molecuul in het veld van het ion onder-vindt.

b. Bereken de elektrostatische krachten (richting en grootte) die het molecuul en het ion op elkaar uitoefenen.

c. Bereken de elektrostatische potentiaal die de dipool ter plaatse van het positieve ion opwekt.

d. Het polaire molecuul bestaat nader beschouwd uit twee ladingen -e en +e die zich op een afstand van 3 x 10-11 _{m van elkaar bevinden. Tot op welke afstand van het} midden van dit molecuul is op de verbindingslijn van -e naar +e van de dipool de potentiaal binnen 1 % correct gegeven door de formule: V

=

- 4 P 2?

nEor

2.2. In een punt bevindt zich een elektrische dipool waarvan het moment pis.

a.

Bewijs dat de potentiaal in een punt P op grote afstand r van de dipool gegeven

wordt door

V _ p cos(9) _

p.;

p - 4nEor2 - 4nEor3 .

b. Leid uit de formule van de potentiaal af de componenten

Er

en Ee van

E.

c. Zie figuur 2.2. Men heeft nu twee dipolen I en II, in één vlak op grote afstand van elkaar gelegen. Hierbij is r de verbindingslijn van de middens der dipolen. De dipoolmomenten zijn

PI

en

fu.

Dipool I maakt een hoek

Î

met de verbindingslijn r, dipool II maakt een hoek <p hiermee. Bereken de grootte en de richting van de veldsterkte die dipool I ter plaatse van dipool II opwekt.

(17)

....

r

Figuur 2.2. Figuur bij vraagstuk 22.

d. Bereken de potentiële energie van dipool TI in het veld van dipool I, als

fu

onder een hoek q> staat met

r.

2.3. In een begrensd gebied in de buurt van de oorsprong is een elektrisch veld in een cartesisch coördinatenstelsel gegeven door:

a, b en c zijn positieve constanten.

a.

Is het veld een potentiaalveld? b. Bevindt zich in dit gebied lading?

In de oorsprong brengt men een elektrische dipool

p,

gericht langs de positieve x-as. e. Bereken de componenten van de kracht op deze dipool.

d. Bereken de componenten van het krachtmoment op deze dipool. e. Waarom is het beschouwde gebied begrensd?

2.4. Zie figuur 2.3. a. Toon aan dat het middelloodvlak van een elektrische dipool een equipotentiaalvlak is. Daaruit volgt dat de formule voor de potentiaal ten opzichte van het oneindige: V

=

P4

cos(~)

, ook mag worden gebruikt met dit vlak

1teof als nulniveau.

b. In een oorspronkelijk uniform elektrisch veld

Ëo

wordt een elektrische dipool

p

geplaatst waarvan de richting gelijk is aan die van

Êo,

Bewijs dat het resulterende veld een potentiaal heeft die op een bepaalde afstand

Ra

van de dipool constant is. Bereken de straal

Ra

van dit bolvormig equipotentiaaloppervlak.

(18)

c. Dezelfde dipool wordt nu geplaatst in het middelpunt van een bolvormige holte met de onder b gevonden straal. De holte bevindt zich in een geleider. Bereken de ladingsdichtheid aan het geleideroppervlak in A en in B, uitgedrukt in p en

Ro.

2.5. Een elektrische quadrupooI wordt gevormd door een lading -2e in de oorsprong en de ladingen +e in de punten (±a,O,O). Toon aan dat de potentiaal op een afstand r (r

»

a) bij benadering is:

v

= ea2(3 cos29 - 1) ;

41t€or3

e

is de hoek tussen r en de verbindingslijn door de ladingen. Wij nemen daarbij aan:

limV =0.

f-->OO

2.6. (Deze opgave behoort eigenlijk tot hoofdstuk 5, zie opgave 5.14) Zie figuur 2.4.

Een lange spoel met straal R en lengte L (» R) heeft per meter lengte n windingen.

De stroom door de windingen is

Jo.

x n ....+0..+... .,....

-...

m

,

-p R ... ~ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ -o::;.-o::;. _ _ _ _ _ _ - - - -

-Figuur 2.4. Figuur bij vraagstuk 2.6.

De grootte van de magnetische fluxdichtheid Bin P, gelegen op de as van de spoel is:

a. Toon dit aan.

In het punt 0 in het eindvlak x =

0

is een spoeltje geplaatst met N windingen waardoorheen een stroom Is vloeit. Het oppervlak van zo'n winding is S. De afmetingen van dat spoeltje zijn klein ten opzichte van R.

b. Hoe groot is de kracht op het spoeltje als het dipoolmoment

m

daarvan wijst in de positieve richting van de as van de spoel? Hoe is die kracht gericht?

c. Dezelfde vraag als bij b, maar nu als het dipoolmoment

m

in de richting staat lood-recht op de as van de spoel.

2.7. Een dunne schijf van elektrisch isolerende stof is permanent elektrisch gepolari-seerd (elektreet) in een richting loodrecht op de schijf. De polarisatie

p

is uniform en is gericht van zijvlak

a.

naar zijvlak ~. De dikte van de plaat is a. De schijf heeft geen

(19)

vrije oppervlaktelading en er zijn geen ladingen of elektrisch gepolariseerde lichamen in de omgeving.

a. _{Bereken het potentiaalverschil VA - VB tussen twee punten}A en B, gelegen in de zijvlakken

a

en ~, niet te dicht bij de randen.

b. Hoe groot is de veldsterkte in een willekeurig punt buiten de schijf, relatief dicht bij het midden van de schijf gelegen?

2.8. Een dunne, planparallelle schijf is loodrecht op de schijf gepolariseerd. De grootte van de polarisatie is Po en de richting is van zijvlak A naar zijvlak B. De schijf is ongeladen. Op de zijvlakken wordt een dunne laag van eenzelfde metaal aangebracht De dikte van de schijf is a.

a.

Men brengt tussen de metalen lagen een geleidende verbinding aan. Hoe groot is dan de dichtheid van de oppervlaktelading aan de binnenzijde van de metalen laag

op A, en welk teken heeft deze lading? Verondersteld wordt dat de polarisatie door het aanbrengen van de platen niet verandert.

b. Men verbreekt de geleidende verbinding. Daarna neemt door een of andere oorzaak de polarisatie af tot

î

Po (de richting blijft ongewijzigd). Hoe groot is nu het potentiaalverschil VA - YB?

2.9. Zie figuur 2.5. Een massieve cilinder van niet-geleidend materiaal is uniform gepolariseerd. De polarisatie

P

is gericht evenwijdig aan de cilinderas. De lengte van de cilinder is I, de diameter is 2R.

...

.

a. Bereken

Ë

in een punt op de as van de cilinder, gelegen op grote afstand r van het midden van de cilinder (r

»

1).

b. Bewijs dat in een punt A, gelegen in het materiaal, op de· as van de cilinder zeer

dicht bij een eindvlak, geldt:

--

-P (

1 )

E = - 1 - -:;:::.~-==~ €a 2VR2 + 12 .

(20)

c. Bereken

Ë

in punt A', gelegen buiten het materiaal, op de as van de cilinder dicht bij een eindvlak.

Voor dit vraagstuk is het nuttig te weten dat op afstand x van een gelijkmatig met elektrische lading bedekte, cirkelvormige, dunne schijf in vacuüm voor de veldsterkte

Ê

op de as van de schijf geldt:

(Dit hoeft u niet te bewijzen!) Zie vraagstuk 1.10.

2.10. Een cilindrisch lichaam C (lengte 1

=

1,0 cm; doorsnede S

=

0,40 cm2) is permanent gepolariseerd, evenwijdig aan zijn lengte-as. De grootte van de polarisatie

P

heeft overal in C de waarde 3,0 x 10-8 C/m2• Er is geen uitwendig veld.

a. Bereken de waarde van de grootte van

Ë

en

î5

in een punt op het verlengde van de as, op L

=

120 cm van het midden van C.

b. Bereken E en D in het midden van C.

2.11. Een dunne vierkante plaat van een diëlektrisch materiaal is uniform gepolariseerd De polarisatievector

P

is evenwijdig aan één van de lange zijden. De dikte b van de plaat is zeer veel kleiner dan de lengten a van de acht zijden.

Bereken

Ë

en

î5

in het centrum van de plaat. Bij de berekening mag gebruik gemaakt worden van het resultaat van vraagstuk 1.9a.

2.12. Zie figuur 2.6. Een massief stuk van een isolerende stof heeft de vorm van een langgerekte omwentelingsellipsoïde. De lengte van de lange as is

I;

de oppervlakte van de cirkelvormige dwarse doorsnede door het midden is S. Het lichaam is geplaatst in een oorspronkelijk veldvrije, ledige ruimte. Het materiaal is uniform elektrisch gepolariseerd in de richting van de lange as. Het heeft geen vrije lading. De polarisatie is

P.

In de stof is de veldsterkte overal-O,1

P/Eo.

c

A, B en C zijn op het oppervlak gelegen punten; A en B liggen op de as en C ligt in het middenvlak.

a. Bereken VA - VB.

b. Hoe groot is de veldsterkte buiten het lichaam in de onmiddellijke omgeving van C?

c.

Hoe groot is de veldsterkte buiten het lichaam in de onmiddellijke omgeving van A?

(21)

d. Bereken de grootte en het teken van de totale polarisatielading (poissonlading) op de rechterhelft van de ellipsoïde.

2.13. Het gemeenschappelijke grensvlak van twee lineaire en isotrope media I en TI is plat. Op het grensvlak bevindt zich overal even dichte oppervlaktelading. In het diëlektricum I is een uniform elektrisch veld, waarvan de sterkte

EI

is. De veldlijnen zijn naar het grensvlak gericht en maken een hoek van 300 _{met de normaal op dit vlak.}

In het diëlektricum TI maken de veldlijnen een hoek van 600

met de normaal op het grensvlak. In I is €r = 3; in TI is €r = 12.

a. Bereken de dichtheid van de vrije lading op het grensvlak van de media.

b. Bereken de grootte en de richting van de polarisatie in elk van de media.

c. Bereken de totale oppervlakteladingsdichtheid van de polarisatieladingen in het grensvlak.

2.14. Wij onderweken het elektrische veld dat wordt veroorzaakt door een perma-nent uniform gepolariseerde bol (straal R, polarisatie

P).

Deze bol is dus een eleklreet.

De oorsprong van het coördinatenstelsel valt samen met het middelpunt van de bol; de z-as loopt in dezelfde richting als

P.

We gebruiken voor onze berekeningen het

continuüm-model

voor de gepolariseerde materie. De ongepolariseerde bol wordt beschouwd als homogeen gevuld met een continu verdeelde positieve lading Q en een continu verdeelde negatieve lading -Q. De gepolariseerde toestand denkt men zich nu ontstaan door een zeer geringe verschuiving à

7

van de centra S en T van de negatieve respectievelijk de positieve ladingscentra ten opzichte van elkaar. Zie figuur 2.7

(waarin à

7

voor de duidelijkheid véél te groot getekend is!). Daardoor ontstaat aan de ene kant (links in figuur 2.7) een uiterst dunne laag "oppervlakte"-lading (negatief) en aan de andere kant een net

w

dunne laag positieve lading. De dichtheid van die lading is op verschillende afstanden van de z-as uiteraard verschillend. Ons model moet aan de bol een even groot dipoolmoment toekennen als deze in werkelijkheid bezit. Daarom kiest men Q en à

7

zodanig dat: Q·á

7

=

P

r

1tR 3 (= p).

.,...,. .. ".,. ... . ... /'

-/

"

-{ ! -x

Figuur 2.7. Figuur bij vraagstuJc 2.14. z

(22)

De veldsterkte overal in de ruimte kan men nu op twee verschillende manieren berekenen:

1. Door na te gaan welke veldsterkten door de beide oppervlakteladingen worden veroorzaakt.

2. Door uit te rekenen welke veldsterkten door de ladingscontinua, die in dit geval bolvormig zijn, worden veroorzaakt.

Methode 1 is in dit vraagstuk alleen bruikbaar voor de berekening van de elektrische veldsterkte in de oorsprong. Methode 2 is in dit vraagstuk te gebruiken voor elk willekeurig punt.

a.

Ga na dat het veld

buiten

de bol kan worden beschreven als dat van een dipooltje met een dipoolmoment

p,

dat zich bevindt in de oorsprong.

b. Het veld

in

de bol is uniform. Om dit te bewijzen, berekenen we in een willekeurig punt A in de bol de veldsterkten

Ë_

en Ë+, veroorzaakt door de negatieve, respectievelijk de positieve ladingscontinua. Ziefiguur 2.8. Bewijs dat:

C. Ga na dat de totale veldsterkte in een willekeurig punt A binnen de bol is: Ë=-P/3€o.

d. Bereken de potentiaal als functie van de plaats (gebruik hiertoe de bolcoördinaten r en a), zowel binnen als buiten de bol (stel V = 0 in het x-y vlak).

e. Ga na dat dit (met behulp van het continuüm-model gevonden) veld inderdaad voldoet aan de voorwaarde dat V continu is aan het grensvlak.

f.

Ga na dat dit veld ook voldoet aan de voorwaarde dat Dn continu is aan het grens-vlak.

g. Bereken de ladingsdichtheid O'b van de oppervlaktelading als functie van a. h. Bereken de totale positieve oppervlaktelading Q,. Er zijn twee methoden:

1. Integreren over het rechterdeel van het bol-oppervlak.

2.

fi

(-P)·dS berekenen over een geschikt gekozen oppervlak.

i.

Ga na, welke relatie r

=

r(a) de veldlijnen buiten de bol beschijft.

2.15. Zie figuur 2.9. Een oneindig lange cilinder is uniform gepolariseerd in een richting loodrecht op de cilinder-as (I

»

R).

Bewijs, door het continuüm-model van vraagstuk 2.14 te gebruiken, dat overal in de cilinder geldt:

Ë

=

-P/2eo.

2.16. Zie figuur 2.10.

Het gebied tussen een metalen bol (met straal R) en lading +Q en een ongeladen concentrisch met A gelegen metalen bol B (straal 3R) vult men voor driekwart met diëlektrisch materiaal met relatieve permittiviteit €r op de in figuur 2.10 aangegeven wijze.

(23)

a.

Bereken de capaciteit van deze bolcondensator.

b. Bereken de dichtheid van de vrije lading in een punt C van de binnenste bol, dat aan gebied I grenst (ook het teken vennelden).

c. Idem in punt D van de binnenste bol, dat aan gebied 11 grenst (ook hier het teken vermelden).

d. Bepaal de polarisatievector

P

in gebied I, op afstand r (R < r < 3R) van het midden gelegen.

+Q a B

(24)

2.17. Zie figuur 2.11. a. Wat is het verband tussen de elektrische veldsterkten aan weerszijden van het grensvlak van een lineair isotroop diëlektrisch materiaal en vacuüm? Op het grensvlak is geen vrije lading aanwezig. Op een afstand a van een puntlading

+Q

bevindt zich het platte oppervlak van een zeer groot stuk niet-geleidend materiaal (lineair en isotroop) waarvan de relatieve permittiviteit E.r is. b. Bereken de veldsterkte bij B (het voetpunt van de loodlijn uit Q op het oppervlak)

onmiddellijk buiten het materiaal.

2.18. Van twee concentrische metalen boloppervlakken A en B zijn de stralen respectievelijk 1 en 1,5 meter. De ruimte tussen de bollen denke men zich eerst opgevuld met een isotroop, lineair polariseerbaar medium waarvan de relatieve permittiviteit €r gelijk is aan 3. Men zet op deze condensator een spanning zodanig dat VA - VB = 1000 volt.

a. Bereken de lading van A.

b. Bereken het elektrisch dipoolmoment per volume-eenheid in een punt van het medium dat op een afstand r van het middelpunt ligt.

c. Hoe groot is de dichtheid van de vrije lading op de binnenzijde van B, en welk teken heeft deze lading?

De ruimte tussen de bollen denke men zich vervolgens geheel opgevuld met een permanent gepolariseerd medium (elektreet). Men verbindt A en B geleidend. Van het medium is gegeven dat de polarisatie de richting heeft van

c,

terwijl P = a/r2.

d. Bereken de vrije lading aan de binnenzijde van B, en geef ook het teken. (De functie P is hier zodanig dat de "poissonladingen" alléén op het oppervlak van het medium optreden).

2.19. Zie figuur 2.12. Een vlakke plaatcondensator bestaat uit twee vierkante platen

met zijden a op onderlinge afstand b (b« a). De condensator is en blijft aangesloten op een spanningsbron met constante spanning Uo. Door een plaat met dikte b kan de ruimte tussen de platen geheel of gedeeltelijk worden opgevuld met een diëlektricum waarvan E.r

=

4. a + F

U

_o x Figuur 2.12. Figuur bij vraagstuk 2.19.

(25)

a. Druk de waarde van de elektrische veldenergie Uel van de condensator uit in de gegevens als het diëlektricwn er voor een lengte x insteekt.

b. Druk de lading

Q

op de geleidende platen van de condensator uit in de gegevens in de onder a beschreven situatie.

c. Bereken de grootte van de kracht

F

waarmee het diëlektricwn het veld wordt inge-trokken.

2.20. Van twee concentrische dunne metalen boloppervlakken heeft het binnenste een straal Rl en het buitenste een straal R2. De buitenste bol is geaard (potentiaal nul); de binnenste heeft een lading QI. In de ruimte tussen de bollen bevindt zich een ruimtelading met een overal even grote dichtheid

p.

Men mag voor de tussenruimte

er

=

1 stellen.

a. Bereken de veldsterkte in de tussenruimte als functie van r.

b. Bereken de lading

02

van de buitenste bol. c. De in a berekende veldsterkte is te schrijven als:

E=

~

+Br.

Bereken de potentiaal van de binnenste bol, uitgedrukt in A, B, Rl en R2.

d. Bereken de totale veldenergie (wederom uitgedrukt in A, B, Rl en R2).

2.21. Zie figuur 2.13. Een metalen bol (straal R) is omgeven door een bolschil bestaande uit een homogeen, isotroop en lineair polariseerbaar diëlektricum met relatieve permittiviteit er. Die bolschil heeft een buitenstraai 2R. Op de metalen bol bevindt zich een vrije lading +Q.

a. Bereken de totale elektrische veldenergie in de gehele ruimte van 0 ~ r ~ 00.

b. Bereken de totale polarisatie-oppervlaktelading die zich bevindt aan de binnenzijde van de bolschil.

c. Dezelfde vraag als bij b, maar nu voor de buitenzijde van de bolschil.

2.22. Een diëlektricum is homogeen en isotroop, maar niet lineair. In het diëlektricwn zijn

Ê

en

D

dus gelijk gericht. De relatie tussen hun grootten is:

(26)

l-e-AE D = Eo(E + AE

Eo).

1

+e-Hierin zijn A en

Eo

positieve constanten.

a. Tot welke verzadigingswaarde nadert de elektrische polarisatie P als de veldsterkte in het medium sterk toeneemt?

B

Figuur 2.14. Figuur bij vrfUJgstuk 222.

b. Zie figuur 2.14. Binnen het diëlektricum, nabij een punt B van het oppervlak is de grootte van de veldsterkte E = l/A. De richting maakt met d~ naar binnen gerichte normaal in B een hoek 0., tan(a.)

=

t.

Bereken de normale en tangentiële compo-nent van de veldsterkte buiten het diëlektricum in de onmiddellijke nabijheid van B.

2.23. Los het probleem van vraagstuk 2.13 nu op, door gebruik te maken van het gegeven dat vanwege de axiale symmetrie zowel buiten als binnen de bol (buiten echter met andere constanten dan binnen) geldt:

waarin

00 00

V(r,O)

=

LAnflPn{cos(O)}

+

LBnr-<n+I)Pn{cos(O)}, n=O n=O

1 dn

Pn(u)

=

2n 'd n (u_{n. u} 2 - 1)n, met u

=

cos(O), zodat:

Po { cos(O)} = 1, PI {cos(O)} = cos(O) en P2 {cos(O)} =

~3cos2(O)

- 1).

2.24. Los het probleem van vraagstuk 2.14 nu op, door gebruik te maken van het gegeven dat vanwege de cilindersymmetrie zowel buiten als binnen de cilinder (buiten echter met andere constanten dan binnen) geldt:

00

V (p ,cp) =

Aa

+ Boln(p) +

L

pn {Ancos(nq» + Bnsin(ncp)} +

n=I

00

+

L

p-n { Cncos(ncp) + Gnsin(ncp) } . n=I

(27)

28 Vraagstukken elektriciteit

2.25. In een oneindig uitgebreid, oorspronkelijk uniform, elektrisch veld (veldsterkte

130)

in vacuüm plaatst men een ongeladen massieve rechte cirkelcilinder (lengte 1, straal R « 1) van lineair isotroop homogeen diëlektrisch materiaal (relatieve permittiviteit Er), met de as loodrecht op

130.

Om het veld buiten de cilinder te kunnen beschrijven, maken we gebruik van cilinder-coördinaten, waarbij de z-as samenvalt met de cilinderas. De oorsprong ligt in het midden van de cilinder. De x-as van waar af <p wordt bepaald, loopt in de richting van

130.

Zie figuur 2.15.

Als men zich beperkt tot punten waarvoor p

«

1 en Izl

«

1 (zodat men de randeffec-ten mag verwaarlozen) blijkt de porandeffec-tentiaal aldus van de plaats af te hangen:

v

=

Apcos(<p) voor p ~ R en

v

=

-Eopcos(<p) +

~

cos(<p) voor p ~ R.

a.

Bewijs dat deze potentiaal een oplossing is van de vergelijking van Laplace. b. Druk A en C uit in

Eo

en R.

c. Bereken de oppervlakteladingsdichtheid crb van de poissonlading op het

cilinder-oppervlak als functie van <po N.B. In cilindercoördinaten is:

2.26. Zie figuur 2.16. In een zeer groot stuk van een homogeen isotroop en lineair diëlektricum bevindt zich een relatief kleine bolvormige holte (waarin Er

=

1) met straal

(28)

elektrisch veld, dat op grote afstand van de holte uniform is en een sterkte Eo heeft. We voeren coördinaten r en 9 in zoals in figuur 2.16 aangegeven. We willen het veld in en bij de holte uitrekenen.

Eo

a. 1. Aan welke voorwaarde moet de oplossing voldoen op grote afstand van de holte?

2. Aan welke voorwaarden moet de oplossing voldoen op het grensvlak holte-materie?

Voor de potentiaal Vi in de holte geldt de algemene oplossing:

Vi

=

L

CnflPncos(9).

n=O

Voor de potentiaal Vu buiten de holte:

Vu

=

-Eorcos(9) +

L

Bnr-{n+I)Pncos(9).

n=O

De functies P ncos(9) zijn legendre-polynomen. Er geldt: Po

=

1; PI

=

cos(9); P2

=

i<3cos2(O) - 1).

b. Gebruik de randvoorwaarden, genoemd in a2, om vergelijkingen op te stellen waaruit de coëfficiënten Bn en Cn opgelost kunnen worden. Verwaarloos de termen Bn en

Co

voor n ~ 2.

c. Druk de veldsterkte in de holte, ~, uit in Er en

Eo.

(29)

30 Vraags tukken elektriciteit

2.27. Zie figuur 2.17. Gegeven zijn de legendre-polynomen:

PO{cos(e)} = 1; pdcos(e)} =cos(e); P2{COS(e)}

=~3cos2(e)-I).

Als e = 0 is Pn {cos(e)} = 1, voor alle n. In het xy-vlak van een cartesisch coördina-tenstelsel bevindt zich een dunne ring met een daarover uniform verdeelde lading Q. De straal van de ring is a. Het middelpunt valt samen met de oorsprong van het coördinatenstelsel.

y

a. Bereken de potentiaal in een punt (O,O,z) op de z-as door uit te gaan van de uitdrukking voor de potentiaal van een puntlading.

b. Geef drie termen van de reeksontwikkeling naar (a/z)2 voor de onder a berekende potentiaal als z > a; dat wil zeggen als a/z zeer klein is.

c. Aan welke vergelijking moet de potentiaal in het gebied buiten de ring voldoen? d. Hoe gedraagt zich de potentiaalfunctie voor r - t oo?

Op grond van axiale symmetrie van het probleem is de algemene oplossing van de onder c bedoelde vergelijking:

00

V(r,e) = L(An~

+

Bnr~n+l»Pn{cos(e)}.

n=O

(30)

3 Elektrische stromen

3.1. Door een cilindrische draad met straal R gaat een stroom evenwijdig aan de as; de stroomdichtheid J is een functie van de afstand r tot de hartlijn van de draad: J::: a·r waarbij r ~ R. Bereken de stroomsterkte 1.

3.2. Uit een verwannde metalen plaat A ontsnappen elektronen (beginsnelheid::::: 0)

naar een recht tegenover A (op korte afstand I), evenwijdig aan A opgestelde metalen plaat B. De snelheid

v

van de elektronen blijkt als volgt af te hangen van hun afstand x

tot plaat A:

v:::

axUJ

T,

_{waarin a een positieve constante is en}_x~ _I;

T

_{wijst van A naar}

B. Per seconde en per m2 ontsnappen n elektronen uit plaat A; de lading van een elektron is -e. De toestand is stationair.

a.

Bereken de stroomdichtheid.

b. Bereken de ruirnteladingsdichtheid

p

als functie van x.

3.3. Tussen twee concentrische metalen bollen A en B (RA < RB) vloeit een stationaire elektrische stroom. Bol A zend namelijk N elektronen per tijdseenheid uit die radiaal van A naar B bewegen (de lading van een elektron is -e).

a. Bereken de stroomsterkte.

b. Bereken de stroomdichtheid als functie van de afstand r tot het middelpunt van de bollen.

3.4. Zie figuur 3.1. Een lange cilindrische metalen draad (straal RI> is omgeven door een (even lange) coaxiale metalen cilindermantel (inwendige straal R2); de ruimte tussen draad en cilindermantel is materievrij. Door verhitting van de draad komen er per tijdseenheid en per lengte-eenheid n elektronen (elk lading -e) vrij, die zich langs de kortste weg naar de cilindermantel begeven. De toestand is stationair.

- - - -. -R - - - -

~2

- -

-1<',""

..1 1

i { )

______________

\l

.

/

\ ..

a. Bereken de grootte van de stroomdichtheid in de onmiddellijke nabijheid van het

oppervlak van de draad.

I

(31)

elektronen uit de draad komen is VI; nabij de omhullende cilindermantel is de ruimteladingsdichtheid P2 en de snelheid der elektronen V2. Welke relatie bestaat er tussen PI, P2, vI, v2, Rl en R2?

3.5. In vacuüm bevinden zich, gelijkmatig over de ruimte verdeeld, per volume-een-heid N elektronen (lading -e, gemiddelde snelheid \v

1»

en N protonen (lading +e, ge-middelde snelheid \vu). Bereken de stroomdichtheid voor het geval dat \vI)

=

-\v2).

3.6. In vacuüm bevinden zich, gelijkmatig over de ruimte verdeeld, per volume-een-heid NI elektronen (lading -e) en N2 positieve ionen (lading q). De gemiddelde snelheid van de elektronen is \vI) en van de ionen

\VÛ.

a. Bereken de ruimteladingsdichtheid p.

b. Bereken de over alle deeltjes gemiddelde snelheid (V).

c. Is de stroomdichtheid j = p(V)?

3.7. a. Iemand beweert, voor de stroomdichtheid in een deel van een geleidend

medium, waarin een stationaire elektrische stroom loopt, ten opzichte van een cartesisch assenstelsel te hebben gevonden:

j

= (3x2,-6xy,z2). Ga na, waarom dit niet juist kan zijn.

b. Wel mogelijk is

j

=

(3x2,-6xy,O). Ga na aan welke vergelijking de stroomlijnen in dit geval voldoen.

3.8. Tussen twee vlakke, evenwijdige platen A en B wordt een stroom van elektronen onderhouden. Voor de snelheid van de elektronen geldt:

v

=

vi waarbij de x-as loodrecht op A en B staat; x = 0 voor plaat A en x = d voor plaat B. Per tijd- en per oppervlakte-eenheid verlaten n elektronen plaat A; de lading van een elektron is -e.

Stel dat op zeker tijdstip geldt:

j

=

-(ax2

+

b)i waarin a en b positieve constanten zijn.

a. Hoe groot is n op dat ogenblik?

b. Men beschouwt de totale ruimtelading, die zich bevindt in een cilindrische ruimte, die begrensd wordt door de platen en een doorsnee ~S heeft, terwijl de as loodrecht op de platen staat. Hoe groot is de toename van de lading per opper-vlakte?

c. Bereken de toename per tijd van de ruimteladingsdichtheid

dp/dt

als functie van x voor het bedoelde tijdstip.

3.9. Een gelijkmatig met elektrische lading bedekte, cirkelvormige platte schijf (oppervlakteladingsdichtheid cr, straal van de schijf R) draait met hoeksnelheid co om een as door het middelpunt. De as staat loodrecht op de schijf.

a.

Hoe hangt de grootte van de oppervlaktestroomdichtheid

Ä

in een punt van de schijf af van de afstand r tot het middelpunt? [A]

=

[I][lrl.

(32)

3.10. Zie figuur 3.2. Een platte ronde doos is van zeer dun metaal gemaakt. De straal van deksel en bodem is a, de hoogte van de doos is h, de dikte van het materiaal is d; d

«

a en d

«

h. De soortelijke weerstand is 11. Twee rechte staven, waarvan de doorsneden cirkelvormig zijn met straal b, zijn coaxiaal met de doos op deksel en bodem gelast. De doos is hol.

A

B

a

Een elektrische stroom gaat door de ene staaf naar de doos toe en door de andere staaf van de doos af, van A naar B.

a. Bereken de gemiddelde stroomdichtheid in de staven.

b. Bereken de grootte van de stroomdichtheid j in een punt van het deksel, dat een afstand r tot de as heeft.

c. Bereken het potentiaalverschil VA - VB.

3.11. a. Bereken de substitutiegeleiding in de gevallen van figuur 3.3a.

Figuur 3.3. a. Figuur bij vraagstuk 3.11a.

b. Bereken de substitutieweerstand in de gevallen van figuur 3.3b.

(33)

\

34 Vraagstukken elektriciteit

QZiefiguur 3.4. Bereken

d~

stroomverdeling en bereken de

vervangingsweer-Q v a n het netwerk gezien aan de klemmen a en b.

99V a

+

b

Hl

~~4. Figuur bij vraagstuk. 3.12.

~Lie figuur 3.5. Bereken de stroomverdeling.

lA

+

Hl 1V

e

~ 3.5. Figuur bij vraagstuk. 3.13. Figuur 3.6. Figuur bij vraagstuk. 3.14.

3.14. ie figuur 3.6. Bereken de spanning over en de stroom door elk element in de heling van figuur 3.6; Welk vermogen levert elk der respectievelijke bronnen?

3.15. Zie figuur 3.7. Bereken U 1 en U2. lV

+

U

1 2V

Figuur 3.7. Figuur bij vraagstuk. 3.15. Figuur 3.8. Figuur bij vraagstuk. 3.16.

(34)

& Zie figuur 3.9. Bereken de stroomverdeling.

+

10

lV 40

(35)

36

4 Het magnetische veld van

stationaire stromen

4.1. Door een lange cilindrische buis (binnenstraai Rl> buitenstraai R2) gaat een

stroom I. De stroomdichtheid is overal even groot. Bereken de magnetische

fluxdicht-heid in een punt dat op een afstand r van de as van de buis verwijderd is. Onderzoek de gevallen r < Rl, Rl < r < R₂en r > R_{2 .}Geef grafisch het verloop van de magnetische fluxdichtheid als functie van r.

4.2. Zie figuur 4.1. Door een in de vorm van een cirkel met straal R gebogen metalen

draad gaat een stroom I. Op een afstand z van het middelpunt van de cirkel ligt op de

as een punt P. tan( <p) = R/z.

Bewijs dat in P geldt: Ep

=

J..4>

2k

sin3(<p)

k.

4.3. Op grote afstand z op de as van de stroomkring van vraagstuk 4.2 kan men

schrijven: Bp = Azm. Bereken A en m.

4.4. Leid door het toepassen van de stelling:

#

E·dS

=

0 af dat in het geval van de

situatie geschetst in vraagstuk 4.2 in het punt Q, op afstand p van de as (z

»

R, p

«

z) de component Bp loodrecht op de as gegeven kan worden door:

4.5. Zie figuur 4.2. Door een spoel (lengte I, diameter 2R) die dicht bewikkeld is met

n windingen gaat een stroom I.

a. Bereken de magnetische flux dichtheid Bp in een punt P ergens op de as van de

spoel gelegen.

(36)

C. Als we aannemen dat de spoel zeer lang en slank is, wat is dan Bp:

1. in het midden van de spoel; 2. bij één van de uiteinden?

4.6. Door twee evenwijdige lange rechte metalen draden lopen tegengesteld gerichte elektrische stromen. De stroomsterkten zijn 11 en

h;

de afstand tussen de draden is a. Bereken de kracht die de ene draad op een lengte I van de andere draad uitoefent. Hoe is deze kracht gericht.

4.7. Zie figuur 4.3. Twee zeer lange draden kruisen elkaar loodrecht op een afstand

a. Door de ene draad gaat een stroom 11, door de andere

h

a

I, (8)- - - 0 2/

Bereken de kracht en het krachtmoment dat de oneindig lange draad met stroom 11 uitoefent op een stuk 2/ van de andere draad met stroom 12. Het stuk 2/ is zodanig gekozen dat de eerste draad in het middelloodvlak ligt.

4.8. In een uniform magnetisch veld met fluxdichtheid

B

bevindt zich een wille-keurige vlakke gesloten kromme, bestaande uit een metalen draad, waarin een stroom I vloeit.

B

is evenwijdig met het vlak van de kromme, die een oppervlakte S heeft. Welke kracht en welk krachtmoment wordt op de stroomkring uitgeoefend?

(37)

4.9. Zie figuur 4.4. Een rechte draad AB met lengte I en een zeer lange draad liggen

in één vlak en staan loodrecht op elkaar. Het uiteinde A van AB bevindt zich op een afstand a van de lange draad. Door beide draden gaat een stroom I.

a

A L . I ---.~----'

B I

a. Hoe groot is de resulterende kracht op AB?

b. Hoe groot is het resulterende krachtmoment op AB ten opzichte van A?

4.10. Zie figuur 4.5. Door een zeer lange, dunne horizontale metalen band (breedte

b) loopt een elektrische stroom. De oppervlaktestroomdichtheid

A

is overal in de band dezelfde

(A

is in de lengte van de band).

Voor de stroomsterkte geldt dus I = Ab. [A] = [I][br1.

b

..

• P

I

I~

Bereken hoe groot de magnetische fluxdichtheid

B

is in een punt P, dat zich op een afstand c recht boven het midden van de band bevindt.

4.11. Men beschouwt een stationaire stroom van elektronen in vacuüm. Men denkt

zich ergens in dat deel van de ruimte, waar deze stroom loopt, de oorsprong van een cartesisch coördinatenstelsel. Voor het door de elektronenstroom opgewekte magnetische veld blijkt - in een begrensd gebied rond de oorsprong dat geheel in de elektronenstroom ligt - te gelden:

(38)

Bx = -ay - by

-V

x2 + y2 ; By = +ax + bx

-V

x2 + y2 ;

Bz

=

O.

Bereken de stroomdichtheid J = J(x.y.z) in dat gebied.

4.12. In een luchtledige ruimte bewegen elektrische ladingen. De stromen zijn stationair zodat het magnetische veld geen functie is van de tijd.

Voor de magnetische fluxdichtheid geldt in een begrensd gebied rond de oorsprong:

a. b. c en f zijn constanten.

a. Druk c en f uit in a en b.

b. Bereken de stroomdichtheid

1.

4.13. Wij beschouwen in een driedimensionale ruimte alleen dát deel waarvoor

x > O. In dat deel van de ruimte geldt - voor niet ál te kleine r - dat de magnetische fluxdichtheid voldoet aan:

- r-f

Brr) _\l =~-_{r2 r •}

C > 0 en f is de plaatsvector vanuit de oorsprong.

a.

Wat is de dimensie van de constante C. uitgedrukt in de basisgrootheden massa (M). lengte (L). tijd (T) en stroomsterkte (I)?

y

Yo

x z

Figuur 4.6. Figuur bij vraagstuJc 4.13.

Zie figuur 4.6. Voorts wordt nu gegeven dat wij een punt P beschouwen met

coördi-naten (xo.yo,ü) met Yo > O. In het punt P bevindt zich op het tijdstip t = 0 een elektron (massa m. lading --e). Het elektron heeft op dat moment een snelheid

v

= vok. Wij willen het elektron laten lopen in een cirkelvormige baan met straal yo en met het

(39)

middelpunt op de x-as. Om het elektron in die baan te houden is naast het magnetische veld ook nog een uniform elektrisch veld Êo nodig.

b. Bepaal de richting van het elektrische veld. c. Bereken de grootte van voo

d. Maak een schets van de situatie, met enkele magnetische veldlijnen en geef globaal (zonder berekening) aan welke baan het elektron ongeveer zal doorlopen voor t > 0, als het elektrische veld niet aanwezig is. Beredeneer waarom u de baan zo schetst.

4.14. Wat is de snelheid van een bundel elektronen als de gelijktijdige invloed van een elektrisch veld (E

=

3,4x 105 Vlm) en een magnetisch veld (B

=

2,Ox 10-2 T) (beide loodrecht op de bundel en op elkaar), geen afbuigingen van de elektronen veroorzaakt?

4.15. Zie figuur 4.7. Een geladen deeltje (massa m, lading q) passeert op t = 0 de oorsprong van een rechthoekig coördinatenstelsel met een snelheid

v

=

(g

vO,O'l~ vo). Het deeltje beweegt in een uniform magnetisch veld met een fluxdichtheid

B

=

(O,O,-Bo), Bo > O. y z / //1-/ //1-/ //1-/ B /

a. Bereken de kracht

F

die het deeltje op t = 0 ondervindt.

x

b. De projectie van de baan van het deeltje op het x-y-vlak is een cirkel met straal R. BerekenR.

c. Schets de baan van het deeltje voor t> O.

4.16. Een vlakke niet geleidende cirkelvormige schijf, die aan

één

zijde homogeen met lading bedekt is, wentelt eenparig om een as door het middelpunt en loodrecht op het vlak van de schijf. De oppervlakteladingsdichtheid is cr. De straal van de schijf is R. De hoeksnelheid is ol.

a. Bereken de magnetische fluxdichtheid in het middelpunt van de schijf.

b. Bereken de magnetische fluxdichtheid in een punt van de as op een afstand x van het middelpunt.

(40)

4.17. Een stroomdraad is opgerold tot een platte spiraal, zie figuur 4.8. Het aantal

windingen (Ilo) is zeer groot, zodat elke omloop kan worden benaderd door een cirkel.

De straal van de binnencirkel is a en van de buitencirkel b. Het middelpunt is C. Door

de draad loopt een stroom I. Bereken de magnetische fluxdichtheid Be in C.

4.18. In een beperkt deel van een luchtledige ruimte heeft men een uniform elektrisch

veld

Ë

en loodrecht daarop een uniform magnetisch veld

B. B

= (Bo,O,O) en

Ë

= (O,Bo,O).

a. Een deeltje met massa m en lading q >

°

passeert op t = 0 de oorsprong met

snel-heid

Va

= (vo,O,O). Laat zien, dat voor t> 0 geldt:

b. Een deeltje met massa m en lading q >

°

voert een eenparige rechtlijnige beweging

uit in dit elektromagnetische veld. Ga na, wat zijn snelheid

v

is. Ga na welke

mini-mumwaarde de snelheid v dan moet hebben.

4.19. In een stationair uniform magnetisch veld

B

beweegt een geladen deeltje (lading q, massa m) waarvan de snelheid als functie van de tijd ten opzichte van een cartesisch coördinatenstelsel is:

v

= (vocos(oot),-avosin(oot),bvosin(oot));

00, a en b zijn constanten, ongelijk aan nul.

a. Bereken de componenten Bx, By en Bz van

B.

Aanwijzing: bedenk dat de drie vergelijkingen die u krijgt voor Bx, By en Bz en die

sin(oot) en cos(oot) bevatten, een identiteit zijn voor alle waarden van t.

b. Welke relatie bestaat er tussen a en b?

4.20. Zie figuur 4.9. In een lange rechte geleider met rechthoekige doorsnede vloeit

(41)

geleidingselektronen per volume-eenheid. De lading van een elektron is -e; de drift-snelheid er van is

v.

p

---

-'~

Q

a.

Bereken de snelheid v.

Vervolgens brengt men loodrecht op de geleider een uniform magnetisch veld Baan; zie de figuur. Als gevolg van de kracht op de ladingsdragers ontstaat er in de stationaire situatie die zich nu instelt een spanning 1Ussen de klemmen P en Q. Deze liggen recht tegenover elkaar.

b. Bereken de grootte van die (hall-)spanning UH. c. Welke klem heeft de hoogste potentiaal?

4.21. Teneinde een grotere UH te verkrijgen kan men, uitgaande van de situatie van vraagstuk 4.20:

a. een stroom van 5A laten gaan door een band met doorsnede 1 bij 10 mm; b. een stroom van 5A laten gaan door een band met doorsnede 0,5 bij 20 mmo In welk geval verkrijgt men een groter UH?

4.22. Zie figuur 4.10. Evenwijdig aan elkaar liggen in één plat vlak een zeer lange rechte dunne draad D en een zeer lange platte koperen strip S. De dikte van de strip is h en de breedte is a; h« a. De afstand tussen D en S is a. Door de draad vloeit een stroom I. Door de strip vloeit een stroom i, waarbij de stroomdichtheid

Î

in de strip overal gelijk is (i « I). In het koper van de strip nemen N vrije elektronen per m3 deel aan de geleiding. De lading van het elektron is -e; de driftsnelheid van de elektronen is

V.

(42)

p Q D

a a

I,..

~I

I

b. Bepaal de kracht, die een geleidingselektron in de strip ondervindt tengevolge van het magnetische veld van de draad op de plaats met de c00rdinaat x; zie figuur

4.10.

c. Bereken het potentiaalverschil tussen de punten P en Q (de hall-spanning) in de gegeven situatie.

d. Bepaal de kracht, die S per lengte 1 in de gegeven situatie van de stroom in D ondervindt.

4.23. Zie figuur 4.11. Door een cirkelvormig (straal R) gebogen metalen draad vloeit een stroom 1. Op afstand z vanaf het middelpunt 0 ligt op de as een punt P.

Bp K Bz

~L_~

p p z

Bereken met behulp van

B

= rot(Ä) de magnetische fluxdichtheid in een punt K dat loodrecht boven P ligt (p

«

z en z

»

R). Druk Bp en Bz uit in Ilo, I, R, P en z.

Bereken Bep.

U kunt gebruik maken van het gegeven dat voor een magnetische dipool geldt, mits

(43)

-

P Pep1

-

Z1

... Jlom

x

r

...

1 a a a A = terwijl V x A =-ap (Kp az 4m3 ' p Ap pAcp _Àz

4.24. In de situatie van vraagstuk 4.23 met de kringstroom 1 in 0 plaatst men coaxiaal een tweede cirkelvormige kring met straal

R

in P. Bereken de flux <I> die door de kring met straal

R

wordt omvat. Ook hier geldt R

«

z.

4.25. Zie figuur 4.12. Men heeft twee evenwijdige lange dunne draden, waardoor

even

grote stromen 1 vloeien. De stroom 11 in de geleider G1loopt in de richting van de positieve z-as, de stroom

Iz

in de geleider G2 (afstand 00'

=

R) loopt in de richting van de negatieve z-as.

L L dl (al R z x (bl

Figuur 4.12. Figuur bij vraagstuk 425. dl

IG II I

(44)

a. Bereken Bx, By en Bz door gebruik te maken van de vectorpotentiaal in een punt

P(x,y,O), buiten de draden gelegen.

Van het punt P is gegeven, dat het ligt in het middelloodvlak van de draden en dat de afstand OP veel kleiner is dan de lengte van de draden.

Aanwijzing,' 1. Bereken daartoe eerst de vectorpotentiaal in een punt P (zie figuur

4.12) van stroomdraad G1 met lengte 2L.

2. Bereken dan de totale vectorpotentiaal van de twee stroomdraden elk met lengte 2L, rekening houdend met de richting van de stroom door elk der draden.

Men kan nu aantonen dat voor (x2 + y2)/I}« 1 geldt:

b. De gevraagde fluxdichtheid

B

kunt u op eenvoudiger wijze vinden door toepassing van de circuitregel van Ampère. Ga dit na en controleer hiermee uw antwoord op vraag a.

(45)

46

5 Stationaire magnetische velden

magnetiseerbare materie

.

In

5.1. Zie figuur 5.1 en 5.2. In een punt A op afstand a van een zeer lange rechte stroomvoerende draad (stroomsterkte I) ligt een zeer kleine vlakke kringstroom, te beschouwen als een magnetische dipool met dipoolmoment

m

in de z-richting. Kringstroom en draad liggen in het vlak van de tekening. De vector

k

wijst naar achteren. Voor het magnetisch dipool gelden (op voldoende grote afstand) de volgende formules: met en B = J.Lo 2m cos(S) r 41t r3 Be

=

J.Lo m sin(8) 41t r3

...

- - - - ----:---+--fL--....:....----.e---

..

0/:1

~

;~:

~ I I I

A0

B BI