VIII WARMIŃSKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE
Kategoria: GIMNAZJUM
Rozwiązanie zadania 1
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów BCF; ABE i ABD mamy odpowiednio:
2 2
2 1 | |
|
|CF + = BC
2 2
2 (2 1) | |
|
|AE + + = AB
2 2
2 | | (1 2 1)
|
|AB + AD = + +
Oczywiste jest, Ŝe długości boków prostokąta |BC| i |AD| są równe oraz |AE|=|CF|.
Otrzymujemy zatem układ równań:
= +
= +
= +
16
|
|
|
|
|
| 9
|
|
|
| 1
|
|
2 2
2 2
2 2
BC AB
AB AE
BC AE
Wyznaczamy z pierwszego równania | AE , podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy układ |2 równań:
= +
= +
−
=
16
|
|
|
|
|
| 8
|
|
1
|
|
|
|
2 2
2 2
2 2
BC AB
AB BC
BC AE
Następnie | AB wyznaczone z drugiego równania podstawiamy do trzeciego i wyznaczamy |2 | BC |
⇒ =
=
+
=
−
=
2
|
| 4
|
|
8
|
|
|
|
1
|
|
|
|
2
2 2
2 2
BC BC
BC AB
BC AE
Wracając do drugiego równania wyznaczamy |AB|.
3 2 12
|
| 12
|
|AB 2= ⇒ AB = = .
Zatem długości boków prostokąta wynoszą odpowiednio 1 i 2 centymetry.
A B
C D
E
F 1
2
1
