POZIOM PODSTAWOWY

(1)

OKE àÓDħ CKE

MATEMATYKA

POZIOM PODSTAWOWY

PRZYK àADOWY ZESTAW ZADAē NR 1

Czas pracy 120 minut

Instrukcja dla zdającego

1. SprawdĨ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 24 strony (zadania 1 – 13). Ewentualny brak zgáoĞ przewodniczącemu zespoáu nadzorującego egzamin.

2. Rozwiązania zadaĔ i odpowiedzi zamieĞü w miejscu na to przeznaczonym.

3. W rozwiązaniach zadaĔ przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku.

4. Pisz czytelnie. UĪywaj dáugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem.

5. Nie uĪywaj korektora, a báĊdne zapisy przekreĞl.

6. PamiĊtaj, Īe zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.

7. Obok kaĪdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą moĪesz uzyskaü za jego poprawne rozwiązanie.

8. MoĪesz korzystaü z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

ĩyczymy powodzenia!

MARZEC ROK 2008

Za rozwiązanie wszystkich zadaĔ

moĪna otrzymaü áącznie 50 punktów

Wypeánia zdający przed rozpoczĊciem pracy

PESEL ZDAJĄCEGO KOD

ZDAJĄCEGO

Miejsce na naklejkĊ z kodem szkoáy

(2)

Zadanie 1. (3 pkt)

RozwiąĪ nierównoĞü 2x² 260 53 x. Podaj wszystkie liczby caákowite, które speániają tĊ nierównoĞü.

(3)

Nr czynnoĞci 1.1. 1.2. 1.3.

Maks. liczba pkt 1 1 1

Wypeánia egzaminator!

Uzyskana liczba pkt

(4)

Dany jest wielomian ^{W x}

^x³ ²^x²⁹^x ¹⁸^.

a) Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

b) SprawdĨ, czy wielomiany ^{W x}

ⁱ^{P x}

^x ²

^x²²^x ⁴

^x ^{2 2}

^x¹³

są równe.

c) Uzasadnij, Īe jeĞli x_! 10, to x³2x² !9x 18 0.

(5)

Nr czynnoĞci 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Maks. liczba pkt 1 1 1 1 1 1

(6)

KaĪdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten skáada siĊ z czterech cyfr (cyfry mogą siĊ powtarzaü, ale kodem PIN nie moĪe byü 0000).

Oblicz prawdopodobieĔstwo, Īe w losowo utworzonym kodzie PIN Īadna cyfra siĊ nie powtórzy. Wynik podaj w postaci uáamka nieskracalnego.

Nr czynnoĞci 3.1. 3.2. 3.3.

(7)

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b okreĞlamy liczby ^aD b i a ^b w nastĊpujący sposób:

aD b = liczba nie mniejsza spoĞród liczb ^a i b, a ^b = liczba nie wiĊksza spoĞród liczb ^a i b.

Na przykáad: ^{7 3}D ⁷, 15 15 15D , 7 3 3, ( 6) 4 , 6

³ ³ ³^.

Oblicz:

a) (5)D4

b) (2005 2007)D(2006) c) (5D6) (2D7)

Nr czynnoĞci 4.1. 4.2. 4.3.

(8)

Ogrodnik opiekujący siĊ klombem w ksztaácie koáa o promieniu 40 m chce go powiĊkszyü, sadząc wokóá niego kwiatki na grządce o szerokoĞci 1 m (patrz rysunek). Oblicz, o ile procent ogrodnik chce powiĊkszyü powierzchniĊ tego klombu.

40 m 1 m

(9)

Nr czynnoĞci 5.1. 5.2. 5.3.

(10)

NieskoĔczony ciąg liczbowy (a_n)dla nt1 jest okreĞlony wzorem 1 gdy jest nieparzyste,

2

0 gdy jest parzyste.

n

n n

a

n

° ®°¯

a) Uzupeánij tabelkĊ:

n 1 2 3 4 5 ... 2005 2006 2007 2008

an 1 0 ...

b) Oblicz

â²⁰⁰⁵ â²⁰⁰⁶ â²⁰⁰⁶ â²⁰⁰⁷ â²⁰⁰⁷ â²⁰⁰⁸

c) Oblicz sumĊ 2008 początkowych wyrazów ciągu (a_n).

(11)

Nr czynnoĞci 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Maks. liczba pkt 1 1 1 1 1

(12)

Z krawĊdzi dachu podrzucono kamieĔ, który po 2 sekundach spadá na ziemiĊ. WysokoĞü (wyraĪoną w metrach), na jakiej znajdowaá siĊ kamieĔ nad ziemią po upáywie ^t sekund od chwili jego podrzucenia, opisuje funkcja ^h(^t) 5^t²5^t10, gdzie t 0,2 .

a) Podaj, z jakiej wysokoĞci (od ziemi) kamieĔ zostaá podrzucony.

b) Oblicz, po jakim czasie od momentu podrzucenia kamieĔ osiągnąá najwiĊkszą wysokoĞü.

c) Oblicz najwiĊkszą wysokoĞü (od ziemi), na jaką wzniósá siĊ ten kamieĔ.

(13)

Nr czynnoĞci 7.1. 7.2. 7.3.

(14)

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f okreĞlonej wzorem

x x

f 3

dla xz⁰. Wykres ten przesuniĊto o 2 jednostki w górĊ wzdáuĪ osi Oy. Otrzymano w ten sposób wykres funkcji g o wzorze

3 ²

x x

g dla xz0.

a) Narysuj wykres funkcji g.

b) Oblicz najwiĊkszą wartoĞü funkcji g w przedziale ²¹^,³¹ .

c) Podaj, o ile jednostek wzdáuĪ osi Ox naleĪy przesunąü wykres funkcji g, aby otrzymaü wykres funkcji przechodzący przez początek ukáadu wspóárzĊdnych.

–1

–1 1

1 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8 9

–2 –2

–3 –3

–4 –4

–5 –5

–6 –6

–7 –7

–8 –9

y

x

(15)

Nr czynnoĞci 8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

Maks. liczba pkt 1 1 1 1

(16)

NaroĪnik miĊdzy dwiema Ğcianami i sufitem prostopadáoĞciennego pokoju naleĪy zamaskowaü trójkątnym fragmentem páyty gipsowo-kartonowej (patrz rysunek). Wiedząc, Īe

1m

RA RB RC , oblicz objĊtoĞü naroĪnika zamaskowanego tą páytą. Wynik zaokrąglij do 0,01 m³.

A

B R C

y yy

(17)

Nr czynnoĞci 9.1. 9.2. 9.3. 9.4.

(18)

Na páaszczyĨnie dane są punkty ^A

^{2, 3} ⁱ^B

^2,1 (patrz rysunek). Zbadaj, czy punkty

^{36, 21}

K i ^L

³⁷^,¹⁵

^leĪą po tej samej stronie prostej AB. Podaj odpowiedĨ i jej uzasadnienie.

0 x

y

1 1

2 –1

–2

2

3 A

B

(19)

Nr czynnoĞci 10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

(20)

Spawacz ma wykonaü z blachy konstrukcjĊ, której podstawą jest kwadrat a Ğciany boczne są prostopadáe do páaszczyzny podstawy. Wymiary elementów są podane na rysunku. Oblicz pole powierzchni tej konstrukcji (wszystkich szeĞciu Ğcian). Wynik podaj z zaokrągleniem do 1cm . ²

30 cm

20 cm

20 cm 40 cm

(21)

Nr czynnoĞci 11.1. 11.2. 11.3. 11.4.

(22)

Na rysunku oznaczono kąty oraz podano dáugoĞci boków trójkąta prostokątnego. Oblicz, które z wyraĪeĔ ma wiĊkszą wartoĞü: tgD 1 cos²E sinD ^czy^tgE ^{1 cos}²D ^sinE^.

Nr czynnoĞci 12.1. 12.2. 12.3. 12.4.

5

12 13

D E

(23)

WáaĞciciel kiosku notowaá liczbĊ biletów komunikacji miejskiej sprzedanych w kolejnych godzinach. Wyniki obserwacji zapisaá w tabeli.

Czas obserwacji Liczba biletów

5:00 – 6:00 2

6:00 – 7:00 3

7:00 – 8:00 9

8:00 – 9:00 8

9:00 – 10:00 6

10:00 – 11:00 4

11:00 – 12:00 3

12:00 – 13:00 3

13:00 – 14:00 3

14:00 – 15:00 5

15:00 – 16:00 8

16:00 – 17:00 6

a) Oblicz Ğrednią liczbĊ biletów sprzedawanych w ciągu 1 godziny.

b) Wynikiem „typowym” nazywamy wynik, który róĪni siĊ od Ğredniej o mniej niĪ jedno odchylenie standardowe. Podaj wszystkie godziny, w których liczba sprzedanych biletów nie byáa „typowa”.

Nr czynnoĞci 13.1. 13.2. 13.3. 13.4.

(24)

POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA

POZIOM PODSTAWOWY

PRZYK àADOWY ZESTAW ZADAē NR 1

BRUDNOPIS