ZASTOSOWANIE MODELI HIPERSPRĘŻYSTYCH W OPISIE MATERIAŁU SILIKONOWEGO WYKORZYSTYWANEGO NA LINERY ORTOPEDYCZNE PODDANEGO OBCIĄŻENIU Z RÓŻNĄ PRĘDKOŚCIĄ

(1)

ZASTOSOWANIE MODELI

HIPERSPRĘŻYSTYCH W OPISIE MATERIAŁU SILIKONOWEGO WYKORZYSTYWANEGO

NA LINERY ORTOPEDYCZNE PODDANEGO OBCIĄŻENIU Z RÓŻNĄ PRĘDKOŚCIĄ

Sylwia Łagan

^1a

, Aneta Liber-Kneć

^1b

1Zakład Mechaniki Doświadczalnej i Biomechaniki, Politechnika Krakowska

aslagan@mech.pk.edu.pl, ^baliber@pk.edu.pl

Streszczenie

Przeprowadzono porównanie wyników modelowania właściwości hipersprężystych materiału silikonowego wykorzystywanego na linery ortopedyczne. Próbki do badań wycięto z obszaru bliższego (mezjalny) gotowego lineru ortopedycznego. Do dopasowania danych doświadczalnych uzyskanych w jednoosiowej statycznej próbie rozciągania wykorzystano hipersprężyste modele materiałowe neo-Hooke’a, Mooney-Rivlina, Ogdena, Martinsa, Veronda- Westmanna oraz Yeoha. Wykonano analizę współczynników korelacji. Opisano wpływ prędkości rozciągania (5 i 30 mm/min) na wartości stałych modelowych.

Słowa kluczowe: statyczna próba rozciągania, silikon ortopedyczny, hipersprężyste modele materiałowe

THE APPLICATION OF HYPERELASTIC MODELS FOR THE DESCRIPTION OF SILICONE MATERIAL USED FOR ORTHOPEDIC LINERS UNDER LOAD AT DIFFERENT SPEED

Summary

Comparison of modeling results of hyperelastic properties of silicone material used for orthopedic liners was car- ried out. The test specimens were cut from the proximal (upper) area of silicone liner. The neo-Hookean, Mooney- Rivlin, Ogden, Martins, Veronda-Westmann and Yeoh material models were used to match experimental data ob- tained in uniaxial static tensile test. Analysis of correlation coefficients was performed. The effect of deformation velocity (5 and 30 mm/min) on model constants was described.

Keywords: tensile test, orthopedic silicone, hyperelastic material models

1. WSTĘP

Konieczność matematycznego zapisu zachowania mate- riałów hipersprężystych pod wpływem odkształcenia znajduje odzwierciedlenie w bardzo szerokiej gamie modeli konstytutywnych wykorzystywanych współcze- śnie [2,5,6]. Szczególnie istotne informacje dotyczą przewidywania odpowiedzi materiału przy wysokich wartościach odkształcenia, jakie charakteryzują materia-

ły silikonowe. Jedna z interdyscyplinarnych dziedzin nauki, jaką jest inżynieria biomedyczna, podejmuje próby projektowania materiałów przeznaczonych do współpracy z tkankami miękkimi [8,9,10]. Obszarem medycyny, który szeroko wykorzystuje silikony, jest protetyka ortopedyczna. Z silikonów wytwarzane są linery ortopedyczne stosowane do osadzania protez

(2)

kończyn dolnych. Bezpośrednie połączenie tkanek pa- cjenta z materiałami wykorzystywanymi do produkcji protez wciąż pozostaje tematem ważnym z punktu widzenia optymalizacji rozwiązań. Kikut kończyny, jako nowy organ spełniający zadanie przenoszenia obciążeń, wymaga zaopatrzenia mającego na celu eliminowanie koncentracji lub ograniczenie obciążeń lokalizowanych w miejscach wrażliwych. Lej protezowy jako element przekazujący obciążenia na kończynę jest jednym z najważniejszych elementów protezy kończyny dolnej, zatem musi spełniać wymagania wytrzymałościowe względem obciążeń, jakie ma przenosić [1,3]. Ze względu na dokładne przyleganie warstwy silikonowej do kikuta linery powodują redukcję tarcia występującego na skó- rze, stąd też często określane są mianem „drugiej skóry”.

Linery silikonowe mogą być stosowane samodzielnie w protezie jako wkłady komfortowe lub też jako element zawieszenia pełnokontaktowego u pacjentów z wyższym poziomem mobilności. Dlatego ważne staje się wykorzystanie modelowania problemów wytrzymałościowych jako narzędzia inżynierskiego, które umożliwia symulację zachowania materiałów i konstrukcji w wybranych warunkach obciążeniowych. Jedną z metod analiz dobo- ru parametrów, wykorzystywaną w projektowaniu materiałów, jest statyczna próba rozciągania dostarcza- jąca możliwości eksperymentalnego wyznaczenia stałych materiałowych. Dane te dają możliwość przewidywania zmian charakterystyki naprężeniowej przy różnych poziomach odkształcenia. Może to stanowić miarę oceny komfortu użytkowania wyrobu oraz kryterium trwałości ze względu na wielokrotne zakładanie i zdejmowanie linerów ortopedycznych.

Cavaco i in. wskazali na potrzebę modyfikacji silikonów ortopedycznych w celu zbliżenia ich właściwości mechanicznych do tkanek miękkich, proponując kompozyt CNT-PDMS jako materiał na linery ortopedyczne [3].

Destrade i in. [4] przeprowadzili modelowanie dla kau- czuku Treolar i DC9, wykazując wpływ zakresu od- kształcenia na dopasowanie modeli, poddając ocenie wartości stałych modelowych oraz względny błąd ilo- ściowy, zaproponowali modele ze wzmocnieniem od- kształcenia [4].

Modelowanie konstytutywne materiałów hipersprężys- tych w aspekcie zastosowań na potrzeby inżynierii tkanek miękkich staje się nowym nurtem badań, ujaw- niając możliwości projektowania materiałów zastępczych wykorzystywanych na implanty twarde i miękkie. Mar- tins i in. [8] opublikowali pracę porównawczą z zakresu wykorzystania modeli materiałów hipersprężystych do wyznaczenia stałych modelowych gumy silikonowej oraz tkanki miękkiej (mięśnie świni). W pracy [9] przedstawiono analizę modeli hipersprężystych tkanek tchawicy z rozróżnieniem elementów mięśni gładkich, tkanki łącznej oraz chrząstki [9]. Ważną częścią badań modelowych na potrzeby inżynierii medycznej jest wykorzystanie modeli

tkanek zwierzęcych jako zamienników dla tkanek ludz- kich w badaniach eksperymentalnych, w tym ocena właściwości ścięgien i skóry na potrzeby chirurgii oraz ortopedii. Możliwość przewidywania odpowiedzi modeli hipersprężystych tkanek zwierzęcych daje szansę na obrazowanie zarówno procesów uszkodzenia, leczenia, jak i pracy w warunkach zmiennego obciążenia tkanek [7,10].

W niniejszej pracy przeprowadzono analizy wybranych modeli materiałów hipersprężystych w odniesieniu do nieliowych materiałów ortopedycznych, wykorzystując modele: neo-Hooke’a, Mooneya-Rivlina, Ogdena, Martin- sa, Veronda-Wenstmanna oraz Yeoha. Wykonano anali- zę wpływu prędkości odkształcenia na wyznaczone stałe wybranych modeli hipersprężystych. Modelowanie przeprowadzono w trzech etapach. W pierwszym etapie, procedury iteracyjnej, dla zakresu odkształcenia 1< <2, jako wartości początkowe stałych modelowych przyjęto Ci=1. W drugim etapie wykorzystano wyniki uzyskane w etapie pierwszym do przewidywania zachowania materiału w szerszym zakresie odkształcenia 1< <3.6, etap ten polegał na ekstrapolacji przebiegów modeli. W trzecim etapie jako wartości startowe do modelowania w zakresie 1< <3.6 przyjęto również wyniki modelowania uzyskane w etapie pierwszym. Porównano współczynniki korelacji dopasowania modeli do danych eksperymentalnych.

2. MATERIAŁ I METODY

Metodyka badań polegała na analizie wybranych równań konstytutywnych w ocenie właściwości hipersprężystych próbek silikonu poddanych jednoosiowemu rozciąganiu.

Dane do analiz matematycznych uzyskano, realizując eksperyment statycznej próby rozciągana przy użyciu maszyny wytrzymałościowej MTS Insight50 z oprogra- mowaniem TestWorks4. Zakres wykorzystanej w badaniach głowicy pomiarowej wynosił 1 kN, test realizowa- no w warunkach temperatury i wilgotności otoczenia. Z szerokiego zakresu prędkości odkształcenia (10^-3-10³1/s), jaki wykorzystywany jest w badaniach silikonu oraz tkanki skóry [6, 10], przyjęto dwa poziomy: 5 i 30 [mm/min] (0.017 i 0.01 [1/s]). Długość bazy obliczenio- wej próbek wynosiła l0=50.0 [mm]. Próbki w liczbie n=18 wycięto z obszaru bliższego linera silikonowego Medi (MediProsthetics GmbH) wytwarzanego z silikonu RTV w procesie odlewania wtryskowego. W celu wyeli- minowania ewentualnego wpływu kierunku pobrania próbek na wyniki zróżnicowano kierunek wycięcia pró- bek na obwodowy i wzdłużny. Do obliczeń wytrzymało- ściowych przyjęto średnie zastępcze przekroje próbek (A5=36.8±1.1 [mm²], A30=34.3±1.9 [mm²]). Podczas próby rozciągania rejestrowano przyrost siły rozciągają- cej ( F [N] oraz przyrost wydłużenia l [mm]). Następnie dokonano obliczeń naprężeń (σ [MPa]) oraz odkształceń (εm -maksymalne odkształcenia inżynierskie, = +1 [-]).

(3)

Kolejnym etatem było wyznaczenie przebiegu krzywej doświadczalnej uśrednionej charakterystyki naprężenio- wo-odkształceniowej, z każdej grupy próbek badanych przy różnej prędkości rozciągania, którą następnie wykorzystano w modelowaniu materiałów hipersprężys- tych. Hipersprężyste modele materiałowe oparte na definicji funkcji energii odkształcenia, która jest wyraża- na w różny sposób, zależą od gatunku i rodzaju rozpa- trywanych materiałów. Zakładając izotropię materiału, funkcję energii odkształcenia (W) można zapisać jako (1) zależną od niezmienników tensora odkształcenia defor- macji Cauchy'ego-Greena I , I , I .

W = W(I , I , I ) (1)

Zakładając warunki jednoosiowego rozciągania materia- łów nieściśliwych (σ = σ = 0) [8], powyższe równanie (1) można zapisać w postaci (2), gdzie C są stałymi materiałowymi:

W = ∑ C (I − 3) (I − 3) (I − 1) (2) Do wyznaczenia parametrów modeli materiałów hiper- sprężystych silikonu ortopedycznego wybrano sześć opisanych w literaturze wieloparametrowych modeli stosowanych w celu określenia relacji naprężeniowo- odkształceniowej. Zestawienie zależności naprężeniowo- odkształceniowych dla wykorzystanych modeli przedstawiono w tabeli nr 1.

Tab.1. Zestawienie modeli materiałów hipersprężystych [8]

Model Naprężenia Cauchy’ego neo-

Hooke’a σ = 2C λ −1 λ!

Mooney-

Rivlin σ = 2C λ −1 λ! − 2C (

1 λ − λ) Ogden σ =2μ

α (λ^$% + λ^{%($ )}^⁄ ) Martins σ = 2 λ −1

λ! C C e⁾^*⁽⁺^,^{% )}+ 2λ(λ

− 1)C C_-e⁾^.^{(/% )}^* Veronda-

Westmann σ = 2 λ −1

λ! C C e⁾^*⁽⁺^,^{% )}−1 2λ!

Yeoh

σ = 2C λ −1

λ! (C + 2C λ + 2 λ − 3!

+ 3C λ +2 λ − 3!

W analizach otrzymanych wyników skupiono się nie tylko na wartościach materiałowych stałych modelowych, lecz również wykonano analizy współczynników korelacji R w celu porównania jakości dopasowania modelu teoretycznego do danych eksperymentalnych.

3. WYNIKI

Analizując przebieg krzywych, uśrednionych charakterystyk, naprężeniowo-odkształceniowych materiału silikonowego potwierdza się ich nieliniowy, hipersprężysty

charakter w obu analizowanych grupach (rys.1) oraz wpływ prędkości rozciągania na charakterystykę naprę- żeniowo-odkształceniową. W zakresie odkształcenia 1< <1.5 zaobserwowano zbieżność przebiegów, jak podaje Li i in. [6] zjawisko to określane jest mianem obszaru lub punktem przejścia i nie znalazło dotychczas wytłumaczenia.

1 2 3

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

σ [MPa]

λ [-]

30 mm/min 5 mm/min

Rys.1. Krzywe uśrednionych charakterystyk naprężeniowo- odkształceniowych

Liczbowy wpływ prędkości rozciągania na wartości parametrów mechanicznych (Rm [MPa] wytrzymałość na rozciąganie, εm [-] odkształcenie przy zerwaniu oraz W energię zniszczenia [J]) przedstawiono w tabeli nr 2. W nawiasach podano wartości odchylenia standardowego (SD). Wpływ prędkości rozciągania (5 lub 30 [mm/min]) na właściwości mechaniczne badanych linerów odzwier- ciedla się w różnicach pomiędzy wyznaczonymi parame- trami. Różnica ta wyniosła 20% dla wytrzymałości na rozciąganie, około 6% dla odkształcenia i 13% dla energii zniszczenia.

Tab.2. Wpływ prędkości odkształcenia na wartości Rm, ε_m_{, W} Prędkość

rozciągania [mm/min]

Rm

[MPa]

ε_m [-]

W [J]

5 0.36 (0.03) 2.56 (0.16) 0.513 30 0.43 (0.04) 2.72 (0.12) 0.604

Następnie wykonano procedury modelowania dla każde- go z opisanych modeli materiałów hipersprężystych na podstawie wyników badań doświadczalnych. W pierwszym etapie modelowania wykorzystano zakres danych doświadczalnych 1< <2 (jako wartości początkowe przyjęto Ci=1) oraz wykonano ekstrapolację krzywych modelowych na pełen zakres odkształcenia 1< <3.6 (etap drugi). Przebiegi krzywych modelowych dla bada- nego materiału rozciąganego z prędkością 5 [mm/min]

zaprezentowano na poniższych rysunkach: rys.2.a) modelowanie w zakresie odkształcenia 1< <2 i rys.2.b) ekstrapolacja w zakresie odkształcenia 1< <3.6. Nato- miast wyniki modelowania silikonu rozciąganego z

(4)

prędkością 30 [mm/min] przedstawia rys.2.c) w zakresie odkształcenia 1< <2 oraz rys.2.d) ekstrapolacja w zakresie odkształcenia 1< <3.6.

a)

1,0 1,5 2,0

0,0 0,1 0,2

σ [MPa]

λ [-]

test data, 5mm/min neoHookean Mooney-Rivlin Ogden Martins Veronda-Westman Yeoh

b)

1 2 3

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

σ[MPa]

λ [−]

neoHookean Mooney-Rivlin Ogden Martins Veronda-Westman Yeoh test data, 5 mm/min

c)

1,0 1,5 2,0

0,0 0,1 0,2

σ [MPa]

λ [−]

test data, 30 mm/min neoHookean Mooney-Rivlin Ogden Martins Veronda-Westman Yeoh

d)

1 2 3

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

σ [MPa]

λ [−]

neoHookean Mooney-Rivlin Ogden Martins Veronda-Westmann Yeoh

test data, 30 mm/min

Rys.2. Porównanie krzywych doświadczalnych i modelowych w zakresie 1< <2 oraz ich ekstrapolacja na zakres 1< <3.6

a)

1 2 3

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

σ [MPa]

λ [−]

test data, 5 mm/min neo-Hookean Mooney-Rivlin Ogden Martins Yeoh

b)

1 2 3

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

σ [MPa]

λ [−]

test data, 30 mm/min neoHookean MooneyRivlin Ogden Martins Yeoh

Rys.3. Krzywe modelowe dla w pełnym zakresie odkształcenia 1< <3.6

Zestawienie przebiegów krzywych doświadczalnych z krzywymi modelowymi z zakresu odkształcenia 1< <2 (rys. 2a i 2b oraz 2c i 2d) pokazuje, iż wykorzystanie modeli do przewidywania zachowania silikonu w szerszym zakresie odkształcenia 1< <3.6 nie daje zadowalających efektów. Dla prędkości rozciągania 5 [mm/min] najbliższe przebiegi do eksperymentalnych danych wykazują modele Mooney-Rivlina oraz Martinsa, natomiast przy zwiększeniu prędkości obciążenia ponownie model Mooney-Rivlina oraz Veronda-Westmana.

Trzeci etap pracy polegał na wykorzystaniu, jako warto- ści startowych w procedurze iteracyjnej, dopasowania modeli do danych eksperymentalnych w całym zakresie odkształcenia 1< <3.6, wartości stałych otrzymanych w rezultacie przeprowadzenia etapu pierwszego badań. Na rys. 3 (rys.3a i 3b) ujawniają się wyraźne różnice w przebiegach krzywych modelowych względem krzywych uzyskanych w etapie drugim (rys.2b i 2d).

(5)

Tab. 3. Wyniki procedur modelowania

Model

1< <2 1< <3.6

5 [mm/min] 30 [mm/min] 5 [mm/min] 30 [mm/min]

R² Ci R² Ci R² Ci R² Ci

neo-Hooke’a 0.7534 0.0269

±0.0004 0.8785 0.0335

±0.0004 0.8810 0.0158

±0.0001 0.8872 0.0177

±0.0001

Mooney-

Rivlin 0.9644

0

0.9878

0

0.9783

0.0046

±0.0002

0.9960

0.0044

±0.0001 0.0474

±0.0021

0.0525

±0.0017

0.0339

±0.0007

0.0407

±0.0003

Ogden 0.9996

0.1200

±0.0002

0.9983

0.1204

±0.0005

0.9772

0.0769

±0.0003

0.9956

0.0900

±0.0004 0.8833

±0.0097

1.1519

±0.0272

2.3140

±0.0171

2.2674

±0.0064

Martins

0.9998

0.1104

±0.0139

0.9995

0.1386

±0.048

0.9998

0.1197

±0.0005

0.9997

0.0988

±0.0006 1.2307

±0.1337

1.1215

±0.346

1.0997

±0.0020

1.1695

±0.0034 0.1317

±0.0247

0.1249

±0.099

0.1513

±0.0007

0.1265

±0.0008 -1.7216

±0.2769

-2.1894

±1.610

-1.4450

±0.0027

-1.4134

±0.0036

Veronda -

Westmann 0.9994

1.2869

±0.0041

0.9977

1.2046

±0.0146

-

0.0877

±0.0002

0.0956

±0.0009 - -

Yeoh 0.9966

0.0469

±0.0002

0.9960

0.0514

±0.0003

0.9779

0.0284±0 .0003

0.9870

0.0301

±0.0002 -0.0122

±0.0002

-0.0187

±0.0005

-0.0017

±0.0005

-0.0014

±0.000 0.0020

±0.0001

0.0053

±0.0002

0.0001

±2·10-6

0.0001

±2 ·10-6

W tabeli 3 zestawiono wartości stałych modelowych Ci

wszystkich zrealizowanych adaptacji sześciu modeli materiałów hipersprężystych w zależności od prędkości rozciągania próbek silikonu ortopedycznego oraz wzglę- dem zakresu odkształcenia wykorzystanego w modelowaniu. Wykazano wpływ granicy zakresu odkształcenia wykorzystanego w modelowaniu [4] na wartości stałych modelowych wraz ze zmianami wartości współczynnika korelacji dopasowania modelu do danych doświadczal- nych. Ekstrapolacja przebiegów krzywych uzyskanych

przy ograniczonym zakresie odkształcenia na szerszy zakres miała na celu wskazanie możliwości oceny powyż- szych modeli do przewidywania zachowania materiału hipersprężystego dla wyższych odkształceń.

Należy zatem zachować ostrożność w oznaczaniu zakresu danych doświadczalnych wykorzystanych do modelowania. Krzywe modelowe zestawione na wykresach prze- biegów nie wykazują znaczącej różnicy i wydają się dobrze odwzorowywać eksperyment (rys.3) z wyjątkiem

(6)

modelu neo-Hooke’a, natomiast wartości liczbowe sta- łych modelowych zmieniły się znacząco (tab.3).

W efekcie przeprowadzonych analiz uzyskano najlepsze dopasowanie w zakresie odkształcenia 1< <2 (najwyższy współczynnik R²) dla modeli Martinsa oraz Ogdena i Veronda-Westmanna, następnie Mooneya-Rivlina oraz Yeoha. Kolejność ta zachowana została dla obu prędko- ści rozciągania. Zmiana zakresu odkształcenia wpłynęła na dokładność dopasowania, pozostawiając jako najlep- szy z analizowanych modeli model Martinsa oraz Moo- ney-Rivlina, natomiast dla modeli Ogdena oraz Yeoha zaobserwowano różną kolejność w zależności od prędko- ści rozciągania. Modelu Veronda-Westmanna dla pełne- go zakresu odkształcenia nie udało się adaptować w sposób zadowalający. Dla tych modeli współczynnik korelacji (R²) przekraczał wartość 0.99. Natomiast dla modelu neo-Hooke’a uzyskano wartości współczynnika korelacji w analizowanych przypadkach na poziomie 0.75-0.89 (rys.4).

neo-Hookean Mooney-Rivlin Ogden Martins Veronda-Westman Yeoh 0,750

0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00

R2 [-]

λ<2, 5mm/min λ<2, 30mm/min λ<3.6, 5mm/min λ<3.6, 30mm/min

Rys.4. Współczynniki korelacji (R²) dopasowania modeli

4. DYSKUSJA

Z uwagi na zróżnicowane warunki przeprowadzania testów dotyczące schematów obciążenia (rozciąganie jedno-, dwuosiowe, ściskanie), prędkości obciążenia oraz typów próbek wykorzystanych w testach trudno jest zweryfikować otrzymane w niniejszej pracy wartości stałych modelowych [5,6,8]. Natomiast warto zwrócić uwagę na charakter prezentowanych przebiegów krzywych modelowych w [5] i trudności w odwzorowaniu danych eksperymentalnych modelami neo-Hooke’a, Money-Rivlina oraz trójparametrowym modelem Ogde-

na. Realizując badania na próbkach gumy chloropreno- wej, Kim i in. uzyskali wartości maksymalnych naprężeń rozciągających na poziomie 18 [MPa], co odpowiadało wartości odkształcenia 3.5. Li i in. [6] oznaczali stałe modelowe materiału silikonowego Loctite 5404, dla statycznej próby rozciągania prowadzonej dla trzech poziomów prędkości odkształcenia (0.2, 2.2 i 17.8 [%/s]) oraz dwóch zakresów odkształcenia (20 i 40%), nie wykazując jednoznacznej zależności wpływu założonych warunków na wartości stałych modelowych. Jednakże zaobserwowali zależność prędkości odkształcenia na zmianę wartości stałych w modelu Mooney-Rivlina, co wykazano również w niniejszej pracy.

Przeprowadzona analiza możliwości wykorzystania hipersprężystych modeli materiałowych do opisu zachowania silikonu medycznego przeznaczonego na linery ortopedyczne, w warunkach jednoosiowego rozciągania, dała pozytywne rezultaty. Dodatkowo ujawniła szereg aspektów związanych z wrażliwością modeli na dane eksperymentalne.

Opisywana w literaturze przedmiotowej potrzeba pozna- nia rozkładu nacisków kikuta na ścianki leja ortopedycznego z wykorzystaniem różnych technik pomiaro- wych, w tym czujników odkształceń, piezorezystancyj- nych, pojemnościowych i optycznych [1] uzasadniona jest wprowadzaniem nowych materiałów ortopedycznych (silikonów) w celu poprawy komfortu pacjentów poprzez uzyskanie lepszej współpracy tkanek miękkich z protezą [3]. Matematyczny opis zachowania materiałów hiper- sprężystych pozwala uzyskać istotne informacje dotyczą- ce przewidywania odpowiedzi materiału przy wysokich wartościach odkształcenia, jakie charakteryzują materia- ły silikonowe [2].

Wykazany wpływ prędkości odkształcenia na charakte- rystykę naprężeniowo-odkształceniową materiału wska- zuje również na potrzebę analizy z wykorzystaniem modelu hiperlepkosprężystego [6,10], szczególne w aspekcie długotrwałego oraz cyklicznego nacisku tkanek.

Uzyskane wyniki modelowania konstytutywnego mate- riałów można wykorzystać w numerycznych analizach metodą elementów skończonych oraz badaniach nieza- wodności [6] układu biomechanicznego kikut-proteza.

Literatura

1. Al-Fakih E. A., Abu Osman N. A., MahmadAdikan F. R.: Techniques for interface stress measurements within prosthetic sockets of transtibialamputees: a review of the past 50 years of research. „Sensors” 2016, 16(7), 1119.

2. Beda T.: An approach for hyperelastic model-building and parameters estimation a review of constitutive models. „European Polymer Journal” 2014, 50(1), p. 97–108.

3. Cavaco A., Ramalho A., Pais S., Durães L.: CNT-polydimethylsiloxane nanocomposites for prosthesis interfaces.

In: 10th International Conference on Composite Science and Technology–Proceedings” 2015, p.1–9.

(7)

4. Destrade M., Saccomandi G., Sgura I.

„Proceedings of Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences ary 2017, Article number 20160811.

5. Kim B., Lee S.B., Lee J., Cho S., Park H., Yeom S., Park S.H.

Mooney Rivlin model, and Ogden model for chloroprene rubber and Manufacturing” 2012, 13 (5), p.

6. Li J., Tarvainen T., Rich J., Turunen M., Paulasto cured silicone adhesives by cyclic u

2620.

7. Łagan S., Liber-Kneć A.: Application of the Ogden

„Modeling and Simulations in Biomechanics tional Publishing, 2017, 526, p. 145–

8. Martins P., Jorge R.N., Ferreira A.

hyperelastic properties: application to silicone 9. Safshekan F., Mohammad Tafazzoli

and constitutive modeling of human 10. Shergold O.A., Fleck N.A., Radford D.

at low and high strain rates. „International Journal of Impact Engineering” 2006, 32, p. 1384

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

Destrade M., Saccomandi G., Sgura I.: Methodical fitting for mathematical models of rubber Mathematical, Physical and Engineering Sciences. Vol.

ary 2017, Article number 20160811. DOI:10.1098/rspa.2016.0811.

Kim B., Lee S.B., Lee J., Cho S., Park H., Yeom S., Park S.H.: A comparison among neo

Mooney Rivlin model, and Ogden model for chloroprene rubber. „International Journal of Precision Engineering p. 759–764.

Li J., Tarvainen T., Rich J., Turunen M., Paulasto-Krockel M.: Hyperelastic property uniaxial tensile test. „Journal of Electronic Materials”

Kneć A.: Application of the Ogden model to the tensile stress-strain behavior of the Modeling and Simulations in Biomechanics. Advances in Intelligent Systems and Computing”

–152.

Martins P., Jorge R.N., Ferreira A.: A comparative study of several material models for prediction of hyperelastic properties: application to silicone-rubber and soft tissues. „Strain” 2006, 42, p.

Safshekan F., Mohammad Tafazzoli-Shadpour M., Abdouss M., Shadmehr M.B.: Mechanical uman trachea: age and gender dependency. „Materials” 2016,

Shergold O.A., Fleck N.A., Radford D.: The uniaxial stress versus strain response of pig skin and silicone rubber International Journal of Impact Engineering” 2006, 32, p. 1384

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

Methodical fitting for mathematical models of rubber-like materials.

. 473, Iss.2198, 1 Febru-

comparison among neo-Hookean model, International Journal of Precision Engineering

roperty measurements of heat-

” 2012, 41(9), p. 2613–

ehavior of the pig’s skin.

telligent Systems and Computing” Springer Interna-

A comparative study of several material models for prediction of p. 135–147.

Mechanical characterization 2016, 9, p. 456–468.

stress versus strain response of pig skin and silicone rubber International Journal of Impact Engineering” 2006, 32, p. 1384–1402