EGZAMIN poprawkowy, 9 III 2018, grupa A Imię i nazwisko: ...
Nr indeksu: ...
1 2 3 4 5 6 SUMA
Zadania (6 · 4 = 24 punkty)
Za każde zadanie można otrzymać 3 punkty. Wszystkie odpowiedzi proszę starannie uzasadniać! W zadaniach oznaczonych [L] odpowiedzi liczbowe prosimy podawać w postaci ułamka nieskracalnego, na przykład 2/3, a nie 24/36.
Powodzenia!!!
Zadanie 1. [L] Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką, której jedna ściana ma jedno oczko, dwie mają dwa oczka i trzy ściany mają po trzy oczka. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby oczek otrzymane w obu rzutach różnią się o 1.
Zadanie 2. [L] Agata i Beata targują się ze sprzedawcą na bazarze. Sprzedawca wyznaczył cenę towaru na loso- wą wartość w przedziale 10 - 50 zł, w tajemnicy przed Agatą i Beatą. Sprzeda towar wtedy, kiedy cena zaproponowana przez Agatę lub Beatę nie będzie niższa niż jego wyznaczona cena. Agata losuje swoją pro- pozycję z przedziału 5 - 45 zł, natomiast Beata zaproponowała cenę 30 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że sprzedawca sprzeda towar?
Zadanie 3. [L] Gracz ma 15 zł. Wpłaca 1 zł i jeśli wyrzuci orła w pierwszym rzucie, to wygrywa dodatkowo 1 zł i przerywa grę. Jeśli w pierwszym rzucie wypadła reszka, gracz stawia 2 zł (na wygraną — wyrzucenie orła) i jeśli wygra drugi rzut to również przerywa grę. W przeciwnym przypadku stawia 4 zł na wygraną w trzecim rzucie. Jeśli znowu przegra, stawia pozostałe 8 zł (1 + 2 + 4 + 8 = 15). Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja zysku gracza w tej grze? Uwaga: zysk = -15, jeśli gracz przegra w każdym rzucie.
1
Zadanie 4. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybranych 7 osób (a) żadne dwie nie urodziły się tego samego dnia tygodnia,
(b) dokładnie dwie urodziły się w niedzielę i dokładnie dwie urodziły się w sobotę.
Zadanie 5. 2n zawodników, z czego n w koszulkach niebieskich i n w czerwonych, stanęło na przeciwko siebie w sposób całkowicie losowy. Znajdź wartość oczekiwaną zmiennej losowej X = { liczba osób mających na przeciwko siebie osobę o innym kolorze koszulki }. Dla n = 3 proszę podać rozkład zmiennej losowej X.
Zadanie 6. [L] Dwie drużyny A i B grają serię (niezależnych) meczów dopóki jedna z drużyn wygra 4 mecze. Prawdo- podobieństwo zwycięstwa w każdym z meczów wynosi 1/2. Znajdź prawdopodobieństwo, że seria zakończy się
(a) w co najwyżej 6 meczach,
(b) w co najwyżej 6 meczach, jeśli wiadomo, że pierwsze dwa mecze wygrała drużyna A.
2
