Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej 2

(1)

imi¦ i nazwisko: ... numer indeksu ... 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ

Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej 2

1. Korzystaj¡c z denicji odpowiedniej caªki niewªa±ciwej, uzasadnij, »e caªkaZ ¹

2

0

1

x ln xdx jest rozbie»na.^(4p) 2. Oblicz obj¦to±¢ bryªy D = (x, y, z) ∈ R³ : (x²+ y²+ z²)²(x²+ y²) ≤ 1

.^(5p)

3. Wyznacz dªugo±¢ krzywej γ(t) = (cos t, sin t, at), 0 ≤ t ≤ 2π, gdzie a ∈ R jest ustalon¡ liczb¡.^(4p)

4. Korzystaj¡c z metody mno»ników Lagrange'a, wyznacz warto±¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ funkcji F (x, y) = x + 2y przy zaªo»eniu, »e 2x²+ y²+ xy = 1.^(7p)

5. Niech f(x, y) = _x^x2+y²^y² gdy (x, y) 6= (0, 0) oraz f(0, 0) = 0. Korzystaj¡c z denicji, oblicz pochodne cz¡stkowe

∂f

∂x(0, 0), ^∂f_∂y(0, 0). Uzasadnij, »e f nie jest ró»niczkowalna w (0, 0).^(6p)

6. Wykorzystuj¡c twierdzenie Greena lub denicj¦ caªki krzywoliniowej, oblicz caªk¦

I

Γ

(2y dx + 3x dy), gdzie Γ jest dodatnio zorientowanym okr¦giem o ±rodku (0, 0) i promieniu 1.^(4p)

7. Sformuªuj twierdzenie o funkcji uwikªanej (na przykªad w wersji wykorzystanej w dalszej cz¦±ci zadania).

Uzasadnij, »e równanie x cos y = y cos x okre±la w otoczeniu x = ^π₂ funkcj¦ uwikªan¡ y = f(x) tak¡, »e f (^π₂) = −^π₂. Wyznacz f⁰(0).^(6p)

8. Znajd¹ ukªad fundamentalny rozwi¡za« równania liniowego f⁰⁰⁰(t) − f⁰⁰(t) + f⁰(t) − f (t) = 0.^(4p)