TESTOWANIE HIPOTEZ Hipoteza statystyczna

(1)

TESTOWANIE HIPOTEZ

Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa

badanej cechy populacji.

Przykłady.

(a) Producent opon twierdzi, że nowy typ opony ma trwałość większą niż 60000 km. Jeśli ^ (km)

oznacza wartość średnią trwałości opon, to hipotezą producenta jest ^H^:^ ^⁶⁰⁰⁰⁰.

(b) Socjolog twierdzi, że dzieci w miastach mają lepsze wyniki w nauce niż dzieci poza ośrodkami

miejskimi. Niech ^p¹ (^p²) oznacza proporcję dzieci w miastach (poza miastami) o średnich ocenach

rocznych co najmniej dobrych. Hipotezą socjologa jest ^H^:^p¹^ ^p².

(c) Producent twierdzi, że średni czas bezawaryjnej pracy drukarki to 200 godzin. Wówczas

^H^:^^²⁰⁰

(d) Fizycy przypuszczają, że ilość cząstek

emitowanych przez substancję radioaktywną w przedziałach czasu o danej długości jest zmienną losową o rozkładzie Poissona. Wówczas

^H^:^X ^~^P⁽^^),^^⁰^.

(e) Sprzedawca przypuszcza, że miesięczna wartość sprzedaży ma rozkład normalny. Wówczas

(2)

), , (

~

:X N  

H  , 0_ __.

Hipotezę nazywamy parametryczną, jeśli jest stwierdzeniem dotyczącym nieznanego parametru

liczbowego lub wektorowego rozkładu cechy populacji, np. hipotezy (a), (b), (c).

W przeciwnym przypadku hipoteza jest nieparametryczną, np. hipotezy (d), (e).

W zadaniach testowania hipotez występują 2 hipotezy:

Hipoteza zerowa – hipoteza testowana celem ewentualnego odrzucenia, oznaczana przez ^H⁰. Hipoteza alternatywna – hipoteza, która będzie

przyjęta, jeśli odrzucimy hipotezę zerową, oznaczana przez ^H¹.

Hipotezy wykluczają się: nie mogą być jednocześnie prawdziwe, np. niech ^p^⁽⁰^,¹⁾ oznacza

prawdopodobieństwo sukcesu w doświadczeniu Bernoulli’ego. Możliwe są hipotezy:

2 : 1

0 p

H , ^H¹^: ^p^ ₂¹ lub

2 : 1

0 p

H , ^H¹^: ^p^₂¹, ale niemożliwe jest sytuacja gdy ^H⁰^:^p^¹₂,

3 : 1

1 p

H , bo wartość ^p ^ ₂¹ jest parametrem z zakresu ^H⁰ i

H1 jednocześnie. Zbiory parametrów wymieniane w obu hipotezach nie są rozłączne.

(3)

Rola hipotez ^H⁰ i ^H¹ nie jest symetryczna.

Hipoteza alternatywna, to ta którą zaakceptujemy, jeśli próbka dostarczy nam dostatecznych dowodów jej

prawdziwości, ta o której sądzimy, że jest prawdziwa i szukamy potwierdzenia w próbce, to ta na której nam zależy aby była prawdziwa.

Hipoteza zerowa to ta co do której prawdziwości nie jesteśmy przekonani w sytuacji gdy nie możemy

zaakceptować na podstawie próbki hipotezy

alternatywnej, ta którą poddajemy w wątpliwość.

Przykład. Załóżmy, że skuteczność pewnej terapii medycznej wynosi ^p¹^¹⁰⁰^%. Zaproponowano nową terapię, której nieznana skuteczność ^p²^¹⁰⁰^% nie jest gorsza, tzn. wiemy, że ^p² ^ ^p¹. Nowa terapia będzie

szeroko stosowana, jeśli będziemy mieli po badaniach wstępnych dostatecznie dużą „pewność”, że^p² ^ ^p¹.

Należy przeprowadzić testowanie hipotez:

2 1 0:p p

H  , H₁:p₂  p₁.

Przykład. Nowa technologia produkcji może zmniejszyć dobowy poziom emisji zanieczyszczeń do atmosfery.

Chcielibyśmy wiedzieć, czy zmniejsza ona poziom zanieczyszczeń? Wówczas:

0 :

H Nowa technologia nie zmniejsza dobowego poziomu emisji zanieczyszczeń atmosfery, tzn. nie jest lepsza od starej technologii.

(4)

H1: Nowa technologia zmniejsza dobowy poziom emisji zanieczyszczeń atmosfery, tzn. jest lepsza.

Zadanie testowania powyższych hipotez polega na podjęciu poniższych decyzji, na podstawie obserwacji dobowych poziomów emisji zanieczyszczeń,:

Możliwe decyzje:

1. Nie ma dostatecznych dowodów aby odrzucić ^H⁰, tzn. przyjąć ^H¹: na podstawie obserwacji nie możemy stwierdzić, że nowa technologia zmniejsza poziom zanieczyszczeń.

2. Obserwacje dostarczają dostatecznych dowodów, aby przyjąć ^H¹, równoważnie odrzucić ^H⁰, tzn.

stwierdzamy, iż można uznać, że nowa technologia zmniejsza poziom zanieczyszczeń.

Model matematyczny:

Załóżmy, że

(a) ^⁰ = znany średni poziom dobowy emisji przy starej technologii

(b) ^ = nieznany średni poziom dobowy emisji przy nowej technologii

(c) wiemy, że ^{ }^⁰. Chcielibyśmy stwierdzić, że nowa technologia zmniejsza poziom emisji. Zatem:

(5)

0 0: 

H , ^H¹^:^{ }^⁰ .

(d) w ciągu n losowo wybranych dni obserwujemy dobowe poziomy emisji przy nowej technologii:

Xn

X

X₁, ₂,..., .

(e) zmienne losowe ^X¹^,^X²^,...,^Xⁿ są niezależne o

jednakowym rozkładzie ^N⁽^^,^⁾, gdzie ^ jest znane.

Odpowiednią decyzję: „ przyjąć ^H¹” lub „ nie można odrzucić ^H⁰” rozsądnie jest oprzeć na podstawie

realizacji średniej z próby losowej ^X, tzn. średniej z próbki ^x.

Uzasadnienie: Rozkładem ^X jest rozkład ^N⁽^^, ^_n⁾ skoncentrowany wokół ^. Zatem dostatecznie małe wartości ^X sugerują, że ^H¹^:^{ }^⁰ jest prawdziwa,

ponieważ

(1) jeśli ^H⁰^:^{ }^⁰ jest prawdziwa, to wartości ^X skupiają się wokół ^⁰, statystyka

n Z X

/

 0



 ^{~ N}⁽⁰^,¹⁾.

(2) jeśli ^H¹^:^{ }^⁰ jest prawdziwa, tzn. nieznane ^^^¹^^⁰, to wartości ^X skupiają się wokół ^¹. Wówczas Z jest sumą zmiennej o rozkładzie ^N⁽⁰^,¹⁾

oraz stałej ujemnej:

n n

Z X

/ /

0 1 1







  

  .

(6)

(1) i (2) sugerują sposób testowania: niech c będzie odpowiednio dobraną stałą, a ^x wartością ^X obliczoną dla konkretnej próbki, wówczas

(i) jeśli ^z^_^x^_/ ^_n⁰ ^^c, to przyjmujemy ^H¹. (ii) jeśli ^z^_^x^_/ ^_n⁰ ^^c, to nie ma podstaw do odrzucenia ^H⁰.

Wybór c: Niech ^ będzie małą liczbą z (0,1), np.

^ ^⁰^,⁰⁵ lub 0, 01 lub 0,1, ...

Niech ^c ^^z^ ^^^z¹^^. Wówczas jeśli ^H⁰^:^{ }^⁰ prawdziwa, to

 

 )

0(Z z

P_H .

Stąd ^ jest prawdopodobieństwem błędnej decyzji (przyjęcia ^H¹) w przypadku gdy hipoteza ^H⁰ jest

prawdziwa. ^ = prawdopodobieństwo błędu I rodzaju, nazywane poziomem istotności testu.

Zbiór ^C ^^{^z^:^z^ ^z^^} nazywamy zbiorem krytycznym, bo jest to zbiór wartości statystyki testowej Z dla których

odrzucamy ^H⁰ na korzyść ^H¹.

(7)

Błędy testowania, gdybyśmy symetrycznie traktowali hipotezy

Podjęta decyzja

Stan natury

Akceptacja ^H⁰

( ^H⁰ ? nie odrzucamy ^H⁰)

Odrzucenie ^H⁰ (Akceptacja ^H¹)

H0 prawdziwa Decyzja

prawidłowa ( ? )

Błąd I rodzaju

H1 prawdziwa Błąd II rodzaju (? )

Decyzja prawidłowa

(8)

I. Testowanie hipotez o wartości średniej rozkładu normalnego, gdy znana jest wariancja.

Niech ^X¹^,^X²^,...,^Xⁿ będzie prostą próbą losowa z rozkładu

) , ( 

N , ^ - znane.

0 0:  H

Statystyka testowa:

n Z X

/

 0



  = _^X_/^^_n^_^^_/ ^_n⁰.

Jeśli ^H⁰ prawdziwa, to Z ^{~ N}⁽⁰^,¹⁾. Model 1. ^H⁰^:^{ }^⁰, ^H¹^:^{ }^⁰.

Wówczas przyjmujemy C = ^{^z^:^z^{ z}¹^^^} = obszar

krytyczny testu hipotezy ^H⁰ przeciw ^H¹ na poziomie istotności ^, gdzie

 





 ) ( _ )

( ₁

0

0 Z C P Z z

P_H _H .

(9)

Model 2. ^H⁰^:^{ }^⁰, ^H¹^:^{ }^⁰.

Wówczas przyjmujemy C = ^{^z^:^z^{ z}^ ¹^^^} - obszar krytyczny, gdzie

 







 ) ( _ )

( ₀ ₁

0 Z C P Z z

P_H _H .

Model 3. ^H⁰^:^{ }^⁰, ^H¹^:^{ }^⁰. Wówczas C = ^{^z^: ^z ^{ z}¹^^^/²^} - obszar krytyczny, gdzie

2 / ) ( ₁ _/₂

0 Z z__ 

P_H

 





 ) ( _ )

( ₀ ₁ _/₂

0 Z C P Z z

P_H _H .

Zadanie. Dotychczasowa dzienna wartość sprzedaży pewnego artykułu miała rozkład normalny o średniej 1000 ($) i standardowym odchyleniu 100 ($). Po serii reklam telewizyjnych, w ciągu 9 losowo wybranych dni uzyskano następujące wartości sprzedaży:

1280, 1250, 990, 1100, 880, 1300, 1100, 950, 1050.

Czy, na poziomie istotności ^ ^⁰^,⁰¹, można twierdzić, że reklamy spowodowały zwiększenie sprzedaży, jeśli można założyć, że wartości dziennych sprzedaży są

(10)

niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie normalnym ?

Rozwiązanie:

1. ^H⁰^:^ ^¹⁰⁰⁰ 2. ^H¹^:^ ^¹⁰⁰⁰

3. Statystyka testowa: ^Z ^ ^X_^_/¹⁰⁰⁰_n

4. ^ ^⁰^,⁰¹, ¹^^ ^⁰^,⁹⁹, ^z⁰^,⁹⁹ = 2,33.

Obszar krytyczny C = ^{^z^:^z^²^,³³^}

5. ^ ^¹⁰⁰, ⁿ ^⁹, z obliczeń ^x ^¹¹⁰⁰, stąd wartość statystyki testowej

3 3 / 100

1000 1100

/

1000  

 

n z x

 .

6. ³^ ²^,³³, więc odrzucamy ^H⁰.

Odpowiedź: Na poziomie istotności ^ ^⁰^,⁰¹

stwierdzamy, że średnia wartość sprzedaży wzrosła po serii reklam.

(11)

II. Testowanie hipotez o wartości średniej rozkładu normalnego, gdy nieznana jest wariancja.

) , ( 

N , ^ - nieznane.

0 0: 

H .

n S T X

/

0

  = _S^X_/^^_n^^_S^_/ ^_n⁰.

Jeśli ^H⁰ prawdziwa, to ^T ^~^tⁿ^¹. Model 1. ^H⁰^:^{ }^⁰, ^H¹^:^{ }^⁰.

Wówczas przyjmujemy C = ^{^t^:^t ^^t¹^^^,ⁿ^¹^} = obszar

krytyczny testu hipotezy ^H⁰ przeciw ^H¹ na poziomie istotności ^, gdzie

 





 ) ( _ _ )

( ₀ ₁ _, ₁

0 H n

H Z C P T t

P ,

1 , 1 n

t _ = kwantyl rzędu ¹^^ rozkładu t – Studenta z

1

n stopniami swobody.

(12)

Model 2. ^H⁰^:^{ }^⁰, ^H¹^:^{ }^⁰.

Wówczas C = ^{^t^:^t ^^^t¹^^^,ⁿ^¹^} - obszar krytyczny, gdzie

 



 _ _ )

( ₁ _, ₁

0 n

H T t

P .

Model 3. ^H⁰^:^{ }^⁰, ^H¹^:^{ }^⁰. Wówczas

C = ^{^t^: ^t ^^t¹^^^/²^,ⁿ^¹^} - obszar krytyczny, gdzie

2 / ) ( ₁ _/₂_, ₁

0  __ _n_ 

H T t

P



^P^H⁰⁽^T ^^t¹^^^/²^,ⁿ^¹⁾^^_.

Zadanie. Producent twierdzi, że jego nowy model samochodu ma wartość średnią przebiegu nie

wymagającą żadnej interwencji 12000 (mil). W teście dla 4 losowo wybranych samochodów uzyskano

następujące przebiegi nie wymagające żadnego serwisu:

11000, 12000, 11800, 11200. Czy można zaprzeczyć twierdzeniu producenta, przyjmując ^ ^⁰^,⁰⁵ oraz rozkład normalny przebiegu.

Rozwiązanie:

1. ^H⁰ ^:^ ^¹²⁰⁰⁰ 2. ^H¹^:^ ^¹²⁰⁰⁰

3. Statystyka testowa: ^T ^ ^X_S^_/¹²⁰⁰⁰_n

4. ^ ^⁰^,⁰⁵, ¹^^ ^⁰^,⁹⁵, liczba stopni swobody = ⁿ^¹ = 4 –1

= 3, ^t⁰^,⁹⁵^,³ ^ 2,353.

(13)

Obszar krytyczny C = ^{^t^:^t ^^²^,³⁵³^}.

5. ⁿ^ ⁴, z obliczeń ^x^¹¹⁵⁰⁰, ^s² ^⁶⁸⁰⁰⁰⁰₄_₁ ^²²⁶⁶⁶⁷, stąd wartość statystyki testowej

10 , 4 2 / 226667

12000 11500

/ 12000



 

 s n

t x .

6. ^²^,¹⁰^^²^,³⁵³, więc nie ma podstaw do odrzucenia ^H⁰ na poziomie istotności 0,05.

Odpowiedź: Na poziomie istotności ^ ^⁰^,⁰⁵

stwierdzamy, że nie można odrzucić twierdzenia producenta.

Definicja. Najmniejszy poziom istotności, przy którym zaobserwowana wartość statystyki testowej prowadzi do odrzucenia hipotezy zerowej nazywamy p-wartością przeprowadzonego testu.

Np. w ostatnim zadaniu

10 ,

2



t , ^P^H⁰⁽^T ^^^t¹^^^,ⁿ^¹⁾^^





 2,10)

0(T

P_H 0,063.

Im mniejsza jest p-wartość, tym mocniejsze staje się przekonanie testującego o fałszywości hipotezy zerowej i prawdziwości hipotezy alternatywnej.

(14)

III. Testowanie hipotez o wariancji rozkładu normalnego, gdy nieznana jest wartość średnia.

) , ( 

N , ^,^ - nieznane.

02 0:2 

H .

02 2 ( 1) 2

  ⁿ^ ^S = ²

0 2 2

) 2

1 (



 ^

 S n

Jeśli ^H⁰ prawdziwa, to ^² ^~^ⁿ²^¹.

Model 1. ^H⁰^:^² ^^⁰², ^H¹^:^²^^⁰².

Wówczas przyjmujemy C = ^{ ^:⁽ ¹²⁾ ¹² ^, ¹^}

0 2 2



 



n obl

s n

 

  = obszar

krytyczny testu hipotezy ^H⁰ przeciw ^H¹ na poziomie istotności ^, gdzie





  ) (  __ _ )

( ² ² ₁² _, ₁

0

0 H n

H C P

P ,

2 , 1

1 n

 = kwantyl rzędu ¹^^ rozkładu ^ⁿ²^¹.

02 2 2

2 ( 1) 2



  n S 

Model 2. ^H⁰^:^² ^^⁰², ^H¹^:^²^^⁰². Wówczas C = ^{ ^:⁽ ¹²⁾ ²^, ¹^}

0 2 2

 



n

obl n s



  - obszar krytyczny, gdzie

(15)





  ) (  _ _ )

( ² ² ²_, ₁

0

0 H n

H C P

P .

Model 3. ^H⁰^:^² ^^⁰², ^H¹^:^² ^^⁰².

Wówczas obszar krytyczny C = ^{ ^:⁽ ¹²⁾ ²^/²^}

0 2 2



 n s 

obl

)1 } :(

{ ₂ ₁² _2/

0 2 2

  ^

 n s  _

obl ,

gdzie ^^²^/² ^^^²^/²^,ⁿ^¹, ^¹²^^^/² ^^¹²^^^/²^,ⁿ^¹.

Zadanie. Zmierzono czas życia 15 losowo wybranych żarówek z bieżącej produkcji. Policzono standardowe odchylenie próbkowe ^s ^¹³ (godz. ). Czy na poziomie istotności ^ ^⁰^,⁰⁵ ( 5%) można twierdzić, że odchylenie standardowe czasu życia losowo wybranej żarówki jest różne od 10 ( godz.)

Rozwiązanie.

1. ^H⁰ ^:^ ^¹⁰ 2. ^H¹^:^ ^¹⁰

3. Statystyka testowa: 2 2 2

10 ) 1 (n S

 

4. ^ ^⁰^,⁰⁵, ^^/²^⁰^,⁰²⁵, ¹^^/²^⁰^,⁹⁷⁵,

ⁿ^¹⁵, liczba stopni swobody ⁿ^¹^¹⁵^¹^¹⁴, ^^²^/²^,ⁿ^¹ ^^⁰²^,⁰²⁵^,¹⁴ ^⁵^,⁶²⁹,

^¹²^^^/²^,ⁿ^¹^ ^⁰²^,⁹⁷⁵^,¹⁴ ^²⁶^,¹¹⁹.

Reguła decyzyjna ( na podstawie obszaru krytycznego ):

odrzuć ^H⁰, jeśli obliczona wartość statystyki

(16)

obl2

 ^⁵^,⁶²⁹ lub ^^obl² ^ ²⁶^,¹¹⁹.

5. s =13, stąd wartość statystyki testowej

2

obl = ⁽ⁿ₁₀₀^{ s}¹⁾ ² ^ ⁽¹⁴₁₀₀⁾⁽¹³²⁾ ^²³^,⁶⁶.

6. ⁵^,⁶²⁹^²³^,⁶⁶^²⁶^,¹¹⁹, więc nie ma podstaw do odrzucenia

H0.

Odpowiedź. Na poziomie istotności 0,05, brak jest dostatecznych dowodów aby twierdzić, że

 

^10.

IV. Testy o różnicy wartości średnich dwóch rozkładów normalnych.

Niech ^X¹^,^X²^,...,^Xⁿ¹ oraz ^Y¹^,^Y²^,...,^Yⁿ² będą dwiema

niezależnymi prostymi próbami losowymi z rozkładów normalnych ^N⁽^¹^,^¹⁾ oraz ^N⁽^²^,^²⁾, odpowiednio.

Model 1. ( znane odchylenia standardowe ^¹^,^² )

2 1 0: 

H ,

lub równoważnie

0 : ₁ ₂

0   

H .

Konstrukcja oparta na analizie ^X ^^Y .

(17)

Statystka ^X ^^Y ma rozkład normalny o wartości średniej

2

1 

  i wariancji

2 22

1 12

n n



  ( gdyż

średnie z obu prób losowych ^{X ,}^Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych

) , (

1 1 n1

N   , ⁽ ^, ⁾

2 2 n2

N   , odpowiednio ). Stąd, po standaryzacji mamy

2 2 2 2 1

1

2 1

/ /

) (

n n

Y Z X









  ~ ^N⁽⁰^,¹⁾.

(a) ^H⁰^:^¹^^² ^⁰, ^H¹^:^¹^^² ^⁰ . Jeśli ^H⁰ prawdziwa, to

2 2 2 2 1

1 /n /n

Y Z X



 

  ~ ^N⁽⁰^,¹⁾.

Przyjmujemy C = ^{^z^:^z^{ z}¹^^^} = obszar krytyczny testu hipotezy ^H⁰ przeciw ^H¹ na poziomie istotności ^, gdzie ^P^H⁰⁽^Z^^C⁾^ ^P^H⁰⁽^Z ^^z¹^^⁾^^,





z1 = kwantyl rzędu ¹^^ rozkładu ^N⁽⁰^,¹⁾. (b) ^H⁰^:^¹^^² ^⁰, ^H¹^:^¹^^² ^⁰ .

Przyjmujemy C = ^{^z^:^z^^z^^} = obszar krytyczny.

(c) ^H⁰^:^¹^^² ^⁰, ^H¹^:^¹^^² ^⁰

Przyjmujemy C = ^{^z^: ^z ^{ z}¹^^^/²^} = obszar krytyczny.

(18)

Przykład. Średnia waga losowo wybranych 15

Europejczyków wyniosła ^x= 154 (funty), podczas gdy dla próbki 18 Amerykanów otrzymano ^y = 162 (funty).

Z poprzednich badań wiadomo, że wariancje wag losowo wybranego Europejczyka i Amerykanina wynoszą, odpowiednio: ^¹² ^¹⁰⁰ i ^²² ^¹⁶⁹. Czy można twierdzić, że średnie wagi w populacji Europejczyków i Amerykanów są różne? Przyjąć ^ ^⁰^,⁰⁵ oraz rozkład normalny wag.

1. ^H⁰^:^¹^^² ^⁰. 2. ^H¹^:^¹^^² ^⁰

3. Statystyka testowa: ^Z^ _₁²_/^X_n₁^_^Y_₂²_/_n₂ 4. ^ ^⁰^,⁰⁵, ¹^^^/²^⁰^,⁹⁷⁵, ^z⁰^,⁹⁷⁵ ^¹^,⁹⁶. Obszar krytyczny C = ^{^z^: ^z ^¹^,⁹⁶^}.

5. Mamy^x=154, ^y=162, ^¹² ^¹⁰⁰, ^²² ^¹⁶⁹, ⁿ¹ ^¹⁵, ⁿ² ^¹⁸. Stąd wartość statystyki testowej

 

 

2 2 2 2 1

1 /n /n

y z x



056 , 16

8 18

/ 169 15 / 100

162

154  



 = - 2.

6. ^² ^²^¹^,⁹⁶, więc odrzucamy ^H⁰.

(19)

Odpowiedź: Na poziomie istotności ^ ^⁰^,⁰⁵

stwierdzamy, że średnia waga Europejczyka różni się od średniej wagi Amerykanina, przy czym dane sugerują, że średnio Amerykanie ważą więcej niż Europejczycy.

Model 2. ( nieznane odchylenia standardowe ^¹^,^² ) Założenie dodatkowe: ^¹^^² ^^, ^ - nieznane.

2 1 0: 

H ,

lub równoważnie

0 : ₁ ₂

0   

H .

Jeśli ^H⁰ prawdziwa, to

2 2 2 2 1

1 /n /n

Y Z X



 

  = _ ₁_/^X_n₁^_^Y₁_/_n₂ ~ ^N⁽⁰^,¹⁾. Var(^X ^^Y ) = ^_^ ^ ^_^

2 1

2 1 1

n

 n ,

Niech

 

 

 1 1

2 1

12 ( )

1 1 ⁿ

i Xi X

S n , ^ _ ^_²₁ ^ ²

2

22 ( )

1 1 ⁿ

i Yi Y

S n -

nieobciążone estymatory ^².

Estymatorem nieobciążonym ^², opartym na dwu próbach łącznie, jest statystyka

2 ) 1 ( ) 1 (

2 1

22 2 2

1 2 1









 

n n

S n S

S_p n .

(20)

Wówczas we wzorze na Z podstawiając ^S^p ^ ^S²^p zamiast ^ otrzymujemy statystykę

2 1

1 1

n S n

Y T X

p 

 

~ ^tⁿ¹^n²^².

Dla trzech przypadków możliwych hipotez alternatywnych (a), (b), (c) z modelu 1 mamy

analogiczne obszary krytyczne, przy czym kwantyle rozkładu ^N⁽⁰^,¹⁾ zastępujemy kwantylami rozkładu ^tⁿ¹^n²^².

Przykład. Klasyczne tranzystory domieszkowane

złotem ( występujące w układach scalonych ) mają tzw.

czas magazynowania ładunku rzędu 7 ns. Producent ma nadzieję, że pewna zmiana technologii zmniejszyła czas magazynowania. Producent chciałby przetestować

hipotezę ^H⁰^:^{ }¹ ^² przeciw ^H¹^:^¹ ^^², gdzie ^¹ oznacza średni czas magazynowania przy starej technologii a ^² przy nowej technologii. Z poprzednich badań wiadomo, że obie technologie dają w przybliżeniu normalne

rozkłady czasu magazynowania, oraz że odchylenia standardowe obu rozkładów są takie same.

Producent pobrał 2 niezależne 50 elementowe próbki tranzystorów, produkowanych starą i nowa technologią.

Średnie czasy magazynowania dla obu próbek wyniosły

6 ,

6

x , ^y ^⁶^,³ oraz ^s^p ^⁰^,⁵.