Obja±nienia intuicyjne w matematyce

Obja±nienia intuicyjne w matematyce

Jerzy Pogonowski

Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl

Kraków 2019

Wst¦p

Plan

Intuicja matematyczna.

Konteksty: odkrycia, uzasadnienia, przekazu.

Obja±nienia intuicyjne: przykªady.

Poni»sze reeksje oparte s¡ na do±wiadczeniach dydaktycznych jedynie na poziomie uniwersyteckim, uzyskanych podczas prowadzenia kursów dotycz¡cych matematycznych podstaw kognitywistyki oraz

matematycznych metod rozwi¡zywania problemów. Dobiegaj¡ca ju»

ko«ca posªuga dydaktyczna prelegenta obejmowaªa te» kilka dekad nauczania logiki matematycznej.

Odczyt przygotowano w ramach projektu badawczego NCN 2015/17/B/HS1/02232 Aksjomaty ekstremalne: aspekty logiczne, matematyczne i kognitywne.

Intuicja matematyczna

Pogl¡dy lozofów: Kartezjusz (poj¦cia oczywiste, ±wiatªo rozumu), Kant (naoczno±¢, czas i przestrze« w procesie poznania),. . .

Pogl¡dy matematyków: Poincaré (postrzeganie zmysªowe, indukcja matematyczna, intuicja liczby), Gödel (intuicja matematyczna daje umysªowi dost¦p do plato«skiego ±wiata obiektów

matematycznych),. . .

Pogl¡dy dydaktyków: Krygowska (wnioskowania empiryczne,

intuicyjne, formalne), Sierpi«ska (wyja±nianie, rozumienie, przeszkody epistemologiczne), Tall (trzy ±wiaty matematyki), . . .

Stratykacja intuicji:

Protointuicje: zwi¡zane z naszym uposa»eniem poznawczym.

Intuicje wyksztaªcane na drodze przemocy symbolicznej szkoªy.

Intuicje profesjonalnych matematyków.

Dynamika intuicji matematycznych: nowe wyniki, paradoksy, programy badawcze,. . .

Trzy konteksty Kontekst odkrycia i kontekst uzasadnienia

Kontekst odkrycia

Hadamard: Psychologia odkrycia matematycznego.

Lakatos: Proofs and refutations.

Rola intuicji w kontek±cie odkrycia.

Matematyka: tworzona czy odkrywana?

Badania empiryczne: rozumienie poj¦¢, pi¦kno w matematyce.

Kontekst uzasadnienia

Dowód w logice i w matematyce.

Drogi do dowodu matematycznego.

Czy poj¦cie dowodu matematycznego jest niezmienne?

Rola antynomii, paradoksów, patologii.

Bª¡dzenie w matematyce.

Trzy konteksty Kontekst przekazu

Kontekstem przekazu nazwiemy nast¦puj¡ce sfery obecno±ci matematyki w kulturze:

Uczenie si¦ i nauczanie matematyki.

Popularyzacja matematyki.

Wykorzystanie matematyki w sztuce.

W kontek±cie przekazu nast¦puje uzyskanie wiedzy, umiej¦tno±ci, kompetencji matematycznych.

Znaczenie poj¦¢ matematycznych: jest wyznaczone przez teori¦.

Rozumienie w matematyce: jest wynikiem procesu, w którym znaczenie poj¦¢ ª¡czy si¦ z obja±nieniami intuicyjnymi.

Obja±nienia intuicyjne: s¡ wskazówkami naprowadzaj¡cymi na uchwycenie znaczenia.

Obja±nienia intuicyjne Obja±nienia werbalne

Granica, ci¡gªo±¢, itd.: naddatki lingwistyczne w czytaniu denicji (dowolnie maªy dodatni ε), terminy dotycz¡ce ruchu (d¡»y, przebiega, zbli»a si¦), itp.

Werbalny opis rysunków, diagramów, itp. Diagramy Venna nie pozwalaj¡ np. na dystynkcj¦: wyró»nianie i odró»nianie.

Mówienie o zbiorach (dystrybutywne i kolektywne, nieostre, itp.).

Problemy z przykªadami z »ycia.

Obrazowo±¢ terminologii matematycznej (np. zbiór nigdzieg¦sty, spójno±¢, zwarto±¢, lemat o przelewaniu, itp.).

Rola metafor w obja±nieniach werbalnych. Uwaga na nietrafne metafory (por. zwodnicze u»ycia The Basic Metaphor of Innity)!

Czy eksplikacje j¦zykowe mog¡ utrudni¢ zrozumienie w matematyce?

Obja±nienia intuicyjne Odwoªania do percepcji

Rysunki: rola tªa, sugestywno±¢, rola konwencji (np. w reprezentacji bryª na rysunkach).

Modele 3D. Przyrz¡dy. Filmy, piosenki, barwy, itd.

Software, np.: Geogebra, Mathlab, Mathematica, itd.

Rola notacji matematycznej.

We are in a class of the fourth grade. The teacher is dictating: `A circle is the position of the points in a plane which are at the same distance from an interior point called the centre.' The good pupil writes this phrase in his copy-book and the bad pupil draws faces, but neither of them understands.

Then the teacher takes the chalk and draws a circle on the board. `Ah', think the pupils, `why didn't he say at once, a circle is a round, and we should have understood.'

Poincaré Science and method.

Obja±nienia intuicyjne Modele zyczne

Archimedes: modele mechaniczne (traktowane jako heurystyki) versus metoda wyczerpywania (dostarczaj¡ca matematycznego dowodu).

Poincaré o pracy Kleina: wykorzystanie modelu zycznego (przepªyw pr¡du) do badania osobliwo±ci funkcji.

Fizyka ludowa i zªudzenia, np. tor pocisku w spiralnej rurze.

Levi: Mathematical Mechanic. Wspomaganie rozumienia dowodów matematycznych poprzez odwoªania do stosownych zjawisk zycznych.

Ghrist: Topology and linkages. Wykorzystanie linkages do wizualizacji tworów wielowymiarowych: Any smooth compact manifold is

dieomorphic to the conguration space of some planar linkage.

Klein: Mogªoby si¦ wydawa¢, »e silna naiwna intuicja przestrzenna jest wªa±ciwo±ci¡ rasy teuto«skiej, natomiast umysª czysto logiczny, krytyczny jest bardziej rozwini¦ty u ras ªaci«skich i semickich.

Obja±nienia intuicyjne Modele zyczne

Niespodzianki:

Galperin: bilard i π. Ustalanie rozwini¦cia dziesi¦tnego π poprzez zderzenia kul.

Drabina osuwaj¡ca si¦ po ±cianie. Je±li proponowany model

matematyczny prowadzi do absurdu zycznego, to zmieniamy model.

Szereg harmoniczny: mrówka na linie, podró» przez pustyni¦,

maksymalny nawis, ucieczka przed zboczenic¡, pragnienie arcybiskupa, itd.

Eksperymenty: igªa Buona, paradoks Bertranda.

Problemy wariacyjne. Brachistochrona.

Czy ±wiat jest matematyczny? Dlaczego matematyka jest skuteczna w opisie ±wiata?

Czy model zyczny mo»e dostarcza¢ zªych intuicji matematycznych?

Obja±nienia intuicyjne Do±wiadczenie potoczne

Topologia: obiekty z gumy lub plasteliny oraz ich przeksztaªcenia.

Ruchy sztywne, przesuni¦cia, obroty oraz odpowiadaj¡ce im przeksztaªcenia.

Podarty trójk¡t: wizualizacja wªasno±ci geometrycznych.

Ser salami, nó» spr¦»ynowy i zatyczka.

Liczby ujemne: temperatura, pi¦tra, skacz¡ce »aby. Do czego odwoªujemy si¦, obja±niaj¡c mno»enie liczb caªkowitych?

Gry. Ciekawy przypadek z Armi¡ Conwaya: czy dowód matematyczny stanowi ostateczne wyja±nienie (zaskakuj¡cego) faktu?

Obja±nienia intuicyjne Eksperymenty my±lowe

Supertasks:

Mucha i PKP: zaªo»enia idealizuj¡ce.

Lampa Thomsona, kule Laraudogoitii, itp.

Wyobra¹nia wykraczaj¡ca poza percepcj¦:

Niesko«czono±¢.

Elementy idealne.

Ci¡gªo±¢.

Wielowymiarowo±¢.

Granice intuicji matematycznej oraz granice obja±nie« intuicyjnych.

Przekorne (?) dictum Johna von Neumanna: Young man, in

mathematics you don't understand things. You just get used to them.

Obja±nienia intuicyjne Obja±nienia wewn¦trzne

Geometryczne reprezentacje w arytmetyce. Np.: liczby trójk¡tne, czworok¡tne, itd.

Interpretacje poj¦cia pochodnej.

Topologia algebraiczna: zastosowania algebry dla charakterystyki poj¦¢

topologicznych.

Funkcja Mertensa jako zmienna losowa (i wykorzystanie tego zaªo»enia w ustaleniu, »e hipoteza Riemanna jest prawdziwa z

prawdopodobie«stwem 1).

Wymuszanie w teorii mnogo±ci i rozszerzenia przest¦pne ciaª.

Aksjomaty ekstremalne w teorii mnogo±ci. Po cz¦±ci intuicyjna argumentacja za porzuceniem aksjomatów ograniczenia a przyjmowaniem aksjomatów istnienia du»ych liczb kardynalnych.

Uwagi ko«cowe

Wnioski

Matematyka: nauka o wzorcach (regularno±ciach, symetriach, itp.) i sztuka rozwi¡zywania problemów (wedle ustalonych kanonów).

Agnostycyzm matematyczny: praktyka badawcza matematyki wydaje si¦ by¢ niezale»na od deklaracji wiary w istnienie ±wiata plato«skiego obiektów matematycznych.

Rozumienie w matematyce jako wynik procesu ª¡czenia znaczenia z obja±nieniami intuicyjnymi.

Porównanie: intuicja w kontek±cie odkrycia i w kontek±cie uzasadnienia (analogia: denicje projektuj¡ce i sprawozdawcze).

Terapia matematyczna: nauczanie matematyki dla dorosªych.

Przezwyci¦»anie traumatycznych do±wiadcze« szkolnych. Mo»liwo±¢

u±wiadomienia sªuchaczom roli intuicji.

Bibliograa

Pogonowski, J. 2016. Kontekst przekazu w matematyce. Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia 8, 119137.

Pogonowski, J. 2018. Paradox resolution as a didactic tool. In:

Bªaszczyk, P., Pieronkiewicz, B. (Eds.), Mathematical Transgressions 2015, Universitas, Kraków, 324339.

Pogonowski, J. 2018. Intuicje a nabywanie wiedzy matematycznej. W:

Murawski, R., Wole«ski, J. (Red.) Problemy lozoi matematyki i informatyki. Wydawnictwo Naukowe UAM, Pozna«, 147154.

Sierpi«ska, A. 1994. Understanding in Mathematics. The Falmer Press, London.

Tall, D. 2013. How Humans Learn to Think Mathematically.

Exploring the Three Worlds of Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge.