Teoria zbiorów

(1)

19 października 2018

(2)

Definicja 1

Symbole

∈ należy,

∈/ nie należy,

∪ suma zbiorów,

∩ część wspólna zbiorów,

\ różnica zbiorów,

⊂ zawieranie zbiorów.

Jeśli A,B są zbiorami to definiujemy:

(3)

Definicja 1

Symbole

∈ należy,

∈/ nie należy,

∪ suma zbiorów,

(4)

Definicja 1

Symbole

∈ należy,

∈/ nie należy,

∪ suma zbiorów,

(5)

Definicja 1

Symbole

∈ należy,

∈/ nie należy,

∪ suma zbiorów,

(6)

Definicja 1

Symbole

∈ należy,

∈/ nie należy,

∪ suma zbiorów,

(7)

Definicja 1

Symbole

∈ należy,

∈/ nie należy,

∪ suma zbiorów,

(8)

Definicja 1

Symbole

∈ należy,

∈/ nie należy,

∪ suma zbiorów,

(9)

Definicja 1

Symbole

∈ należy,

∈/ nie należy,

∪ suma zbiorów,

(10)

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B},

(11)

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B},

(12)

A \ B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.

(13)

A ⊂ B ⇔ [∀x ∈ A (x ∈ A ⇒ x ∈ B)].

Definicja 2

Rozważamy zbiory jako podzbiory ustalonego zbioru X, zwanego czasem uniwersum.

Dopełnieniem zbioru A nazywamy zbiór A⁰= X \ A.

Twierdzenie 3

Niech A, B ⊂ X, zachodzą następujące prawa de Morgana (A ∪ B)⁰ = A⁰∩ B⁰

oraz

(A ∩ B)⁰ = A⁰∪ B⁰.

(14)

A ⊂ B ⇔ [∀x ∈ A (x ∈ A ⇒ x ∈ B)].

Definicja 2

Twierdzenie 3

oraz

(A ∩ B)⁰ = A⁰∪ B⁰.

(15)

A ⊂ B ⇔ [∀x ∈ A (x ∈ A ⇒ x ∈ B)].

Definicja 2

Twierdzenie 3

oraz

(A ∩ B)⁰ = A⁰∪ B⁰.

(16)

A ⊂ B ⇔ [∀x ∈ A (x ∈ A ⇒ x ∈ B)].

Definicja 2

Twierdzenie 3

oraz

(A ∩ B)⁰ = A⁰∪ B⁰.

(17)

A ⊂ B ⇔ [∀x ∈ A (x ∈ A ⇒ x ∈ B)].

Definicja 2

Twierdzenie 3

oraz

(A ∩ B)⁰ = A⁰∪ B⁰.

(18)

A ⊂ B ⇔ [∀x ∈ A (x ∈ A ⇒ x ∈ B)].

Definicja 2

Twierdzenie 3

oraz

(A ∩ B)⁰ = A⁰∪ B⁰.

(19)

A ⊂ B ⇔ [∀x ∈ A (x ∈ A ⇒ x ∈ B)].

Definicja 2

Twierdzenie 3

oraz

(A ∩ B)⁰ = A⁰∪ B⁰.

(20)

Twierdzenie 4

Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą równości A ∪ B = B ∪ A,

A ∩ B = B ∩ A,

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

(21)

Twierdzenie 4

A ∩ B = B ∩ A,

(22)

Twierdzenie 4

A ∩ B = B ∩ A,

(23)

Twierdzenie 4

A ∩ B = B ∩ A,

(24)

Twierdzenie 4

A ∩ B = B ∩ A,

(25)

Twierdzenie 4

A ∩ B = B ∩ A,

(26)

Twierdzenie 4

A ∩ B = B ∩ A,

(27)

(28)

(29)

Definicja 5

Relacja o dziedzinie A i przeciwdziedzinie B nazywamy dowolny podzbiór_, R zbioru A × B.

Jeżeli A jest zbiorem n−elementowym i B jest zbiorem m−elementowym, to istnieje 2mn wszystkich relacji w zbiorze A × B.

Zamiast (a, b) ∈ R piszemy aRb.

(30)

Definicja 6

Funkcja o dziedzinie A i wartościach w zbiorze B nazywamy dowolny podzbiór f_, zbioru A × B spełniajacy warunek_,

∀a ∈ A ∃!b ∈ B : (a, b) ∈ f.

Zamiast (a, b) ∈ f piszemy b = f (a) badź f : A 3 a −→ f (a) ∈ B._,

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)