Równoliczność zbiorów

(1)

Równoliczność zbiorów

Def: A rl B ⇔∃ f :A←→¹^:¹ B (istnieje bijekcja jednego zbioru na drugi) Przykład. {a,b,c} i {1,2} – nie są równoliczne

Przykład. A=N i B={x∈N:x=2k−1,k∈N}={1,3,5,...} – są równoliczne, bo istnieje bijekcja 1

2 )

(k = k−

f zbioru A na zbiór B.

Def: Zbiór A jest skończony jeżeli jest równoliczny ze zbiorem {1,...,n} dla pewnego n ∈N. Zbiór A jest nieskończony

⇔

~( A jest skończony)

Charakteryzacja zbiorów nieskończonych

Zbiór A jest nieskończony

⇔

∃ B⊂A,B≠A: A rl B

(czyli zbiór nieskończony jest równoliczny z pewnym swoim podzbiorem właściwym).

Twierdzanie Cantora –Bernsteina {A rl B0⊂B ∧ B rl A0⊂A } ⇒ A rl B

Def: Zbiór A jest przeliczalny

⇔

A rl N (inaczej elementy zbioru przeliczalnego można ponumerować liczbami naturalnymi)

Zbiór A jest co najwyżej przeliczalny

⇔

A jest skończony lub przeliczalny Zbiór A jest nieprzeliczalny

⇔

A jest nieskończony i ~(A rl N)

Fakty: (metodą przekątniową można pokazać, że)

• Iloczyn kartezjański zbiorów przeliczalnych jest przeliczalny.

Zbiory A i B są przeliczalne więc A =

{

a₁

,

a₂

,

a₃

,

^K

}

, B =

{

b₁

,

b₂

,

b₃

,

^K

}

O M

M M

M

L L L L

25 4 4 19 3 4 14 2 4 10 1 4

18 4 3 13 3 3 9 2 3 6 4 3

12 4 2 8 3 2 5 2 2 3 1 2

7 4 1 4 3 1 2 2 1 1 1 1

) , ( ) , ( ) , ( ) , (

b a b

a b

a

b a b

a b

a

b a b

a b

a

b a b

a b

a

B A















=

×

j i i j j i

i

f

+ − + − +

= 2

) 2 )(

1 ) (

,

(

jest bijekcją N ×Nna N ( znaleźć f ⁻¹- ćwiczenia) (Wskazówka: element(i,j) jest i-tym elementem na na (i+j-1)-szej przekątnej )

• Q jest przeliczalny, (jako wniosek, bo Q

⊂

Z

×

N(przel.) i N⊂Q

• Suma (mnogościowa) przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym Dowód jak dla iloczynu kartezjańskiego

(2)

M

K K K K

, 44 43 42 41 4

, 34 33 32 31 3

, 24 23 22 21

, 14 13 12 11 1

, , , {

a a a a A

=

2

• R jest nieprzeliczalny ( R rl (0,1) a (0,1) jest nieprzeliczalny- dowód nie wprost metodą przekątniową lub zasadą szufladkową Dirichleta)

Funkcja f

(

x

) =

_π¹

arctg(

x

) +

¹₂jest bijekcją zbioru R na przedział (0,1). Po przyjęciu umowy, że te rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych, które są skończone zastępujemy rozwinięciami nieskończonymi mamy wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między liczbami

rzeczywistymi z przedziału (0,1) a ciągami cyfr rozwinięcia dziesiętnego).

Dla dowodu nie wprost załóżmy, ze wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału (0,1) można ustawić w ciąg (ponumerować liczbami naturalnymi)

, K ,

0

₁_,₁ ₁_,₂ ₁_,₃

1 a a a

a =

, K ,

0

₂_,₁ ₂_,₂ ₂_,₃

2 a a a

a =

, K ,

0

₃_,₁ ₃_,₂ ₃_,₃

3 a a a

a =

M

Rozważmy liczbę L

3 2

,

1

0

cc c

c = z przedziału (0,1) taką, że c_i ≠a_i_,_i,c_i ≠0, c_i ≠9. Liczba c różni się od każdej z liczb a_i i-tą cyfrą rozwinięcia dziesiętnego, więc nie występuje w tym ciągu -sprzeczność!

CIĄGI RZECZYWISTE

Ciągiem o wyrazach rzeczywistych nazywamy rzeczywistą funkcję a

:

N

→

R określoną na zbiorze liczb naturalnych

1→ a(1) = a1

2→ a(2) = a₂ itd.

Oznaczenia: a_n- n-ty wyraz ciągu (a_n) - ciąg o wyrazie ogólnym a_n

Def. (granicy ciągu) Ciąg (a_n) jest zbieżny do g (co zapisujemy a_n g

n =

∞

lim→ ) gdy

ε ∃ ∀ − ≤ε

∀ _> _n_∈_N _n_≥_n a_n g

0

0 :

0 .

Twierdzenie (o jednoznaczności granicy). Jeżeli ciąg a_n ma granicę, to tylko jedną.

Dowód (Nie wprost). Przypuśćmy, że ciąg ten ma dwie różne granice g₁ i g₂. Weźmy

ε

=^|^{g −}¹₃^g²^|. W przedziale [g₂ − gε, ₂ +ε] leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu

⇒

w przedziale [g₁− gε, ₁+ε] leży skończona ilość wyrazów ciągu, co przeczy temu, że g1 jest granicą ciągu.

(3)

Def: Ciąg rozbieżny, to ciąg, który nie jest zbieżny.

Szczególnie ważne są dwa typy ciągów rozbieżnych

• rozbieżny do

+ ∞

a_n _M _n _N _n _n a_n M

n

= +∞ ⇔ ∀ ∃

_∈

∀

_≥

≥

∞

→ ⁰

:

⁰

lim

• rozbieżny do −∞ a_n _m _n _N _n _n a_n m

n

= −∞ ⇔ ∀ ∃

_∈

∀

_>

≤

∞

→ ⁰

:

⁰

lim Zbieżność, a ograniczoność

Tw: Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony (inaczej- warunkiem koniecznym zbieżności ciągu jest jego ograniczoność)

Dowód: Niech g – oznacza granicę a_n. Wybierając ε=1, z definicji granicy prawie wszystkie wyrazy (to znaczy wszystkie począwszy od n₀) ciągu leżą w przedziale [g-1, g+1]. Poza przedziałem może być jedynie skończona liczba wyrazów . Stąd

M g

g a a

a_n _n_o

n ≤ − + =

∀ max{ ₁,..., ₋₁, 1, 1} Uwaga Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe

Np. a_n

= (− 1 )

ⁿ pokazuje, że ograniczoność nie jest warunkiem wystarczającym zbieżności.

Niech (nk) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych a (an) dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych.

Ciąg ( )

nk

a nazywamy podciągiem ciągu (an). Podciąg otrzymujemy wiec z ciągu pomijając niektóre jego wyrazy.

Tw. Bolzano-Weierstrassa. Z każdego ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych można wybrać podciąg zbieżny.

Dowód (szkic). Ciąg jest ograniczony, a więc wszystkie jego wyrazy leżą w pewnym przedziale domkniętym.

Dzielimy ten przedział na dwa przedziały domknięte równej długości. Przynajmniej w jednym z przedziałów jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu. Z tego przedziału wybieramy jeden z wyrazów a dla wybranego przedziału domkniętego powtarzamy powyższe czynności wybierając wyraz ciągu o numerze wyższym niż wybrany w poprzednim kroku itd. Dostajemy ciąg przedziałów domkniętych i pewien podciąg. Częścią wspólną zstępującego ciągu przedziałów domkniętych jest dokładnie jeden punkt – granica wybranego podciągu.

Tw. Jeżeli ciąg ma granicę, to każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej granicy.

g a g

a _n_k

n k

n = ⇒ =

∞

→

∞

→ lim

lim .

Dow. W przedziale [g-ε, g+ε] leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu (an) a więc także prawie wszystkie wyrazy podciągu ( )

nk

a .

Tw. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

Dow. Rozważmy przypadek ciągu rosnącego (a_n), ograniczonego od góry (dla malejącego i ograniczonego od dołu – analogicznie).

Niech {a1,a2,...} oznacza zbiór wyrazów ciągu (a_n): jest to podzbiór R.

(4)

Z założenia {a₁,a₂,...} jest ograniczony od góry ⇔∀_n_∈_N a_n ≤M

Z zasady ciągłości zbioru R istnieje (dokładnie jedna liczba rzeczywista) g =sup{a₁,a₂,...}

Z definicji kresu ∀_n a_n ≤g i ∀_ε_> ∃_n a_n ≥g−ε

0

0 0 , a z założenia monotoniczności ε

−

≥

∀_n_≥_n a_n g

0

Podsumowując te fakty:

ε ε ε

ε ε

≤

−

⇓

+

≤

−

⇓

≤

−

∀

∃

∀ _> _∈ _>

g a

g a g

n n

n N

n₀ ₀

0

co oznacza , że a_n g

n =

∞

lim→ . Przykład 1. ^a_n ⁼

(

^{1 +} _n¹

)

ⁿ

⇒





>

∀

≤

∀

+

- ↑ -

góry od y ograniczon 3

1 n

n n

a a a

istnieje granica (powiedzmy e)

n

n n

e 



 



 +

= →∞

1 1

lim .

Z „innych” obliczeń wiadomo, że 1 2,7182818...

1

lim  ≈



 



 +

= →∞

n

n n

e .

• Ograniczoność ciągu a_n =

(

1 + _n¹

)

ⁿ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2

2 2

2

2 2

1 1 1

2 2

1 2

2 1 2

! 1

! ) 1 ( ) 1 )(

1 (

! 3

) 1 )(

1 (

! 2

) 1 (

2 !

) 1 ( ) 1 ( 2 !( )!

! 1

2 1

0 1

1 1

1 2 1 2

1

1 + + + ≤ + ≤ + ≤ + =

+

= +

+

=

= +

=

∑

∞

=

−

=

+

−

= −

=

−

k n

k k n

n

k kn

k n n n n

k k n k n k n

n n

k n k k

n n

k n k n

n n

k k

n n n n n

n n

k

a k

L

bo dla

k≥2, k!≥2^k⁻¹

• Monotoniczność ciągu an =

(

1 + _n¹

)

ⁿ

! ) 1 ( ) 1 )(

1 (

! 3

) 1 )(

1 (

! 2

) 1

( ¹ ¹ ² ¹ ² ¹

2 _n

n

n n n n n

n

a n

−−

−

− + + +

+

= L ^L

)!

1 (

) 1 ( ) 1 )(

1 (

! ) 1 ( ) 1 )(

1 (

! 3

) 1 )(

1 (

! 2

) 1 ( 1

1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1

2 1 1 1

2

⁻1 ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻₊ ⁻

+ ⁺ ⁺ ⁺ ⁺

+ − + +

+

+ + + +

+

=

_n _n

n

n n n n n

n n n n

n

a n

L

^L ^L

Widać, że składniki wyrazu a_n₊₁są większe lub równe od odpowiadających im składników wyrazu

n.

a Ponadto ciąg wyraz a_n₊₁ zawiera dodatkowo dodatni składnik ⁽¹⁻ⁿ¹⁺¹⁾⁽¹₍⁻_nⁿ₊²⁺¹₁⁾_)!^L⁽¹⁻ⁿ⁺ⁿ¹⁾.

Przykład 2







+

=

+ n

n a

a a

2 2

1 1

⇒





>

∀

≤

∀

+

↑

∈

-

ograniczony odgóry 2

1 n

n n

n N n

a a

a

jest zbieżny do _n

n a

g = lim→∞

Ze wzoru ogólnego a_n₊₁ = 2+a_n . Dokonując w tej równości przejścia granicznego (a_n₊₁

→

g i g

a_n

→

) otrzymujemy: g= 2+g . Stąd g=2.

(5)

Nierówności w przejściach granicznych

Tw. O zachowaniu słabej nierówności M g g a M

a _n

n n n

n ≤ ∧ = ⇒ ≤

∀ ≥ lim→∞

0

m g g a m

a _n

n n n

n ≥ ∧ = ⇒ ≥

∀ ≥ ₀ lim→∞

Dow. (a.a.)

Niech g>M. Weźmy

2 M

= g −

ε (połowa odległości między g i M. Z def. granicy prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą w przedziale [g-ε, g+ε] → sprzeczność!

UWAGA: Nierówności ostre nie zachowują się w przejściach granicznych!

Np. ∀_n_∈_N ¹_n >0 a lim¹=0

∞

→ n

n .

Konsekwencją twierdzenia o zachowaniu słabej nierówności w przejściach granicznych jest następujące

Tw. (o trzech ciągach)

g b g

c g a c

b

a _n

n n n n

n n n n n

n ⇒ =



 



∀ ≤ ≤ ∧ = ∧ =

∞

→

∞

→

∞

≥ lim→ lim lim

0

Jako wniosek z powyższego uzyskujemy

Tw. lim 0 lim 0

0 ≤ ∧ = ⇒ ⋅ =

∀ ≥ →∞ →∞ n n

n n n n

n

n a M b a b

Arytmetyka granic

Tw. Jeżeli a_n a

n =

∞

lim→ i b_n b

n =

∞

lim→ , to

1. a_n b_n a b

n ± = ±

∞

→ ( )

lim

2. a_nb_n ab

n =

∞

→ ( )

lim 3. _b^a _b^a

n ⁿ

n =

∞

→ ( )

lim (∀n bn≠0 i b≠0 )

Dow. (punktu 3). 0 |_bâ â_b| |â^b_b_bâb | |â^b â^b_b_bâ^b âb | _|_b^|â_|_|^|_b_||b_n b| _|_b¹_||a_n a|

n n n

n n n n n n n

n n n

n − = = ≤ − + −

≤ ⁻ ⁻ ⁺ ⁻

Ciąg (an) (jako zbieżny) jest ograniczony powiedzmy przez M . Z faktu lim = ≠0

∞

→ b_n b

n wynika, że

0

|

lim = >

∞

→ b_n b

n a stąd |b_n|≥ dla prawie wszystkich n . Wobec tego ^|^b₂^| _|_b¹_| _|²_b_|

n ≤ dla prawie wszystkich n.

(6)

Otrzymujemy wiec dla prawie wszystkich n nierówność 0 | | ²2 |b_n b| _|_b¹_||a_n a|

b M b a b a

n

n − =≤ − + −

≤ z

której z twierdzenia o trzech ciągach i z punktu 1 otrzymujemy tezę.

Inne własności:

a) 1 0

lim

lim =+∞⇒ =

∞

→

∞

→ n n n

n a a _±¹_∞=0 b)

(

_→_∞ ⁼ ^∧^∀ ^≥ ^>

)

^⇒ _→_∞ ⁼^+∞

n n n

n n

n an a a1

lim 0 0

lim 0 0+ =∞

1

c)

(

→∞ ⁼ ^∧^∀ ≥ ^<

)

^⇒ _→_∞ ⁼^−∞

n n n

n n

n an a a1

lim 0 0

lim 0

₋ =−∞

0 1

d)

(

_→_∞ ⁼ ^> ^∧ _→_∞ ⁼^+∞

)

^⇒ _→_∞ n n ⁼^+∞

n n n n

nlima a 0 limb lima b a>0⇒a∞=∞ e)

(

^lim_→_∞ ⁼ ^∧^lim_→_∞ ⁼^+∞

)

^⇒^lim_→_∞ ⁼⁰

n n n n

n n

n b

b a a

a _∞^a =0

f)

(

_→_∞ ⁼ ^< ^∧ _→_∞ ⁼^+∞

)

^⇒ _→_∞ n n ⁼^−∞

n n n n

nlima a 0 limb lima b a<0⇒a∞=−∞

Symbole nieoznaczone: ₀⁰,^∞_∞,0⋅∞, ∞−∞,1^∞,0⁰, ∞⁰.

Warunek Cauchy’ego. Mówimy , że ciąg (a_n) spełnia warunek Cauchy’ego , gdy (C) ∀_ε_> ∃_n_∈_N∀_n_m_≥_n a_m−a_n ≤ε

0

0 ,

0 .

Uwaga. Nie ma tu mowy o granicy

Def. Ciąg spełniający warunek Cauchy’ego nazywamy ciągiem fundamentalnym

Tw. Dla ciągu liczb rzeczywistych prawdziwa jest równoważność:

(a_n) - zbieżny

⇔

ciąg (a_n) spełnia warunek Cauchy’ego Dowód.(⇒) Z założenia a_n g

n =

∞

lim→ mamy

: ₀ 2

0 0

ε

ε ∃ ∀ − ≤

∀ _> _n_∈_N _n_≥_n a_n g . Stąd dla m, n ≥ n₀ mamy

|a_n-a_m| ≤ |a_n-g| + |a_m-g|≤

2 2

ε

ε _{+ =}ε , czyli spełniony jest warunek (C).

(⇐)(Szkic) ciąg (a_n) spełnia warunek Cauchy’ego⇒ ciąg (a_n) jest ograniczony ⇒ (tw. Bolzano- Weierstrassa) ( )

nk

a jest podciągiem zbieżnym do g. Stąd |an-g| ≤ |an-

nk

a | + |

nk

a

-

g| . Ale |an-

nk

a |≤

2 ε dla n , nk ≥ n0 (z war. C) a |

nk

a

-

g|≤

2

ε bo a g

nk

k =

∞

lim→ . Wobec tego |an-g|≤ ε dla n≥n0. Ważne granice ciągów

1) Wiadomo, że e

n

n  =



 

 +

∞

→

1 1

lim . Stąd

n e

n

 =



 

  −

⁻

∞

→

1 1

lim

; =±∞⇒

∞

→ n

nlima e

a

an

n n  =



 



 +

∞

→

1 1

lim ; = ⇒

∞

→ 0

lim _n

n b

(

bn

)

bn e

n + =

∞

→

1

1 lim 2) lim =1

∞

→ n

n n

3) lim =1

∞

→ n

n a (a>0)

(7)

4) ⁺ = < ⇒

∞

→ 1

lim ¹ g

n n

a a

n

lim = 0

∞

→ n

n a

5) = < ⇒

∞

→ 1

limⁿ a_n g

n

lim = 0

∞

→ n

n a

6) 0

) 1

lim( =

+

∞

→ n

n p

n^α

(p

> 0 , α > 0 )

Ad 2. ∀n≥2 ⁿ n ≥1, stąd∀n≥2 ⁿ n=1+ε_n, ε_n ≥0⇔

( ) ( )

² ²⁰ ^lim ⁰

) 1 (

2 ₂ ² ⁽₂¹⁾ ² ²₁

1

=

⇒

≤

≥

∀

⇒

≥

∀

⇒

≥

= +

=

≥

∀ − →∞

−

∑

ⁿ= ⁿ ⁿ ⁿⁿ ⁿ ⁿ ⁿ _n ⁿ k

k n n k n

n n n n

n

n ε ε ε ε ε ε

Ad 3 Podobnie jak (2) Ad 4.

⁺ = < ⇔

∞

→ 1

lim ¹ g

n n

a a

n ∀ε ∃n ∀n>n ⁺ −g ≤ε ⇒

n n

a a ₁ 0

0 Stąd np. dla ε =^{1 g}⁻₂

⇒

<

= +

≤

>

∀

∃n₀ n n₀ ⁺¹ g g₁ 1

n n

a

a ε

0 0

0

0 0

1

2 1 1 1 2

1 1

, ,

n k k n

n n

n

n n

a g a

g a

a g a

≤

+

+ +

+

M

Otrzymaliśmy więc oszacowanie

0

0 1

0 a_n _k g^ka_n

k ≤ ≤

∀ ₊ . Stąd z tw. o trzech ciągach lim 0

0₊ =

∞

→ n k

k a .

Ad 5.

= < ⇔

∞

→ 1

limⁿ a_n g

n ∀ε ∃n₀ ∀n>n₀ ⁿ a_n −g ≤ε ⇒ Stąd np. dla ε =^{1 g}⁻₂

⇒

<

= +

≤

>

∀

∃n₀ n n₀ⁿ a_n g ε g₁ 1 ∃n₀ ∀n>n₀ a_n ≤g₁ⁿ⇒

lim = 0

∞

→ n

n a .

Ad 6. Wystarczy skorzystać z (4) ^lim ^lim

( )

¹ ₁¹ ₁¹ ¹

) 1 (

1 = ⁺ ₊ = ₊ <

∞

→ +

+ +

∞

→

+

p p n n n p n

p n

n

n α

α α