Poziom standardowy (z myślą o ocenie co najwyżej dobrej) 3. Szacowanie liczb i wyrażeń.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2017/18

Kolokwium nr 3: poniedziałek 6.11.2017, godz. 12:15-13:00, materiał zad. 1–149.

Poziom standardowy (z myślą o ocenie co najwyżej dobrej) 3. Szacowanie liczb i wyrażeń.

Zadania do samodzielnego rozwiązania.

Pomoc w rozwiązaniu tych zadań można uzyskać na Analizie Matematycznej 1P.

81. Niech a =√⁴

2. Która z liczb jest większa:

a^aaa

aaaaaaaaaaaa16

czy 10¹⁰¹⁰?

Pomoc dla osób dostających oczopląsu: liczba a występuje w pierwszym wyrażeniu 16 razy.

Która z liczb jest większa ?

82. 123456 · 123458 czy 123457² 83. 1000! czy (500!)² 84. 2007 666

!2007

czy 2007 666

!666

85. ^√⁴

83 − 2^2007 czy ^√⁴

83 − 2^666 86. ^√⁴

79 − 2^2007 czy^√⁴

79 − 2^666 87. ^√⁴

79 − 3^2007 czy ^√⁴

79 − 3^666 88. ^√⁴

79 − 3^2007 czy^√⁴

79 − 3^667 89. 2¹⁰⁰⁰ czy 3⁷⁰⁰ 90. 5⁴⁴⁴ czy 3⁷⁰⁰ 91. 17

20 czy 16

21 92. 100

7 czy 150 11 93. 8⁴⁴⁴

17¹⁷ czy 16³³³

19¹⁷ 94. 17⁶⁶⁷

3333⁴+ 6666⁴ czy 17⁶⁶⁶

3333⁴ 95. 2007 666

!

czy 2007 667

!

96. 2007 666

!

czy 2008 666

!

97. 2007 1666

!

czy 2007 1667

!

98. 2007 1666

!

czy 2008 1666

!

99. 1

√37 − 6 czy √

37 + 6 100. 1

√37 − 6 czy 12 101. 1

√37 − 6 czy 1

√97 − 10

102.

9 4

27/8

czy

27 8

9/4

103. log₉27 czy log₄8 104. log₃8 czy log₂5 105. log₅127 czy log₁₀999 106. (log₂3) · log₅7 czy (log₂7) · log₅3

107. (log₂3) · log₇5 czy (log₇9) · log₁₆25 108. log₂3 czy log₃5

109. log₃7 czy log₅19 110. log₂3 czy log₅13 111. log₃5 czy log₁₅56 Wskazówka do niektórych pytań:

Wiadomo, że wartość ułamka nie zmieni się, jeżeli licznik i mianownik pomnożymy przez tę samą liczbę różna od zera.

Podobnie, wartość logarytmu nie zmieni się, jeżeli podstawę i liczbę logarytmowaną ...

Lista 3 - 8 - Strony 8-10

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2017/18

Zadania do omówienia na ćwiczeniach 23,25,30.10.2017 (grupy 2–5).

Zadania należy spróbować rozwiązać przed ćwiczeniami.

112. Uporządkować następujące liczby w kolejności rosnącej

a =^5 −√

37^2008, b =^6 −√

37^2009, c =^7 −√

73^2011, d =^9 −√

73^2013. Która z liczb jest większa:

113. 2^1000! czy 999^999! ? 114. 26⁹⁹ czy 10¹⁵¹ ? 115. 26⁹⁹ czy 123⁶⁵ ? 116. √

37 − 6 czy 1

10 ? 117. ^√

37 − 6^666 czy 1

100¹⁰⁰ ? 118. 2²²¹⁰⁰¹ czy 1000²²¹⁰⁰⁰ ? Wskazując odpowiednią liczbę naturalną k udowodnić nierówności 10^k< L < 10^2k. 119. L = 3972²⁵⁷ 120. L = 257³⁹⁷² 121. L = 700!

122. Niech a = ¹⁶√

2. Która z liczb jest większa: a²⁵⁶ czy 256^a ?

W każdym z poniższych zadań wpisz w miejscu kropek dwie liczby występujące w cią- gu 0, 1, 2, 5 ,10, 100, 10⁵, 10¹⁰, 10²⁰, 10⁵⁰, 10¹⁰⁰, 10²⁰⁰, 10⁵⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰⁰⁰, 10²⁰⁰⁰⁰⁰, 10⁵⁰⁰⁰⁰⁰, 10^1000000 na kolejnych miejscach tak, aby po- wstały prawdziwe nierówności.

123. ... < 2⁵⁰⁰< ...

124. ... < 3²⁰⁰⁰< ...

125. ... < 2¹⁰⁰⁰⁰< ...

126. ... < 30¹⁰⁰⁰⁰< ...

127. ... < 2²¹⁰< ...

128. ... < 4444⁴⁴⁴⁴< ...

129. ... < 7777⁷⁷⁷⁷< ...

130. ... < 2011²⁰¹¹< ...

131. ... < 222⁵⁵⁵⁵< ...

132. ... < 5555²²²< ...

133. ... < 333³³³< ...

134. ... < 10000! < ...

135. ... < 666! < ...

136. Udowodnić nierówność n²²⁷¬ 2ⁿ dla wybranej przez siebie liczby naturalnej n większej od 1.

137. Wskazując odpowiednie liczby wymierne dodatnie C, D (niezależne od n) udo- wodnić, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzą nierówności

C ¬4n⁴− 3n³+ 2 5n⁴+ 4n²− 2¬ D .

Lista 3 - 9 - Strony 8-10

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2017/18

Wskazując odpowiednie liczby wymierne dodatnie C, D oraz liczbę rzeczywistą k udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności

C · n^k< W (n) < D · n^k.

138. W (n) =n³+ 2n²+ 1

√n⁶+ 2 + 2 139. W (n) =2n³− n²+ 1

√3

n²+ 1 + 1 140. W (n) =

√5

n²+ 1

√7

n³+ 1 + 1 Dla podanej liczby x wskazać taką liczbę całkowitą n, że n < x < n + 1.

141. x = 1 5√

2 − 7 142. x = 1 4√

3 − 7 143. x = 1 3√

3 − 5 144. x = 1

3√ 3 − 4√

2 145. x = 1 3√

5 − 7 146. x = 1 2√

13 − 7

147. Dobrać odpowiednie liczby wymierne dodatnie C oraz D i udowodnić, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzą nierówności

C ¬6n¹¹− 3n⁶+ 2 6n¹¹− 3n⁵+ 3¬ D . Liczby C i D muszą spełniać nierówność D ¬ 8C.

148. Dobrać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C i udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności

C ¬√³

n³+ 63n²− n ¬ 7C .

149. Dobrać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C i udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności

C ¬√⁴

n⁴+ 80n³− n ¬ 10C .

Zadania do omówienia na ćwiczeniach 6.11.2017 (grupy 2–5).

Dla podanego wyrażenia W (n) dobrać odpowiednie stałe g oraz C i udowodnić, że nierówności g − C/n < W (n) < g + C/n są prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n.

150. n⁵+ n⁴+ 1

2n⁵+ n³+ 5 151.

√n

√n + 1 152.

√4n⁴+ 1

n²+ 1 153. √

n²+ 4n − n

Dla podanego wyrażenia W (n,k) dobrać odpowiednią wartość parametru k i odpo- wiednie stałe dodatnie g oraz C i udowodnić, że nierówności g − C/n < W (n,k) < g + C/n są prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n.

154.

√n^k+ 1

n⁶+ n⁵ 155.

√n⁶+ n⁵

n^k+ 1 156.

q

n⁸+ n^k− n⁴

Lista 3 - 10 - Strony 8-10