S. Ruziew icz t
Uwagi o twierdzeniu Diniego o szeregach rozbieżnych
Praca zredagowana przez S. H a r t m a n a n a podstawie rękopisu znalezionego w papierach pośmiertnych S. Ruziewicza.
D i ni udowodnił następujące twierdzenie:
OO 00
Jeśli szereg an o wyrazach dodatnich jest rozbieżny, to szereg o,n[sln+a,
71— 1 7l=z 1
71
gdzie sn= £ a k, jest zbieżny, gdy a > O, a rozbieżny, gdy a < 0 .
*=i
W związku z tym udowodnię następujące twierdzenia:
Tw ie r d z e n ie I. Szereg
(i) У
H=fc + 1 an
^■nPn—k an> O,
jest zbieżny dla dowolnego naturalnego k, jeśli a>0.
Tw ie r d z e n ie II. Do każdej pary funkcji (p(x) < 1 i y{x), można
0 0 OO
dobrać taki szereg £ an o wyrazach dodatnich, że szereg £ anlsnn^sn-i jegl
»=1 П—2
rozbieżny.
Tw ie r d z e n ie III. Do każdej funkcji <p(os) dodatniej i malejącej do
OO
zera, gdy x nieograniezenie wzrasta, można dobrać taki szereg ]? a n, an> O,
OO n= 1
że szereg £ ^nlsn+^n) ?est rozbieżny.
П—1
D o w ó d tw ie r d z e n ia I. Twierdzenie to zostało w przypadku k = 1 udowodnione przez A. P r in g s h e im a [1]. Aby otrzymać je w całej ogól
ności, zauważymy najpierw, że
CO
(i) Jeśli ciąg [cn] jest zbieżny, to szereg £ {en-k~~Gn) zbieżny Ma dowolnego naturalnego k.
9*
132 S. Ruziewioz
Istotnie, jest to oczywiste dla Tc=1, a ogólnie wynika przez indukcję z tożsamości cn_ k~ c n= (c n_k—cn_ k+1)+ (c n_ k+1—cn). Udowodnimy teraz, że dla a> 0 zbieżny jest szereg
(2)
yi an~fc+1c o
--kM 8«8)n ” n —k I
S„ — Sn—k
___ O Qu ,
n = k + l * n * n - k
O O 0 0
Jeśli JT1 an< o o, wynika to z (i). Załóżmy przeto, że an—oo. Obierz-
71=1 71=1
my liczbę naturalną p tak, by l /p < a . Wykażemy, że zbieżny jest
OO
szereg £ (sn—sn_k)[sns]l^k, a więc tym bardziej szereg (2).
7l=*-f 1
Wystarczy udowodnić nierówność
( 3 ) *71 °ne>n—ko oVP $ n —k ^ p
A s >
gdyż szereg po prawej stronie jest zbieżny na podstawie (i) i na mocy zbieżności ciągu [l[s][p\.
Zamiast ^ (3) można udowodnić nierówność równoważną
( 4 ) ^n—k
1 -
« S ? 7
Otóż, oznaczając (sn_klsn)1/v przez oe, mamy 0<& <1, a stąd na podstawie tożsamości 1 — xv = ( l — a?)(l-f-£P-j-...+a?2,“ 1) otrzymujemy 1~жр< р ( 1 —co), czyli (4).
W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie I.
D o w ó d t w ie r d z e n ia II. Niech
Mamy
=1, sn= max , v ( 7 i ) / ( l - y ( 7 l ) )
7 1 - 1 7$77-1 + 1) (**= 2,3,...).
$77. $77— 1
<j9(n) ęV>(n)
*77 ” 71 — 1
Ql - < p ( n ) й7).
oV>(«)
*77— 1
$77 **71 — 1 $77 $77— 1
$77
oo oo
Ponieważ szereg ]? (s n—$n_ i)> £ 1 jest rozbieżny, więc szereg
П = 2 7 1 = 2
oo
( s-n—.v,j_j)lsnn)sn-l jest również rozbieżny na podstawie twierdzenia
77=2
Diniego.
Uwagi o twierdzeniu Diniego m
D o w ó d tw ie rd z e n ia III. Niech sn=ll<p(n). Ponieważ funkcja (p(x) maleje, więc zachodzi nierówność sn+1> s n. Mamy
$n — 1 _ *11 *11—1s„ sr
(?Ф0)?(»•) tn"'"'' «Т,
Ponieważ lim у (ж) — 0 więc lim (<p (w))<p(n)= l i dla dostatecznie dużych n
X — >C«0 Ib- > 0 0
jest
^ 71— X 1 S.Yt S, l-fę>(w) '> o
n '’«.— X
Szereg £ ( s n—sn- i ) f sn jest rozbieżny na mocy twierdzenia Diniego ze H=1
N
względu na związek £ ( s n—sn_ 1)^=sN— s1 — ll(p(W) — ll(p(l)->oo, więc U=2
oo
tym bardziej rozbieżny jest szereg £ ( s n—$n-i)18г?^п) •
?l=2
oo
Powstaje jeszcze zagadnienie zbieżności szeregów £ ct,njsns[(p{n)], gdzie n=k
ę(n) rośnie monotonicznie do nieskończoności wraz z n, а [я>] oznacza część całkowitą liczby x. Przykład an— ljn i cp(n) = logn wykazuje, że nie dla każdej funkcji cp(n) szereg ten jest zbieżny. Ciekawe jednak, czy szereg 2 !anlsnsian] może być rozbieżny dla 0 < a < l .
Dowód twierdzenia II i I I I oraz problemat na końcu pracy zostały podane tak jak w rękopisie Ruziewicza. Dowód twierdzenia I podany w pracy jest inny niż oryginalny dowód Ruziewicza. Twierdzenie I jest uogólnieniem pewnego wyniku P r in g s h e im a ([1], str. 329), który prawdopodobnie nie był znany Ruziewiczowi, gdyż jego oryginalny dowód twierdzenia I zaczynał się od dowodu wyniku Pring
sheima, przeprowadzonego metodą nieco trudniejszą od metody użytej przez K. K n o p p a ([2], str. 300).
Dowód podany tutaj pochodzi od S. H a r t m a n a, który zauważył, że w y
starczy nieznacznie zmodyfikować dowód Knoppa twierdzenia Pringsheima, by otrzy
mać pełny dowód twierdzenia I. — Przypis Redakcji.
Prace cytowane
[1] A . P r in g s h e im , Allgemeine Theorie der Divergenz und Oonvergenz von Meihen mit positiven Gliedern, Mathematische Annalen 35 (1890), str. 297-394.
[2] K . K n o p p , Theorie und Anwendungen der unendlichen Beihen,Berlin 1931.
134 S. Ruziewicz
С. Рузевич
З А М Е Т К А О ТЕ О Р Е М Е Д И Н И О Р А С Х О Д Я Щ И Х С Я Р Я Д А Х
РЕЗЮМЕ
оо
Теорема Дини утверждает: Если -ряд 21 ап с положительными членами рас- 1
п
ходится, то полагая sn — 21 ак имеем к- 1
для а > О,
для а г^О.
Результатом настоящей работы является следующее обобщение этой тео
ремы в случае а > 0 :
При любом целом к> 0 и а > 0 ряд 21 aJ8nsn-k сходится.»
Пшк+1
Для к = 1 это было доказано П р и н г с г е й м о м . Кроме этого доказаны следующие теоремы:
Для произвольных функций р(х)< 1 и у>{х) можно подобрать ряд
ОО о о
У о>п с положительными членами так, чтобы ряд Т aJsvWsvW расходился.
я-1 H-а »
Для каждой положительной убывающей функции <р[х) удовлетворяющей
СО 0 0
условию limę>(aj)i= 0, можно подобрать ряд 21ап> а« > 0, так, чтобы ряд £ aj81+y>(n)
*—>00 п=1 п = 1 “
расходился.
S. Ruzeewicz
R E M A R K S ON D IN E S T H E O R E M A B O U T D IV E R G E N T SE R IE S
SUMMARY oo
The theorem of Dini states that if the series 21 al with positive terms is diver■
n » l
П
gent, then putting sn = 21 an we have ь-i
n 1
OO OO
if a > 0,
if a^O.
The result of the present paper consists in a generalization of this theorem to the case of a > 0 , namely:
oo
Given an arbitrary integer k> 0 and an a>0, the series 21 aJ snH<1 18 €0n'
»=*+i n~k vergent.
Uwagi o twierdzeniu JDiniego 136
For к — 1 it has been proved by P r in g s h e im . Two more theorems are proved:
CO
For any two functions <p (x) < 1 and rp (x ) there exists a series £ a» with positive
00 "“1
terms such that the series £ anfs'p^)84’tn) is divergent.
re-2 " n~1
For every positive decreasing function cp (a?) such that lim q>(x) — 0 a series
x— >co
CO 00
2 J an, an>0 , can be found, such that the series £ a j s u ę tn) diverges.
n-1 n-i n
